Teikna gröf falla með lóðréttum og láréttum hliðrunum.
Teikna gröf falla með speglun um x-ásinn og y-ásinn.
Ákvarða út frá grafi hvort fall er jafnstætt, oddstætt eða hvorugt.
Teikna gröf falla með samþjöppun og teygju.
Sameina ummyndanir.
Mynd 1. (mynd: „Misko“/Flickr)
Við vitum öll að flatur spegill sýnir okkur rétta mynd af sjálfum okkur og því sem er fyrir aftan okkur. Þegar speglinum er hallað geta myndirnar sem við sjáum hliðrast lárétt eða lóðrétt. En hvað gerist þegar sveigjanlegur spegill er beygður? Líkt og skemmtigarðsspegill sýnir hann bjagaða mynd af okkur sem er teygð eða þjöppuð lárétt eða lóðrétt. Á svipaðan hátt getum við bjagað eða ummyndað stærðfræðileg föll svo þau henti betur til að lýsa hlutum eða ferlum í raunheimum. Í þessum hluta skoðum við nokkrar gerðir ummyndana.
Að teikna gröf falla með lóðréttum og láréttum hliðrunum
Þegar við leysum verkefni reynum við oft að lýsa aðstæðunum með stærðfræðilegu líkani í orðum, töflum, gröfum og jöfnum. Ein leið er að laga gröf grunnfallanna að aðstæðunum og byggja þannig ný líkön. Hægt er að breyta föllum á kerfisbundinn hátt til að smíða heppileg líkön fyrir verkefnin sem við leysum.
Að bera kennsl á lóðréttar hliðranir
Einföld gerð ummyndunar felst í að hliðra öllu grafi falls upp, niður, til hægri eða til vinstri. Einfaldasta hliðrunin er lóðrétt hliðrun, þar sem grafið færist upp eða niður, því þá er jákvæðum eða neikvæðum fasta bætt við fallið. Með öðrum orðum bætum við sama fastanum við úttaksgildi fallsins óháð inntakinu. Fyrir fallið hliðrast fallið lóðrétt um einingar. Dæmi er sýnt á mynd 2.
Mynd 2. Lóðrétt hliðrun um á teningsrótarfallinu
Til að sjá lóðrétta hliðrun betur skulum við hafa í huga að Því jafngildir
stæðunni Í stað hvers gildis kemur þannig að gildið hækkar eða lækkar eftir gildi Niðurstaðan er hliðrun upp eða niður.
Dæmi 1
Að bæta fasta við fall
Til að stýra hitastigi í vistvænni byggingu opnast og lokast loftrásir við þakið yfir daginn. Mynd 3 sýnir flatarmál opinna loftrása í ferfetum sem fall af tímanum Tíminn er mældur í klukkustundum frá miðnætti. Yfir sumarið ákveður umsjónarmaður byggingarinnar að reyna að stýra hitastiginu betur með því að auka flatarmál opinna loftrása um 20 ferfet allan sólarhringinn. Teiknið skissu af grafi nýja fallsins.
Mynd 3. Graf fallsins V eftir tímanum t.
Lausn
Við getum teiknað skissu af grafi nýja fallsins með því að bæta 20 við hvert úttaksgildi upphaflega fallsins. Við það hliðrast grafið lóðrétt upp eins og sýnt er á mynd 4.
Mynd 4. Grafið er hliðrað upp um 20 einingar.
Takið eftir að á mynd 4 hefur úttaksgildið hækkað um 20 fyrir hvert inntaksgildi. Ef við köllum nýja fallið getum við ritað
Táknunin lýsir tengslum inntaks og úttaks, . Úttakið fæst með því að reikna gildi fallsins fyrir sama inntak og bæta síðan 20 við niðurstöðuna. Fallið er þannig skilgreint sem ummyndun fallsins í þessu tilviki lóðrétt hliðrun upp um 20 einingar. Takið eftir að við lóðrétta hliðrun haldast inntaksgildin óbreytt en aðeins úttaksgildin breytast. Sjá töflu 1.
t
0
8
10
17
19
24
V ( t )
0
0
220
220
0
0
S ( t )
20
20
240
240
20
20
Dæmi 2
Að hliðra falli í töflu lóðrétt
Fallið er gefið í töflu 2. Búið til töflu fyrir fallið
x
2
4
6
8
f ( x )
1
3
7
11
Lausn
Formúlan segir okkur að finna megi úttaksgildi með því að draga 3 frá úttaksgildum Til dæmis:
Með því að draga 3 frá hverju -gildi getum við fyllt út gildatöflu fyrir eins og sýnt er í töflu 3.
x
2
4
6
8
f ( x )
1
3
7
11
g ( x )
−2
0
4
8
Greining
Líkt og við fyrri lóðréttu hliðrunina haldast inntaksgildin óbreytt og aðeins úttaksgildin breytast.
Að bera kennsl á láréttar hliðranir
Við sáum að lóðrétt hliðrun er breyting á úttaki fallsins, það er utan við fallið. Nú skoðum við hvernig breytingar á inntakinu, inni í fallinu, breyta grafi þess og merkingu. Breyting á inntakinu færir graf fallsins til vinstri eða hægri. Það kallast lárétt hliðrun og er sýnt á mynd 5.
Mynd 5. Lárétt hliðrun fallsins Takið eftir að merkir að og hliðrar grafinu því til vinstri, það er í átt að neikvæðum gildum
Ef til dæmis er nýtt fall. Hvert inntak er minnkað um 2 áður en það er sett í annað veldi. Grafið hliðrast þá um 2 einingar til hægri, því auka þarf fyrra inntaksgildið um 2 einingar til að fá sama úttaksgildi og fallið
Dæmi 3
Að bæta fasta við inntak
Snúum aftur að dæminu um loftrásir byggingarinnar á mynd 3. Gerum ráð fyrir að um haustið ákveði umsjónarmaðurinn að upphaflega loftræstiáætlunin hefjist of seint og vilji hefja hana alla tveimur klukkustundum fyrr. Teiknið skissu af grafi nýja fallsins.
Lausn
Látum tákna upphaflegu áætlunina og þá endurskoðuðu.
Á nýja grafinu er loftflæðið á hverjum tíma hið sama og það var tveimur klukkustundum síðar samkvæmt upphaflega fallinu . Í upphaflega fallinu byrjar loftflæðið til dæmis að breytast klukkan 8 en í fallinu byrjar það að breytast klukkan 6. Samsvarandi fallgildi eru Sjá mynd 6. Takið einnig eftir að samkvæmt upphaflegu áætluninni opnuðust loftrásirnar fyrst upp í klukkan 10 en samkvæmt nýju áætluninni ná þær klukkan 8. Því er
Í báðum tilvikum sjáum við að þar sem hefst tveimur klukkustundum fyrr er Sömu úttaksgildi fást því þegar
Mynd 6. Grafið er hliðrað tvær einingar til vinstri.
Greining
Takið eftir að hliðrar grafinu til vinstri.
Láréttar breytingar, eða „innri breytingar“, hafa áhrif á skilgreiningarmengi fallsins, það er inntakið, en ekki myndmengið og virðast því oft ganga gegn innsæi. Nýja fallið hefur sömu úttaksgildi og en tengir þau við inntaksgildi sem eru tveimur klukkustundum fyrr en hjá Með öðrum orðum þarf að bæta tveimur klukkustundum við inntak til að finna samsvarandi úttak
Dæmi 4
Að hliðra falli í töflu lárétt
Fallið er gefið í töflu 4. Búið til töflu fyrir fallið
x
2
4
6
8
f ( x )
1
3
7
11
Lausn
Formúlan segir okkur að úttaksgildi séu þau sömu og úttaksgildi þegar inntaksgildið er 3 minna en upphaflega gildið. Við vitum til dæmis að Til að fá sama úttak úr fallinu þurfum við inntaksgildi sem er 3 einingum stærra. Við setjum gildi sem er 3 einingum stærra inn í vegna þess að fallið dregur 3 frá áður en reiknað er gildi fallsins
Við höldum áfram með hin gildin og búum til töflu 5.
x
5
7
9
11
x − 3
2
4
6
8
f ( x − 3 )
1
3
7
11
g ( x )
1
3
7
11
Niðurstaðan er að fallinu hefur verið hliðrað um 3 einingar til hægri. Takið eftir að úttaksgildi eru áfram þau sömu og úttaksgildi en samsvarandi inntaksgildum hefur verið hliðrað um 3 einingar til hægri. Nánar tiltekið hliðrast 2 í 5, 4 í 7, 6 í 9 og 8 í 11.
Greining
Mynd 7 sýnir bæði föllin. Þar sést lárétt hliðrun sérhvers punkts.
Mynd 7. Punktar grafsins eru hliðraðir þrjár einingar til hægri.
Dæmi 5
Að bera kennsl á lárétta hliðrun grunnfalls
Mynd 8 sýnir ummyndun grunnfallsins Tengið nýja fallið við og finnið síðan formúlu fyrir
Mynd 8. Fleygbogi með lægsta punkt í (2, 0).
Lausn
Takið eftir að grafið hefur sömu lögun og fallið en x-gildunum hefur verið hliðrað um 2 einingar til hægri. Hvirfilpunkturinn var áður í (0, 0) en er nú í (2, 0). Grafið er graf annars stigs grunnfallsins hliðrað um 2 einingar til hægri, svo
Takið eftir að við þurfum að setja inn gildið til að fá úttaksgildið þá þurfa x-gildin að vera 2 einingum stærri vegna hliðrunarinnar um 2 einingar til hægri. Við getum síðan notað skilgreiningu fallsins til að rita formúlu fyrir með því að reikna
Greining
Til að ákvarða hvort hliðrunin sé eða skulum við skoða einn viðmiðunarpunkt á grafinu. Fyrir annars stigs fall er hentugt að skoða hvirfilpunktinn. Í upphaflega fallinu er Í hliðraða fallinu okkar er Til að fá úttaksgildið 0 úr fallinu þurfum við að ákveða hvort velja eigi plús- eða mínusmerki til að uppfylla jöfnuna Til þess að þetta gangi þarf að draga 2 einingar frá inntaksgildunum.
Dæmi 6
Að túlka láréttar og lóðréttar hliðranir
Fallið gefur fjölda bensíngallona sem þarf til að aka mílur. Túlkið og
Lausn
má túlka sem að 10 sé bætt við úttakið, þ.e. fjölda gallona. Þetta er bensínið sem þarf til að aka mílur að viðbættum 10 bensíngallonum. Grafið myndi sýna lóðrétta hliðrun.
má túlka sem að 10 sé bætt við inntakið, þ.e. fjölda mílna. Þetta er því fjöldi bensíngallona sem þarf til að aka 10 mílum lengra en mílur. Grafið myndi sýna lárétta hliðrun.
Að sameina lóðréttar og láréttar hliðranir
Nú þegar við höfum tvær ummyndanir getum við sameinað þær. Lóðréttar hliðranir eru ytri breytingar sem hafa áhrif á úttaksgildin á ásnum og hliðra fallinu upp eða niður. Láréttar hliðranir eru innri breytingar sem hafa áhrif á inntaksgildin á ásnum og hliðra fallinu til vinstri eða hægri. Þegar báðar gerðir hliðrana eru sameinaðar hliðrast graf falls annaðhvort upp eða niður og annaðhvort til hægri eða vinstri.
Dæmi 7
Að teikna graf með sameinaðri lóðréttri og láréttri hliðrun
Gefið er og teikna skal skissu af grafi
Lausn
Fallið er tölugildisfall úr safni grunnfalla. Við vitum að graf þess er V-laga með hornpunkt í upphafspunkti. Fallið fæst með því að ummynda á tvo vegu: er breyting inni í fallinu sem veldur láréttri hliðrun um 1 til vinstri og frádrátturinn um 3 í er breyting utan við fallið sem veldur lóðréttri hliðrun um 3 niður. Ummyndun grafsins er sýnd á mynd 9.
Fylgjum einum punkti á grafi
Punktinum er fyrst hliðrað um 1 einingu til vinstri:
Punktinum er síðan hliðrað um 3 einingar niður:
Mynd 9. Graf tölugildisfalls er hliðrað eina einingu til vinstri og þrjár niður.
Að bera kennsl á sameinaðar lóðréttar og láréttar hliðranir
Ritið formúlu fyrir grafið á mynd 11, sem er ummyndun kvaðratrótarfallsins úr safni grunnfalla.
Mynd 11. Kvaðratrótargraf með upphafspunkt í (1, 2).
Lausn
Graf grunnfallsins hefst í upphafspunktinum og því hefur þessu grafi verið hliðrað um 1 til hægri og 2 upp. Með fallatáknun getum við ritað það sem
Með formúlu kvaðratrótarfallsins getum við ritað
Greining
Takið eftir að ummyndunin hefur breytt skilgreiningar- og myndmengi fallsins. Nýja grafið hefur skilgreiningarmengið og myndmengið
Að teikna gröf falla með speglun um ása
Önnur ummyndun sem beita má á fall er speglun um x- eða y-ás. Lóðrétt speglun speglar graf lóðrétt um x-ásinn en lárétt speglun speglar graf lárétt um y-ásinn. Speglanirnar eru sýndar á mynd 12.
Mynd 12. Lóðrétt og lárétt speglun falls.
Takið eftir að lóðrétta speglunin myndar nýtt graf sem er spegilmynd grunn- eða upphafsgrafsins um x-ásinn. Lárétta speglunin myndar nýtt graf sem er spegilmynd grunn- eða upphafsgrafsins um y-ásinn.
Dæmi 9
Að spegla graf lárétt og lóðrétt
Speglið grafið (a) lóðrétt og (b) lárétt.
Lausn
ⓐ
Lóðrétt speglun grafsins merkir að hvert úttaksgildi speglast um lárétta t-ásinn eins og sýnt er á mynd 13.
Mynd 13Lóðrétt speglun kvaðratrótarfallsins
Þar sem hvert úttaksgildi er andstæða upphaflega úttaksgildisins getum við ritað
Takið eftir að þetta er ytri eða lóðrétt breyting sem hefur áhrif á úttaksgildin og því stendur mínusmerkið utan við fallið.
ⓑ
Lárétt speglun merkir að hvert inntaksgildi speglast um lóðrétta ásinn eins og sýnt er á mynd 14.
Mynd 14Lárétt speglun kvaðratrótarfallsins
Þar sem hvert inntaksgildi er andstæða upphaflega inntaksgildisins getum við ritað
Takið eftir að þetta er innri eða lárétt breyting sem hefur áhrif á inntaksgildin og því stendur mínusmerkið inni í fallinu.
Takið eftir að þessar ummyndanir geta haft áhrif á skilgreiningar- og myndmengi fallanna. Upphaflega kvaðratrótarfallið hefur skilgreiningarmengið og myndmengið en lóðrétta speglunin gefur fallinu myndmengið og lárétta speglunin gefur fallinu skilgreiningarmengið
Dæmi 10
Að spegla fall í töflu lárétt og lóðrétt
Fallið er gefið í töflu 6. Búið til töflur fyrir föllin hér fyrir neðan.
ⓐ
ⓑ
x
2
4
6
8
f ( x )
1
3
7
11
Lausn
ⓐ
Fyrir sýnir mínusmerkið utan við fallið lóðrétta speglun. Því haldast x-gildin óbreytt en hvert úttaksgildi verður andstætt upphaflega úttaksgildinu. Sjá töflu 7.
2
4
6
8
–1
–3
–7
–11
Tafla 7
ⓑ
Fyrir sýnir mínusmerkið inni í fallinu lárétta speglun. Því verður hvert inntaksgildi andstætt upphaflega inntaksgildinu en gildi haldast þau sömu og gildi . Sjá töflu 8.
−2
−4
−6
−8
1
3
7
11
Tafla 8
Dæmi 11
Að beita jöfnu fyrir námslíkan
Algengt líkan af námi er sett fram með jöfnu á borð við þar sem er það hlutfall námsefnisins sem nemandi getur náð tökum á eftir æfingalotur. Þetta er ummyndun fallsins sem sýnt er á mynd 15. Teiknið skissu af grafi
Mynd 15. Vaxandi vísisfall sem liggur um punktinn (0, 1).
Lausn
Þessi jafna sameinar þrjár ummyndanir í einni jöfnu.
Lárétt speglun:
Lóðrétt speglun:
Lóðrétt hliðrun:
Við getum teiknað skissu af grafi með því að beita ummyndununum einni í einu á upphaflega fallið. Fylgjum tveimur punktum í gegnum hverja ummyndunanna þriggja. Við veljum punktana (0, 1) og (1, 2).
Fyrst beitum við láréttri speglun: (0, 1) (−1, 2).
Síðan beitum við lóðréttri speglun: (0, −1) (−1, −2).
Að lokum beitum við lóðréttri hliðrun: (0, 0) (−1, −1).
Þetta merkir að upphaflegu punktarnir (0, 1) og (1, 2) verða að (0, 0) og (−1, −1) þegar ummyndununum hefur verið beitt.
Á mynd 16 fæst fyrsta grafið með láréttri speglun. Annað grafið fæst með lóðréttri speglun. Þriðja grafið fæst með lóðréttri hliðrun upp um 1 einingu.
Mynd 16. Speglanir vísisfalls og hliðrun þess upp um eina einingu.
Greining
Sem námslíkan takmarkast fallið við skilgreiningarmengið með samsvarandi myndmengi
Að ákvarða hvort föll eru jafnstæð eða oddstæð
Sum föll hafa slíka samhverfu að speglun skilar upphaflega grafinu. Ef grunnföllin eða eru til dæmis spegluð lárétt, fæst upphaflega grafið aftur. Við segjum að slík gröf séu samhverf um y-ásinn. Föll með gröf sem eru samhverf um y-ásinn kallast jafnstæð föll.
Ef gröf fallanna eða eru spegluð um báða ása, fæst upphaflega grafið aftur eins og sýnt er á mynd 17.
Mynd 17. (a) Þriðja stigs grunnfallið. (b) Lárétt speglun þriðja stigs grunnfallsins. (c) Lárétt og lóðrétt speglun endurskapa upphaflega þriðja stigs fallið.
Við segjum að þessi gröf séu samhverf um upphafspunktinn. Fall með graf sem er samhverft um upphafspunktinn kallast oddstætt fall.
Athugið: Fall getur verið hvorki jafnstætt né oddstætt ef það hefur hvoruga samhverfuna. Fallið er til dæmis hvorki jafnstætt né oddstætt. Eina fallið sem er bæði jafnstætt og oddstætt er fastafallið
Dæmi 12
Að ákvarða hvort fall er jafnstætt, oddstætt eða hvorugt
Er fallið jafnstætt, oddstætt eða hvorugt?
Lausn
Án þess að skoða graf getum við ákvarðað hvort fallið er jafnstætt eða oddstætt með því að finna formúlur fyrir speglanirnar og athuga hvort þær skila upphaflega fallinu. Byrjum á reglunni fyrir jafnstæð föll.
Þetta skilar ekki upphaflega fallinu og því er fallið ekki jafnstætt. Nú getum við prófað regluna fyrir oddstæð föll.
Þar sem er fallið oddstætt.
Greining
Skoðum graf á mynd 18. Takið eftir að grafið er samhverft um upphafspunktinn. Fyrir sérhvern punkt á grafinu er samsvarandi punktur einnig á grafinu. Punkturinn (1, 3) er til dæmis á grafi og samsvarandi punktur er einnig á grafinu.
Mynd 18. Graf oddstæðs falls með punktana (1, 3) og (−1, −3).
Að teikna gröf falla með teygjum og samþjöppun
Þegar fasta er bætt við inntak eða úttak falls breytist staða grafsins miðað við ásana en lögun þess ekki. Nú skoðum við áhrif þess að margfalda inntak eða úttak með tiltekinni stærð.
Við getum ummyndað innri hluta fallsins, það er inntaksgildin, eða ytri hluta þess, það er úttaksgildin. Hver breyting hefur tiltekin áhrif sem sjá má á grafi.
Lóðréttar teygjur og samþjöppun
Þegar fall er margfaldað með jákvæðum fasta fæst fall með graf sem er teygt eða samþjappað lóðrétt miðað við graf upphaflega fallsins. Ef fastinn er stærri en 1 fæst lóðrétt teygja en ef hann er á milli 0 og 1 fæst lóðrétt samþjöppun. Mynd 19 sýnir fall margfaldað með föstu stuðlunum 2 og 0.5 og lóðréttu teygjuna og samþjöppunina sem fást.
Mynd 19. Lóðrétt teygja og samþjöppun
Dæmi 13
Að teikna lóðrétta teygju
Fallið lýsir stofnstærð ávaxtaflugna. Grafið er sýnt á mynd 20.
Mynd 20. Stærð stofns ávaxtaflugna eftir tíma.
Vísindamaður ber þennan stofn saman við annan stofn, sem vex með sama mynstri en er tvöfalt stærri. Teiknið skissu af grafi þessa stofns.
Lausn
Þar sem stofninn er alltaf tvöfalt stærri eru úttaksgildi nýja stofnsins alltaf tvöföld úttaksgildi upphaflega stofnsins. Þetta er sýnt á mynd 21.
Ef við veljum viðmiðunarpunktana fjóra (0, 1), (3, 3), (6, 2) og (7, 0) margföldum við öll úttaksgildin með 2.
Hér á eftir sést hvar nýju punktarnir á nýja grafinu liggja.
Mynd 21. Tvöföldun gilda stofnfallsins.
Með táknum eru tengslin rituð sem
Þetta merkir að fyrir sérhvert inntak er gildi fallsins tvöfalt gildi fallsins Takið eftir að grafið teygist lóðrétt þannig að fjarlægð sérhvers punkts frá lárétta ásnum tvöfaldast. Inntaksgildin haldast óbreytt en úttaksgildin verða tvöfalt stærri en áður.
Dæmi 14
Að finna lóðrétta samþjöppun falls í töflu
Fallið er gefið í töflu 10. Búið til töflu fyrir fallið
x
2
4
6
8
f ( x )
1
3
7
11
Lausn
Formúlan segir okkur að úttaksgildi séu helmingur úttaksgilda við sömu inntök. Við vitum til dæmis að Þá er
Við gerum það sama fyrir hin gildin og búum til töflu 11.
x
2
4
6
8
g ( x )
Greining
Niðurstaðan er að fallinu hefur verið þjappað lóðrétt saman með stuðlinum Hvert úttaksgildi helmingast og því verður grafið helmingi lægra en upphaflega grafið.
Dæmi 15
Að bera kennsl á lóðrétta teygju
Grafið á mynd 22 er ummyndun grunnfallsins Tengið nýja fallið við og finnið síðan formúlu fyrir
Mynd 22. Graf þriðja stigs falls eftir lóðrétta samþjöppun.
Lausn
Þegar ákvarða á lóðrétta teygju eða hliðrun er gagnlegt að leita að greinilegum punkti á grafinu. Á þessu grafi virðist Fyrir þriðja stigs grunnfallið við sama inntak er Af því má ráða að úttaksgildi séu af úttaksgildum fallsins því Við getum því ályktað með nokkurri vissu að
Við getum ritað formúlu fyrir með skilgreiningu fallsins
Láréttar teygjur og samþjöppun
Nú skoðum við breytingar inni í falli. Þegar inntak falls er margfaldað með jákvæðum fasta fæst fall með graf sem er teygt eða samþjappað lárétt miðað við graf upphaflega fallsins. Ef fastinn er á milli 0 og 1 fæst lárétt teygja en ef hann er stærri en 1 fæst lárétt samþjöppun.
Mynd 23. Lárétt teygja og samþjöppun grafsins y = x².
Ef fallið er gefið veldur formið láréttri teygju eða samþjöppun. Skoðum fallið Skoðið mynd 23. Grafið er lárétt teygja grafs fallsins með stuðlinum 2. Grafið er lárétt samþjöppun grafs fallsins með stuðlinum .
Dæmi 16
Að teikna lárétta samþjöppun
Gerum ráð fyrir að vísindamaður beri stofn ávaxtaflugna saman við stofn sem fer tvöfalt hraðar í gegnum æviskeið sitt en upphaflegi stofninn. Nýi stofninn þróast með öðrum orðum jafn mikið á 1 klukkustund og upphaflegi stofninn á 2 klukkustundum og jafn mikið á 2 klukkustundum og upphaflegi stofninn á 4 klukkustundum. Teiknið skissu af grafi þessa stofns.
Lausn
Með táknum getum við ritað
Á mynd 24 er grafískur samanburður á upphaflega stofninum og samþjappaða stofninum.
Mynd 24. (a) Graf upphaflega stofnsins. (b) Graf samþjappaða stofnsins.
Greining
Takið eftir að grafið þjappast lárétt saman þannig að öll inntaksgildi verða í hálfri upphaflegri fjarlægð frá lóðrétta ásnum.
Dæmi 17
Að finna lárétta teygju falls í töflu
Fallið er gefið í töflu 13. Búið til töflu fyrir fallið
x
2
4
6
8
f ( x )
1
3
7
11
Lausn
Formúlan segir okkur að úttaksgildi séu þau sömu og úttaksgildi fallsins við helmingi minna inntak. Takið eftir að við höfum ekki nægar upplýsingar til að finna því og gildið er ekki í töflunni. Inntaksgildi þurfa að vera tvöfalt stærri til að gefa inntök í sem við getum reiknað. Við getum til dæmis fundið
Við gerum það sama fyrir hin gildin og búum til töflu 14.
Mynd 26. Lárétt samþjöppun grafsins f gefur grafið g.
Lausn
Graf lítur út eins og graf sem hefur verið þjappað lárétt saman. Þar sem endar í en endar í sjáum við að gildunum hefur verið þjappað saman með stuðlinum því Við gætum einnig tekið eftir að og Í báðum tilvikum getum við lýst tengslunum sem Þetta er lárétt samþjöppun með stuðlinum
Greining
Takið eftir að stuðullinn sem þarf fyrir lárétta teygju eða samþjöppun er umhverfa teygju- eða samþjöppunarstuðulsins. Til að teygja graf lárétt með kvarðastuðlinum 4 þurfum við því stuðulinn í fallinu: Inntaksgildin þurfa þá að vera fjórfalt stærri til að gefa sömu niðurstöðu og það veldur láréttu teygjunni.
Að framkvæma röð ummyndana
Þegar ummyndanir eru sameinaðar er mjög mikilvægt að huga að röð þeirra. Lóðrétt hliðrun um 3 og síðan lóðrétt teygja með stuðlinum 2 gefur til dæmis ekki sama graf og lóðrétt teygja með stuðlinum 2 og síðan lóðrétt hliðrun um 3. Þegar hliðrað er fyrst teygjast bæði upphaflega fallið og hliðrunin en þegar teygt er fyrst teygist aðeins upphaflega fallið.
Þegar við sjáum stæðu á borð við hvaða ummyndun eigum við þá að framkvæma fyrst? Svarið fylgir forgangsröð reikniaðgerða. Þegar úttaksgildi er gefið margföldum við fyrst með 2 sem veldur lóðréttri teygju og leggjum síðan 3 við sem veldur lóðréttri hliðrun. Með öðrum orðum kemur margföldun á undan samlagningu.
Láréttar ummyndanir eru aðeins flóknari í túlkun. Þegar við ritum til dæmis þurfum við að skoða hvernig inntök fallsins tengjast inntökum fallsins Gerum ráð fyrir að við vitum að Hvaða inntak í gefur það úttak? Með öðrum orðum, hvaða gildi uppfyllir Við þurfum að hafa Til að leysa fyrir drögum við fyrst 3 frá, sem samsvarar láréttri hliðrun, og deilum síðan með 2, sem samsvarar láréttri samþjöppun.
Þetta form er mjög óþjált því yfirleitt er miklu auðveldara að teygja graf lárétt áður en því er hliðrað. Við getum leyst vandann með því að taka sameiginlegan þátt út fyrir sviga í stæðunni inni í fallinu.
Skoðum dæmi.
Við getum tekið 2 út fyrir sviga.
Nú sjáum við skýrt lárétta hliðrun um 2 einingar til vinstri og lárétta samþjöppun. Með þessari þáttun getum við fyrst þjappað grafinu lárétt saman og síðan hliðrað því lárétt.
Dæmi 19
Að finna þrefalda ummyndun falls í töflu
Samkvæmt töflu 15 er fallið gefið. Búið til gildatöflu fyrir fallið
x
6
12
18
24
f ( x )
10
14
15
17
Lausn
Ummyndunin hefur þrjú skref og við vinnum innan frá og út. Við byrjum á láréttu ummyndununum. Fallið er lárétt samþjöppun með stuðlinum sem merkir að hvert gildi er margfaldað með Sjá töflu 16.
x
2
4
6
8
f ( 3 x )
10
14
15
17
Þá snúum við okkur að lóðréttu ummyndununum og byrjum á lóðréttu teygjunni sem margfaldar úttaksgildin með 2. Við beitum henni á ummyndunina á undan. Sjá töflu 17.
x
2
4
6
8
2 f ( 3 x )
20
28
30
34
Að lokum beitum við lóðréttu hliðruninni sem bætir 1 við öll úttaksgildin. Sjá töflu 18.
x
2
4
6
8
g ( x ) = 2 f ( 3 x ) + 1
21
29
31
35
Dæmi 20
Að finna þrefalda ummyndun grafs
Notið graf á mynd 27 til að teikna skissu af grafi
Mynd 27. Efri hálfhringur með geislann 2 og miðju í upphafspunkti.
Lausn
Til einföldunar skulum við byrja á að taka sameiginlegan þátt út fyrir sviga í stæðunni inni í fallinu.
Þegar tekið hefur verið út fyrir sviga getum við fyrst teygt lárétt með stuðlinum 2 eins og inni í fallinu gefur til kynna. Munið að tvöfalt núll er enn núll og því helst punkturinn (0, 2) í (0, 2) en punkturinn (2, 0) teygist í (4, 0). Sjá mynd 28.
Mynd 28. Hálfhringurinn eftir lárétta teygju með stuðlinum 2.
Næst hliðrum við lárétt um 2 einingar til vinstri; það sést af Sjá mynd 29.
Mynd 29. Teygða grafið eftir hliðrun tvær einingar til vinstri.
Að lokum hliðrum við lóðrétt um 3 niður til að ljúka skissunni eins og utan við fallið gefur til kynna. Sjá mynd 30.
Mynd 30. Grafið eftir viðbótarhliðrun þrjár einingar niður.
1.5 Verkefni hluta
Hugtakaspurningar
1.
Hvernig má greina lárétta hliðrun frá lóðréttri hliðrun í formúlu falls sem er niðurstaða margra ummyndana?
2.
Hvernig má greina lárétta teygju frá lóðréttri teygju í formúlu falls sem er niðurstaða margra ummyndana?
3.
Hvernig má greina lárétta samþjöppun frá lóðréttri samþjöppun í formúlu falls sem er niðurstaða margra ummyndana?
4.
Hvernig má greina speglun um x-ásinn frá speglun um y-ásinn í formúlu falls sem er niðurstaða margra ummyndana?
5.
Hvernig má ákvarða út frá formúlu falls hvort fallið er oddstætt eða jafnstætt?
Algebruverkefni
6.
Ritið formúlu fyrir fallið sem fæst þegar grafi er hliðrað um 1 einingu upp og 2 einingar til vinstri.
7.
Ritið formúlu fyrir fallið sem fæst þegar grafi
er hliðrað um 3 einingar niður og 1 einingu til hægri.
8.
Ritið formúlu fyrir fallið sem fæst þegar grafi er hliðrað um 4 einingar niður og 3 einingar til hægri.
9.
Ritið formúlu fyrir fallið sem fæst þegar grafi er hliðrað um 2 einingar upp og 4 einingar til vinstri.
Í eftirfarandi dæmum skal lýsa því hvernig graf fallsins er ummyndun á grafi upphaflega fallsins
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Í eftirfarandi dæmum skal ákvarða á hvaða bili eða bilum fallið er vaxandi og minnkandi.
20.
21.
22.
23.
Grafísk verkefni
Í eftirfarandi dæmum skal nota graf á mynd 31 til að teikna skissu af grafi hverrar ummyndunar á
Mynd 31. Graf vaxandi vísisfalls sem liggur um punktinn (0, 1).
24.
25.
26.
Í eftirfarandi dæmum skal teikna skissu af grafi fallsins sem ummyndun á grafi eins af grunnföllunum.
27.
28.
29.
30.
Töluleg verkefni
31.
Töflur fyrir föllin og eru gefnar hér fyrir neðan. Ritið og sem ummyndanir á
x
−2
−1
0
1
2
f ( x )
−2
−1
−3
1
2
x
−1
0
1
2
3
g ( x )
−2
−1
−3
1
2
x
−2
−1
0
1
2
h ( x )
−1
0
−2
2
3
32.
Töflur fyrir föllin og eru gefnar hér fyrir neðan. Ritið og sem ummyndanir á
x
−2
−1
0
1
2
f ( x )
−1
−3
4
2
1
x
−3
−2
−1
0
1
g ( x )
−1
−3
4
2
1
x
−2
−1
0
1
2
h ( x )
−2
−4
3
1
0
Í eftirfarandi dæmum skal nota ummyndanir á gröfum grunnfallanna til að rita jöfnu fyrir hvert graf.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
Í eftirfarandi dæmum skal nota gröf ummyndana kvaðratrótarfallsins til að finna formúlu fyrir hvert fall.
41.
42.
Í eftirfarandi dæmum skal nota gröf ummyndaðra grunnfalla til að rita formúlu fyrir hvert fall sem fæst.
43.
44.
45.
46.
Í eftirfarandi dæmum skal ákvarða hvort fallið er oddstætt, jafnstætt eða hvorugt.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
Í eftirfarandi dæmum skal lýsa því hvernig graf hvers falls er ummyndun á grafi upphaflega fallsins
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
Í eftirfarandi dæmum skal rita formúlu fyrir fallið sem fæst þegar grafi gefins grunnfalls er ummyndað eins og lýst er.
63.
Graf fallsins er speglað um -ásinn og þjappað lárétt saman með stuðlinum .
64.
Graf fallsins er speglað um -ásinn og teygt lárétt með stuðlinum 2.
65.
Graf fallsins er þjappað lóðrétt saman með stuðlinum og síðan hliðrað um 2 einingar til vinstri og 3 einingar niður.
66.
Graf fallsins er teygt lóðrétt með stuðlinum 8 og síðan hliðrað um 4 einingar til hægri og 2 einingar upp.
67.
Graf fallsins er þjappað lóðrétt saman með stuðlinum og síðan hliðrað um 5 einingar til hægri og 1 einingu upp.
68.
Graf fallsins er teygt lárétt með stuðlinum 3 og síðan hliðrað um 4 einingar til vinstri og 3 einingar niður.
Í eftirfarandi dæmum skal lýsa því hvernig formúlan er ummyndun á grunnfalli og teikna síðan skissu af grafi ummyndunarinnar.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
Í eftirfarandi dæmum skal nota grafið á mynd 32 til að teikna skissu af gefnum ummyndunum.
Mynd 32. Graf falls með hágildi í (0, 5) og lággildi í (−4, −5) og (4, −5).
![Tvö gröf standa hlið við hlið. Fyrra grafið sýnir fall upphaflega stofnsins með skilgreiningarmengið [0, 7] og myndmengið [0, 3]. Hágildið er í punktinum (3, 3). Seinna grafið hefur sömu lögun og það fyrra en er helmingi mjórra. Það sýnir ummyndaða stofninn með skilgreiningarmengið [0, 3.5] og myndmengið [0, 3]. Hágildið er í punktinum (1.5, 3).](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/precalculus-2e/is/image-v3/d5958ef561d803922a3f671f067bb224dcf8fc6b/rendered.png?v=8170e2554faf)
