Gerum ráð fyrir að við viljum reikna hvað kostar að hita hús á tilteknum degi ársins. Kostnaðurinn við að hita húsið fer eftir meðalhita dagsins og meðalhitinn fer aftur eftir því hvaða dagur ársins er. Athugið að hér höfum við skilgreint tvenn vensl: Kostnaðurinn fer eftir hitastiginu og hitastigið fer eftir deginum.
Með lýsandi breytum getum við táknað þessi tvö föll. Fallið gefur kostnaðinn við að hita hús þegar meðalhiti dagsins er gráður á Celsíus. Fallið gefur meðalhita á degi ársins. Fyrir tiltekinn dag merkir að kostnaðurinn fari eftir hitastiginu sem aftur fer eftir degi ársins. Við getum því reiknað gildi kostnaðarfallsins við hitastigið Til dæmis gætum við reiknað til að finna meðalhita á fimmta degi ársins. Síðan gætum við reiknað gildi kostnaðarfallsins við það hitastig. Við ritum það
Með því að tengja þessi tvenn vensl saman í eitt fall höfum við samskeytt föll, en það er viðfangsefni þessa hluta.
Að tengja föll saman með algebruaðgerðum
Samskeyting falla er aðeins ein leið til að tengja saman föll sem þegar eru til. Önnur leið er að beita venjulegum algebruaðgerðum á föllin, svo sem samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu. Þá beitum við aðgerðunum á úttaksgildi fallanna og skilgreinum niðurstöðuna sem úttaksgildi nýja fallsins.
Gerum ráð fyrir að við þurfum að leggja saman tvo talnadálka sem sýna aðskildar árstekjur hjóna yfir nokkur ár, þannig að niðurstaðan verði heildartekjur heimilisins. Við viljum gera þetta fyrir hvert ár, leggja aðeins saman tekjur þess árs og safna síðan öllum gögnunum í nýjan dálk. Ef eru tekjur konunnar og tekjur mannsins á ári og við látum tákna heildartekjurnar, getum við skilgreint nýtt fall.
Ef þetta gildir fyrir hvert ár getum við einbeitt okkur að venslunum milli fallanna án þess að vísa til tiltekins árs og ritað
Á sama hátt og fyrir summu tveggja falla getum við skilgreint mismuna-, margfeldis- og kvótafall fyrir sérhvert par falla sem hafa sams konar inntak (ekki endilega tölur) og sams konar úttak. Úttakið verður þó að vera tölur svo að beita megi venjulegum algebruaðgerðum, og við samlagningu og frádrátt þarf það jafnframt að hafa sömu einingar eða vera einingarlaust. Þannig getum við lagt saman föll, dregið þau hvert frá öðru, margfaldað þau og deilt þeim.
Fyrir tvö föll og með rauntöluúttak skilgreinum við nýju föllin og með venslunum
Dæmi 1
Að beita algebruaðgerðum á föll
Finnið og einfaldið föllin og þegar og Eru þau sama fallið?
Lausn
Byrjið á að rita almenna formið og setjið síðan gefnu föllin inn.
Nei, föllin eru ekki eins.
Athugið: Fyrir er skilyrðið nauðsynlegt vegna þess að þegar er nefnarinn jafn 0 og fallið því óskilgreint.
Að búa til fall með samskeytingu falla
Þegar algebruaðgerðum er beitt á föll verða þau að nýju falli, en einnig má búa til föll með því að samskeyta önnur föll. Þegar við vildum reikna hitunarkostnað út frá degi ársins bjuggum við til nýtt fall sem tekur við degi sem inntaki og skilar kostnaði sem úttaki. Ferlið þar sem föll eru tengd þannig að úttak eins falls verður inntak annars kallast samskeyting falla. Fallið sem myndast kallast samskeytt fall. Við táknum þessa tengingu á eftirfarandi hátt:
Við lesum vinstri hliðina sem samskeytt í og hægri hliðina sem af af Báðar hliðar jöfnunnar hafa sömu stærðfræðilegu merkingu og eru jafnar. Opna hringtáknið kallast samskeytingarvirki. Við notum þetta virki einkum þegar við viljum leggja áherslu á venslin milli fallanna sjálfra án þess að vísa til tiltekins inntaksgildis. Samskeyting er tvíundaraðgerð sem tekur tvö föll og myndar nýtt fall, líkt og samlagning eða margföldun tekur tvær tölur og gefur nýja tölu. Mikilvægt er þó að rugla samskeytingu falla ekki saman við margföldun því eins og við sáum hér að framan gildir í flestum tilvikum
Einnig er mikilvægt að skilja röð aðgerða þegar gildi samskeytts falls er reiknað. Við fylgjum venjulegri svigareglu, byrjum á innstu svigunum og vinnum okkur síðan út á við. Í jöfnunni hér að framan tekur fallið fyrst við inntakinu og skilar úttakinu Síðan tekur fallið við sem inntaki og skilar úttakinu
Almennt eru og ólík föll. Með öðrum orðum gildir í mörgum tilvikum að fyrir öll Við munum einnig sjá að stundum er aðeins hægt að samskeyta tvö föll í annarri röðinni.
Ef til dæmis og þá er
en
Þessar stæður eru ekki jafnar fyrir öll gildi svo föllin tvö eru ekki eins. Það skiptir ekki máli að stæðurnar skuli vera jafnar fyrir hið eina inntaksgildi
Athugið að myndmengi innra fallsins (fallsins sem fyrst er reiknað) þarf að vera innan skilgreiningarmengis ytra fallsins. Með óformlegra orðalagi þarf samskeytingin að vera merkingarbær með tilliti til inntaks og úttaks.
Dæmi 2
Að ákvarða hvort samskeyting falla uppfylli víxlreglu
Notið gefnu föllin til að finna og Ákvarðið hvort samskeyting fallanna uppfylli víxlreglu.
Lausn
Byrjum á að setja inn fyrir 𝑥 í
Nú getum við sett inn fyrir 𝑥 í
Við fáum svo samskeyting falla uppfyllir ekki víxlreglu.
Dæmi 3
Að túlka samskeytt föll
Fallið gefur fjölda hitaeininga sem brenna við að gera kviðæfingar og gefur fjölda kviðæfinga sem einstaklingur getur gert á mínútum. Túlkið
Lausn
Innri stæðan í samskeytingunni er Þar sem inntak s-fallsins er tími táknar þrjár mínútur og er fjöldi kviðæfinga sem gerðar eru á þremur mínútum.
Þegar er notað sem inntak í fallið fæst fjöldi hitaeininga sem brenna við þann fjölda kviðæfinga sem hægt er að gera á þremur mínútum, eða einfaldlega fjöldi hitaeininga sem brenna á þremur mínútum við kviðæfingar.
Dæmi 4
Að kanna röð samskeytingar falla
Gerum ráð fyrir að gefi fjölda mílna sem aka má á klukkustundum og gefi fjölda gallona af bensíni sem þarf til að aka mílur. Hvor þessara stæða er merkingarbær: eða
Lausn
Fallið hefur sem úttak fjölda ekinna mílna sem samsvarar fjölda klukkustunda í akstri.
Fallið hefur sem úttak fjölda notaðra gallona sem samsvarar fjölda ekinna mílna. Það merkir:
Stæðan tekur við mílum sem inntaki og skilar fjölda gallona sem úttaki. Fallið krefst fjölda klukkustunda sem inntaks. Það er ekki merkingarbært að setja fjölda gallona inn í fallið. Stæðan er merkingarlaus.
Stæðan tekur við klukkustundum sem inntaki og skilar fjölda ekinna mílna sem úttaki. Fallið krefst fjölda mílna sem inntaks. Það er merkingarbært að nota (eknar mílur) sem inntaksgildi í þar sem fjöldi bensíngallona fer eftir eknum mílum. Stæðan er merkingarbær og gefur fjölda bensíngallona sem þarf til að aka tiltekinn fjölda mílna á klukkustundum.
Að reikna gildi samskeyttra falla
Þegar við höfum samskeytt tvö föll í nýtt fall þurfum við að geta reiknað gildi þess fyrir sérhvert inntak í skilgreiningarmenginu. Við gerum það fyrir tiltekin töluleg inntök þegar föllin eru gefin með töflum, gröfum og formúlum og fyrir breytur sem inntök þegar föllin eru gefin með formúlum. Í hverju tilviki reiknum við fyrst gildi innra fallsins fyrir upphaflega inntakið og notum síðan úttak innra fallsins sem inntak ytra fallsins.
Að reikna gildi samskeyttra falla með töflum
Þegar föll eru gefin með töflum lesum við inntaks- og úttaksgildi úr töflureitunum og vinnum alltaf innan frá og út. Fyrst reiknum við gildi innra fallsins og notum síðan úttak þess sem inntak ytra fallsins.
Dæmi 5
Að nota töflu til að reikna gildi samskeytts falls
Til að reikna byrjum við innst með inntaksgildið 3. Síðan reiknum við innri stæðuna með töflunni sem skilgreinir fallið Þá getum við notað niðurstöðuna sem inntak í fallið þannig að er skipt út fyrir 2 og við fáum Með töflunni sem skilgreinir fallið sjáum við síðan að
Til að reikna reiknum við fyrst innri stæðuna með fyrri töflunni: Síðan getum við notað töfluna fyrir til að reikna
Þegar einstök föll eru gefin með gröfum reiknum við gildi samskeyttra falla á svipaðan hátt og þegar töflur eru notaðar. Við lesum inntaks- og úttaksgildin, en nú af og ásum grafanna.
Mynd 1. Gröf fallanna g og f sem notuð eru til að finna gildi samskeytts falls.
Lausn
Til að reikna byrjum við á innri stæðunni. Sjá mynd 2.
Mynd 2. Punktarnir (1, 3) á grafi g og (3, 6) á grafi f sýna hvernig úttak fyrra fallsins verður inntak þess síðara.
Við reiknum með grafi finnum inntakið 1 á ásnum og lesum úttaksgildi grafsins við það inntak. Hér er Við notum þetta gildi sem inntak í fallið
Síðan getum við reiknað gildi samskeytta fallsins með því að skoða graf finna inntakið 3 á ásnum og lesa úttaksgildi grafsins við þetta inntak. Hér er svo
Greining
Mynd 3 sýnir hvernig merkja má örvar á gröfin til að rekja leiðina frá inntaksgildi að úttaksgildi.
Mynd 3. Örvar sýna hvernig gildi samskeytts falls er lesið af gröfum g og f.
Að reikna gildi samskeyttra falla með formúlum
Þegar gildi samskeytts falls er reiknað út frá formúlum sem við höfum annaðhvort búið til eða fengið gefnar gildir áfram reglan um að vinna innan frá og út. Inntaksgildi ytra fallsins verður úttaksgildi innra fallsins, en það getur verið tölugildi, heiti breytu eða flóknari stæða.
Þótt við getum samskeytt föllin fyrir hvert einstakt inntaksgildi er stundum gagnlegt að finna eina formúlu sem reiknar niðurstöðu samskeytingarinnar Til þess útvíkkum við hugmyndina um að reikna gildi falls. Rifjum upp að þegar við reiknum gildi falls á borð við setjum við gildið innan sviganna inn í formúluna alls staðar þar sem inntaksbreytan kemur fyrir.
Dæmi 7
Að reikna samskeytingu falla sem gefin eru með formúlum fyrir tölulegt inntak
Gefin eru föllin og og reikna á
Lausn
Þar sem innri stæðan er byrjum við á að reikna gildi þegar inntakið er 1.
Þá er svo við reiknum gildi fyrir inntakið 5.
Greining
Heiti inntaksbreytanna og skipta engu máli í þessu dæmi vegna þess að við reiknuðum fyrir tiltekin tölugildi.
Að finna skilgreiningarmengi samskeytts falls
Eins og áður hefur komið fram ræðst skilgreiningarmengi samskeytts falls á borð við af skilgreiningarmengi og skilgreiningarmengi Mikilvægt er að vita hvenær hægt er að nota samskeytt fall og hvenær ekki, það er að þekkja skilgreiningarmengi falls á borð við Gerum ráð fyrir að við þekkjum skilgreiningarmengi fallanna og hvort í sínu lagi. Ef við ritum samskeytta fallið fyrir inntak sem sjáum við strax að þarf að vera í skilgreiningarmengi svo stæðan sé merkingarbær, því annars getum við ekki reiknað gildi innra fallsins. Við sjáum einnig að þarf að vera í skilgreiningarmengi því annars er ekki hægt að reikna gildi síðara fallsins í og stæðan er enn óskilgreind. Skilgreiningarmengi inniheldur því aðeins þau inntök úr skilgreiningarmengi sem gefa úttak úr sem tilheyrir skilgreiningarmengi Athugið að skilgreiningarmengi samskeytts er mengi allra þannig að sé í skilgreiningarmengi og sé í skilgreiningarmengi
Dæmi 8
Að finna skilgreiningarmengi samskeytts falls
Finnið skilgreiningarmengi
Lausn
Skilgreiningarmengi inniheldur allar rauntölur nema því það inntaksgildi leiðir til deilingar með 0. Á sama hátt inniheldur skilgreiningarmengi allar rauntölur nema 1. Við þurfum því að útiloka úr skilgreiningarmengi það gildi sem gerir
Skilgreiningarmengi er því mengi allra rauntalna nema og Það merkir að
Við getum ritað þetta með biltáknum sem
Dæmi 9
Að finna skilgreiningarmengi samskeytts falls sem inniheldur rætur
Finnið skilgreiningarmengi
Lausn
Þar sem við getum ekki tekið kvaðratrót af neikvæðri tölu er skilgreiningarmengi jafnt Nú könnum við skilgreiningarmengi samskeytta fallsins
Samskeytta fallið og skilyrðið á rótarstofn þess eru
því að rótarstofn kvaðratrótar má ekki vera neikvæður. Þar sem kvaðratrætur eru ekki neikvæðar er eða og skilgreiningarmengið er því .
Greining
Dæmið sýnir að þekking á myndmengi falla, einkum innra fallsins, getur einnig komið að gagni þegar skilgreiningarmengi samskeytts falls er fundið. Það sýnir jafnframt að skilgreiningarmengi getur innihaldið gildi sem eru ekki í skilgreiningarmengi þótt þau verði að vera í skilgreiningarmengi
Að þátta samskeytt fall í þáttaföll þess
Í sumum tilvikum þarf að þátta flókið fall, það er að rita það sem samskeytingu tveggja einfaldari falla. Samskeytt fall má stundum þátta á fleiri en einn hátt og þá getum við valið þá þáttun sem virðist hentugust.
Dæmi 10
Að þátta fall
Ritið sem samskeytingu tveggja falla.
Lausn
Við leitum að tveimur föllum, og þannig að Til þess leitum við að falli inni í falli í formúlunni fyrir Einn möguleiki er að taka eftir að stæðan er undir kvaðratrótinni. Þá getum við þáttað fallið sem
Við getum sannreynt svarið með því að samskeyta föllin aftur.
Æfingar úr hluta 1.4
Hugtakaspurningar
1.
Hvernig finnið þið skilgreiningarmengi kvóta tveggja falla
2.
Hvað er samskeyting tveggja falla
3.
Getur niðurstaðan orðið sú sama og í upphaflegri röð ef röð tveggja falla í samskeytingu er snúið við? Ef svo er, gefið dæmi. Ef ekki, skýrið hvers vegna.
4.
Hvernig finnið þið skilgreiningarmengi samskeytingar tveggja falla
Algebra
5.
Gefin eru föllin og og finna á og Ákvarðið skilgreiningarmengi hvers falls með biltáknum.
6.
Gefin eru föllin og og finna á og Ákvarðið skilgreiningarmengi hvers falls með biltáknum.
7.
Gefin eru föllin og og finna á og Ákvarðið skilgreiningarmengi hvers falls með biltáknum.
8.
Gefin eru föllin og og finna á og Ákvarðið skilgreiningarmengi hvers falls með biltáknum.
9.
Gefin eru föllin og og finna á og Ákvarðið skilgreiningarmengi hvers falls með biltáknum.
10.
Gefin eru föllin og og finna á Ákvarðið skilgreiningarmengi fallsins með biltáknum.
11.
Gefin eru föllin og og finna á eftirfarandi:
ⓐ
ⓑ
ⓒ
ⓓ
ⓔ
Í eftirfarandi dæmum skal nota hvert fallapar til að finna og Einfaldið svörin.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Í eftirfarandi dæmum skal nota hvert fallasafn til að finna Einfaldið svörin.
18.
og
19.
og
20.
Gefin eru föllin og og finna á eftirfarandi:
ⓐ
ⓑ skilgreiningarmengi með biltáknum
ⓒ
ⓓ skilgreiningarmengi
ⓔ
21.
Gefin eru föllin og og finna á eftirfarandi:
ⓐ
ⓑ skilgreiningarmengi með biltáknum
22.
Gefin eru föllin
og finna á eftirfarandi:
ⓐ
ⓑ
23.
Gefin eru föllin og og tilgreina á skilgreiningarmengi hvers eftirfarandi falls með biltáknum:
ⓐ
ⓑ
ⓒ
24.
Gefin eru föllin og og tilgreina á skilgreiningarmengi hvers eftirfarandi falls með biltáknum.
ⓐ
ⓑ
ⓒ
25.
Fyrir og skal rita skilgreiningarmengi með biltáknum.
Í eftirfarandi dæmum skal finna föllin og þannig að hægt sé að rita gefna fallið sem
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
Gröf
Í eftirfarandi dæmum skal nota graf á mynd 4 og graf á mynd 5 til að reikna stæðurnar.
Mynd 4. Graf fallsins f, samsett úr línustrikum.
Mynd 5. Graf fallsins g, samsett úr línustrikum.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
Í eftirfarandi dæmum skal nota graf á mynd 6, graf á mynd 7 og graf á mynd 8 til að reikna stæðurnar.
Mynd 6. Graf fallsins f er fleygbogi sem opnast upp.
Mynd 7. Vaxandi graf fallsins g hefst í upphafspunktinum.
Mynd 8. V-laga graf fallsins h með lægsta punkt í upphafspunktinum.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
Töluleg dæmi
Í eftirfarandi dæmum skal nota fallgildi sem sýnd eru í töflu 3 til að reikna hverja stæðu.
x
f ( x )
g ( x )
0
7
9
1
6
5
2
5
6
3
8
2
4
4
1
5
0
8
6
2
7
7
1
3
8
9
4
9
3
0
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
Í eftirfarandi dæmum skal nota fallgildi sem sýnd eru í töflu 4 til að reikna stæðurnar.
x
f ( x )
g ( x )
-3
11
-8
-2
9
-3
-1
7
0
0
5
1
1
3
0
2
1
-3
3
-1
-8
66.
67.
68.
69.
70.
71.
Í eftirfarandi dæmum skal nota hvert fallapar til að finna og
72.
73.
74.
75.
Í eftirfarandi dæmum skal nota föllin og
til að reikna gildi samskeytta fallsins eða finna það eins og tilgreint er.
76.
77.
78.
79.
Viðbótarverkefni
Í eftirfarandi dæmum skal nota og
80.
Finnið og Berið svörin saman.
81.
Finnið og
82.
Hvert er skilgreiningarmengi
83.
Hvert er skilgreiningarmengi
84.
Látum
ⓐ Finnið
ⓑ Er fyrir sérhvert fall sama niðurstaða og svarið við a-lið fyrir sérhvert fall? Skýrið.
Í eftirfarandi dæmum látum við og
85.
Satt eða ósatt:
86.
Satt eða ósatt:
Í eftirfarandi dæmum skal finna samskeytinguna þegar fyrir öll og
87.
88.
89.
Raunhæf viðfangsefni
90.
Fallið gefur eftirspurt magn þegar verðið er Framleiðslukostnaðurinn er kostnaðurinn við að framleiða vörur. Hvað af eftirfarandi mynduð þið gera til að finna framleiðslukostnaðinn þegar verðið er $6?
ⓐ Reikna
ⓑ Reikna
ⓒ Leysa
ⓓ Leysa
91.
Fallið gefur sársaukastig sjúklings á kvarðanum 0 til 10 þegar milligrömm af verkjalyfi eru í líkama hans. Magn lyfsins í líkama sjúklingsins í milligrömmum eftir mínútur er gefið með fallinu Hvað af eftirfarandi mynduð þið gera til að finna hvenær sársaukastig sjúklingsins verður 4?
ⓐ Reikna
ⓑ Reikna
ⓒ Leysa
ⓓ Leysa
92.
Verslun veitir viðskiptavinum 30% afslátt af verðinu á völdum vörum. Síðan er 15% til viðbótar dregið frá við kassann. Ritið verðfall sem reiknar lokaverð vörunnar út frá upphaflega verðinu (Vísbending: Notið samskeytingu falla til að finna svarið.)
93.
Regndropi sem fellur á stöðuvatn myndar hringlaga gáru. Ef geisli hennar í tommum vex sem fall af tíma í mínútum samkvæmt skal finna flatarmál gárunnar sem fall af tíma. Finnið flatarmál hennar þegar
94.
Skógareldur skilur eftir sig brunnið grassvæði sem stækkar í hring. Ef geisli brunna svæðisins vex með tíma samkvæmt formúlunni skal lýsa flatarmáli brunna svæðisins sem falli af tímanum í mínútum.
95.
Notið fallið úr fyrra dæmi til að finna heildarflatarmálið sem hefur brunnið eftir 5 mínútur.
96.
Geisli kúlulaga blöðru í tommum tengist rúmmálinu með Lofti er dælt í blöðruna og rúmmálið eftir sekúndur er því gefið með
ⓐ Finnið samskeytta fallið
ⓑ Finnið nákvæman tíma þegar geislinn nær 10 tommum.
97.
Fjöldi baktería í kældri matvöru er gefinn með þar sem er hitastig matvörunnar. Þegar matvaran er tekin úr kæli er hitastigið gefið með þar sem er tími í klukkustundum.
ⓐ Finnið samskeytta fallið
ⓑ Finnið tímann þegar bakteríufjöldinn nær 6752 og námundið að tveimur aukastöfum.
