4.3 Aðgreinanlegar deildajöfnur

Fylgið fimm skrefa aðferðinni við aðskilnað breytistærða.

1. Í þessu dæmi er $f\left(x\right)=x^2-4$ og $g\left(y\right)=3y+2.$ Þegar $g(y)=0$ er sett jafnt núlli fæst $y=-\frac{2}{3}$ sem fastalausn.
2. Umritið deildajöfnuna á formið
   
   $$\frac{dy}{3y+2}=(x^2-4)dx.$$
3. Heildið báðar hliðar jöfnunnar:
   
   $${\displaystyle \int \frac{dy}{3y+2}}={\displaystyle \int \left(x^2-4\right)dx}.$$
   
   Látum $u=3y+2.$ Þá er $du=3\frac{dy}{dx}dx,$ svo jafnan verður
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \frac{1}{3}{\displaystyle \int \frac{1}{u}du}& =\hfill & \frac{1}{3}{x}^3-4x+C\hfill \\ \hfill \frac{1}{3}\text{ln}\left|u\right|& =\hfill & \frac{1}{3}{x}^3-4x+C\hfill \\ \hfill \frac{1}{3}\text{ln}\left|3y+2\right|& =\hfill & \frac{1}{3}{x}^3-4x+C.\hfill \end{array}$$
4. Til að leysa þessa jöfnu með tilliti til $y,$ margföldum við fyrst báðar hliðar hennar með $3.$
   
   $$\text{ln}\left|3y+2\right|=x^3-12x+3C$$
   
   . Nú skoðum við hvernig fara skal með fastann $C.$ Þar sem $C$ táknar ótiltekinn fasta táknar $3C$ einnig ótiltekinn fasta. Ef við köllum seinni ótiltekna fastann $C_1,$ verður jafnan
   
   $$\text{ln}\left|3y+2\right|=x^3-12x+C_1.$$
   
   Nú veldum við báðar hliðar jöfnunnar með grunntölunni e (það er, látum hvora hlið vera veldisvísi $e).$
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill e^{\text{ln}\left|3y+2\right|}& =\hfill & e^{x^3-12x+C_1}\hfill \\ \hfill \left|3y+2\right|& =\hfill & e^{C_1}{e}^{x^3-12x}\hfill \end{array}$$
   
   . Skilgreinum aftur nýjan fasta $C_2=e^{c_1}$ (athugið að $C_2>0)\text{:}$
   
   $$\left|3y+2\right|=C_2{e}^{x^3-12x}.$$
   
   Þetta samsvarar tveimur aðskildum jöfnum: $3y+2=C_2{e}^{x^3-12x}$ og $3y+2=\text{−}{C}_2{e}^{x^3-12x}.$
   Lausn hvorrar jöfnu um sig má rita á forminu $y=\frac{\mathrm{-2}\pm C_2{e}^{x^3-12x}}{3}.$
   Þar sem $C_2>0,$ skiptir ekki máli hvort plús eða mínus er notað, svo fastinn getur haft hvort formerkið sem er. Enn fremur er lágvísirinn við fastann $C$ algerlega valfrjáls og má fella hann brott. Því má rita lausnina sem
   
   $$y=\frac{\mathrm{-2}+C{e}^{x^3-12x}}{3}.$$
5. Ekkert upphafsskilyrði er gefið og þar með er verkefnið leyst.

Fylgið fimm skrefa aðferðinni við aðskilnað breytistærða.

1. Í þessu dæmi er $f(x)=2x+3$ og $g(y)=y^2-4.$ Þegar $g(y)=0$ er sett jafnt núlli fæst $y=\pm 2$ sem fastalausnir.
2. Deilið báðum hliðum jöfnunnar með $y^2-4$ og margfaldið með $dx.$ Þá fæst jafnan
   
   $$\frac{dy}{y^2-4}=\left(2x+3\right)dx.$$
3. Heildið næst báðar hliðar:
   
   $${\displaystyle \int \frac{1}{y^2-4}dy}={\displaystyle \int \left(2x+3\right)dx}.$$

   (4.4). Notið stofnbrotaliðun til að reikna vinstri hliðina. Þá fæst samsemdin
   
   
   
   $$\frac{1}{y^2-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\right).$$
   
   Jafna 4.4 verður því
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \frac{1}{4}{\displaystyle \int \left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y+2}\right)dy}& =\hfill & {\displaystyle \int \left(2x+3\right)dx}\hfill \\ \hfill \frac{1}{4}\left(\text{ln}\left|y-2\right|-\text{ln}\left|y+2\right|\right)& =\hfill & x^2+3x+C.\hfill \end{array}$$
   
   Þegar báðar hliðar jöfnunnar eru margfaldaðar með $4$ og $4C$ skipt út fyrir $C_1$ fæst
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \text{ln}\left|y-2\right|-\text{ln}\left|y+2\right|& =\hfill & 4x^2+12x+C_1\hfill \\ \hfill \text{ln}\left|\frac{y-2}{y+2}\right|& =\hfill & 4x^2+12x+C_1.\hfill \end{array}$$
4. Hægt er að leysa þessa jöfnu með tilliti til y. Fyrst hefjum við e í veldi beggja hliða jöfnunnar og skilgreinum $C_2=e^{C_1}\text{:}$
   
   $$\left|\frac{y-2}{y+2}\right|=C_2{e}^{4x^2+12x}.$$
   
   Síðan má fjarlægja algildismerkið og leyfa $C_2$ að vera annaðhvort jákvæður eða neikvæður. Þá margföldum við báðar hliðar með $y+2.$
   
   $$\begin{array}{}\\ \\ y-2=C_2\left(y+2\right)e^{4x^2+12x}\hfill \\ y-2=C_{2}y{e}^{{}^{4x^2+12x}}+2C_2{e}^{{}^{4x^2+12x}}.\hfill \end{array}$$
   
   Drögum nú alla liði sem innihalda y saman öðrum megin í jöfnunni og leysum jöfnuna með tilliti til $y\text{:}$
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill y-C_{2}y{e}^{4x^2+12x}& =\hfill & 2+2C_2{e}^{4x^2+12x}\hfill \\ \hfill y(1-C_2{e}^{4x^2+12x})& =\hfill & 2+2C_2{e}^{4x^2+12x}\hfill \\ \hfill y& =\hfill & \frac{2+2C_2{e}^{4x^2+12x}}{1-C_2{e}^{4x^2+12x}}.\hfill \end{array}$$
5. Til að ákvarða gildi $C_2,$ setjum við $x=0$ og $y=\mathrm{-1}$ inn í almennu lausnina. Einnig má setja sömu gildi inn í fyrri jöfnu, nánar tiltekið jöfnuna $\frac{y-2}{y+2}=C_2{e}^{4x^2+12}.$ Miklu auðveldara er að ákvarða $C_2\text{:}$
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill \frac{y-2}{y+2}& =\hfill & C_2{e}^{4x^2+12x}\hfill \\ \hfill \frac{\mathrm{-1}-2}{\mathrm{-1}+2}& =\hfill & C_2{e}^{4{\left(0\right)}^2+12\left(0\right)}\hfill \\ \hfill C_2& =\hfill & \mathrm{-3}.\hfill \end{array}$$
   
   Lausn upphafsgildisverkefnisins er því
   
   $$y=\frac{2-6e^{4x^2+12x}}{1+3e^{4x^2+12x}}.$$
   
   Graf lausnarinnar sést á mynd 4.15.
   

   

Fyrst skilgreinum við fall $u(t)$ sem táknar saltmagnið í geyminum, mælt í kílógrömmum, sem fall af tíma. Þá táknar $\frac{du}{dt}$ breytingarhraða saltmagnsins í geyminum sem fall af tíma. Auk þess táknar $u\left(0\right)$ saltmagnið í geyminum á tímanum $t=0,$ en það er $4$ kílógrömm.

Almennt form deildajöfnunnar sem við leysum er

INNSTREYMISHRAÐI táknar innstreymishraða saltsins í geyminn og ÚTSTREYMISHRAÐI útstreymishraða þess úr geyminum. Lausn streymir inn í geyminn með hraðanum $2$ L/min og hver lítri hennar inniheldur $0.5$ kílógramm af salti. Því berast $2\left(0.5\right)=1\text{kílógramm}$ af salti í geyminn á hverri mínútu. Þar með er INNSTREYMISHRAÐI = $1.$

Til að reikna útstreymishraða saltsins úr geyminum þurfum við að þekkja saltstyrkinn í geyminum á hverjum tíma. Þar sem saltmagnið breytist með tíma breytist saltstyrkurinn einnig. Rúmmál lausnarinnar helst hins vegar fast, 100 lítrar. Kílógrammafjöldi salts í geyminum á tímanum $t$ er $u\left(t\right).$ Saltstyrkurinn er því $\frac{u\left(t\right)}{100}$ kg/L og lausnin flæðir úr geyminum með hraðanum $2$ L/min. Salt fer því úr geyminum með hraðanum $\frac{u\left(t\right)}{100}·2=\frac{u\left(t\right)}{50}$ kg/min og ÚTSTREYMISHRAÐI er $\frac{u\left(t\right)}{50}.$ Deildajafnan verður því $\frac{du}{dt}=1-\frac{u}{50},$ og upphafsskilyrðið er $u\left(0\right)=4.$ Upphafsgildisverkefnið sem leysa skal er

Deildajafnan er aðgreinanleg og því getum við beitt fimm skrefa lausnarleiðinni.

1. Þegar $1-\frac{u}{50}=0$ er sett jafnt núlli fæst $u=50$ sem fastalausn. Þar sem upphaflegt saltmagn í geyminum er $4$ kílógrömm á þessi lausn ekki við.

2. Umritið jöfnuna sem

Margfaldið svo báðar hliðar með $dt$ og deilið báðum hliðum með $50-u\text{:}$

Skref 3. Heildið báðar hliðar:

Skref 4. Leysið jöfnuna með tilliti til $u\left(t\right)\text{:}$

Fjarlægið algildismerkið með því að leyfa fastanum að vera annaðhvort jákvæður eða neikvæður:

Leysið jöfnuna að lokum með tilliti til $u\left(t\right)\text{:}$

Skref 5. Ákvarðið $C_1\text{:}$

Lausn upphafsgildisverkefnisins er $u\left(t\right)=50-46e^{\text{−}t\text{/}50}.$ Til að finna markgildi saltmagnsins í geyminum tökum við markgildið þegar $t$ stefnir á óendanlegt:

Athugið að þetta var fastalausn deildajöfnunnar. Ef upphaflegt saltmagn í geyminum er $50$ kílógrömm helst það fast. Ef það er minna en 50 kílógrömm í upphafi nálgast það 50 kílógrömm með tímanum.

Umhverfishitinn er $75\text{°}\text{F},$ svo $T_s=75.$ Hitastig pítsunnar þegar hún kemur úr ofninum er $200\text{°}\text{F},$ en það er upphafshitastigið, það er upphafsgildið, svo $T_0=200.$ Jafna 4.4 verður því

Til að leysa deildajöfnuna notum við fimm skrefa aðferðina við lausn aðgreinanlegra jafna.

1. Þegar hægri hliðin er sett jöfn núlli fæst $T=75$ sem fastalausn. Þar sem hitastig pítsunnar í upphafi er $200\text{°}\text{F},$ er þetta ekki lausnin sem við leitum að.
2. Umritið deildajöfnuna með því að margfalda báðar hliðar með $dt$ og deila báðum hliðum með $T-75\text{:}$
   
   $$\frac{dT}{T-75}=kdt.$$
3. Heildið báðar hliðar:
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \int \frac{dT}{T-75}}& =\hfill & {\displaystyle \int kdt}\hfill \\ \hfill \text{ln}\left|T-75\right|& =\hfill & kt+C.\hfill \end{array}$$
4. Leysið jöfnuna með tilliti til $T$ með því að velda fyrst báðar hliðar með grunntölunni e:
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill e^{\text{ln}\left|T-75\right|}& =\hfill & e^{kt+C}\hfill \\ \hfill \left|T-75\right|& =\hfill & C_1{e}^{kt}\hfill \\ \hfill T-75& =\hfill & C_1{e}^{kt}\hfill \\ \hfill T(t)& =\hfill & 75+C_1{e}^{kt}.\hfill \end{array}$$
5. Ákvarðið $C_1$ með upphafsskilyrðinu $T\left(0\right)=200\text{:}$
   
   $$\begin{array}{ccc}\hfill T(t)& =\hfill & 75+C_1{e}^{kt}\hfill \\ \hfill T\left(0\right)& =\hfill & 75+C_1{e}^{k\left(0\right)}\hfill \\ \hfill 200& =\hfill & 75+C_1\hfill \\ \hfill C_1& =\hfill & 125.\hfill \end{array}$$
   
   Lausn upphafsgildisverkefnisins er því
   
   $$T(t)=75+125e^{kt}.$$
   
   Til að ákvarða gildi $k,$ þurfum við að nota þá staðreynd að eftir $1$ mínútu er hitastig pítsunnar $190\text{°}\text{F}\text{.}$ Þar með er $T\left(1\right)=190.$ Þegar þessar upplýsingar eru settar inn í lausn upphafsgildisverkefnisins fæst
   
   $$\begin{array}{ccc}T\left(t\right)& =& 75+125e^{kt}\\ T\left(1\right)& =& 190=75+125e^k\\ 115& =& 125e^k\\ \frac{115}{125}& =& \frac{23}{25}=e^k\\ \text{ln}{e}^k& =& \text{ln}\left(\frac{23}{25}\right)\\ k& =& \text{ln}\left(\frac{23}{25}\right)\approx -.08338\end{array}$$
   
   . Nú höfum við því $T(t)=75+125e^{-.08338t}.$ Hvenær er hitastigið $150\text{°}\text{F?}$ Þegar jafnan er leyst með tilliti til $t,$ fæst
   
   $$\begin{array}{ccc}T\left(t\right)& =& 75+125e^{-.08338t}\\ 150& =& 75+125e^{-.08338t}\\ 75& =& 125e^{-.08338t}\\ \frac{75}{125}& =& \frac{3}{5}=e^{-.08338t}\\ -.08338t& =& \text{ln}\frac{3}{5}\\ t& =& \frac{\text{ln}\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}{-.08338}\approx 6.12.\end{array}$$
   
   Við þurfum því að bíða í $6.12$ mínútur til viðbótar (eftir að hitastig pítsunnar náði $200\text{°}\text{F}).$ Það ætti að vera rétt nægur tími til að ljúka þessum útreikningi.