6.3 Snúningshreyfing

Markmið hlutans

Í lok þessa hluta eigið þið að geta gert eftirfarandi:

• Lýst hreyfifræðilegum breytum og jöfnum snúningshreyfingar og tengt þær samsvarandi línulegum stærðum.
• Lýst kraftvægi og vogararmi.
• Leyst dæmi sem fela í sér kraftvægi og hreyfifræði snúningshreyfingar.

Stuðningur við kennara

Námsmarkmiðin í þessum hluta hjálpa nemendum að ná tökum á eftirfarandi viðmiðum:

• (4) Vísindahugtök. Nemandi þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu við fjölbreyttar aðstæður. Nemandi á að geta: (C) greint og lýst hraðaðri hreyfingu í tveimur víddum með jöfnum, þar á meðal dæmum um kasthreyfingu og hringhreyfingu; (D) reiknað áhrif krafta á hluti, þar á meðal tregðulögmálið, samband krafts og hröðunar og eðli kraftapara milli hluta.

Auk þess fjallar verklega framhaldsskólahandbókin í eðlisfræði um efni þessa hluta í verkefninu Hringhreyfing og snúningshreyfing og tengir það eftirfarandi viðmiði:

• (4) Vísindahugtök. Nemandi þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu við fjölbreyttar aðstæður. Nemandi á að geta: (D) reiknað áhrif krafta á hluti, þar á meðal tregðulögmálið, samband krafts og hröðunar og eðli kraftapara milli hluta.

Lykilhugtök hlutans

Hreyfifræði snúningshreyfingar

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] Rifjið upp línulegar hreyfijöfnur.

Viðvörun um misskilning: Nemendur geta ruglast á því að hægja á sér og því að hröðun aukist í neikvæða stefnu.

Í hlutanum um jafna hringhreyfingu ræddum við hreyfingu eftir hring með jafnri ferð og þar með föstum hornhraða. Stundum er hornhraðinn þó ekki fastur: snúningshreyfing getur hraðað á sér, hægt á sér eða skipt um stefnu. Hornhraði er ekki fastur þegar skautari sem snýst dregur að sér handleggina, þegar barn ýtir hringekju af stað eða þegar geisladiskur hægir á sér þar til hann stöðvast eftir að slökkt er á tækinu. Í öllum þessum tilvikum verður hornhröðun vegna þess að hornhraðinn ω breytist. Því hraðar sem breytingin verður, því meiri er hornhröðunin. Hornhröðun α er breytingarhraði hornhraða. Á jöfnuformi er meðalhornhröðun

þar sem Δω er breyting á hornhraða og Δt er tímabreyting. Eining hornhröðunar er (rad/s)/s, eða rad/s². Ef ω eykst er α jákvæð. Ef ω minnkar er α neikvæð. Hafið í huga að samkvæmt venju er rangsælis stefna jákvæð og réttsælis stefna neikvæð. Skautarinn á mynd 6.9 snýst til dæmis rangsælis séð ofan frá, svo hornhraði hennar er jákvæður. Hröðun væri neikvæð þegar hlutur sem snýst rangsælis hægir á sér, en jákvæð þegar hlutur sem snýst rangsælis hraðar á sér.

Sambandið milli stærða snertihröðunar, a, og hornhröðunar, α, er

Þessar jöfnur merkja að stærðir snertihröðunar og hornhröðunar eru í réttu hlutfalli hvor við aðra. Því meiri sem hornhröðunin er, því meiri verður breytingin á snertihröðun og öfugt. Hugsið til dæmis um farþega í sætum parísarhjóls sem er kyrrt í upphafi. Parísarhjól með meiri hornhröðun gefur farþegunum meiri snertihröðun, því þegar hjólið eykur snúningshraða sinn eykur það einnig snertihraðann. Athugið að radíus hlutarins sem snýst skiptir einnig máli. Fyrir tiltekna hornhröðun α gefur minna parísarhjól farþegunum minni snertihröðun.

Gott að hafa í huga

Snertihröðun er stundum táknuð a_t. Hún er línuleg hröðun í stefnu snertils við hringinn á þeim punkti sem skoðaður er í hringhreyfingu eða snúningshreyfingu. Munið að snertihröðun er samsíða snertihraðanum, annaðhvort í sömu stefnu eða gagnstæða stefnu. Miðsóknarhröðun er alltaf hornrétt á snertihraðann.

Hingað til höfum við skilgreint þrjár snúningsbreytur: θ, ω og α. Þær eru hornhliðstæður línulegu breytanna x, v og a. Jöfnurnar í töflunni sýna stærðir snúningsbreytanna og gilda aðeins þegar radíusinn er fastur og hornréttur á snúningsbreytuna. Tafla 6.2 sýnir tengslin.

Nú getum við farið að sjá hvernig snúningsstærðir eins og θ, ω og α tengjast hver annarri. Ef mótorhjólshjól byrjar til dæmis í kyrrstöðu og hefur mikla hornhröðun í nokkuð langan tíma, endar það með því að snúast hratt og fer marga snúninga. Með breytunum sagt: ef hornhröðun hjólsins α er mikil í langan tíma t, verða lokahornhraðinn ω og snúningshornið θ stór. Í línulegri hreyfingu gildir samsvarandi: ef hlutur byrjar í kyrrstöðu og verður fyrir mikilli línulegri hröðun, fær hann mikinn lokahraða og fer langa vegalengd.

Hreyfifræði snúningshreyfingar lýsir tengslum snúningshorns, hornhraða, hornhröðunar og tíma. Hún lýsir aðeins hreyfingu; hún tekur ekki með krafta eða massa sem geta haft áhrif á snúning, en það tilheyrir kraftafræði. Rifjið upp hreyfijöfnuna fyrir línulega hreyfingu:

Eins og í línulegri hreyfifræði gerum við ráð fyrir að a sé fasti. Það merkir að hornhröðunin α er einnig fasti, því a = rα. Hreyfijafnan sem tengir ω, α og t er

þar sem ω₀ er upphafshornhraði. Takið eftir að jafnan er eins og línulega útgáfan, nema með hornhliðstæðum línulegu breytanna. Reyndar hafa allar línulegu hreyfijöfnurnar snúningshliðstæður, eins og sjá má í töflu 6.3. Þessar jöfnur má nota til að leysa hreyfifræðidæmi um snúningshreyfingu eða línulega hreyfingu þegar a og α eru fastar.

Í þessum jöfnum eru ω₀ og v₀ upphafsgildi, t₀ er núll, og meðalhornhraði ω̄ og meðalhraði v̄ eru

Gaman í eðlisfræði

Óveðurseltir

• Óveðurseltar falla yfirleitt í einn af fjórum hópum: áhugafólk sem eltir skýstrokka sem áhugamál, lofthjúpsfræðingar sem safna gögnum til rannsókna, veðurvaktir fréttamiðla eða vísindafólk sem skemmtir sér undir yfirskini vinnu. Skýstrokkaveiðar eru hættulegt tómstundastarf, því skýstrokkar geta breytt stefnu hratt og með litlum fyrirvara. Þar sem óveðurseltar fylgja slóð eyðileggingarinnar sem skýstrokkar skilja eftir sig er algengt að skipta þurfi um sprungin dekk vegna braks á vegum. Virkasta skýstrokkasvæði heims, skýstrokkabeltið, er í miðríkjum Bandaríkjanna, milli Klettafjalla og Appalasíufjalla.

• Skýstrokkar eru fullkomin dæmi um snúningshreyfingu í náttúrunni. Þeir myndast úr öflugum þrumuveðrum sem kallast ofursellur og hafa loftsúlu sem snýst um láréttan ás, yfirleitt um fjórar mílur í þvermál. Munurinn á vindhraða sterku köldu vindanna ofar í lofthjúpnum, í háloftavindröstinni, og veikari vinda sem berast norður frá Mexíkóflóa veldur því að ás loftsúlunnar hliðrast þegar stormurinn færist, þannig að ásinn verður lóðréttur og skýstrokkur myndast.

• Skýstrokkar geta myndað vindhraða allt að 500 km/klst, eða um 300 mílur/klst, sérstaklega neðst þar sem trektin er mjóst, því snúningshraðinn eykst þegar radíusinn minnkar. Þeir geta feykt húsum burt eins og þau væru úr pappír og þekkt er að strá hafi stungist í gegnum trjáboli.

Kraftvægi

Ef þið hafið einhvern tíma snúið reiðhjólshjóli eða ýtt hringekju vitið þið að kraft þarf til að breyta hornhraða. Því fjær sem kraftinum er beitt frá snúningspunktinum, eða fulcrum, því meiri verður hornhröðunin. Hurð opnast til dæmis hægt ef ýtt er of nálægt hjörunum, en auðveldlega ef ýtt er langt frá þeim. Við vitum líka að því massameiri sem hurðin er, því hægar opnast hún; það er vegna þess að hornhröðun er í öfugu hlutfalli við massa. Þessi tengsl líkjast mjög tengslum krafts, massa og hröðunar í öðru lögmáli Newtons. Þar sem við höfum þegar fjallað um hornhliðstæður vegalengdar, hraða og tíma kann að vakna spurningin: hver er hornhliðstæða krafts og hvernig tengist hún línulegum krafti?

Hornhliðstæða krafts er kraftvægi, τ, sem lýsir hversu áhrifaríkur kraftur er til að snúa hlut. Sjá mynd 6.11. Jafnan fyrir stærð kraftvægis er

þar sem r er fjarlægðin frá snúningspunktinum að staðnum þar sem kraftinum er beitt, F er stærð línulega kraftsins og θ er hornið milli vogararmsins og kraftsins. Vogararmurinn er vigurinn frá snúningspunktinum að átakspunktinum þar sem kraftinum er beitt. Þar sem stærð vogararmsins er vegalengd er eining hans metri, og kraftvægi hefur eininguna N·m. Kraftvægi er vigurstærð og hefur sömu stefnu og hornhröðunin sem það veldur.

Meira kraftvægi veldur meiri hornhröðun. Því fastar sem maðurinn ýtir á hringekjuna á mynd 6.11, því hraðar eykur hún hornhraðann. Þar að auki hraðar massameiri hringekja sér hægar fyrir sama kraftvægi. Ef maðurinn vill hámarka áhrif kraftsins á hringekjuna ætti hann að ýta eins langt frá miðjunni og hægt er til að fá stærsta vogararminn og þar með mesta kraftvægið og mestu hornhröðunina. Kraftvægi verður einnig mest þegar kraftinum er beitt hornrétt á vogararminn.

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] [AL] Sýnið eðlisfræðileg tengsl kraftvægis, krafts, átakshorns og lengdar vogararms með vogarstöngum af mismunandi lengd. Hjálpið nemendum að tengja efnislegar athuganir við stærðfræðileg tengsl. Kraftvægi er til dæmis mest þegar kraftinum er beitt nákvæmlega hornrétt á vogararminn, því sin θ = 1 fyrir θ = 90°.

Lausn dæma um hreyfifræði snúnings og kraftvægi

Rétt eins og línulegir kraftar geta jafnast út þannig að heildarkraftur verði núll og engin línuleg hröðun verði, getur það sama gerst í snúningshreyfingu. Þegar tvö kraftvægi af sömu stærð verka í gagnstæðar stefnur verður ekkert heildarkraftvægi og engin hornhröðun, eins og sést í eftirfarandi myndbandi. Ef ekkert heildarkraftvægi verkar á kerfi sem snýst með föstum hornhraða heldur kerfið áfram að snúast með sama hornhraða.

Horft á eðlisfræði

Inngangur að kraftvægi

Myndbandið skilgreinir kraftvægi með hjálp vægisarms, sem er það sama og vogararmur. Það fjallar einnig um dæmi þar sem kraftar verka í gagnstæðar stefnur um snúningspunkt. Á þessu stigi má hunsa tilvísanir Sals í vinnu og vélrænan ávinning.

Aðgangur að margmiðlunarefni.

Spurning 14. Ef heildarkraftvægið sem verkar á reglustikuna í dæminu væri jákvætt í stað þess að vera núll, hvað segði það um hornhröðunina? Hvað myndi gerast við reglustikuna með tímanum?

1. Reglustikan er í snúningsjafnvægi og snýst því ekki um massamiðju sína. Hornhröðunin er því núll.
2. Reglustikan er ekki í snúningsjafnvægi en snýst samt ekki um massamiðju sína. Hornhröðunin er því núll.
3. Reglustikan er ekki í snúningsjafnvægi og snýst því um massamiðju sína. Hornhröðunin er því ekki núll.
4. Reglustikan er í snúningsjafnvægi en snýst samt um massamiðju sína. Hornhröðunin er því ekki núll.

Nú skulum við skoða dæmi þar sem hreyfifræði snúnings er beitt á veiðihjól og hugtakið kraftvægi á hringekju.

Unnið dæmi: Tíminn sem tekur veiðihjól að stöðvast

Djúpveiðisjómaður notar veiðistöng með veiðihjóli sem hefur radíusinn 4,50 cm. Stór fiskur bítur á og syndir frá bátnum og dregur veiðilínuna af veiðihjólinu. Þegar línan vindst af hjólinu snýst hjólið með hornhraðanum 220 rad/s. Sjómaðurinn hemlar hjólið og veldur hornhröðuninni −300 rad/s². Hve langan tíma tekur það hjólið að stöðvast?

Aðferð

Við eigum að finna tímann t sem tekur hjólið að stöðvast. Stærð upphafshornhraðans er ω₀ = 220 rad/s og lokahornhraðinn er ω = 0. Merkt stærð hornhröðunarinnar er α = −300 rad/s², þar sem mínusmerkið sýnir að hún verkar í gagnstæða stefnu við hornhraðann. Þegar hreyfijöfnur snúnings eru skoðaðar sést að allar stærðir nema t eru þekktar í jöfnunni ω = ω₀ + αt, svo hún er einfaldasta jafnan fyrir þetta dæmi.

Lausn

Jafnan sem á að nota er

Við leysum jöfnuna algebrulega fyrir t og setjum síðan inn þekktu gildin.

Umræða

Tíminn sem tekur hjólið að stöðvast er nokkuð stuttur vegna þess að hröðunin er nokkuð mikil. Veiðilínur slitna stundum vegna kraftanna sem koma við sögu og sjómenn leyfa fiskinum oft að synda um stund áður en þeir hemla hjólið. Þreyttur fiskur er hægari og krefst minni hröðunar og þar með minni krafts.

Unnið dæmi: Kraftvægi á hringekju

Skoðum manninn sem ýtir leikvallahringekjunni á mynd 6.11. Hann beitir kraftinum 250 N á jaðri hringekjunnar, hornrétt á radíusinn sem er 1,50 m. Hve mikið kraftvægi myndar hann? Gerið ráð fyrir að núningur sem verkar á hringekjuna sé óverulegur.

Aðferð

Til að finna kraftvægið tökum við eftir að krafturinn sem er beitt er hornréttur á radíusinn og að núningur er óverulegur.

Lausn

Umræða

Maðurinn hámarkar kraftvægið með því að beita kraftinum hornrétt á vogararminn, þannig að θ = π/2 og sin θ = 1. Hann hámarkar einnig kraftvægi sitt með því að ýta á ysta jaðar hringekjunnar og fær þannig stærsta mögulega vogararminn.

Æfingadæmi

Spurning 15. Hve mikið kraftvægi myndar manneskja ef hún beitir 12 N krafti í 1,0 m fjarlægð frá snúningspunkti, hornrétt á vogararminn?

1. 1/144 N·m
2. 1/12 N·m
3. 12 N·m
4. 144 N·m

Spurning 16. Hornhraði hlutar breytist úr 3 rad/s réttsælis í 8 rad/s réttsælis á 5 s. Hver er hornhröðunin?

1. 0,6 rad/s²
2. 1,6 rad/s²
3. 1 rad/s²
4. 5 rad/s²

Athugaðu skilning þinn

Spurning 17. Hvað er hornhröðun?

1. Hornhröðun er breytingarhraði hornfærslu.
2. Hornhröðun er breytingarhraði hornhraða.
3. Hornhröðun er breytingarhraði línulegrar færslu.
4. Hornhröðun er breytingarhraði línulegs hraða.

Spurning 18. Hver er jafnan fyrir hornhröðun, α? Gerið ráð fyrir að θ sé hornið, ω sé hornhraðinn og t sé tíminn.

1. α = Δω/Δt
2. α = Δt/Δω
3. α = Δθ/Δt
4. α = Δt/Δθ

Spurning 19. Hver eftirfarandi lýsing á best við um kraftvægi?

1. Það er snúningshliðstæða krafts.
2. Það er krafturinn sem hefur áhrif á línulega hreyfingu.
3. Það er snúningshliðstæða hröðunar.
4. Það er hröðunin sem hefur áhrif á línulega hreyfingu.

Spurning 20. Hver er jafnan fyrir kraftvægi?

1. τ = F cos θ/r
2. τ = F sin θ/r
3. τ = rF cos θ
4. τ = rF sin θ

Stuðningur við kennara

Notið spurningarnar í Athugaðu skilning þinn til að meta hvort nemendur hafi náð tökum á námsmarkmiðum þessa hluta. Ef nemendur eiga í erfiðleikum með tiltekið markmið hjálpa spurningarnar við að finna hvaða markmið veldur vandanum og vísa nemendum á viðeigandi efni.