Mynd 1. Fjarlægðir í geimnum má mæla í allar áttir. Því er gagnlegt að skoða fjarlægðir með tölugildum. (mynd: „s58y“/Flickr)
Fram á þriðja áratug 20. aldar var talið að svonefndar þyrilþokur væru ryk- og gasský í okkar eigin vetrarbraut, í nokkurra tugþúsunda ljósára fjarlægð. Þá sannaði stjörnufræðingurinn Edwin Hubble að þessi fyrirbæri væru sjálfstæðar vetrarbrautir í milljóna ljósára fjarlægð. Nú geta stjörnufræðingar greint vetrarbrautir í milljarða ljósára fjarlægð. Fjarlægðir í alheiminum má mæla í allar áttir. Því er gagnlegt að lýsa fjarlægð með tölugildisfalli. Í þessum hluta skoðum við tölugildisföll.
Skilningur á tölugildi
Munið að grunnform tölugildisfallsins er og að það er eitt af grunnföllunum okkar. Algengt er að líta svo á að tölugildisfallið gefi fjarlægð tölu frá núlli á talnalínu. Algebrulega er úttakið gildi inntaksins án tillits til formerkis.
Dæmi 1
Ákvörðun tölu innan tiltekinnar fjarlægðar
Lýsið öllum gildum sem eru í mesta lagi 4 einingar frá tölunni 5.
Lausn
Við viljum að fjarlægðin milli og 5 sé minni en eða jöfn 4. Við getum teiknað talnalínu, eins og á mynd 2, til að sýna skilyrðið sem þarf að uppfylla.
Mynd 2. Tölur í mesta lagi fjórar einingar frá 5 sýndar á talnalínu.
Fjarlægðina frá til 5 má tákna með tölugildinu Við leitum að þeim gildum sem uppfylla skilyrðið
Greining
Takið eftir að
Því jafngildir því að
Stærðfræðingar kjósa þó yfirleitt tölugildisrithátt.
Dæmi 2
Viðnám viðnámsþáttar
Rafíhlutir, svo sem viðnám og þéttar, hafa tilgreind gildi fyrir rekstrarstærðir sínar, meðal annars viðnám og rýmd. Vegna ónákvæmni í framleiðslu eru raunveruleg gildi þessara stærða þó lítillega breytileg milli eintaka, jafnvel þótt þau eigi að vera eins. Framleiðendur geta í mesta lagi leitast við að tryggja að frávikið haldist innan tiltekinna marka, oft eða
Gerum ráð fyrir viðnámi sem er merkt 680 óm, Notið tölugildisfall til að lýsa mögulegum gildum raunverulegs viðnáms.
Lausn
5% af 680 ómum eru 34 óm. Tölugildi mismunarins á raunverulegu og uppgefnu viðnámi má ekki vera meira en tilgreint frávik. Ef viðnámið er mælt í ómum fæst því
Teikning grafs tölugildisfalls
Mest áberandi einkenni grafs tölugildisfalls er hornpunkturinn þar sem grafið skiptir um stefnu. Þessi punktur er í upphafspunktinum á mynd 3.
Mynd 3. Graf tölugildisfallsins y = |x|.
Mynd 4 sýnir grafið Grafið hefur verið hliðrað um 3 einingar til hægri, teygt lóðrétt með stuðlinum 2 og hliðrað um 4 einingar upp. Hornpunkturinn er því í hjá þessu ummyndaða falli.
Mynd 4. Hliðranir og lóðrétt teygja á grafi tölugildisfallsins.
Mynd 5. Graf tölugildisfalls með hornpunkt í (3, −2).
Lausn
Grunntölugildisfallið skiptir um stefnu í upphafspunktinum. Þessu grafi hefur því verið hliðrað um 3 einingar til hægri og 2 einingar niður miðað við grunnfallið. Sjá mynd 6.
Mynd 6. Tölugildisfallið og tvær ummyndanir þess.
Við sjáum einnig að grafið virðist hafa verið teygt lóðrétt. Breidd lokagrafsins á láréttri línu er ekki tvöföld lóðrétta fjarlægðin frá hornpunktinum að línunni eins og væri hjá óteygðu tölugildisfalli. Breiddin er þess í stað jöfn lóðréttu fjarlægðinni eins og sýnt er á mynd 7.
Mynd 7. Breytingar á halla greina tölugildisgrafs sýndar með hlutföllum.
Af þessum upplýsingum getum við ritað jöfnuna
Greining
Takið eftir að þessar jöfnur eru algebrulega jafngildar. Teygju tölugildisfalls má rita sem lóðrétta eða lárétta teygju eða samþjöppun. Takið einnig eftir að ef lóðrétti teygjustuðullinn er neikvæður speglast grafið jafnframt um x-ásinn.
Mynd 8. (a) Tölugildisfallið sker ekki lárétta ásinn. (b) Tölugildisfallið sker lárétta ásinn í einum punkti. (c) Tölugildisfallið sker lárétta ásinn í tveimur punktum.
Lausn tölugildisjöfnu
Nú þegar við getum teiknað graf tölugildisfalls lærum við að leysa tölugildisjöfnu. Til að leysa jöfnu eins og tökum við eftir að tölugildið verður 8 ef stæðan innan tölugildismerkisins er 8 eða −8. Því fást tvær ólíkar jöfnur sem við getum leyst hvora í sínu lagi.
Gagnlegt er að kunna að leysa dæmi með tölugildisföllum. Við gætum til dæmis þurft að finna tölur eða punkta á línu sem eru í tiltekinni fjarlægð frá gefnum viðmiðunarpunkti.
Hugtakið tölugildisjafna merkir jöfnu þar sem óþekkta breytan kemur fyrir innan tölugildismerkja. Til dæmis
Dæmi 4
Núllstöðvar tölugildisfalls fundnar
Gefið er fallið , og finna á þau gildi
sem uppfylla
.
Lausn
Setjið 0 í stað f(x).
Einangrið tölugildið öðrum megin jafnaðarmerkisins.
Mynd 9. Núllstöðvar tölugildisfallsins merktar á x-ásinn.
Dæmi 5
Lausn tölugildisjöfnu
Leysið
Lausn
Þegar tölugildið er einangrað öðrum megin jafnaðarmerkisins fæst eftirfarandi.
Tölugildi er alltaf óneikvætt og getur því ekki verið jafnt neikvæðri tölu. Hér sjáum við því að jafnan hefur enga lausn.
Mynd 10. Gröf tölugildisfalls og láréttrar línu sem skerast ekki.
Lausn tölugildisójöfnu
Tölugildisverkefni fela ekki alltaf í sér jöfnu. Stundum þurfum við að finna lausnir innan tiltekins gildisbils og notum þá tölugildisójöfnu. Slík ójafna er af gerðinni
þar sem stæða (og hugsanlega, en sjaldnast, ) er háð breytu Að leysa ójöfnuna felst í að finna mengi allra gilda sem uppfylla hana. Mengi lausnanna er yfirleitt bil eða sammengi tveggja bila.
Tvær meginaðferðir eru notaðar við lausn tölugildisójafna: myndræn aðferð og algebruleg. Kostur myndrænu aðferðarinnar er að lesa má lausnina með því að túlka gröf tveggja falla. Kostur algebrulegu aðferðarinnar er að hún gefur lausnir sem erfitt getur verið að lesa af grafi.
Við vitum til dæmis að allar tölur sem eru innan 200 eininga frá 0 má tákna sem
Gerum ráð fyrir að við viljum finna alla mögulega ávöxtun fjárfestingar ef hagnaðurinn gæti vikið um minna en 200 Bandaríkjadali frá 600 Bandaríkjadölum. Við getum fundið algebrulega mengi þeirra gilda
sem eru þannig að fjarlægðin milli og 600 er minni en 200. Fjarlægðina milli
og 600 táknum við með
Ávöxtunin væri því milli 400 og 800 Bandaríkjadala.
Stundum er verkefni um tölugildisójöfnu sett fram með hliðruðu, teygðu eða samþjöppuðu tölugildisfalli og þá þarf að ákvarða fyrir hvaða inntaksgildi úttak fallsins er neikvætt eða jákvætt.
Dæmi 6
Lausn tölugildisójöfnu
Leysið
Lausn
Í báðum aðferðum þurfum við fyrst að vita hvar samsvarandi jafna gildir. Hér finnum við því fyrst hvar Ástæðan er sú að tölugildisfallið er samfellt og fallgildin geta því aðeins farið úr því að vera minni en 4 í að vera stærri en 4 með því að fara í gegnum gildið 4. Leysið
Þegar komið er í ljós að tölugildið er jafnt 4 við og vitum við að grafið getur aðeins farið úr því að vera minna en 4 í að vera stærra en 4 við þessi gildi. Talnalínan skiptist því í þrjú bil:
Til að ákvarða hvenær fallið er minna en 4 getum við valið gildi á hverju bili og athugað hvort úttakið sé minna eða stærra en 4 eins og sýnt er í töflu 1.
Bil fyrir prófunargildið x
x
< 4 eða > 4 ?
x < 1
0
| 0 − 5 | = 5
Stærra en
1 < x < 9
6
| 6 − 5 | = 1
Minna en
x > 9
11
| 11 − 5 | = 6
Stærra en
Þar sem er eina bilið þar sem úttakið við prófunargildið er minna en 4 getum við ályktað að lausnin á sé eða
Við myndræna lausn getum við teiknað skissu af fallinu Til að sjá betur hvar úttaksgildin eru 4 má einnig teikna línuna eins og á mynd 11.
Mynd 11. Graf til að finna punkta sem uppfylla tölugildisójöfnu.
Við sjáum eftirfarandi:
Úttaksgildi tölugildisins eru jöfn 4 við og
Graf liggur neðan við graf á Það merkir að úttaksgildi eru minni en úttaksgildi
Tölugildið er minna en 4 milli punktanna tveggja, þegar Með biltáknum er þetta bilið
Greining
Fyrir tölugildisójöfnur gildir:
Í stað táknsins eða má nota
Í þessu dæmi mætti því nota eftirfarandi aðra lausnaleið.
Dæmi 7
Myndræn aðferð við lausn tölugildisójafna
Gefið er fallið og ákvarða á þau gildi sem gefa neikvæð fallgildi.
Lausn
Við viljum ákvarða hvar það er hvar Við byrjum á að einangra tölugildið.
Því næst leysum við jöfnuna
Nú getum við skoðað graf til að sjá hvar úttakið er neikvætt. Við athugum hvar armar grafsins liggja neðan við x-ásinn. Nákvæm lögun grafsins skiptir í raun ekki máli svo framarlega sem við vitum að það sker lárétta ásinn við og og að grafið hefur verið speglað lóðrétt. Sjá mynd 12.
Mynd 12. Graf tölugildisfalls og svæðin þar sem það liggur neðan x-ássins.
Við sjáum að graf fallsins liggur neðan við x-ásinn vinstra megin við og hægra megin við Fallgildin eru því neikvæð vinstra megin við fyrri skurðpunktinn við lárétta ásinn, og hægra megin við seinni skurðpunktinn, Þannig fæst lausn ójöfnunnar.
Með biltáknum er lausnin
1.6 Verkefni hluta
Hugtakaspurningar
1.
Hvernig er tölugildisjafna leyst?
2.
Hvernig má sjá án þess að teikna grafið hvort tölugildisfall hefur tvo skurðpunkta við x-ásinn?
3.
Við lausn tölugildisjöfnu reynist einangraði tölugildisliðurinn vera jafn neikvæðri tölu. Hvað segir það um graf tölugildisfallsins?
4.
Hvernig má nota graf tölugildisfalls til að ákvarða þau x-gildi sem gefa neikvæð fallgildi?
5.
Hvernig er tölugildisójafna leyst algebrulega?
Algebra
6.
Lýsið öllum tölum sem eru í 4 eininga fjarlægð frá tölunni 8. Setjið fram með tölugildisrithætti.
7.
Lýsið öllum tölum sem eru í einingar fjarlægð frá tölunni −4. Setjið fram með tölugildisrithætti.
8.
Lýsið því þegar fjarlægð punktsins frá 10 er að minnsta kosti 15 einingar. Setjið fram með tölugildisrithætti.
9.
Finnið öll fallgildi sem eru þannig að fjarlægðin frá til gildisins 8 er minni en 0,03 einingar. Setjið fram með tölugildisrithætti.
Leysið eftirfarandi jöfnur og setjið svörin fram með mengjarithætti.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Finnið skurðpunkta grafs hvers falls við x- og y-ásana í eftirfarandi verkefnum.
25.
26.
27.
28.
Leysið hverja ójöfnu og ritið lausnina með biltáknum.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
Myndræn verkefni
Teiknið graf tölugildisfallsins í eftirfarandi verkefnum. Merkið að minnsta kosti fimm punkta inn á hvert graf án hjálpartækja.
37.
38.
39.
Teiknið gröf gefnu fallanna án hjálpartækja.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
Tækni
53.
Notið grafteikniforrit til að teikna í skoðunarglugganum Finnið samsvarandi myndmengi og sýnið grafið.
54.
Notið grafteikniforrit til að teikna í skoðunarglugganum Finnið samsvarandi myndmengi og sýnið grafið.
Teiknið graf hvers falls með grafteikniforriti og tilgreinið skoðunargluggann.
55.
56.
Viðbótarverkefni
Leysið ójöfnuna í eftirfarandi verkefnum.
57.
58.
Finnið, ef unnt er, öll gildi þannig að engir skurðpunktar séu á grafi
59.
Finnið, ef unnt er, öll gildi þannig að engir -skurðpunktar séu á grafi
Raunhæf viðfangsefni
60.
Borgir A og B liggja á sömu austur–vesturlínu. Gerið ráð fyrir að borg A sé í upphafspunktinum. Ef fjarlægðin frá borg A til borgar B er að minnsta kosti 100 mílur og táknar fjarlægðina frá borg B til borgar A skal setja þetta fram með tölugildisrithætti.
61.
Raunverulegt hlutfall fólks sem metur Bandaríkjaþing jákvætt er 8% með 1,5% skekkjumörkum. Lýsið fullyrðingunni með tölugildisjöfnu.
62.
Nemendur sem fá einkunn innan 18 stiga frá 82 standast tiltekið próf. Ritið fullyrðinguna með tölugildisrithætti og notið breytuna fyrir einkunnina.
63.
Rennismiður þarf að framleiða legu sem víkur ekki meira en 0,01 tommu frá réttu þvermáli sem er 5,0 tommur. Notið fyrir þvermál legunnar og setjið fullyrðinguna fram með tölugildisrithætti.
64.
Vikmörk kúlulegu eru 0,01. Ef rétt þvermál legunnar á að vera 2,0 tommur og mælt þvermál hennar er tommur skal setja vikmörkin fram með tölugildisrithætti.
