4.5 Fyrsta stigs línulegar deildajöfnur

1. Leggið $4y$ við báðar hliðar:
   
   $$y\prime +4y=3x.$$
   
   Í þessari jöfnu er $p\left(x\right)=4$ og $q\left(x\right)=3x.$
2. Margfaldið báðar hliðar með $4y-3,$ og dragið síðan $8y$ frá hvorri hlið:
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \frac{3xy\prime }{4y-3}& =\hfill & 2\hfill \\ \hfill 3xy\prime & =\hfill & 2\left(4y-3\right)\hfill \\ \hfill 3xy\prime & =\hfill & 8y-6\hfill \\ \hfill 3xy\prime -8y& =\hfill & \mathrm{-6}.\hfill \end{array}$$
   
   Deilið að lokum báðum hliðum með $3x$ svo stuðullinn við $y\prime$ verði $1\text{:}$
   
   $$y\prime -\frac{8}{3x}y=-\frac{2}{x}.$$

   (4.17) Þetta er heimilt vegna þess að í upphaflegri framsetningu verkefnisins gerðum við ráð fyrir að
   $x\ne 0.$ (Ef $x=0$ verður upprunalega jafnan $0=2,$ sem er augljóslega ósönn fullyrðing.) Í þessari jöfnu er
   $p\left(x\right)=-\frac{8}{3x}$ og $q\left(x\right)=-\frac{2}{x}.$
3. Dragið $y$ frá hvorri hlið og leggið $4x^2-5\text{:}$
   við:
   $$3y\prime -y=4x^2-5.$$
   
   Deilið síðan báðum hliðum með $3\text{:}$
   
   $$y\prime -\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}{x}^2-\frac{5}{3}.$$
   
   Í þessari jöfnu er $p\left(x\right)=-\frac{1}{3}$ og $q\left(x\right)=\frac{4}{3}{x}^2-\frac{5}{3}.$

1. Til að setja þessa deildajöfnu á staðalform deilum við báðum hliðum með $x\text{:}$
   
   $$y\prime +\frac{3}{x}y=4x-3.$$
   
   Því er $p\left(x\right)=\frac{3}{x}$ og $q\left(x\right)=4x-3.$
2. Heildunarþátturinn er $\mu \left(x\right)=e^{{\displaystyle \int \left(3\text{/}x\right)dx}}=e^{3\text{ln}x}=x^3.$
3. Margföldun beggja hliða deildajöfnunnar með $\mu \left(x\right)$ gefur
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill x^3{y}^{\prime }+x^3\left(\frac{3}{x}\right)y& =\hfill & x^3\left(4x-3\right)\hfill \\ \hfill x^3{y}^{\prime }+3x^{2}y& =\hfill & 4x^4-3x^3\hfill \\ \hfill \frac{d}{dx}\left(x^{3}y\right)& =\hfill & 4x^4-3x^3.\hfill \end{array}$$
4. Heildið báðar hliðar jöfnunnar.
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \int \frac{d}{dx}\left(x^{3}y\right)}dx& =\hfill & {\displaystyle \int 4x^4-3x^3}dx\hfill \\ \hfill x^{3}y& =\hfill & \frac{4x^5}{5}-\frac{3x^4}{4}+C\hfill \\ \hfill y& =\hfill & \frac{4x^2}{5}-\frac{3x}{4}+C{x}^{\mathrm{-3}}.\hfill \end{array}$$
5. Ekkert upphafsgildi er gefið og því er verkefnið leyst.

Greining

Þið hafið ef til vill tekið eftir skilyrðinu sem lagt var á deildajöfnuna, þ.e. $x>0.$ Fyrir sérhvert gildi $C,$ sem er frábrugðið núlli er almenna lausnin ekki skilgreind í $x=0.$ Auk þess breytist heildunarþátturinn þegar $x<0,$ en samkvæmt jöfnu 4.19 er heildunarþátturinn $\mu \left(x\right)=e^{{\displaystyle \int p\left(x\right)}dx}.$ Fyrir þetta $p\left(x\right)$ fæst

því að $x<0.$ Hegðun almennu lausnarinnar breytist í $x=0$ einkum vegna þess að $p\left(x\right)$ er ekki skilgreint þar.

1. Þessi deildajafna er nú þegar á staðalformi, þar sem $p\left(x\right)=3$ og $q\left(x\right)=2x-1.$
2. Heildunarþátturinn er $\mu \left(x\right)=e^{{\displaystyle \int 3dx}}=e^{3x}.$
3. Margföldun beggja hliða deildajöfnunnar með $\mu \left(x\right)$ gefur
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill e^{3x}{y}^{\prime }+3e^{3x}y& =\hfill & \left(2x-1\right)e^{3x}\hfill \\ \hfill \frac{d}{dx}\left[y{e}^{3x}\right]& =\hfill & \left(2x-1\right)e^{3x}.\hfill \end{array}$$
   
   Heildið báðar hliðar jöfnunnar:
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \int \frac{d}{dx}\left[y{e}^{3x}\right]dx}& =\hfill & {\displaystyle \int \left(2x-1\right)e^{3x}dx}\hfill \\ \hfill y{e}^{3x}& =\hfill & \frac{e^{3x}}{3}\left(2x-1\right)-{\displaystyle \int \frac{2}{3}{e}^{3x}dx}\hfill \\ \hfill y{e}^{3x}& =\hfill & \frac{e^{3x}\left(2x-1\right)}{3}-\frac{2e^{3x}}{9}+C\hfill \\ \hfill y& =\hfill & \frac{2x-1}{3}-\frac{2}{9}+C{e}^{\mathrm{-3}x}\hfill \\ \hfill y& =\hfill & \frac{2x}{3}-\frac{5}{9}+C{e}^{\mathrm{-3}x}.\hfill \end{array}$$
4. Setjið nú $x=0$ og $y=3$ inn í almennu lausnina og ákvarðið $C\text{:}$
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill y& =\hfill & \frac{2}{3}x-\frac{5}{9}+C{e}^{\mathrm{-3}x}\hfill \\ \hfill 3& =\hfill & \frac{2}{3}\left(0\right)-\frac{5}{9}+C{e}^{\mathrm{-3}\left(0\right)}\hfill \\ \hfill 3& =\hfill & -\frac{5}{9}+C\hfill \\ \hfill C& =\hfill & \frac{32}{9}.\hfill \end{array}$$
   
   Lausn upphafsgildisverkefnisins er því
   
   $$y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{9}+\frac{32}{9}{e}^{\mathrm{-3}x}.$$

1. Massinn er $m=0.0427\text{kg},k=0.5,$ og $g=9.8{\text{m/s}}^2.$ Upphafshraðinn er $v_0=2$ m/s. Upphafsgildisverkefnið er því
   
   $$0.0427\frac{dv}{dt}=\mathrm{-0.5}v-0.0427\left(9.8\right),v_0=2.$$
   
   Deiling deildajöfnunnar með $0.0427$ gefur
   
   $$\frac{dv}{dt}=\mathrm{-11.7096}v-9.8,v_0=2.$$
   
   Deildajafnan er línuleg. Beitum lausnaraðferðinni fyrir línulegar deildajöfnur: Skref 1. Endurritið deildajöfnuna sem
   $\frac{dv}{dt}+11.7096v=\mathrm{-9.8}.$ Þá fæst $p\left(t\right)=11.7096$ og $q\left(t\right)=\mathrm{-9.8}$
   Skref 2. Heildunarþátturinn er $\mu \left(t\right)=e^{{\displaystyle \int 11.7096dt}}=e^{11.7096t}.$
   Skref 3. Margfaldið deildajöfnuna með $\mu \left(t\right)\text{:}$
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill e^{11.7096t}\frac{dv}{dt}+11.7096v{e}^{11.7096t}& =\hfill & \mathrm{-9.8}{e}^{11.7096t}\hfill \\ \hfill \frac{d}{dt}\left[v{e}^{11.7096t}\right]& =\hfill & \mathrm{-9.8}{e}^{11.7096t}.\hfill \end{array}$$
   
   Skref 4. Heildið báðar hliðar:
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \int \frac{d}{dt}\left[v{e}^{11.7096t}\right]}dt& =\hfill & {\displaystyle \int \mathrm{-9.8}{e}^{11.7096t}dt}\hfill \\ \hfill v{e}^{11.7096t}& =\hfill & \frac{\mathrm{-9.8}}{11.7096}{e}^{11.7096t}+C\hfill \\ \hfill v\left(t\right)& =\hfill & \mathrm{-0.8369}+C{e}^{\mathrm{-11.7096}t}.\hfill \end{array}$$
   
   Skref 5. Ákvarðið $C$ með upphafsskilyrðinu $v_0=v\left(0\right)=2\text{:}$
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill v\left(t\right)& =\hfill & \mathrm{-0.8369}+C{e}^{\mathrm{-11.7096}t}\hfill \\ \hfill v\left(0\right)& =\hfill & \mathrm{-0.8369}+C{e}^{\mathrm{-11.7096}\left(0\right)}\hfill \\ \hfill 2& =\hfill & \mathrm{-0.8369}+C\hfill \\ \hfill C& =\hfill & \mathrm{2.8369.}\hfill \end{array}$$
   
   Lausn upphafsgildisverkefnisins er því $v\left(t\right)=2.8369e^{\mathrm{-11.7096}t}-0.8369.$
2. Boltinn nær mestu hæð sinni þegar hraðinn er jafn núlli. Ástæðan er sú að boltinn hækkar þegar hraðinn er jákvæður en fellur þegar hann er neikvæður. Þegar hraðinn er núll hækkar boltinn því hvorki né fellur og er í mestu hæð sinni:
   
   $$\begin{array}{}\\ \hfill 2.8369e^{\mathrm{-11.7096}t}-0.8369& =\hfill & 0\hfill \\ \hfill 2.8369e^{\mathrm{-11.7096}t}& =\hfill & 0.8369\hfill \\ \hfill e^{\mathrm{-11.7096}t}& =\hfill & \frac{0.8369}{2.8369}\approx 0.295\hfill \\ \hfill \text{ln}{e}^{\mathrm{-11.7096}t}& =\hfill & \text{ln}0.295\approx -1.221\hfill \\ \hfill \mathrm{-11.7096}t& =\hfill & \mathrm{-1.221}\hfill \\ \hfill t& \approx \hfill & \mathrm{0.104.}\hfill \end{array}$$
   
   Það tekur hann því um $0.104$ sekúndu að ná mestu hæð.
3. Til að finna hæð boltans sem fall af tíma notum við að afleiða staðsetningar með tilliti til tíma er hraði. Ef $h(t)$ táknar hæðina á tímanum $t,$ þá er $h^{\prime }\left(t\right)=v\left(t\right).$ Þar sem við þekkjum $v\left(t\right)$ og upphafshæðina getum við sett upp upphafsgildisverkefni:
   
   $$h^{\prime }\left(t\right)=2.8369e^{\mathrm{-11.7096}t}-0.8369,h\left(0\right)=1.$$
   
   Heildun beggja hliða deildajöfnunnar með tilliti til $t$ gefur
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \int h^{\prime }\left(t\right)dt}& =\hfill & {\displaystyle \int 2.8369e^{\mathrm{-11.7096}t}-0.8369}dt\hfill \\ \hfill h(t)& =\hfill & -\frac{2.8369}{11.7096}{e}^{\mathrm{-11.7096}t}-0.8369t+C\hfill \\ \hfill h(t)& =\hfill & \mathrm{-0.2423}{e}^{\mathrm{-11.7096}t}-0.8369t+C.\hfill \end{array}$$
   
   Ákvarðið $C$ með upphafsskilyrðinu:
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill h(t)& =\hfill & \mathrm{-0.2423}{e}^{\mathrm{-11.7096}t}-0.8369t+C\hfill \\ \hfill h(0)& =\hfill & \mathrm{-0.2423}{e}^{\mathrm{-11.7096}\left(0\right)}-0.8369\left(0\right)+C\hfill \\ \hfill 1& =\hfill & \mathrm{-0.2423}+C\hfill \\ \hfill C& =\hfill & \mathrm{1.2423.}\hfill \end{array}$$
   
   Því er
   
   $$h(t)=\mathrm{-0.2423}{e}^{\mathrm{-11.7096}t}-0.8369t+1.2423.$$
   
   Eftir $0.104$ sekúndu er hæðin
   $h(0.104)=\mathrm{-0.2423}{e}^{\mathrm{-11.7096}t}-0.8369t+1.2423\approx 1.0836$ metri.

Viðnám og spóla eru í rásinni og því notum við jöfnu 4.24. Spennufallið yfir viðnámið er gefið með $E_R=Ri=5i.$ Spennufallið yfir spóluna er gefið með $E_L=L{i}^{\prime }=0.4i^{\prime }.$ Íspennan verður hægri hlið jöfnu 4.24. jöfnu 4.24 verður því

Deiling beggja hliða með $0.4$ gefur jöfnuna

Þar sem upphafsstraumurinn er 0 gefur þessi niðurstaða upphafsskilyrðið $i\left(0\right)=0.$ Við getum leyst þetta upphafsgildisverkefni með fimm skrefa aðferðinni fyrir fyrsta stigs deildajöfnur.

1. Endurritið deildajöfnuna sem $i^{\prime }+12.5i=125\text{sin}20t.$ Þá fæst $p\left(t\right)=12.5$ og $q\left(t\right)=125\text{sin}20t.$

2. Heildunarþátturinn er $\mu \left(t\right)=e^{{\displaystyle \int 12.5dt}}=e^{12.5t}.$

3. Margfaldið deildajöfnuna með $\mu \left(t\right)\text{:}$

4. Heildið báðar hliðar:

5. Ákvarðið $C$ með upphafsskilyrðinu $v\left(0\right)=2\text{:}$

Lausn upphafsgildisverkefnisins er því $i\left(t\right)=\frac{250\text{sin}20t-400\text{cos}20t+400e^{\mathrm{-12.5}t}}{89}=\frac{250\text{sin}20t-400\text{cos}20t}{89}+\frac{400e^{\mathrm{-12.5}t}}{89}.$

Endurrita má fyrri liðinn sem eitt kósínusfall. Margfaldið fyrst og deilið með $\sqrt{{250}^2+{400}^2}=50\sqrt{89}\text{:}$

Skilgreinið næst $\phi$ sem hvasst horn þannig að $\text{cos}\phi =\frac{8}{\sqrt{89}}.$ Þá er $\text{sin}\phi =\frac{5}{\sqrt{89}}$ og

Því má skrifa lausnina sem

Seinni liðurinn nefnist deyfiliður því að hann hverfur hratt þegar t stækkar. Fasahliðrunin er gefin með $\phi ,$ og sveifluvídd straumsins í stöðugu ástandi með $\frac{50\sqrt{89}}{89}.$ Graf lausnarinnar er sýnt á mynd 4.26: