1111 Runur, líkur og talningarfræði

Lykilatriði

11.1 Runur og ritháttur þeirra

Runa er listi talna, sem nefnast liðir, í tiltekinni röð.
Lokað form skilgreinir hvern lið runu út frá sæti hans. Sjá sýnidæmi 1, sýnidæmi 2 og sýnidæmi 3.
Finna má lokað form fyrir $n -ta$ lið runu með því að greina mynstur nokkurra liða. Sjá sýnidæmi 4.
Rakningarformúlur skilgreina hvern lið runu með fyrri liðum.
Í rakningarformúlu verður að tilgreina upphafslið rununnar, eða upphafsliðina.
Skrifa má mengi liða með rakningarformúlu. Sjá sýnidæmi 5 og sýnidæmi 6.
Aðfeldi er stærðfræðileg aðgerð sem skilgreina má með rakningu.
Aðfeldi $n$ er margfeldi allra heiltal $n$ a frá 1 til 𝑛 . n Sjá sýnidæmi 7.

11.2 Jafnmunarunur

Jafnmunaruna er runa þar sem mismunur sérhverra tveggja samliggjandi liða er fasti.
Fastinn milli tveggja samliggjandi liða nefnist fastur mismunur.
Fasti mismunurinn er talan sem lögð er við lið jafnmunarunu til að fá næsta lið. Sjá sýnidæmi 1.
Finna má liði jafnmunarunu með því að byrja á upphafsliðnum og leggja fasta mismuninn endurtekið við. Sjá sýnidæmi 2 og sýnidæmi 3.
Rakningarformúla fyrir jafnmunarunu með fasta mismuninn $d$ er $a_{n} = a_{n - 1} + d, n \geq 2.$ Sjá sýnidæmi 4.
Eins og í öllum rakningarformúlum verður að gefa upp upphafslið rununnar.
Lokað form jafnmunarunu með fasta mismuninn $d$ er $a_{n} = a_{1} + d (n - 1) .$ Sjá sýnidæmi 5.
Nota má lokað form til að finna fjölda liða í runu. Sjá sýnidæmi 6.
Í hagnýtum verkefnum hliðrum við stundum lokaða forminu lítillega í $a_{n} = a_{0} + d n .$ Sjá sýnidæmi 7.

11.3 Kvótarunur

Kvótaruna er runa þar sem hlutfall sérhverra tveggja samliggjandi liða er fasti.
Fasta hlutfallið milli tveggja samliggjandi liða nefnist hlutfallstala.
Finna má hlutfallstöluna með því að deila hverjum lið rununnar með liðnum á undan. Sjá sýnidæmi 1.
Finna má liði kvótarunu með því að byrja á fyrsta liðnum og margfalda endurtekið með hlutfallstölunni. Sjá sýnidæmi 2 og sýnidæmi 4.
Rakningarformúla fyrir kvótarunu með hlutfallstöluna $r$ er $a_{n} = r a_{n - 1}$ fyrir $n \geq 2$ .
Eins og í öllum rakningarformúlum verður að gefa upp upphafslið rununnar. Sjá sýnidæmi 3.
Lokað form kvótarunu með hlutfallstöluna $r$ er $a_{n} = a_{1} r^{n - 1} .$ Sjá sýnidæmi 5.
Í hagnýtum verkefnum hliðrum við stundum lokaða forminu lítillega í $a_{n} = a_{0} r^{n} .$ Sjá sýnidæmi 6.

11.4 Raðir og ritháttur þeirra

Summa liða runu nefnist röð.
Algengur ritháttur fyrir raðir nefnist summutákn og notar gríska stafinn sigma til að tákna summuna. Sjá sýnidæmi 1.
Summa liða jafnmunarunu nefnist jafnmunaröð.
Finna má summu fyrstu $n$ liða jafnmunaraðar með formúlu. Sjá sýnidæmi 2 og sýnidæmi 3.
Summa liða kvótarunu nefnist kvótaröð.
Finna má summu fyrstu $n$ liða kvótaraðar með formúlu. Sjá sýnidæmi 4 og sýnidæmi 5.
Summa óendanlegrar raðar er til ef röðin er kvótaröð og $–1 < r < 1.$
Ef summa óendanlegrar raðar er til má finna hana með formúlu. Sjá sýnidæmi 6, sýnidæmi 7 og sýnidæmi 8.
Jafngreiðsluröð er reikningur sem fjárfestir greiðir reglulega inn á. Finna má verðmæti jafngreiðsluraðar með kvótaröðum. Sjá sýnidæmi 9.

11.5 Talningarreglur

Ef einn atburður getur gerst á $m$ vegu og annar atburður, sem hefur enga sameiginlega útkomu með hinum fyrri, getur gerst á $n$ vegu, getur annar hvor atburðurinn gerst á $m + n$ vegu. Sjá sýnidæmi 1.
Ef einn atburður getur gerst á $m$ vegu og annar atburður getur gerst á $n$ vegu eftir að sá fyrri hefur gerst, geta báðir atburðirnir gerst á $m \times n$ vegu. Sjá sýnidæmi 2.
Umröðun er röðun $n$ hluta.
Ef við höfum mengi með $n$ hlutum og viljum velja $r$ hluti úr menginu í tiltekinni röð skrifum við $P (n, r) .$
Leysa má umröðunarverkefni með margföldunarlögmálinu eða formúlunni fyrir $P (n, r) .$ Sjá sýnidæmi 3 og sýnidæmi 4.
Val hluta þar sem röðin skiptir ekki máli nefnist samantekt.
Ef gefnir eru $n$ aðgreinanlegir hlutir er fjöldi leiða til að velja $r$ hluti úr menginu $C (n, r)$ og má finna hann með formúlu. Sjá sýnidæmi 5.
Mengi með $n$ aðgreinanlegum hlutum hefur $2^{n}$ hlutmengi. Sjá sýnidæmi 6.
Í talningarverkefnum með hlutum sem eru ekki allir aðgreinanlegir þarf að deila til að telja ekki sömu umraðanirnar oftar en einu sinni. Sjá sýnidæmi 7.

11.6 Tvíliðusetningin

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ nefnist tvíliðustuðull og er jafnt $C (n, r) .$ Sjá sýnidæmi 1.
Með tvíliðusetningunni má liða tvíliður án margföldunar. Sjá sýnidæmi 2.
Finna má tiltekinn lið tvíliðuliðunar án þess að liða tvíliðuna að fullu. Sjá sýnidæmi 3.

11.7 Líkur

Líkur eru alltaf tala milli 0 og 1, þar sem 0 táknar ómögulegan atburð og 1 öruggan atburð.
Summa líkna í líkindalíkani verður að vera 1. Sjá sýnidæmi 1.
Þegar allar útkomur tilraunar eru jafnlíklegar má finna líkur atburðar með því að deila fjölda útkoma í atburðinum með heildarfjölda útkoma í úrtaksrúmi tilraunarinnar. Sjá sýnidæmi 2.
Til að finna líkur sammengis tveggja atburða leggjum við saman líkur atburðanna og drögum frá líkurnar á að báðir gerist samtímis. Sjá sýnidæmi 3.
Til að finna líkur sammengis tveggja ósamrýmanlegra atburða leggjum við saman líkur hvors atburðar. Sjá sýnidæmi 4.
Líkur fylliatburðar eru mismunurinn á 1 og líkunum á að atburðurinn gerist. Sjá sýnidæmi 5.
Í sumum líkindaverkefnum þarf að nota umraðanir og samantektir til að finna fjölda staka í atburðum og úrtaksrúmum. Sjá sýnidæmi 6.

1111 Runur, líkur og talningarfræði

Lykilatriði

11.1 Runur og ritháttur þeirra

Runa er listi talna, sem nefnast liðir, í tiltekinni röð.
Lokað form skilgreinir hvern lið runu út frá sæti hans. Sjá sýnidæmi 1, sýnidæmi 2 og sýnidæmi 3.
Finna má lokað form fyrir $n -ta$ lið runu með því að greina mynstur nokkurra liða. Sjá sýnidæmi 4.
Rakningarformúlur skilgreina hvern lið runu með fyrri liðum.
Í rakningarformúlu verður að tilgreina upphafslið rununnar, eða upphafsliðina.
Skrifa má mengi liða með rakningarformúlu. Sjá sýnidæmi 5 og sýnidæmi 6.
Aðfeldi er stærðfræðileg aðgerð sem skilgreina má með rakningu.
Aðfeldi $n$ er margfeldi allra heiltal $n$ a frá 1 til 𝑛 . n Sjá sýnidæmi 7.

11.2 Jafnmunarunur

Jafnmunaruna er runa þar sem mismunur sérhverra tveggja samliggjandi liða er fasti.
Fastinn milli tveggja samliggjandi liða nefnist fastur mismunur.
Fasti mismunurinn er talan sem lögð er við lið jafnmunarunu til að fá næsta lið. Sjá sýnidæmi 1.
Finna má liði jafnmunarunu með því að byrja á upphafsliðnum og leggja fasta mismuninn endurtekið við. Sjá sýnidæmi 2 og sýnidæmi 3.
Rakningarformúla fyrir jafnmunarunu með fasta mismuninn $d$ er $a_{n} = a_{n - 1} + d, n \geq 2.$ Sjá sýnidæmi 4.
Eins og í öllum rakningarformúlum verður að gefa upp upphafslið rununnar.
Lokað form jafnmunarunu með fasta mismuninn $d$ er $a_{n} = a_{1} + d (n - 1) .$ Sjá sýnidæmi 5.
Nota má lokað form til að finna fjölda liða í runu. Sjá sýnidæmi 6.
Í hagnýtum verkefnum hliðrum við stundum lokaða forminu lítillega í $a_{n} = a_{0} + d n .$ Sjá sýnidæmi 7.

11.3 Kvótarunur

Kvótaruna er runa þar sem hlutfall sérhverra tveggja samliggjandi liða er fasti.
Fasta hlutfallið milli tveggja samliggjandi liða nefnist hlutfallstala.
Finna má hlutfallstöluna með því að deila hverjum lið rununnar með liðnum á undan. Sjá sýnidæmi 1.
Finna má liði kvótarunu með því að byrja á fyrsta liðnum og margfalda endurtekið með hlutfallstölunni. Sjá sýnidæmi 2 og sýnidæmi 4.
Rakningarformúla fyrir kvótarunu með hlutfallstöluna $r$ er $a_{n} = r a_{n - 1}$ fyrir $n \geq 2$ .
Eins og í öllum rakningarformúlum verður að gefa upp upphafslið rununnar. Sjá sýnidæmi 3.
Lokað form kvótarunu með hlutfallstöluna $r$ er $a_{n} = a_{1} r^{n - 1} .$ Sjá sýnidæmi 5.
Í hagnýtum verkefnum hliðrum við stundum lokaða forminu lítillega í $a_{n} = a_{0} r^{n} .$ Sjá sýnidæmi 6.

11.4 Raðir og ritháttur þeirra

Summa liða runu nefnist röð.
Algengur ritháttur fyrir raðir nefnist summutákn og notar gríska stafinn sigma til að tákna summuna. Sjá sýnidæmi 1.
Summa liða jafnmunarunu nefnist jafnmunaröð.
Finna má summu fyrstu $n$ liða jafnmunaraðar með formúlu. Sjá sýnidæmi 2 og sýnidæmi 3.
Summa liða kvótarunu nefnist kvótaröð.
Finna má summu fyrstu $n$ liða kvótaraðar með formúlu. Sjá sýnidæmi 4 og sýnidæmi 5.
Summa óendanlegrar raðar er til ef röðin er kvótaröð og $–1 < r < 1.$
Ef summa óendanlegrar raðar er til má finna hana með formúlu. Sjá sýnidæmi 6, sýnidæmi 7 og sýnidæmi 8.
Jafngreiðsluröð er reikningur sem fjárfestir greiðir reglulega inn á. Finna má verðmæti jafngreiðsluraðar með kvótaröðum. Sjá sýnidæmi 9.

11.5 Talningarreglur

Ef einn atburður getur gerst á $m$ vegu og annar atburður, sem hefur enga sameiginlega útkomu með hinum fyrri, getur gerst á $n$ vegu, getur annar hvor atburðurinn gerst á $m + n$ vegu. Sjá sýnidæmi 1.
Ef einn atburður getur gerst á $m$ vegu og annar atburður getur gerst á $n$ vegu eftir að sá fyrri hefur gerst, geta báðir atburðirnir gerst á $m \times n$ vegu. Sjá sýnidæmi 2.
Umröðun er röðun $n$ hluta.
Ef við höfum mengi með $n$ hlutum og viljum velja $r$ hluti úr menginu í tiltekinni röð skrifum við $P (n, r) .$
Leysa má umröðunarverkefni með margföldunarlögmálinu eða formúlunni fyrir $P (n, r) .$ Sjá sýnidæmi 3 og sýnidæmi 4.
Val hluta þar sem röðin skiptir ekki máli nefnist samantekt.
Ef gefnir eru $n$ aðgreinanlegir hlutir er fjöldi leiða til að velja $r$ hluti úr menginu $C (n, r)$ og má finna hann með formúlu. Sjá sýnidæmi 5.
Mengi með $n$ aðgreinanlegum hlutum hefur $2^{n}$ hlutmengi. Sjá sýnidæmi 6.
Í talningarverkefnum með hlutum sem eru ekki allir aðgreinanlegir þarf að deila til að telja ekki sömu umraðanirnar oftar en einu sinni. Sjá sýnidæmi 7.

11.6 Tvíliðusetningin

$(\begin{matrix} n \\ r \end{matrix})$ nefnist tvíliðustuðull og er jafnt $C (n, r) .$ Sjá sýnidæmi 1.
Með tvíliðusetningunni má liða tvíliður án margföldunar. Sjá sýnidæmi 2.
Finna má tiltekinn lið tvíliðuliðunar án þess að liða tvíliðuna að fullu. Sjá sýnidæmi 3.

11.7 Líkur

Líkur eru alltaf tala milli 0 og 1, þar sem 0 táknar ómögulegan atburð og 1 öruggan atburð.
Summa líkna í líkindalíkani verður að vera 1. Sjá sýnidæmi 1.
Þegar allar útkomur tilraunar eru jafnlíklegar má finna líkur atburðar með því að deila fjölda útkoma í atburðinum með heildarfjölda útkoma í úrtaksrúmi tilraunarinnar. Sjá sýnidæmi 2.
Til að finna líkur sammengis tveggja atburða leggjum við saman líkur atburðanna og drögum frá líkurnar á að báðir gerist samtímis. Sjá sýnidæmi 3.
Til að finna líkur sammengis tveggja ósamrýmanlegra atburða leggjum við saman líkur hvors atburðar. Sjá sýnidæmi 4.
Líkur fylliatburðar eru mismunurinn á 1 og líkunum á að atburðurinn gerist. Sjá sýnidæmi 5.
Í sumum líkindaverkefnum þarf að nota umraðanir og samantektir til að finna fjölda staka í atburðum og úrtaksrúmum. Sjá sýnidæmi 6.