44 Inngangur að deildajöfnum

Meginatriði

Deildajafna er jafna sem inniheldur fall $y = f (x)$ og eina eða fleiri afleiður þess. Lausn er fall $y = f (x)$ sem uppfyllir deildajöfnuna þegar $f$ og afleiður þess eru sett inn í jöfnuna.
Stig deildajöfnu er stig hæstu afleiðu óþekkta fallsins sem kemur fyrir í jöfnunni.
Deildajafna ásamt upphafsgildi kallast upphafsgildisverkefni. Til að leysa upphafsgildisverkefni er fyrst fundin almenn lausn deildajöfnunnar og síðan er gildi fastans ákvarðað. Upphafsgildisverkefni hafa margvíslega hagnýtingu í vísindum og verkfræði.

Stefnuvið er stærðfræðileg framsetning sem notuð er til að sýna lausnir fyrsta stigs deildajöfnu á myndrænan hátt.
Aðferð Eulers er töluleg aðferð sem nota má til að nálga lausnir deildajöfnu.

Aðgreinanleg deildajafna er sérhver jafna sem rita má á forminu $y' = f (x) g (y) .$
Aðskilnaður breytistærða er aðferð til að finna almenna lausn aðgreinanlegrar deildajöfnu.

Þegar stofnföll eru rannsökuð leiða mismunandi forsendur—svo sem vísisvöxtur, lógistískur vöxtur eða þröskuldsstofn—til mismunandi vaxtarhraða.
Lógistíska deildajafnan tekur tillit til burðargetu. Þetta gildi setur stofnstærðinni efri mörk í tilteknu umhverfi.
Leysa má lógistísku deildajöfnuna fyrir sérhvert jákvætt gildi vaxtarhraða, upphafsstofnstærðar og burðargetu.

Sérhverja fyrsta stigs línulega deildajöfnu má rita á forminu $y' + p (x) y = q (x) .$
Nota má fimm skrefa lausnarleið til að leysa fyrsta stigs línulega deildajöfnu, hvort sem upphafsgildi fylgir eða ekki.
Fyrsta stigs línulegar deildajöfnur má meðal annars nota til að ákvarða hreyfingu hlutar sem rís eða fellur með loftmótstöðu og til að finna straum í rafrás.

44 Inngangur að deildajöfnum

Deildajafna er jafna sem inniheldur fall $y = f (x)$ og eina eða fleiri afleiður þess. Lausn er fall $y = f (x)$ sem uppfyllir deildajöfnuna þegar $f$ og afleiður þess eru sett inn í jöfnuna.
Stig deildajöfnu er stig hæstu afleiðu óþekkta fallsins sem kemur fyrir í jöfnunni.
Deildajafna ásamt upphafsgildi kallast upphafsgildisverkefni. Til að leysa upphafsgildisverkefni er fyrst fundin almenn lausn deildajöfnunnar og síðan er gildi fastans ákvarðað. Upphafsgildisverkefni hafa margvíslega hagnýtingu í vísindum og verkfræði.

Stefnuvið er stærðfræðileg framsetning sem notuð er til að sýna lausnir fyrsta stigs deildajöfnu á myndrænan hátt.
Aðferð Eulers er töluleg aðferð sem nota má til að nálga lausnir deildajöfnu.

Aðgreinanleg deildajafna er sérhver jafna sem rita má á forminu $y' = f (x) g (y) .$
Aðskilnaður breytistærða er aðferð til að finna almenna lausn aðgreinanlegrar deildajöfnu.

Þegar stofnföll eru rannsökuð leiða mismunandi forsendur—svo sem vísisvöxtur, lógistískur vöxtur eða þröskuldsstofn—til mismunandi vaxtarhraða.
Lógistíska deildajafnan tekur tillit til burðargetu. Þetta gildi setur stofnstærðinni efri mörk í tilteknu umhverfi.
Leysa má lógistísku deildajöfnuna fyrir sérhvert jákvætt gildi vaxtarhraða, upphafsstofnstærðar og burðargetu.

Sérhverja fyrsta stigs línulega deildajöfnu má rita á forminu $y' + p (x) y = q (x) .$
Nota má fimm skrefa lausnarleið til að leysa fyrsta stigs línulega deildajöfnu, hvort sem upphafsgildi fylgir eða ekki.
Fyrsta stigs línulegar deildajöfnur má meðal annars nota til að ákvarða hreyfingu hlutar sem rís eða fellur með loftmótstöðu og til að finna straum í rafrás.