44 Inngangur að deildajöfnum

4.2 Stefnuvið og tölulegar aðferðir

Námsmarkmið

4.2.1 Teikna stefnuvið fyrir gefna fyrsta stigs deildajöfnu.
4.2.2 Nota stefnuvið til að teikna lausnarferil fyrsta stigs deildajöfnu.
4.2.3 Nota aðferð Eulers til að nálga lausn fyrsta stigs deildajöfnu.

Það sem eftir er kaflans beinum við sjónum að ýmsum aðferðum til að leysa deildajöfnur og greina hegðun lausna þeirra. Stundum er hægt að segja fyrir um eiginleika lausnar deildajöfnu án þess að þekkja lausnina sjálfa. Við skoðum einnig tölulegar aðferðir til að leysa deildajöfnur. Þær má forrita í ýmsum forritunarmálum eða jafnvel útfæra í töflureikni á borð við Microsoft Excel.

Stefnuvið búin til

Stefnuvið (einnig kölluð hallasvið) nýtast vel við rannsókn fyrsta stigs deildajafna. Við skoðum sérstaklega fyrsta stigs deildajöfnu á forminu

y' = f (x, y) .

Hagnýtt dæmi um deildajöfnu af þessu tagi kemur fyrir í kólnunarlögmáli Newtons, sem við leysum nákvæmlega síðar í kaflanum. Fyrst búum við þó til stefnuvið fyrir deildajöfnuna

T^{'} (t) = −0.4 (T - 72) .

Hér táknar $T (t)$ hitastig hlutar (í Fahrenheit-gráðum) á tímanum $t,$ en umhverfishitinn er $72 ° F .$ Mynd 4.6 sýnir stefnuvið jöfnunnar.

Graf stefnuviðs gefnu deildajöfnunnar í fyrsta og öðrum fjórðungi. Örvarnar vísa beint til hægri á y = 72. Fyrir neðan þá línu verður halli örvanna sífellt jákvæðari eftir því sem y minnkar. Fyrir ofan línuna verður hallinn sífellt neikvæðari eftir því sem y stækkar. Örvarnar stefna saman að y = 72. Tvær lausnir eru teiknaðar: önnur með upphafshitastig undir 72 og hin með upphafshitastig yfir 72. Efri lausnin er minnkandi ferill, kúptur upp, sem nálgast y = 72 þegar t stefnir á óendanlegt. Neðri lausnin er vaxandi ferill, kúptur niður, sem nálgast y = 72 þegar t stefnir á óendanlegt. — **Mynd 4.6.** Stefnuvið deildajöfnunnar $T^{'} (t) = −0.4 (T - 72) .$ Tvær lausnir eru teiknaðar: önnur hefur lægra upphafshitastig en $72 ° F$ en hin hærra upphafshitastig en $72 ° F .$

Hugmyndin að baki stefnuviði byggist á því að afleiða falls í tilteknum punkti er hallatala snertils við graf fallsins í sama punkti. Önnur dæmi um deildajöfnur sem hægt er að búa til stefnuvið fyrir eru

\begin{matrix} y' = 3 x + 2 y - 4 \\ y' = x^{2} - y^{2} \\ y' = \frac{2 x + 4}{y - 2} . \end{matrix}

Til að búa til stefnuvið byrjum við á fyrstu jöfnunni: $y' = 3 x + 2 y - 4 .$ Látum $(x_{0}, y_{0})$ vera einhverja raðaða tvennd og setjum tölurnar inn í hægri hlið deildajöfnunnar. Ef við veljum til dæmis $x = 1 og y = 2,$ fæst við innsetningu í hægri hlið deildajöfnunnar

\begin{matrix} y^{'} & = 3 x + 2 y - 4 \\ = 3 (1) + 2 (2) - 4 = 3. \end{matrix}

Þetta segir okkur að ef lausn deildajöfnunnar $y' = 3 x + 2 y - 4$ fer í gegnum punktinn $(1, 2),$ þá verður hallatala lausnarinnar í þeim punkti að vera $3 .$ Við byrjum að búa til stefnuviðið með því að teikna stutt strik í punktinum $(1, 2)$ sem hefur hallatöluna $3 .$ Þetta má gera fyrir sérhvern punkt í formengi fallsins $f (x, y) = 3 x + 2 y - 4,$ sem samanstendur af öllum röðuðum tvenndum $(x, y)$ í $ℝ^{2} .$ Þannig tengist hallatala hverjum punkti í kartesíska planinu, að því gefnu að lausn deildajöfnunnar fari í gegnum punktinn. Stefnuvið deildajöfnunnar $y^{'} = 3 x + 2 y - 4$ er sýnt á mynd 4.7.

Graf stefnuviðs deildajöfnunnar y’ = 3 x + 2 y – 4 í öllum fjórum fjórðungum. Í öðrum og þriðja fjórðungi vísa örvarnar niður og lítillega til hægri. Á skálínu, um það bil y = -x + 2, vísa örvarnar sífellt meira til hægri, sveigjast og vísa síðan upp fyrir ofan línuna. — **Mynd 4.7.** Stefnuvið deildajöfnunnar $y' = 3 x + 2 y - 4 .$

Við getum búið til stefnuvið af þessu tagi fyrir sérhverja deildajöfnu á forminu $y' = f (x, y) .$

Stefnuvið notuð

Með stefnuviði getum við sagt fyrir um hegðun lausna deildajöfnu án þess að þekkja lausnina sjálfa. Stefnuviðið á mynd 4.7 leiðbeinir okkur til dæmis um hegðun lausna deildajöfnunnar $y' = 3 x + 2 y - 4 .$

Til að nota stefnuvið veljum við fyrst einhvern punkt í stefnuviðinu. Strikið í punktinum er eins konar vegvísir sem sýnir í hvaða átt halda skal þaðan. Ef lausn deildajöfnunnar fer til dæmis í gegnum punktinn $(0, 1),$ er hallatala lausnarinnar í punktinum gefin með $y' = 3 (0) + 2 (1) - 4 = −2 .$ Látum nú $x$ aukast lítillega, til dæmis í $x = 0.1 .$ Með línulegri nálgun fæst formúla fyrir nálgað gildi $y$ þegar $x = 0.1 .$ Nánar tiltekið fæst

\begin{matrix} L (x) & = y_{0} + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) \\ = 1 - 2 (x - 0) \\ = 1 - 2 x . \end{matrix}

Þegar $x = 0.1$ er sett inn í $L (x)$ fæst nálgaða $y$ -gildið $0.8 .$

Í þessum punkti breytist hallatala lausnarinnar, aftur samkvæmt deildajöfnunni. Við getum haldið áfram, endurreiknað hallatölu lausnarinnar eftir hvert lítið skref til hægri og fylgst með hegðun hennar. Mynd 4.8 sýnir graf lausnarinnar sem fer í gegnum punktinn $(0, 1) .$

Ferillinn er graf lausnar upphafsgildisverkefnisins

y' = 3 x + 2 y - 4, y (0) = 1 .

Þessi ferill nefnist lausnarferillinn sem fer í gegnum punktinn $(0, 1) .$ Nákvæm lausn upphafsgildisverkefnisins er

y = - \frac{3}{2} x + \frac{5}{4} - \frac{1}{4} e^{2 x},

og graf lausnarinnar fellur saman við ferilinn á mynd 4.8.

Skoðum nú stefnuvið deildajöfnunnar $y' = (x - 3) (y^{2} - 4),$ sem sýnt er á mynd 4.9. Stefnuviðið hefur nokkra athyglisverða eiginleika. Í fyrsta lagi sjást lárétt strik þvert yfir grafið þegar $y = −2$ og $y = 2,$ sem merkir að ef $y = −2,$ þá er $y' = 0 .$ Þegar þessi stæða er sett inn í hægri hlið deildajöfnunnar fæst

\begin{matrix} (x - 3) (y^{2} - 4) & = (x - 3) ((-2)^{2} - 4) \\ = (x - 3) (0) \\ = 0 \\ = y' . \end{matrix}

Því er $y = −2$ lausn deildajöfnunnar. Á sama hátt er $y = 2$ lausn hennar. Þetta eru einu fastalausnir deildajöfnunnar, eins og eftirfarandi röksemd sýnir. Gerum ráð fyrir að $y = k$ sé fastalausn deildajöfnunnar. Þá er $y^{'} = 0 .$ Þegar þessi stæða er sett inn í deildajöfnuna fæst $0 = (x - 3) (k^{2} - 4) .$ Jafnan verður að gilda fyrir öll gildi $x,$ svo seinni þátturinn verður að vera núll. Þá fæst jafnan $k^{2} - 4 = 0 .$ Lausnir hennar eru $k = −2$ og $k = 2,$ en það eru fastalausnirnar sem þegar hafa verið nefndar. Þær kallast jafnvægislausnir deildajöfnunnar.

Stefnuvið gefnu deildajöfnunnar. Örvarnar eru láréttar og vísa til hægri þegar y = -4, y = 4 og x = 6. Því nær sem örvarnar eru x = 6 þeim mun láréttari verða þær, en þeim mun lóðréttari sem fjær dregur. Örvarnar vísa niður þegar y > 4 og x < 4, þegar -4 < y < 4 og x > 6, og þegar y < -4 og x < 6. Á öllum öðrum svæðum vísa örvarnar upp. — **Mynd 4.9.** Stefnuvið deildajöfnunnar $y' = (x - 3) (y^{2} - 4)$ ásamt tveimur lausnum. Lausnirnar liggja mjög nálægt hvor annarri, en önnur er rétt ofan við jafnvægislausnina $y = −2$ og hin rétt neðan við sömu jafnvægislausn.

Til að finna jafnvægislausnir deildajöfnunnar $y' = f (x, y),$ setjum við hægri hliðina jafna núlli. Jafnvægislausn deildajöfnunnar er sérhvert fall á forminu $y = k$ þannig að $f (x, k) = 0$ fyrir öll gildi $x$ í formengi $f .$

Mikilvægur eiginleiki jafnvægislausna er hvort þær nálgast línuna $y = k$ sem aðfellu fyrir stór gildi $x .$

Snúum okkur nú aftur að deildajöfnunni $y' = (x - 3) (y^{2} - 4),$ með upphafsskilyrðinu $y (0) = 0.5 .$ Stefnuvið upphafsgildisverkefnisins ásamt samsvarandi lausn er sýnt á mynd 4.10.

Gildi lausnar upphafsgildisverkefnisins haldast á milli $y = −2$ og $y = 2,$ sem eru jafnvægislausnir deildajöfnunnar. Lausn upphafsgildisverkefnis sem byrjar með $- 2 < y < 2$ getur hins vegar aldrei farið yfir jafnvægislausnirnar $y = 2$ og $y = -2$ . Þar sem $y^{2} - 4 < 0$ og $x > 3, y' = (x - 3) (y^{2} - 4) < 0$ er $y$ minnkandi og stefnir því á $y = - 2$ . Því er $y = - 2$ aðfellustöðug lausn deildajöfnunnar.

Hvað gerist þegar upphafsgildið er minna en $y = −2 ?$ Þetta tilvik er sýnt á mynd 4.11 með upphafsgildinu $y (0) = −3 .$

Við sjáum að fyrir upphafsgildi $y < - 2$ og þegar $x > 3, y' = (x - 3) (y^{2} - 4) > 0$ er $y$ vaxandi og stefnir á $y = - 2$ . Þetta staðfestir enn frekar að $y = - 2$ er aðfellustöðug lausn deildajöfnunnar.

Dæmi 4.8

Stöðugleiki jafnvægislausnar

Búið til stefnuvið deildajöfnunnar $y' = {(y - 3)}^{2} (y^{2} + y - 2)$ og finnið allar jafnvægislausnir. Flokkið hverja þeirra sem stöðuga, óstöðuga eða hálfstöðuga.

Lausn

Stefnuviðið er sýnt á mynd 4.12.

Graf stefnuviðs þar sem örvar vísa til hægri þegar y = -4, y = 2 og y = 6. Þegar y < -4 vísa örvarnar upp. Þegar -4 < y < 2 vísa þær niður. Þegar 2 < y < 6 vísa þær upp og verða sífellt flatari þegar þær nálgast y = 6. Þegar y > 6 vísa örvarnar upp og verða sífellt lóðréttari eftir því sem þær fjarlægjast y = 6. — **Mynd 4.12.** Stefnuvið deildajöfnunnar y ′ = ( y − 3 ) 2 ( y² + y − 2 ) .

Jafnvægislausnirnar eru $y = −2, y = 1,$ og $y = 3 .$ Til að flokka lausnirnar skoðum við ör beint ofan eða neðan við hvert þessara gilda. Við $y = −2$ vísa örvarnar beint neðan við lausnina til dæmis upp en örvarnar beint ofan við hana niður. Öll upphafsskilyrði nálægt $y = −2$ nálgast því $y = −2,$ og lausnin er stöðug. Fyrir lausnina $y = 1,$ hrindast öll upphafsskilyrði ofan og neðan við $y = 1$ frá $y = 1,$ svo lausnin er óstöðug. Lausnin $y = 3$ er hálfstöðug því að fyrir upphafsskilyrði örlítið stærri en $3,$ stefnir lausnin á óendanlegt, en fyrir upphafsskilyrði örlítið minni en $3,$ stefnir hún á $y = 3 .$

Greining

Jafnvægislausnir deildajöfnunnar má finna með því að setja hægri hliðina jafna núlli og leysa jöfnuna með tilliti til $y .$ Þessi aðferð gefur sömu jafnvægislausnir og sáust í stefnuviðinu.

Aðferð Eulers

Skoðum upphafsgildisverkefnið

y^{'} = 2 x - 3, y (0) = 3 .

Þegar báðar hliðar deildajöfnunnar eru heildaðar fæst $y = x^{2} - 3 x + C,$ og þegar jafnan er leyst með tilliti til $C$ fæst sérlausnin $y = x^{2} - 3 x + 3 .$ Lausn upphafsgildisverkefnisins er fleygboginn á mynd 4.13.

Graf þar sem bæði x og y eru á bilinu [-1,4]. Teiknaður er upp á við opinn fleygbogi með topppunkt í (1.5, 0.75). Punktarnir (0, 3), (0.5, 1.5), (1, 0.5), (1.5, 0), (2, 0), (2.5, 0.5) og (3, 1.5) eru merktir og tengdir með strikum. — **Mynd 4.13.** Aðferð Eulers fyrir upphafsgildisverkefnið $y^{'} = 2 x - 3, y (0) = 3 .$

Rauða grafið er myndað úr strikum sem nálga lausn upphafsgildisverkefnisins. Grafið byrjar í sama upphafsgildi, $(0, 3) .$ Hallatala lausnarinnar í hverjum punkti ræðst síðan af hægri hlið deildajöfnunnar og lengd striksins af því að $x$ -gildið er aukið um $0.5$ í hvert sinn (það er skrefstærð). Þessi nálgun er undirstaða aðferðar Eulers.

Áður en aðferð Eulers er sett fram sem setning skulum við skoða annað upphafsgildisverkefni:

y^{'} = x^{2} - y^{2}, y (−1) = 2 .

Hugmyndina að baki stefnuviðum má einnig nota til að rannsaka hegðun lausnar þessa verkefnis. Í punktinum $(−1, 2),$ er hallatala lausnarinnar til dæmis gefin með $y' = {(−1)}^{2} - 2^{2} = −3,$ svo hallatala snertils við lausnina í punktinum er einnig $−3 .$ Skilgreinum nú $x_{0} = −1$ og $y_{0} = 2 .$ Þar sem hallatala lausnarinnar í þessum punkti er $−3,$ getum við notað línulega nálgun til að nálga $y$ í grennd við $(−1, 2) .$

L (x) = y_{0} + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .

Hér er $x_{0} = −1, y_{0} = 2,$ og $f^{'} (x_{0}) = −3,$ svo línulega nálgunin verður

\begin{matrix} L (x) & = 2 - 3 (x - (−1)) \\ = 2 - 3 x - 3 \\ = −3 x - 1. \end{matrix}

Nú veljum við skrefstærð. Skrefstærðin er lítið gildi, venjulega $0.1$ eða minna, sem notað er til að hækka $x;$ skrefstærðin er táknuð með breytunni $h .$ Í dæminu látum við $h = 0.1 .$ Þegar $x_{0}$ er hækkað um $h$ fæst næsta $x$ -gildi:

x_{1} = x_{0} + h = −1 + 0.1 = −0.9 .

Við getum sett $x_{1} = −0.9$ inn í línulegu nálgunina til að reikna $y_{1} .$

\begin{matrix} y_{1} & = L (x_{1}) \\ = −3 (−0.9) - 1 \\ = 1.7. \end{matrix}

Nálgað $y$ -gildi lausnarinnar þegar $x = −0.9$ er því $y = 1.7 .$ Við getum síðan endurtekið ferlið og notað $x_{1} = −0.9$ og $y_{1} = 1.7$ til að reikna $x_{2}$ og $y_{2} .$ Nýja hallatalan er gefin með $y' = {(−0.9)}^{2} - {(1.7)}^{2} = −2.08 .$ Fyrst fæst $x_{2} = x_{1} + h = −0.9 + 0.1 = −0.8 .$ Með línulegri nálgun fæst síðan

\begin{matrix} L (x) & = y_{1} + f^{'} (x_{1}) (x - x_{1}) \\ = 1.7 - 2.08 (x - (−0.9)) \\ = 1.7 - 2.08 x - 1.872 \\ = −2.08 x - 0.172. \end{matrix}

Að lokum setjum við $x_{2} = −0.8$ inn í línulegu nálgunina til að reikna $y_{2} .$

\begin{matrix} y_{2} & = L (x_{2}) \\ = −2.08 x_{2} - 0.172 \\ = −2.08 (−0.8) - 0.172 \\ = 1.492. \end{matrix}

Nálgað gildi lausnar deildajöfnunnar er því $y = 1.492$ þegar $x = −0.8 .$

Þetta er hugmyndin að baki aðferð Eulers. Með því að endurtaka skrefin fæst listi af gildum lausnarinnar. Tafla 4.2 sýnir gildin námunduð að fjórum aukastöfum.

n	0	1	2	3	4	5
$x n$	−1	−0.9	−0.8	−0.7	−0.6	−0.5
$y n$	2	1.7	1.492	1.3334	1.2046	1.0955
n	6	7	8	9	10
$x n$	−0.4	−0.3	−0.2	−0.1	0
$y n$	1.0004	1.9164	1.8414	1.7746	1.7156

Venjulega er $h$ lítið gildi, til dæmis $0.1$ eða $0.05 .$ Því minna gildi sem valið er fyrir $h,$ þeim mun fleiri útreikninga þarf. Því stærra gildi sem valið er fyrir $h,$ þeim mun færri útreikninga þarf. Á móti kemur að stærri skrefstærð gefur minni nákvæmni, eins og mynd 4.14 sýnir.

Tvö gröf sama fleygbogans, y = x² − 3x + 3. Fyrra grafið sýnir aðferð Eulers fyrir gefna upphafsgildisverkefnið með skrefstærðina h = 0,05 en hið síðara með skrefstærðina h = 0,25. Á fyrra grafinu eru punktarnir (0; 3), (0,5; 1,5), (1; 0,5), (1,5; 0), (2; 0), (2,5; 0,5) og (3; 1,5) merktir og tengdir með strikum. Á síðara grafinu eru punktarnir (0; 3), (0,25; 2,25), (0,5; 1,625), (0,75; 1,125), (1; 0,75), (1,25; 0,5), (1,5; 0,375), (2; 0,5), (2,25; 0,75), (2,5; 1,125), (2,75; 1,625) og (3; 2,25) merktir og tengdir með strikum. — **Mynd 4.14.** Aðferð Eulers fyrir upphafsgildisverkefnið $y^{'} = 2 x - 3, y (0) = 3$ með (a) skrefstærð $h = 0.5;$ og (b) skrefstærð $h = 0.25 .$

Dæmi 4.9

Aðferð Eulers notuð

Skoðum upphafsgildisverkefnið

y^{'} = 3 x^{2} - y^{2} + 1, y (0) = 2 .

Notið aðferð Eulers með skrefstærð $0.1$ til að búa til töflu yfir gildi lausnarinnar þegar $x$ er á milli $0$ og $1 .$

Lausn

Gefið er að $h = 0.1$ og $f (x, y) = 3 x^{2} - y^{2} + 1 .$ Auk þess leiðir upphafsskilyrðið $y (0) = 2$ til þess að $x_{0} = 0$ og $y_{0} = 2 .$ Með jöfnu 4.2 og $n = 0,$ fæst tafla 4.3.

n	x n	y n = y n − 1 + h f ( x n − 1 , y n − 1 )
0	0	2
1	0.1	y¹ = y⁰ + h f ( x⁰ , y⁰ ) = 1.7
2	0.2	y² = y¹ + h f ( x¹ , y¹ ) = 1.514
3	0.3	y³ = y² + h f ( x² , y² ) = 1.3968
4	0.4	y⁴ = y³ + h f ( x³ , y³ ) = 1.3287
5	0.5	y⁵ = y⁴ + h f ( x⁴ , y⁴ ) = 1.3001
6	0.6	y⁶ = y⁵ + h f ( x⁵ , y⁵ ) = 1.3061
7	0.7	y⁷ = y⁶ + h f ( x⁶ , y⁶ ) = 1.3435
8	0.8	y⁸ = y⁷ + h f ( x⁷ , y⁷ ) = 1.4100
9	0.9	y⁹ = y⁸ + h f ( x⁸ , y⁸ ) = 1.5032
10	1.0	y¹⁰ = y⁹ + h f ( x⁹ , y⁹ ) = 1.6202

Með tíu útreikningum getum við nálgað gildi lausnar upphafsgildisverkefnisins þegar $x$ er á milli $0$ og $1 .$

Æfingar úr hluta 4.2

Í eftirfarandi verkefnum skal nota stefnuviðið hér fyrir neðan fyrir deildajöfnuna $y' = −2 y .$ Skissið graf lausnarinnar fyrir gefin upphafsskilyrði.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á 0. Fyrir ofan x-ásinn vísa örvarnar niður og til hægri. Því fjær sem þær eru x-ásnum þeim mun brattari eru þær, en þeim mun flatari sem þær eru nær ásnum. Á sama hátt vísa örvarnar fyrir neðan x-ásinn upp og til hægri. Því fjær sem þær eru x-ásnum þeim mun brattari eru þær, en þeim mun flatari sem þær eru nær ásnum.

66.

$y (0) = 1$

67.

$y (0) = 0$

68.

$y (0) = −1$

69.

Eru til jafnvægislausnir? Hver er stöðugleiki þeirra?

Í eftirfarandi verkefnum skal nota stefnuviðið hér fyrir neðan fyrir deildajöfnuna $y' = y^{2} - 2 y .$ Skissið graf lausnarinnar fyrir gefin upphafsskilyrði.

Stefnuvið með láréttum örvum á y = 0 og y = 2. Örvarnar vísa upp þegar y > 2 og þegar y < 0. Þær vísa niður þegar 0 < y < 2. Því nær sem örvarnar eru þessum línum þeim mun láréttari eru þær, en þeim mun lóðréttari sem fjær dregur.

70.

$y (0) = 3$

71.

$y (0) = 1$

72.

$y (0) = −1$

73.

Eru til jafnvægislausnir? Hver er stöðugleiki þeirra?

Teiknið stefnuvið eftirfarandi deildajafna og leysið síðan deildajöfnurnar.

74.

$y' = t^{3}$

75.

$y' = e^{t}$

76.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} cos x$

77.

$\frac{d y}{d t} = t e^{t}$

78.

$\frac{d x}{d t} = cosh (t)$

Teiknið stefnuvið eftirfarandi deildajafna. Hvað má segja um hegðun lausnanna? Eru til jafnvægislausnir? Hver er stöðugleiki þeirra?

79.

$y' = y^{2} - 1$

80.

$y' = y - x$

81.

$y' = 1 - y^{2} - x^{2}$

82.

$y' = t^{2} sin y$

83.

$y' = 3 y + x y$

Parið stefnuviðin við gefnar deildajöfnur. Rökstyðjið val ykkar.

Stefnuvið með örvum sem vísa niður og til hægri í öðrum og þriðja fjórðungi. Þegar farið er yfir y-ásinn skipta örvarnar um stefnu og vísa upp og til hægri.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til vinstri í öðrum og þriðja fjórðungi. Þegar farið er yfir y-ásinn skipta örvarnar um stefnu og vísa upp í fyrsta og fjórða fjórðungi.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á x-ásnum. Fyrir ofan ásinn vísa örvarnar niður og til hægri en fyrir neðan hann upp og til hægri. Því fjær sem þær eru x-ásnum þeim mun lóðréttari verða þær.

Stefnuvið með láréttum örvum á x- og y-ásnum. Örvarnar vísa niður og til hægri í fyrsta og þriðja fjórðungi en upp og til hægri í öðrum og fjórða fjórðungi.

Stefnuvið með örvum sem vísa upp í öðrum og þriðja fjórðungi, til hægri á y-ásnum og niður í fyrsta og fjórða fjórðungi.

84.

$y' = −3 y$

85.

$y' = −3 t$

86.

$y' = e^{t}$

87.

$y' = \frac{1}{2} y + t$

88.

$y' = − t y$

Parið stefnuviðin við gefnar deildajöfnur. Rökstyðjið val ykkar.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á x- og y-ásnum. Í fyrsta og þriðja fjórðungi vísa örvarnar upp en í öðrum og fjórða fjórðungi niður.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á x- og y-ásnum. Í fyrsta og þriðja fjórðungi vísa örvarnar upp og til hægri en í öðrum og fjórða fjórðungi niður og til hægri.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á x- og y-ásnum. Í öðrum og þriðja fjórðungi vísa örvarnar niður en í fyrsta og fjórða fjórðungi upp.

Stefnuvið með láréttum örvum sem vísa til hægri á x-ásnum. Örvarnar vísa upp og til hægri í öllum fjórðungum. Því nær sem þær eru x-ásnum þeim mun láréttari eru þær, en þeim mun lóðréttari sem fjær dregur.

Stefnuvið með láréttum örvum á y-ásnum. Örvarnar eru einnig láréttari nær y = 1.5, y = -1.5 og y-ásnum. Örvarnar vísa niður þegar y > 1.5 og x < 0, þegar y < -1.5 og x < 0, og þegar -1.5 < y < 1.5 og x > 0-. Þær vísa upp þegar y> 1.5 og x > 0, þegar y < -1.5, þegar y < -1.5 og x > 0, og þegar -1.5 < y < 1.5 og x < 0.

89.

$y' = t sin y$

90.

$y' = − t cos y$

91.

$y' = t tan y$

92.

$y' = {sin}^{2} y$

93.

$y' = y^{2} t^{3}$

Nálgið eftirfarandi lausnir með aðferð Eulers í $n = 5$ skrefum yfir bilið $t = [0, 1] .$ Ef hægt er að leysa upphafsgildisverkefnið nákvæmlega skal bera nálgunina saman við nákvæmu lausnina. Ef ekki er hægt að leysa það nákvæmlega er nákvæma lausnin gefin til samanburðar við aðferð Eulers. Hversu nákvæm er aðferð Eulers?

94.

$y' = −3 y, y (0) = 1$

95.

$y' = t^{2}, y (0) = 2$

96.

$y^{'} = 3 t - y, y (0) = 1 .$ Nákvæma lausnin er $y = 3 t + 4 e^{− t} - 3$

97.

$y^{'} = y + t^{2}, y (0) = 3 .$ Nákvæma lausnin er $y = 5 e^{t} - 2 - t^{2} - 2 t$

98.

$y^{'} = 2 t, y (0) = 0$

99.

[T] $y' = e^{(x + y)}, y (0) = −1 .$ Nákvæma lausnin er $y = − ln (e + 1 - e^{x})$

100.

$y^{'} = y^{2} ln (x + 1), y (0) = 1 .$ Nákvæma lausnin er $y = - \frac{1}{(x + 1) (ln (x + 1) - 1)}$

101.

$y^{'} = 2^{x}, y (0) = 0,$ Nákvæma lausnin er $y = \frac{2^{x} - 1}{ln (2)}$

102.

$y^{'} = y, y (0) = −1 .$ Nákvæma lausnin er $y = − e^{x} .$

103.

$y^{'} = −5 t, y (0) = −2 .$ Nákvæma lausnin er $y = - \frac{5}{2} t^{2} - 2$

Nota má deildajöfnur til að setja fram líkön af farsóttum. Í næstu verkefnum skoðum við hvernig stærð tveggja hópa borgarbúa breytist: þeirra sem eru smitaðir og þeirra sem eru móttækilegir fyrir smiti. $S$ táknar fjölda móttækilegra einstaklinga og $I$ fjölda smitaðra. Við gerum ráð fyrir að þegar móttækilegur einstaklingur hittir smitaðan einstakling séu líkurnar $c$ á því að sá móttækilegi smitist. Hver smitaður einstaklingur nær bata eftir sýkinguna með hraðanum $r$ og verður þá aftur móttækilegur fyrir smiti. Við skoðum inflúensu og gerum ráð fyrir að enginn deyi af völdum sjúkdómsins. Heildarfjöldi einstaklinga í hópunum tveimur er því fastinn $N .$ Deildajöfnurnar sem lýsa stærð hópanna eru

\begin{matrix} S' = r I - c S I og \\ I' = c S I - r I . \end{matrix}

Hér táknar $c$ snertitíðnina og $r$ batahraðann.

104.

Sýnið að samkvæmt forsendunni um fastan heildarfjölda, $(S + I = N),$ megi einfalda kerfið í eina deildajöfnu fyrir $I : I' = c (N - I) I - r I .$

105.

Gerið ráð fyrir að stikarnir séu $c = 0.5, N = 5,$ og $r = 0.5,$ og teiknið stefnuviðið sem fæst.

106.

[T] Notið tölvuhugbúnað eða reiknivél til að reikna nálgaða lausn upphafsgildisverkefnisins $y' = t y, y (0) = 2$ með aðferð Eulers og gefinni skrefstærð $h .$ Finnið lausnina við $t = 1$ sem fall af $h .$ Ábending: Hér er gervikóði sem sýnir hvernig skrifa má tölvuforrit til að framkvæma aðferð Eulers fyrir $y' = f (t, y), y (0) = y_{0} :$

Búið til fallið
$f (t, y) .$
Skilgreinið stikana
$y (0) = y_{0}, t (0) = 0,$ skrefstærðina $h,$ og heildarfjölda skrefa $N$ .
Skrifið
for-lykkju:
for $k = 0 til N$
$fn = f (t (k), y (k))$
$y (k+1) = y (k) + h*fn$
$t (k+1) = t (k) + h$

Notið svar ykkar við æfingu 4.106 til að leysa eftirfarandi verkefni.

107.

Leysið upphafsgildisverkefnið og finnið nákvæmu lausnina.

108.

Teiknið stefnuviðið.

109.

Reiknið með $h = 1$

110.

Reiknið með [T] $h = 0.1$

111.

Reiknið með [T] $h = 0.001$

112.

Reiknið með [T] $h = 0.0001$

113.

[T] Reiknið nákvæmu lausnina við $t = 1 .$ Gerið töflu yfir hlutfallslega skekkju lausnarinnar sem fæst með aðferð Eulers miðað við nákvæmu lausnina. Hversu mikið breytist skekkjan? Getið þið útskýrt breytinguna?

Skoðum upphafsgildisverkefnið $y' = −2 y, y (0) = 2 .$

114.

Sýnið að $y = 2 e^{−2 x}$ leysi upphafsgildisverkefnið.

115.

Teiknið stefnuvið deildajöfnunnar.

116.

[T] Nálgið lausnina í höndunum eða með reiknivél eða tölvu með aðferð Eulers við $t = 10$ og $h = 5 .$

117.

[T] Nálgið lausnina með reiknivél eða tölvu með aðferð Eulers við $t = 10$ og $h = 100 .$

118.

[T] Teiknið nákvæmu lausnina og báðar nálganir Eulers (fyrir $h = 5$ og $h = 100)$ inn á stefnuviðið fyrir hvert gildi $h$ . Hvað takið þið eftir?