22.9 Lausnir ójafna

2.9.5 Að bera saman jöfnur og ójöfnur

Verkefni

Notaðu þessa jöfnu í spurningum 1-2:

$(−4(x + 3))/5 = 4x − 12$

Leystu jöfnuna. Hvert er gildi x?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$x = 2$

Athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$(−4(2 + 3))/5 = 4(2) − 12; (−4(5))/5 = 8 − 12; −20/5 = −4; −4 = −4$

Notaðu þessa ójöfnu í spurningum 3-6:

$(−4(x + 3))/5 minna en eða jafnt og 4x − 12$

Veldu nokkur gildi minni en 2 fyrir x. Eru þau lausnir ójöfnunnar?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Gildi minni en 2 eru ekki lausnir.

Veldu nokkur gildi stærri en 2 fyrir x. Eru þau lausnir ójöfnunnar?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Gildi stærri en 2 eru lausnir.

Veldu 2 fyrir x. Er það lausn ójöfnunnar?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Já, 2 er lausn.

Sýndu lausnamengi ójöfnunnar á talnalínu.

Lausn

A blank number line that extends from negative 10 to positive 10 with a scale of one.

Berðu saman svarið þitt:

A number line is shown from negative 10 to 10. The point 2 has a closed circle. The numbers to the right of 2 are shaded.

Meiri áskorun

Að hugsa lengra

Hér er annars konar ójafna:

$x^2 minna en eða jafnt og 4$

Hvaða gildi leysa ójöfnuna: 1, 3 eða −3?

Berðu saman svarið þitt: Af gefnu gildunum er aðeins 1 lausn ójöfnunnar.

Lýstu öllum lausnum þessarar ójöfnu. Ef þú vilt geturðu sýnt lausnirnar á talnalínu.

Berðu saman svarið þitt:

$−2 minna en eða jafnt og x minna en eða jafnt og 2$

Lýstu öllum lausnum ójöfnunnar hér að neðan. Prófaðu nokkrar tölur til að ganga úr skugga um að svarið sé rétt.

$x^2 stærra en eða jafnt og 9$

Berðu saman svarið þitt:

$x minna en eða jafnt og −3 eða x stærra en eða jafnt og 3$

Ítarefni

Að bera saman jöfnur og ójöfnur

Við getum notað tengdar jöfnur til að hjálpa okkur að finna lausnir ójafna.

Dæmi 1

Hér er ójafna með einni breytu öðrum megin:

$2x − 3 minna en 5$

Við getum leyst tengdu jöfnuna:

$2x − 3 = 5; 2x = 8; x = 4$

Nú skulum við athuga hvaða gildi uppfylla upphaflegu ójöfnuna.

Skref 1. Athugaðu hvort lausn tengdu jöfnunnar uppfylli upphaflegu ójöfnuna.

Uppfyllir x = 4 ójöfnuna?

$x = 4$

$2(4) − 3 minna en ? 5$

$5 ≮ 5$

Nei, 4 er ekki lausn því 5 er ekki minna en 5.

Skref 2. Prófaðu gildi sem er stærra en lausn tengdu jöfnunnar.

$x = 8$

$2(8) − 3 minna en ? 5$

$13 ≮ 5$

Gildið 8 uppfyllir ekki ójöfnuna.

Skref 3. Prófaðu gildi sem er minna en lausn tengdu jöfnunnar.

$x = 0$

$2(0) − 3 minna en ? 5$

$−3 minna en 5$

Gildið 0 uppfyllir ójöfnuna. Þar sem 0 er minna en 4 er lausnamengið:

$x minna en 4$

Dæmi 2

Leysum ójöfnu með sömu breytu báðum megin:

$3y − 7 stærra en eða jafnt og 8 − 2y$

Við getum leyst tengdu jöfnuna:

$3y − 7 = 8 − 2y; 5y = 15; y = 3$

Athugum fyrst hvort y = 3 uppfylli ójöfnuna.

$y = 3$

$3(3) − 7 stærra en eða jafnt og ? 8 − 2(3)$

$2 stærra en eða jafnt og 2$

Já, y = 3 uppfyllir ójöfnuna því 2 er stærra en eða jafnt og 2.

Prófum síðan gildi stærra en 3, til dæmis y = 5.

$y = 5$

$3(5) − 7 stærra en eða jafnt og ? 8 − 2(5)$

$8 stærra en eða jafnt og −2$

Gildið 5 uppfyllir ójöfnuna.

Prófum að lokum gildi minna en 3, til dæmis y = 0.

$y = 0$

$3(0) − 7 stærra en eða jafnt og ? 8 − 2(0)$

$−7 ≱ 8$

Gildið 0 uppfyllir ekki ójöfnuna. Því eru gildi minni en 3 ekki í lausnamenginu.

Við höfum staðfest að y = 3 og gildi stærri en 3 uppfylla ójöfnuna. Lausnamengið er:

$y stærra en eða jafnt og 3$

Dæmi 3

Skoðaðu þessa flóknari ójöfnu:

$(−3x − 7)/4 minna en −3x + 5$

Tengda jafnan er:

$(−3x − 7)/4 = −3x + 5$

Þegar hún er leyst fæst:

$x = 3$

Uppfyllir 3 ójöfnuna?

$((−3)(3) − 7)/4 minna en ? −3(3) + 5$

$−4 ≮ −4$

Nei, 3 er ekki lausn.

Prófum tölu sem er stærri en 3, til dæmis 5.

$((−3)(5) − 7)/4 minna en ? −3(5) + 5$

$−11/2 ≮ −10$

Gildið 5 er ekki lausn.

Prófum tölu sem er minni en 3, til dæmis 0.

$((−3)(0) − 7)/4 minna en ? −3(0) + 5$

$−7/4 minna en 5$

Gildið 0 er lausn. Lausnamengið er:

$x minna en 3$

22.9 Lausnir ójafna

2.9.5 Að bera saman jöfnur og ójöfnur

Verkefni

Notaðu þessa jöfnu í spurningum 1-2:

$(−4(x + 3))/5 = 4x − 12$

Leystu jöfnuna. Hvert er gildi x?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$x = 2$

Athugaðu lausnina.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$(−4(2 + 3))/5 = 4(2) − 12; (−4(5))/5 = 8 − 12; −20/5 = −4; −4 = −4$

Notaðu þessa ójöfnu í spurningum 3-6:

$(−4(x + 3))/5 minna en eða jafnt og 4x − 12$

Veldu nokkur gildi minni en 2 fyrir x. Eru þau lausnir ójöfnunnar?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Gildi minni en 2 eru ekki lausnir.

Veldu nokkur gildi stærri en 2 fyrir x. Eru þau lausnir ójöfnunnar?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Gildi stærri en 2 eru lausnir.

Veldu 2 fyrir x. Er það lausn ójöfnunnar?

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Já, 2 er lausn.

Sýndu lausnamengi ójöfnunnar á talnalínu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Meiri áskorun

Að hugsa lengra

Hér er annars konar ójafna:

$x^2 minna en eða jafnt og 4$

Hvaða gildi leysa ójöfnuna: 1, 3 eða −3?

Berðu saman svarið þitt: Af gefnu gildunum er aðeins 1 lausn ójöfnunnar.

Lýstu öllum lausnum þessarar ójöfnu. Ef þú vilt geturðu sýnt lausnirnar á talnalínu.

Berðu saman svarið þitt:

$−2 minna en eða jafnt og x minna en eða jafnt og 2$

Lýstu öllum lausnum ójöfnunnar hér að neðan. Prófaðu nokkrar tölur til að ganga úr skugga um að svarið sé rétt.

$x^2 stærra en eða jafnt og 9$

Berðu saman svarið þitt:

$x minna en eða jafnt og −3 eða x stærra en eða jafnt og 3$

Ítarefni

Að bera saman jöfnur og ójöfnur

Við getum notað tengdar jöfnur til að hjálpa okkur að finna lausnir ójafna.

Dæmi 1

Hér er ójafna með einni breytu öðrum megin:

$2x − 3 minna en 5$

Við getum leyst tengdu jöfnuna:

$2x − 3 = 5; 2x = 8; x = 4$

Nú skulum við athuga hvaða gildi uppfylla upphaflegu ójöfnuna.

Skref 1. Athugaðu hvort lausn tengdu jöfnunnar uppfylli upphaflegu ójöfnuna.

Uppfyllir x = 4 ójöfnuna?

$x = 4$

$2(4) − 3 minna en ? 5$

$5 ≮ 5$

Nei, 4 er ekki lausn því 5 er ekki minna en 5.

Skref 2. Prófaðu gildi sem er stærra en lausn tengdu jöfnunnar.

$x = 8$

$2(8) − 3 minna en ? 5$

$13 ≮ 5$

Gildið 8 uppfyllir ekki ójöfnuna.

Skref 3. Prófaðu gildi sem er minna en lausn tengdu jöfnunnar.

$x = 0$

$2(0) − 3 minna en ? 5$

$−3 minna en 5$

Gildið 0 uppfyllir ójöfnuna. Þar sem 0 er minna en 4 er lausnamengið:

$x minna en 4$

Dæmi 2

Leysum ójöfnu með sömu breytu báðum megin:

$3y − 7 stærra en eða jafnt og 8 − 2y$

Við getum leyst tengdu jöfnuna:

$3y − 7 = 8 − 2y; 5y = 15; y = 3$

Athugum fyrst hvort y = 3 uppfylli ójöfnuna.

$y = 3$

$3(3) − 7 stærra en eða jafnt og ? 8 − 2(3)$

$2 stærra en eða jafnt og 2$

Já, y = 3 uppfyllir ójöfnuna því 2 er stærra en eða jafnt og 2.

Prófum síðan gildi stærra en 3, til dæmis y = 5.

$y = 5$

$3(5) − 7 stærra en eða jafnt og ? 8 − 2(5)$

$8 stærra en eða jafnt og −2$

Gildið 5 uppfyllir ójöfnuna.

Prófum að lokum gildi minna en 3, til dæmis y = 0.

$y = 0$

$3(0) − 7 stærra en eða jafnt og ? 8 − 2(0)$

$−7 ≱ 8$

Gildið 0 uppfyllir ekki ójöfnuna. Því eru gildi minni en 3 ekki í lausnamenginu.

Við höfum staðfest að y = 3 og gildi stærri en 3 uppfylla ójöfnuna. Lausnamengið er:

$y stærra en eða jafnt og 3$

Dæmi 3

Skoðaðu þessa flóknari ójöfnu:

$(−3x − 7)/4 minna en −3x + 5$

Tengda jafnan er:

$(−3x − 7)/4 = −3x + 5$

Þegar hún er leyst fæst:

$x = 3$

Uppfyllir 3 ójöfnuna?

$((−3)(3) − 7)/4 minna en ? −3(3) + 5$

$−4 ≮ −4$

Nei, 3 er ekki lausn.

Prófum tölu sem er stærri en 3, til dæmis 5.

$((−3)(5) − 7)/4 minna en ? −3(5) + 5$

$−11/2 ≮ −10$

Gildið 5 er ekki lausn.

Prófum tölu sem er minni en 3, til dæmis 0.

$((−3)(0) − 7)/4 minna en ? −3(0) + 5$

$−7/4 minna en 5$

Gildið 0 er lausn. Lausnamengið er:

$x minna en 3$