Ákvarða skilgreiningarmengi og myndmengi andhverfs falls og takmarka skilgreiningarmengi falls svo að það verði eintækt.
Finna andhverfu falls eða reikna gildi hennar.
Nota graf eintæks falls til að teikna graf andhverfu þess í sama hnitakerfi.
Varmadæla með viðsnúanlegum hringrásarferli er loftslagsstýring sem sameinar loftkælingu og upphitun í einu tæki. Þegar hún gengur í aðra áttina dælir hún varma úr húsi og kælir það. Þegar hringrásinni er snúið við dælir hún varma utan frá inn í bygginguna, jafnvel í svölu veðri, og hitar hana. Sem hitunartæki er varmadæla margfalt skilvirkari en hefðbundin rafhitun með viðnámi.
Ef sumar efnislegar vélar geta gengið í báðar áttir má spyrja hvort sumar fallavélarnar sem við höfum skoðað geti einnig gengið aftur á bak. Mynd 1 sýnir spurninguna myndrænt. Í þessum hluta skoðum við viðsnúanleika falla.
Mynd 1. Getur fallavél gengið aftur á bak?
Staðfest að tvö föll séu andhverf
Betty er á leið til Mílanó á tískusýningu og vill vita hvert hitastigið verður. Hún þekkir ekki Celsíuskvarðann. Til að átta sig á tengslum hitamælinganna vill hún umreikna 75 gráður á Fahrenheit í gráður á Celsíus með formúlunni
og setur 75 inn fyrir til að reikna
Betty veit nú að þægilegur hiti, 75 gráður á Fahrenheit, er um 24 gráður á Celsíus. Hún skoðar vikulega veðurspá fyrir Mílanó á mynd 2 og vill umreikna öll hitastigin í gráður á Fahrenheit.
Mynd 2. Veðurspá fyrir fjóra daga, frá mánudegi til fimmtudags.
Í fyrstu íhugar Betty að nota formúluna sem hún hefur þegar fundið til að ljúka umreikningunum. Hún kann algebru og getur auðveldlega leyst jöfnuna fyrir eftir að sett hefur verið inn gildi fyrir Til að umreikna 26 gráður á Celsíus gæti hún til dæmis ritað
Eftir stutta umhugsun áttar hún sig þó á því að afar seinlegt yrði að leysa jöfnuna fyrir hvert hitastig. Þar sem auðveldara er að reikna gildi formúlu en að leysa jöfnu væri mun hentugra að hafa aðra formúlu sem tekur inn hitastig á Celsíus og skilar hitastigi á Fahrenheit.
Formúlan sem Betty leitar að samsvarar hugmyndinni um andhverft fall, það er fall þar sem inntak upphaflega fallsins verður úttak andhverfa fallsins og úttak upphaflega fallsins verður inntak andhverfa fallsins.
Ef fall er gefið táknum við andhverfu þess með sem lesið er andhverfa af Upphækkaða táknið er hluti af táknuninni. Það er ekki veldisvísir og táknar ekki veldið . Með öðrum orðum merkir alls ekki brotið því er umhverfa en ekki andhverfa þess.
Táknunin sem líkist veldisvísi byggist á hliðstæðu milli samskeytingar falla og margföldunar: Rétt eins og (1 er samsemdarstak margföldunar) fyrir sérhverja tölu aðra en núll, er jafnt samsemdarfallinu, það er
Þetta gildir um öll í skilgreiningarmengi Óformlega merkir það að andhverf föll „afturkalla“ áhrif hvors annars. Rétt eins og núll hefur ekki umhverfu hafa sum föll þó ekki andhverfu.
Ef fall er gefið getum við staðfest hvort annað fall sé andhverfa með því að athuga hvort bæði og gildi.
Til dæmis eru og andhverf föll.
og
Nokkur hnitapör af grafi fallsins eru (−2, −8), (0, 0) og (2, 8). Nokkur hnitapör af grafi fallsins eru (−8, −2), (0, 0) og (8, 2). Ef víxlað er á inntaki og úttaki hvers hnitapars falls liggja hnitapörin sem fást á grafi andhverfa fallsins.
Dæmi 1
Andhverft fall fundið út frá gefnu inntaks- og úttakspari
Ef fyrir tiltekið eintækt fall gildir og hver eru þá samsvarandi inntaks- og úttaksgildi andhverfa fallsins?
Lausn
Andhverfa fallsins víxlar inntaks- og úttaksstærðunum. Því gildir að ef
Ef við viljum þess í stað nefna andhverfa fallið þá er og
Greining
Takið eftir að þegar hnitapörin eru sýnd í töflu sést greinilega að víxlað hefur verið á inntaki og úttaki. Sjá töflu 1.
( x , f ( x ) )
( x , g ( x ) )
( 2 , 4 )
( 4 , 2 )
( 5 , 12 )
( 12 , 5 )
Dæmi 2
Andhverf tengsl prófuð með algebru
Ef og er þá
Lausn
Við verðum einnig að staðfesta hina formúluna.
því
Greining
Takið eftir að andhverfu aðgerðirnar eru framkvæmdar í öfugri röð við aðgerðir upphaflega fallsins.
Dæmi 3
Andhverf tengsl veldisfalla ákvörðuð
Ef (þriðja veldisfallið) og er þá
Lausn
Nei, föllin eru ekki andhverf.
Greining
Rétt andhverfa þriðja veldis er að sjálfsögðu teningsrótin þar sem einn þriðji er veldisvísir en ekki margfaldari.
Skilgreiningarmengi og myndmengi andhverfra falla fundin
Úttaksgildi fallsins eru inntaksgildi og því er myndmengi jafnframt skilgreiningarmengi Á sama hátt eru inntaksgildi úttaksgildi og því er skilgreiningarmengi myndmengi Þetta má sýna myndrænt eins og á mynd 3.
Mynd 3. Skilgreiningarmengi og myndmengi falls og andhverfu þess
Þótt fall hafi enga andhverfu er stundum hægt að búa til nýtt fall með takmörkuðu skilgreiningarmengi sem hefur andhverfu. Andhverfa er til dæmis því annað veldi „afturkallar“ kvaðratrót. Annað veldi er þó aðeins andhverfa kvaðratrótar á skilgreiningarmenginu þar sem það er myndmengi
Við getum einnig skoðað þetta frá hinni hliðinni og byrjað á annars veldis fallinu (annars stigs grunnfallinu) Þegar reynt er að finna andhverfu þess kemur upp vandamál: Sérhvert gefið úttaksgildi annars stigs fallsins samsvarar tveimur inntaksgildum, nema þegar inntakið er 0. Úttaksgildið 9 samsvarar til dæmis inntaksgildunum 3 og −3. Úttak falls verður hins vegar inntak andhverfu þess. Ef þetta inntak andhverfunnar samsvarar fleiri en einu úttaksgildi hennar (inntaksgildi upphaflega fallsins) er „andhverfan“ alls ekki fall. Með öðrum orðum er annars stigs fallið ekki eintækt. Það stenst ekki lárétta línuprófið og hefur því enga andhverfu. Fall verður að vera eintækt til að hafa andhverfu.
Ef fall er ekki eintækt getum við í mörgum tilvikum takmarkað það við þann hluta skilgreiningarmengisins þar sem það er eintækt. Við getum til dæmis búið til takmarkaða útgáfu af annars veldisfallinu með skilgreiningarmengið og þá er fallið eintækt (það stenst lárétta línuprófið) og hefur andhverfu, kvaðratrótarfallið.
Ef á er andhverfa fallið
Skilgreiningarmengi = myndmengi =
Skilgreiningarmengi = myndmengi =
Dæmi 4
Andhverfur grunnfalla fundnar
Finnið hvaða grunnföll önnur en annars stigs fallið eru ekki eintæk og finnið, ef unnt er, takmarkað skilgreiningarmengi þar sem hvert þeirra er eintækt. Grunnföllin eru rifjuð upp í töflu 2. Við takmörkum skilgreiningarmengið þannig að fallið taki hvert y-gildi nákvæmlega einu sinni.
Fastafall
Samsemdarfall
Annars stigs fall
Þriðja stigs fall
Umhverfufall
Annað veldi umhverfufalls
Teningsrótarfall
Kvaðratrótarfall
Tölugildi
Lausn
Fastafallið er ekki eintækt og ekkert skilgreiningarmengi, nema stakur punktur, gerir það eintækt. Fastafallið hefur því enga merkingarbæra andhverfu.
Takmarka má tölugildisfallið við skilgreiningarmengið þar sem það er jafnt samsemdarfallinu.
Takmarka má annað veldi umhverfufallsins við skilgreiningarmengið
Greining
Af gröfunum á mynd 4 sést að þessi föll eru ekki eintæk ef skilgreiningarmengi þeirra eru ekki takmörkuð. Bæði falla á lárétta línuprófinu. Ef fall er hins vegar takmarkað við tiltekið skilgreiningarmengi þannig að það standist lárétta línuprófið getur það haft andhverfu á því skilgreiningarmengi.
Þegar eintækt fall er gefið getum við reiknað gildi andhverfu þess fyrir tiltekin inntaksgildi eða í mörgum tilvikum sett andhverfa fallið fram í heild.
Andhverfur töflufalla fundnar
Gerum ráð fyrir að við viljum finna andhverfu falls sem er gefið í töflu. Munið að skilgreiningarmengi falls er myndmengi andhverfunnar og myndmengi fallsins er skilgreiningarmengi andhverfunnar. Því þarf að víxla á skilgreiningarmengi og myndmengi.
Hver röð (eða dálkur) inntaksgilda verður röð (eða dálkur) úttaksgilda andhverfa fallsins. Á sama hátt verður hver röð (eða dálkur) úttaksgilda röð (eða dálkur) inntaksgilda andhverfa fallsins.
Dæmi 5
Andhverfa töflufalls túlkuð
Fallið er gefið í töflu 3, sem sýnir fjarlægðina í mílum sem bifreið hefur ekið á mínútum. Finnið og túlkið
t (mínútur)
30
50
70
90
f ( t ) (mílur)
20
40
60
70
Lausn
Andhverfa fallið tekur við úttaksgildi og skilar inntaksgildi Í stæðunni er 70 því úttaksgildi upphaflega fallsins og táknar 70 mílur. Andhverfan skilar samsvarandi inntaksgildi upphaflega fallsins 90 mínútum, og því er Þetta merkir að það tók 90 mínútur að aka 70 mílur.
Einnig má rifja upp að samkvæmt skilgreiningu andhverfu gildir: Ef þá er Ef gefið er leitum við því að gildi þannig að Hér leitum við að þannig að en það gerist þegar
Gildi andhverfu falls reiknað út frá grafi upphaflega fallsins
Í kaflanum Föll og fallatáknun sáum við að lesa má skilgreiningarmengi falls af láréttri útbreiðslu grafsins. Skilgreiningarmengi andhverfs falls finnst með því að skoða lóðrétta útbreiðslu grafs upphaflega fallsins, því hún samsvarar láréttri útbreiðslu grafs andhverfunnar. Á sama hátt finnum við myndmengi andhverfs falls með því að skoða lárétta útbreiðslu grafs upphaflega fallsins, því hún er lóðrétt útbreiðsla grafs andhverfunnar. Til að reikna gildi andhverfs falls finnum við inntak þess innan skilgreiningarmengisins, sem er allur eða hluti lóðrétta ássins á grafi upphaflega fallsins.
Dæmi 6
Gildi falls og andhverfu þess reiknuð úr grafi í tilteknum punktum
Til að reikna finnum við 3 á x-ásnum og samsvarandi úttaksgildi á y-ásnum. Punkturinn sýnir að
Til að reikna rifjum við upp að samkvæmt skilgreiningu merkir það gildi x sem uppfyllir Þegar úttaksgildið 3 er fundið á lóðrétta ásnum finnum við punktinn á grafinu. Það merkir að og samkvæmt skilgreiningu er því Sjá mynd 6.
Mynd 6. Gildi fallsins g lesin af grafinu.
Andhverfur falla sem gefin eru með formúlum fundnar
Stundum þurfum við að þekkja andhverft fall fyrir öll stök skilgreiningarmengis þess en ekki aðeins nokkur. Ef upphaflega fallið er gefið með formúlu — til dæmis sem fall af getum við oft fundið andhverfa fallið með því að leysa fyrir sem fall af
Dæmi 7
Andhverfa fallsins sem umreiknar Fahrenheit í Celsíus fundin
Finnið formúlu andhverfa fallsins sem gefur hitastig á Fahrenheit sem fall af hitastigi á Celsíus.
Lausn
Með almennri lausn höfum við fundið andhverfa fallið. Ef
þá
Hér skilgreindum við fallið til að tákna umreikninginn því inntaks- og úttaksbreyturnar hafa lýsandi heiti og táknunin gæti valdið ruglingi.
Dæmi 8
Andhverft fall fundið með því að leysa jöfnu
Finnið andhverfu fallsins
Lausn
Því er eða
Greining
Skilgreiningarmengi og myndmengi innihalda ekki gildin 3 og 4, í þessari röð. og eru jöfn í tveimur punktum en eru ekki sama fallið, eins og sjá má með því að setja upp töflu 5.
x
1
2
5
f − 1 ( y )
f ( x )
3
2
5
y
Dæmi 9
Andhverfa með rótum fundin með því að leysa jöfnu
Finnið andhverfu fallsins
Lausn
Því er
Skilgreiningarmengi er Takið eftir að myndmengi er og því er skilgreiningarmengi andhverfa fallsins einnig
Greining
Formúlan sem við fundum fyrir virðist gilda fyrir öll raungildi Fallið verður þó sjálft að hafa andhverfu, nefnilega , og því verðum við að takmarka skilgreiningarmengi við svo að verði eintækt. Þetta skilgreiningarmengi er einmitt myndmengi
Andhverf föll og gröf þeirra fundin
Nú þegar við getum fundið andhverfu falls skoðum við gröf falla og andhverfa þeirra. Snúum aftur að annars stigs fallinu sem er takmarkað við skilgreiningarmengið en á því mengi er fallið eintækt og grafið er sýnt á mynd 7.
Mynd 7. Annars stigs fall með skilgreiningarmengi takmarkað við [0, ∞).
Takmörkun skilgreiningarmengisins við gerir fallið eintækt (það stenst augljóslega lárétta línuprófið) og því hefur það andhverfu á þessu takmarkaða mengi.
Við vitum þegar að andhverfa annars stigs grunnfallsins er kvaðratrótarfallið, það er Hvað gerist ef við teiknum bæði og í sama hnitakerfi og notum ásinn fyrir inntak bæði
Við sjáum skýr tengsl: Graf er speglun grafs um hornalínuna sem við köllum samsemdarlínuna og er sýnd á mynd 8.
Mynd 8. Annars stigs fall og kvaðratrótarfall á óneikvæðu skilgreiningarmengi
Þessi tengsl gilda um öll eintæk föll, því þau stafa af því að fall og andhverfa þess víxla á inntaks- og úttaksgildum. Það jafngildir því að víxla hlutverkum lóðrétta og lárétta ássins.
Dæmi 10
Andhverfa falls fundin með speglun um samsemdarlínuna
Þetta er eintækt fall og því getum við teiknað skissu af andhverfu þess. Grafið virðist hafa skilgreiningarmengið og myndmengið svo andhverfan hefur skilgreiningarmengið og myndmengið
Ef grafið er speglað um línuna speglast punkturinn í og punkturinn í Þegar andhverfan er teiknuð í sama hnitakerfi og upphaflega grafið fæst mynd 10.
Mynd 10. Fallið og andhverfa þess sýna speglun um samsemdarlínuna
1.7 Verkefni hluta
Hugtakaspurningar
1.
Hvers vegna er lárétta línuprófið gagnleg aðferð til að ákvarða hvort fall sé eintækt?
2.
Hvers vegna takmörkum við skilgreiningarmengi fallsins til að finna andhverfu þess?
3.
Getur fall verið eigin andhverfa? Útskýrið.
4.
Eru eintæk föll alltaf annaðhvort vaxandi eða minnkandi? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
5.
Hvernig er andhverfa falls fundin með algebru?
Algebra
6.
Sýnið að fallið sé eigin andhverfa fyrir allar rauntölur
Finnið fyrir hvert fall í eftirfarandi verkefnum.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Finnið skilgreiningarmengi þar sem hvert fall er eintækt og ekki minnkandi. Ritið skilgreiningarmengið með biltáknum. Finnið síðan andhverfu þegar það er takmarkað við þetta mengi.
13.
14.
15.
16.
Gefin eru föllin og
ⓐ Finnið og
ⓑ Hvað segir svarið um tengsl og
Notið samskeytingu falla til að staðfesta að og séu andhverf föll.
17.
og
18.
og
Myndræn verkefni
Notið grafteikniforrit til að ákvarða hvort hvert fall sé eintækt.
Notið graf eintæka fallsins á mynd 12 í eftirfarandi verkefnum.
Mynd 12. Graf kvaðratrótarfalls.
29.
Teiknið skissu af grafi
30.
Finnið
31.
Ef graf er sýnt í heild skal finna skilgreiningarmengi
32.
Ef graf er sýnt í heild skal finna myndmengi
Töluleg verkefni
Reiknið eða leysið í eftirfarandi verkefnum og gerið ráð fyrir að fallið sé eintækt.
33.
Ef skal finna
34.
Ef skal finna
35.
Ef finnið
36.
Ef finnið
Notið gildin í töflu 6 til að reikna eða leysa í eftirfarandi verkefnum.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f ( x )
8
0
7
4
2
6
5
3
9
1
37.
Finnið
38.
Leysið
39.
Finnið
40.
Leysið
41.
Notið töfluframsetningu í töflu 7 til að búa til töflu fyrir
x
3
6
9
13
14
f ( x )
1
4
7
12
16
Tækni
Finnið andhverfa fallið í eftirfarandi verkefnum. Teiknið síðan graf fallsins og andhverfu þess.
42.
43.
44.
Finnið andhverfu fallsins Notið grafteikniforrit til að finna skilgreiningarmengi og myndmengi þess. Ritið mengin með biltáknum.
Raunhæf viðfangsefni
45.
Til að umreikna gráður á Celsíus í gráður á Fahrenheit notum við formúluna Finnið andhverfa fallið, ef það er til, og útskýrið merkingu þess.
46.
Ummál hrings, , er fall af geisla hans og er gefið með Setjið geisla hrings fram sem fall af ummáli hans og nefnið fallið Finnið og túlkið merkingu þess.
47.
Bifreið ekur með jöfnum hraða, 50 mílur á klukkustund. Vegalengdin sem hún ekur í mílum er fall af tímanum í klukkustundum og er gefin með Finnið andhverfa fallið með því að setja ferðatímann fram sem fall af ekinni vegalengd. Nefnið fallið Finnið og túlkið merkingu þess.
