Í mörgum störfum hækkar launagreiðsla árlega vegna framfærslukostnaðar svo launin haldi í við verðbólgu. Gerum til dæmis ráð fyrir að nýútskrifaður háskólanemi fái starf sem sölustjóri með $26,000 í árslaun. Honum er lofað 2% launahækkun vegna framfærslukostnaðar á hverju ári. Finna má árslaunin á hverju ári með því að margfalda laun fyrra árs með 102%. Launin verða $26,520 eftir eitt ár, $27,050.40 eftir tvö ár, $27,591.41 eftir þrjú ár og svo framvegis. Þegar laun hækka árlega um fast hlutfall vaxa þau með föstum margföldunarstuðli. Í þessum hluta skoðum við runur sem vaxa með þessum hætti.
Hlutfallstala fundin
Árslaunin sem lýst var mynda kvótarunu vegna þess að þau breytast með föstum margföldunarstuðli á hverju ári. Hver liður kvótarunu hækkar eða lækkar með föstum stuðli sem kallast hlutfallstala. Runan hér á eftir er dæmi um kvótarunu þar sem hver liður vex með fasta stuðlinum 6. Næsti liður fæst með því að margfalda hvaða lið rununnar sem er með hlutfallstölunni 6.
Dæmi 1
Hlutfallstala fundin
Er runan kvótaruna? Finnið hlutfallstöluna ef svo er.
ⓐ 1,2,4,8,16,...
ⓑ 48,12,4, 2,...
Lausn
Deilið hverjum lið með liðnum á undan til að ákvarða hvort hlutfallstala sé til staðar.
ⓐ
Runan er kvótaruna vegna þess að hún hefur hlutfallstölu. Hlutfallstalan er 2.
ⓑ
Runan er ekki kvótaruna vegna þess að hún hefur enga hlutfallstölu.
Greining
Graf hvorrar runu er sýnt á mynd 1. Af gröfunum virðist sem bæði (a) og (b) hafi lögun grafs vísisfalls í þessum sýniglugga. Við vitum þó að (a) er kvótaruna og þar gildir þessi túlkun, en (b) er það ekki.
Mynd 1
Liðir kvótaruna skrifaðir
Nú þegar við getum þekkt kvótarunu lærum við að finna liði hennar þegar fyrsti liðurinn og hlutfallstalan eru gefin. Liðir kvótarunu fást með því að byrja á fyrsta liðnum og margfalda endurtekið með hlutfallstölunni. Ef fyrsti liður kvótarunu er til dæmis og hlutfallstalan er finnum við næstu liði með því að margfalda og fá , − 8 margfalda síðan niðurstöðuna og fá og svo framvegis.
The first four terms are
Dæmi 2
Liðir kvótarunu skrifaðir
Skráið fyrstu fjóra liði kvótarununnar þar sem og
Lausn
Margfaldið með til að finna Endurtakið ferlið og notið til að finna 𝑎 3
og svo framvegis.
The first four terms are {5,–10,20,–40}.
Rakningarformúlur kvótaruna notaðar
Með rakningarformúlu má finna hvaða lið kvótarunu sem er út frá liðnum á undan. Hver liður er margfeldi hlutfallstölunnar og fyrri liðarins. Gerum til dæmis ráð fyrir að hlutfallstalan sé 9. Þá er hver liður nífaldur liðurinn á undan. Eins og ávallt þegar rakningarformúla er notuð þarf að gefa upphafsliðinn.
Dæmi 3
Rakningarformúlur kvótaruna notaðar
Skrifið rakningarformúlu fyrir eftirfarandi kvótarunu.
Lausn
Fyrsti liðurinn er gefinn sem 6. Finna má hlutfallstöluna með því að deila öðrum liðnum með fyrsta liðnum.
Setjið hlutfallstöluna inn í rakningarformúlu kvótarunu og skilgreinið
Greining
Gagnapunktarnir fylgja vísismynstri. Hlutfallstalan er einnig grunntala vísisfalls, eins og sýnt er á mynd 2.
Mynd 2
Lokuð form kvótaruna notuð
Kvótaruna er vísisfall með mengi jákvæðu heiltalnanna að skilgreiningarmengi og hlutfallstalan er grunntala fallsins. Því getum við skrifað lokuð form sem gera okkur kleift að finna tiltekna liði.
Skoðum rununa Þetta er kvótaruna með hlutfallstöluna 2 og vísisfall með grunntöluna 2. Lokað form rununnar er
Skrifa má rununa út frá upphafsliðnum og hlutfallstölunni
Finnið hlutfallstöluna með því að nota gefna fjórða liðinn.
Finnið annan liðinn með því að margfalda fyrsta liðinn með hlutfallstölunni.
Greining
Hlutfallstalan er margfölduð einu sinni með fyrsta liðnum til að finna annan liðinn, tvisvar til að finna þriðja liðinn, þrisvar til að finna fjórða liðinn og svo framvegis. Tíunda liðinn mætti finna með því að margfalda fyrsta liðinn níu sinnum með hlutfallstölunni eða margfalda hann með níunda veldi hennar.
Dæmi 5
Lokað form n -ta liðar kvótarunu skrifað
Skrifið lokað form fyrir lið eftirfarandi kvótarunu.
Lausn
Fyrsti liðurinn er 2. Finna má hlutfallstöluna með því að deila öðrum liðnum með fyrsta liðnum.
Hlutfallstalan er 5. Setjið hlutfallstöluna og fyrsta lið rununnar inn í formúluna.
Graf þessarar runu á mynd 4 sýnir vísismynstur.
Mynd 4
Hagnýt verkefni leyst með kvótarunum
Í raunverulegum verkefnum með kvótarunum getur þurft að nota upphafsliðinn í stað Í slíkum verkefnum má breyta lokaða forminu lítillega og nota eftirfarandi formúlu:
Dæmi 6
Hagnýt verkefni leyst með kvótarunum
Árið 2013 eru 284 nemendur í litlum skóla. Áætlað er að nemendafjöldinn aukist um 4% á ári.
ⓐ Skrifið formúlu fyrir nemendafjöldann.
ⓑ Áætlið nemendafjöldann árið 2020.
Lausn
ⓐ
Lýsa má aðstæðunum með kvótarunu með upphafsliðinn 284. Nemendafjöldinn verður 104% af fjölda fyrra árs og því er hlutfallstalan 1.04. Látum
tákna nemendafjöldann og fjölda ára frá 2013. Með lokaða forminu fyrir kvótarunu fæst
ⓑ
Við finnum fjölda ára frá 2013 með frádrætti.
Við leitum að nemendafjöldanum eftir 7 ár. Við setjum 7 í stað til að áætla nemendafjöldann árið 2020.
Nemendafjöldinn verður um 374 árið 2020.
11.3 Verkefni hlutans
Munnleg verkefni
1.
Hvað er kvótaruna?
2.
Hvernig er hlutfallstala kvótarunu fundin?
3.
Hvernig er ákvarðað hvort runa sé kvótaruna?
4.
Hver er munurinn á jafnmunarunu og kvótarunu?
5.
Lýsið því að hvaða leyti vísisföll og kvótarunur eru lík og að hvaða leyti þau eru ólík.
Algebruverkefni
Finnið hlutfallstölu kvótarununnar í eftirfarandi verkefnum.
6.
1,3,9,27,81,...
7.
−0.125,0.25,−0.5,1,−2,...
8.
−2,−12,−18,−132,−1128,...
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort runan sé kvótaruna. Finnið hlutfallstöluna ef svo er.
9.
−6,−12,−24,−48,−96,...
10.
5,5.2,5.4,5.6,5.8,...
11.
−1,12,−14,18,−116,...
12.
6,8,11,15,20,...
13.
0.8,4,20,100,500,...
Skrifið í eftirfarandi verkefnum fyrstu fimm liði kvótarununnar þegar fyrsti liðurinn og hlutfallstalan eru gefin.
14.
𝑎1=8,𝑟=0.3
15.
𝑎1=5,𝑟=15
Skrifið í eftirfarandi verkefnum fyrstu fimm liði kvótarununnar þegar einhverjir tveir liðir eru gefnir.
16.
𝑎7=64,𝑎10=512
17.
𝑎6=25,𝑎8=6.25
Finnið í eftirfarandi verkefnum tilgreindan lið kvótarununnar þegar fyrsti liðurinn og hlutfallstalan eru gefin.
18.
Fyrsti liðurinn er og hlutfallstalan er Finnið 5 -ti liðinn.
19.
Fyrsti liðurinn er 16 og hlutfallstalan er Finnið 4 -ti liðinn.
Finnið í eftirfarandi verkefnum tilgreindan lið kvótarununnar þegar fyrstu fjórir liðirnir eru gefnir.
20.
𝑎𝑛={−1,2,−4,8,...}. Find 𝑎12.
21.
𝑎𝑛={−2,23,−29,227,...}. Find 𝑎7.
Skrifið fyrstu fimm liði kvótarununnar í eftirfarandi verkefnum.
22.
𝑎1=−486,𝑎𝑛=−13𝑎𝑛−1
23.
𝑎1=7,𝑎𝑛=0.2𝑎𝑛−1
Skrifið rakningarformúlu fyrir hverja kvótarunu í eftirfarandi verkefnum.
24.
𝑎𝑛={−1,5,−25,125,...}
25.
𝑎𝑛={−32,−16,−8,−4,...}
26.
𝑎𝑛={14,56,224,896,...}
27.
𝑎𝑛={10,−3,0.9,−0.27,...}
28.
𝑎𝑛={0.61,1.83,5.49,16.47,...}
29.
𝑎𝑛={35,110,160,1360,...}
30.
𝑎𝑛={−2,43,−89,1627,...}
31.
𝑎𝑛={1512,−1128,132,−18,...}
Skrifið fyrstu fimm liði kvótarununnar í eftirfarandi verkefnum.
32.
𝑎𝑛=−4⋅5𝑛−1
33.
𝑎𝑛=12⋅(−12)𝑛−1
Skrifið lokað form fyrir hverja kvótarunu í eftirfarandi verkefnum.
34.
𝑎𝑛={−2,−4,−8,−16,...}
35.
𝑎𝑛={1,3,9,27,...}
36.
𝑎𝑛={−4,−12,−36,−108,...}
37.
𝑎𝑛={0.8,−4,20,−100,...}
38.
𝑎𝑛={−1.25,−5,−20,−80,...}
39.
𝑎𝑛={−1,−45,−1625,−64125,...}
40.
𝑎𝑛={2,13,118,1108,...}
41.
𝑎𝑛={3,−1,13,−19,...}
Finnið tilgreindan lið gefinnar kvótarunu í eftirfarandi verkefnum.
42.
Látum Finnið
43.
Látum Finnið
Finnið fjölda liða í gefinni endanlegri kvótarunu í eftirfarandi verkefnum.
44.
𝑎𝑛={−1,3,−9,...,2187}
45.
𝑎𝑛={2,1,12,...,11024}
Grafísk verkefni
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort grafið sem sýnt er tákni kvótarunu.
46.
47.
Notið gefnar upplýsingar í eftirfarandi verkefnum til að teikna graf fyrstu fimm liða kvótarununnar.
48.
𝑎1=1,𝑟=12
49.
𝑎1=3,𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1
50.
𝑎𝑛=27⋅0.3𝑛−1
Viðbótarverkefni
51.
Notið rakningarformúlur til að gefa tvö dæmi um kvótarunur þar sem 3 rd liðir eru
52.
Notið lokuð form til að gefa tvö dæmi um kvótarunur þar sem 7 -ti liðir eru
53.
Find the 5-ti term of the geometric sequence {𝑏,4𝑏,16𝑏,...}.
54.
Find the 7-ti term of the geometric sequence {64𝑎(−𝑏),32𝑎(−3𝑏),16𝑎(−9𝑏),...}.
55.
Við hvaða lið fer runan {10,12,14.4,17.28,...} yfir 100?
56.
Frá og með hvaða lið tekur runan {12187,1729,1243,181...} heiltölugildi?
57.
Við hvaða lið tekur kvótarunan fyrst gildi sem er ekki heiltala?
58.
Notið rakningarformúlu til að skrifa kvótarunu með heiltölu sem hlutfallstölu. Sýnið fyrstu fjóra liðina og finnið síðan 10 -ti liðinn.
59.
Notið lokað form til að skrifa kvótarunu með tugabrot milli 0 og 1 sem hlutfallstölu. Sýnið fyrstu 4 liðina og finnið síðan 8 -ti liðinn.
60.
Getur runa verið bæði jafnmunaruna og kvótaruna? Gefið dæmi ef svo er.
