Leysa talningarverkefni með samlagningarlögmálinu.
Leysa talningarverkefni með margföldunarlögmálinu.
Leysa talningarverkefni um umröðun n aðgreinanlegra hluta.
Leysa talningarverkefni með samantektum.
Finna fjölda hlutmengja gefins mengis.
Leysa talningarverkefni um umröðun n hluta sem eru ekki allir aðgreinanlegir.
Nýtt fyrirtæki selur sérsniðin hulstur fyrir spjaldtölvur og snjallsíma. Hvert hulstur er fáanlegt í ýmsum litum og gegn aukagjaldi má gera það persónulegt með myndum eða fangamarki. Viðskiptavinur getur sleppt persónulegri útfærslu eða valið eina, tvær eða þrjár myndir eða fangamark. Hann getur einnig valið röð myndanna og stafanna í fangamarkinu. Fyrirtækið vinnur með auglýsingastofu að markaðsherferð sem leggur áherslu á gríðarlegan fjölda valkosta. Það er krefjandi að telja alla möguleikana!
Við rekumst daglega á margs konar talningarverkefni. Sérstök grein stærðfræðinnar, talningarfræði, fjallar um slík verkefni. Talning er einnig notuð við gerð öruggra lykilorða, greiningu útkoma í kappreiðum og val á stundatöflum í háskólum. Í þessum hluta skoðum við slíka stærðfræði.
Samlagningarlögmálið notað
Fyrirtækið sem selur sérsniðin hulstur býður hulstur fyrir spjaldtölvur og snjallsíma. Stuðningur er við 3 gerðir spjaldtölva og 5 gerðir snjallsíma. Samlagningarlögmálið segir að leggja megi fjölda spjaldtölvukosta við fjölda snjallsímakosta til að finna heildarfjöldann. Samkvæmt samlagningarlögmálinu eru valkostirnir alls 8, eins og sést á mynd 1.
Dæmi 1
Samlagningarlögmálið notað
Á kvöldverðarseðli eru 2 grænmetisréttir og 5 kjötréttir. Hver er heildarfjöldi aðalrétta sem velja má um?
Lausn
Við leggjum fjölda grænmetisrétta við fjölda kjötrétta til að finna heildarfjölda aðalrétta.
Valkostirnir eru alls 7.
Margföldunarlögmálið notað
Margföldunarlögmálið á við þegar valin eru fleiri en eitt atriði. Gerum ráð fyrir að velja eigi forrétt, aðalrétt og eftirrétt. Ef á fastverðsmatseðli eru 2 forréttir, 3 aðalréttir og 2 eftirréttir eru samtals 12 mögulegar máltíðir með einum rétti af hverri tegund, eins og trjáritið á mynd 2 sýnir.
Möguleikarnir eru:
súpa, kjúklingur, kaka
súpa, kjúklingur, búðingur
súpa, fiskur, kaka
súpa, fiskur, búðingur
súpa, steik, kaka
súpa, steik, búðingur
salat, kjúklingur, kaka
salat, kjúklingur, búðingur
salat, fiskur, kaka
salat, fiskur, búðingur
salat, steik, kaka
salat, steik, búðingur
Einnig má finna heildarfjölda mögulegra máltíða með margföldun.
Með margföldunarlögmálinu má því einnig álykta beint að mögulegar máltíðir séu 12.
Dæmi 2
Margföldunarlögmálið notað
Diane tók með sér 2 pils, 4 blússur og 2 peysur í vinnuferð. Fyrir hvern klæðnað þarf hún að velja pils og blússu og ákveða hvort hún klæðist peysunni. Notið margföldunarlögmálið til að finna heildarfjölda mögulegra klæðnaða.
Lausn
Finnið margfeldi fjölda pilskosta, blóssukosta og peysukosta til að finna heildarfjölda klæðnaða.
Mögulegir klæðnaðir eru 16.
Fjöldi umröðana n aðgreinanlegra hluta fundinn
Margföldunarlögmálið má nota til að leysa margs konar verkefni. Ein tegund verkefna felst í að raða hlutum. Við röðum stöfum í orð og tölustöfum í tölur, stillum okkur upp fyrir myndatökur, skreytum herbergi og fleira. Tiltekin röðun hluta nefnist umröðun.
Fjöldi umröðana n aðgreinanlegra hluta fundinn með margföldunarlögmálinu
Við lausn umröðunarverkefna er oft gagnlegt að teikna strik fyrir hvert sæti. Þannig má ákvarða fjölda kosta í hverju sæti og margfalda síðan. Gerum til dæmis ráð fyrir að við höfum fjögur málverk og viljum finna á hve marga vegu má hengja þrjú þeirra í röð á vegg. Við teiknum þrjú strik fyrir sætin þrjú á veggnum.
Fjórir kostir eru fyrir fyrsta sætið og því skrifum við 4 á fyrsta strikið.
Eftir að fyrsta sætið hefur verið fyllt eru þrír kostir fyrir annað sætið og því skrifum við 3 á annað strikið.
Eftir að annað sætið hefur verið fyllt eru tveir kostir fyrir þriðja sætið og því skrifum við 2 á þriðja strikið. Að lokum finnum við margfeldið.
Mögulegar umraðanir málverkanna eru 24.
Dæmi 3
Fjöldi umröðana fundinn með margföldunarlögmálinu
Níu sundmenn keppa í sundmóti.
ⓐ Á hve marga vegu geta þeir lent í fyrsta, öðru og þriðja sæti?
ⓑ Á hve marga vegu geta þeir lent í fyrsta, öðru og þriðja sæti ef keppandi að nafni Ariel vinnur? (Gerið ráð fyrir að aðeins einn keppandi heiti Ariel.)
ⓒ Á hve marga vegu geta sundmennirnir níu stillt sér upp fyrir myndatöku?
Lausn
ⓐ Teiknið strik fyrir hvert
sæti. Kostirnir fyrir fyrsta sætið eru 9. Eftir að einhver hefur unnið fyrsta sætið eru 8 kostir eftir fyrir annað sætið. Eftir að fyrsta og annað sætið hafa verið ákveðin eru 7 kostir eftir fyrir
þriðja sætið. Margfaldið til að finna að mögulegar úrslitaraðir sundmannanna eru 504.
ⓑ Teiknið strik fyrir hvert sæti.
Ariel verður að vinna og því er aðeins 1 kostur fyrir fyrsta sætið. Síðan eru 8 kostir fyrir annað sætið og 7 kostir fyrir þriðja
sætið. Margfaldið til að finna að mögulegar úrslitaraðir eru 56 ef Ariel vinnur.
ⓒ Teiknið strik fyrir hvert sæti á myndinni.
Kostirnir fyrir fyrsta sætið eru 9, síðan 8 fyrir annað sætið, 7 fyrir þriðja sætið, 6 fyrir fjórða sætið og svo framvegis, þar til aðeins 1
manneskja er eftir fyrir síðasta sætið. Mögulegar umraðanir sundmannanna eru 362,880.
Greining
Takið eftir að í c-lið fundum við 9! leiðir fyrir 9 manneskjur til að stilla sér upp. Fjölda umröðana 𝑛 n aðgreinanlegra hluta má alltaf finna með 𝑛! n ! ..
Fimm manna fjölskylda fer í myndatöku. Notið margföldunarlögmálið til að leysa eftirfarandi verkefni.
Fjöldi umröðana n aðgreinanlegra hluta fundinn með formúlu
Í sumum umröðunarverkefnum er óhentugt að nota margföldunarlögmálið vegna þess hve margar tölur þarf að margfalda. Sem betur fer má leysa þessi verkefni með formúlu. Skoðum fyrst tvo algenga rithætti fyrir umraðanir. Ef við höfum mengi með hlutum og viljum velja hluti úr menginu í tiltekinni röð skrifum við Einnig má skrifa þetta sem sem er algengur ritháttur í tölvum og reiknivélum. Til að reikna 𝑃 ( 𝑛 , 𝑟 ) byrjum við á að finna fjölda leiða til að raða öllum hlutunum. Síðan deilum við með til að stytta burt hlutina sem við viljum ekki raða.
Skoðum einfalt dæmi. Ímyndum okkur sex manna félag sem þarf að kjósa formann, varaformann og gjaldkera. Sex geta orðið formaður, hver hinna fimm getur orðið varaformaður og hver hinna fjögurra sem eftir eru getur orðið gjaldkeri. Þetta má gera á 6 5 4 = 1 2 0 vegu. Með aðfeldum fæst sama niðurstaða.
Til eru 120 leiðir til að velja 3 embættismenn í röð úr félagi með 6 meðlimum. Þetta nefnist umröðun 6 hluta tekin 3 í einu. Almenna formúlan er eftirfarandi.
Takið eftir að formúlan gildir einnig ef við veljum alla 𝑛 n hlutina og röðum þeim. Þá deilum við með ( 𝑛 − 𝑛 )! ( n − n ) ! eða 0!, 0 ! , sem við sögðum áður að væri 1. Fjöldi umröðana 𝑛 n hluta teknum 𝑛 n í einu er því 𝑛! 1 n !/1, eða einfaldlega 𝑛! n ! ..
Dæmi 4
Fjöldi umröðana fundinn með formúlunni
Kennari býr til próf með 9 spurningum úr spurningabanka með 12 spurningum. Á hve marga vegu getur hún valið spurningarnar og raðað þeim?
Lausn
Setjið og inn í umröðunarformúluna og einfaldið.
Mögulegar umraðanir prófspurninganna eru 79,833,600!
Greining
Einnig má nota reiknivél til að finna umraðanir. Í þessu verkefni sláum við inn 12, veljum fallið
, sláum inn 9 og veljum síðan jafnaðarmerkið. Fallið
kann að vera undir valmyndinni MATH með líkindaskipunum.
Leikrit er með 7 leikurum sem búa sig undir að koma fram í lokaklappi. Notið umröðunarformúluna til að leysa eftirfarandi verkefni.
Fjöldi samantekta fundinn með formúlunni
Hingað til höfum við skoðað verkefni þar sem raða á hlutum. Í mörgum verkefnum viljum við velja nokkra hluti úr hópi án þess að röðin skipti máli. Þegar hlutir eru valdir og röðin skiptir ekki máli er um samantekt að ræða. Val á hlutum úr mengi með hlutum, þar sem röðin skiptir ekki máli, má tákna með Líkt og fyrir umraðanir má einnig skrifa sem Almenna formúlan er eftirfarandi.
Í fyrra verkefni voru valin 3 af 4 mögulegum málverkum til að hengja á vegg. Við fundum 24 leiðir til að velja 3 af málverkunum 4 í tiltekinni röð. En hvað ef röðin skipti ekki máli? Þá væri fjöldinn minni, því val á málverkum 1, 2, 3 væri sama val og 2, 3, 1. Til að finna fjölda leiða til að velja 3 af málverkunum 4, án tillits til raðar, deilum við fjölda umröðana með fjölda leiða til að raða 3 málverkum. Til eru leiðir til að raða 3 málverkum. Til eru eða 4 leiðir til að velja 3 af málverkunum 4. Þessi fjöldi er rökréttur því í hvert sinn sem við veljum 3 málverk sleppum við að velja 1 málverk. Hægt er að sleppa hverju sem er af málverkunum 4, svo til eru 4 leiðir til að velja 3 af málverkunum 4.
Dæmi 5
Fjöldi samantekta fundinn með formúlunni
Skyndibitastaður býður fimm meðlæti. Tvö meðlæti fylgja máltíðinni.
ⓐ Á hve marga vegu má velja meðlætin?
ⓑ Á hve marga vegu má velja 3 meðlæti?
Lausn
ⓐ Við viljum velja 2 meðlæti af 5 kostum.
ⓑ Við viljum velja 3 meðlæti af 5 kostum.
Greining
Einnig má nota grafreikni til að finna samantektir. Sláið inn 5, veljið síðan sláið inn 3 og veljið jafnaðarmerkið. Fallið 𝑛 𝐶 𝑟 kann að vera undir valmyndinni MATH með líkindaskipunum.
Fjöldi hlutmengja mengis fundinn
Hingað til höfum við aðeins skoðað samantektarverkefni þar sem nákvæmlega hlutir voru valdir. Í sumum verkefnum viljum við skoða val á öllum mögulegum fjölda hluta. Tökum sem dæmi pítsustað sem býður 5 áleggstegundir. Panta má hvaða fjölda áleggstegunda sem er. Hve margar mismunandi pítsur eru mögulegar?
Til að svara spurningunni þurfum við að skoða pítsur með hvaða fjölda áleggstegunda sem er. Til er leið til að panta pítsu án áleggs. Til eru leiðir til að panta pítsu með nákvæmlega einni áleggstegund. Ef við höldum áfram fæst
Mögulegar pítsur eru 32. Þessi niðurstaða er jöfn
Hér er röð valkosta. Fyrir hvern hinna hluta höfum við tvo kosti: að hafa hann með í hlutmenginu eða ekki. Við tökum því ákvarðanir, hverja með tveimur kostum. Heildarfjöldi hlutmengja er því . Þau spanna allt frá tóma menginu, sem fæst þegar svarið er „nei“ í hvert sinn, til upphaflega mengisins sjálfs, sem fæst þegar svarið er „já“ í hvert sinn.
Dæmi 6
Fjöldi hlutmengja mengis fundinn
Veitingastaður býður smjör, ost, graslauk og sýrðan rjóma sem álegg á bakaða kartöflu. Á hve marga mismunandi vegu má panta kartöfluna?
Lausn
Við leitum að fjölda hlutmengja mengis með 4 hlutum. Setjið inn í formúluna.
Mögulegar pantanir á kartöflu eru 16.
Fjöldi umröðana n hluta sem eru ekki aðgreinanlegir fundinn
Við höfum skoðað umraðanir þar sem allir hlutirnir voru aðgreinanlegir. Hvað gerist ef sumir hlutanna eru óaðgreinanlegir? Gerum til dæmis ráð fyrir límmiðaörk með 12 límmiðum. Ef allir límmiðarnir væru aðgreinanlegir væru til leiðir til að raða þeim. Hins vegar eru 4 límmiðar eins stjörnur og 3 eins tungl. Þar sem hlutirnir eru ekki allir aðgreinanlegir eru margar af umröðunum sem við töldum tvíteknar. Almenna formúlan fyrir þessar aðstæður er eftirfarandi.
Í þessu dæmi þurfum við að deila með fjölda leiða til að raða 4 stjörnunum og fjölda leiða til að raða 3 tunglunum til að finna fjölda ólíkra umröðana límmiðanna. Til eru leiðir til að raða stjörnunum og leiðir til að raða tunglunum.
Til eru 3,326,400 leiðir til að raða límmiðaörkinni.
Dæmi 7
Fjöldi umröðana n hluta sem eru ekki aðgreinanlegir fundinn
Finnið fjölda umröðana stafanna í orðinu DISTINCT.
Lausn
Stafirnir eru 8. Bæði I og T koma fyrir 2 sinnum. Setjið og inn í formúluna.
Umraðanirnar eru 10,080.
11.5 Verkefni hlutans
Munnleg verkefni
Í eftirfarandi verkefnum skal gera ráð fyrir að atburður 𝐴 A geti gerst á 𝑛 n vegu, atburður 𝐵 B geti gerst á 𝑚 m vegu og að 𝐴 og 𝐵 A og B skarist ekki.
1.
Notið samlagningarlögmál talningar til að útskýra á hve marga vegu atburður 𝐴 eða 𝐵 A eða B getur gerst.
2.
Notið margföldunarlögmál talningar til að útskýra á hve marga vegu atburðirnir 𝐴 og 𝐵 A og B geta báðir gerst.
Svarið eftirfarandi spurningum.
3.
Þegar tveir aðskildir atburðir eru gefnir, hvernig vitum við hvort nota eigi samlagningarlögmálið eða margföldunarlögmálið til að reikna mögulegar útkomur? Hvaða samtengingar geta gefið víbendingu um hvora reikniaðgerðina eigi að nota?
4.
Lýsið muninum á umröðun hluta og umröðun þar sem hlutir eru valdir úr mengi með hlutum. Sýnið hvernig hvort tveggja er reiknað.
5.
Hvað nefnist val á hlutum úr mengi með hlutum þegar röð hlutanna skiptir ekki máli? Hvaða formúla gefur fjölda mögulegra útkoma fyrir slíkt val?
Töluverkefni
Í eftirfarandi verkefnum skal ákvarða hvort nota eigi samlagningarlögmálið eða margföldunarlögmálið og reikna síðan.
6.
Látum mengið 𝐴={−5,−3,−1,2,3,4,5,6}. Á hve marga vegu má velja neikvæða tölu eða slétta tölu úr A?
7.
Látum mengið 𝐵={−23,−16,−7,−2,20,36,48,72}. Á hve marga vegu má velja jákvæða tölu eða oddatölu úr 𝐴?
8.
Á hve marga vegu má draga rauðan ás eða lauf úr venjulegum spilastokk?
9.
Á hve marga vegu má velja málningarlit úr 5 grænum litbrigðum, 4 bláum eða 7 gulum?
10.
Hve margar útkomur eru mögulegar þegar tveimur peningum er kastað?
11.
Hve margar útkomur eru mögulegar þegar peningi er kastað og 6-hliða teningi kastað?
12.
Hve marga tveggja stafa strengi má mynda þar sem fyrri stafurinn er úr 𝐴 og sá síðari úr 𝐵— ef 𝐴={𝑏,𝑐,𝑑} og 𝐵={𝑎,𝑒,𝑖,𝑜,𝑢}?
13.
Á hve marga vegu má mynda streng með 3 tölustöfum ef endurtaka má tölur?
14.
Á hve marga vegu má mynda streng með 3 tölustöfum ef ekki má endurtaka tölur?
Reiknið gildi segðarinnar í eftirfarandi verkefnum.
15.
𝑃(5,2)
16.
𝑃(8,4)
17.
𝑃(3,3)
18.
𝑃(9,6)
19.
𝑃(11,5)
20.
𝐶(8,5)
21.
𝐶(12,4)
22.
𝐶(26,3)
23.
𝐶(7,6)
24.
𝐶(10,3)
Finnið fjölda hlutmengja í hverju gefnu mengi í eftirfarandi verkefnum.
25.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
26.
{𝑎,𝑏,𝑐,…,𝑧}
27.
Mengi með 5 aðgreinanlegum tölum, 4 aðgreinanlegum stöfum og 3 aðgreinanlegum táknum
28.
Mengi sléttra talna frá 2 til 28
29.
Mengi tveggja stafa talna milli 1 og 100 sem innihalda tölustafinn 0
Finnið fjölda ólíkra umröðana í eftirfarandi verkefnum.
30.
Stafirnir í orðinu „juggernaut“
31.
Stafirnir í orðinu „academia“
32.
Stafirnir í orðinu „academia“ þar sem umröðunin byrjar og endar á „a“
33.
Táknin í strengnum #,#,#,@,@,$,$,$,%,%,%,%
34.
Táknin í strengnum #,#,#,@,@,$,$,$,%,%,%,% þar sem strengurinn byrjar og endar á „%“
Frekari verkefni
35.
Mengið samanstendur af heilum tölum sem hafa allar sama fjölda tölustafa. Hve marga tölustafi hefur tala úr (Vísbending: Notið að heil tala getur ekki byrjað á tölustafnum 0.)
36.
Fjöldi 5-staka hlutmengja í mengi með stökum er jafn fjölda 6-staka hlutmengja í sama mengi. Hvert er gildi (Vísbending: Röðin sem stök hlutmengjanna eru valin í skiptir ekki máli.)
37.
Getur nokkurn tíma verið jafnt Útskýrið.
38.
Gerum ráð fyrir að mengið hafi 2,048 hlutmengi. Hve margir aðgreinanlegir hlutir eru í
39.
Hve margar umraðanir má mynda úr stöfum orðsins „mountains“ ef allir sérhljóðarnir verða að mynda samfelldan streng?
Hagnýt verkefni
40.
Fjölskylda með 2 foreldra og 3 börn stillir sér upp fyrir mynd með 2 fjölskyldumeðlimi fremst og 3 fyrir aftan.
ⓐ Hve margar umraðanir eru mögulegar án takmarkana?
ⓑ Hve margar umraðanir eru mögulegar ef foreldrarnir verða að sitja fremst?
ⓒ Hve margar umraðanir eru mögulegar ef foreldrarnir verða að vera hlið við hlið?
41.
Farsímafyrirtæki býður 6 mismunandi talpakka og 8 mismunandi gagnapakka. Af þeim innihalda 3 pakkar bæði tal og gögn. Á hve marga vegu má velja annaðhvort tal eða gögn en ekki hvort tveggja?
42.
Í kappreiðum nefnist „þríhestaspá“ það þegar veðjandi velur fyrstu þrjú hestana í nákvæmri röð (fyrsta sæti, annað sæti og þriðja sæti). Hve margar mismunandi þríhestaspár eru mögulegar ef 14 hestar eru í hlaupinu?
43.
Heildsala með boli býður stærðirnar small, medium, large og extra-large í lífrænni eða ólífrænni bómull og litina hvítan, svartan, gráan, bláan og rauðan. Hve margar mismunandi gerðir bola má velja um?
44.
Hector vill setja upp auglýsingaskilti víðs vegar um sýsluna fyrir nýja fyrirtækið sitt. Á hve marga vegu getur hann valið 15 hverfi til að auglýsa í ef hverfin í sýslunni eru 30?
45.
Listvöruverslun er með 4 vörumerki málningarpenna í 12 litum og með 3 blektegundum. Um hve marga málningarpenna er að velja?
46.
Á hve marga vegu má mynda nefnd með 3 nýnemum og 4 nemendum á þriðja ári úr hópi nýnema og nemenda á þriðja ári?
47.
Á hve marga vegu getur hafnaboltaþjálfari raðað 9 kylfingum ef leikmenn liðsins eru 15?
48.
Hljómsveitarstjóri þarf 5 sellóleikara og 5 fiðluleikara fyrir viðburð í þágu utanríkismála. Hann raðar 10 sellóleikurum og 16 fiðluleikurum hljómsveitarinnar eftir tónlistarhæfni. Hvert er hlutfall heildarfjölda mögulegra raðana sellóleikara og heildarfjölda mögulegra raðana fiðluleikara?
49.
Mótorhjólaverslun er með 10 chopper-hjól, 6 bobber-hjól og 5 café racer-hjól, sem eru mismunandi gerðir fornhjóla. Á hve marga vegu getur verslunin valið 3 chopper-hjól, 5 bobber-hjól og 2 café racer-hjól fyrir helgarsýningu?
50.
Hjólabrettaverslun selur 10 gerðir bretta, 3 gerðir hjólastella og 4 gerðir hjóla. Hve mörg mismunandi hjólabretti má setja saman?
51.
Just-For-Kicks-skófyrirtækið býður sérsnið á netinu. Á hve marga vegu má hanna sérsniðið par af Just-For-Kicks-skóm ef viðskiptavinur getur valið grunnskó og allt að 11 sérsniðsvalkosti?
52.
Bílaþvottastöð býður eftirfarandi aukaval við grunnþvott: glæra vaxhúð, þriggja froðutegunda bón, undirvagnsþvott, ryðvörn, felguhreinsun, loftfrískara og innanhússjampó. Hve margar mismunandi þvottaleiðir eru mögulegar ef bæta má hvaða fjölda aukavalkosta sem er við grunnþvottinn?
53.
Suni keypti 20 plöntur til að raða meðfram jaðri garðsins. Hve margar ólíkar umraðanir getur hún myndað ef plönturnar eru 6 túlípanar, 6 rósir og 8 baldursbrár?
54.
Á hve marga ólíka vegu má raða jólaseríu með 9 rauðum, 10 grænum, 6 hvítum og 12 gulllitum perum?
