6.3 Snúningshreyfing

Í hlutanum um jafna hringhreyfingu ræddum við hreyfingu eftir hring með jafnri ferð og þar með föstum hornhraða. Stundum er hornhraðinn þó ekki fastur: snúningshreyfing getur hraðað á sér, hægt á sér eða skipt um stefnu. Hornhraði er ekki fastur þegar skautari sem snýst dregur að sér handleggina, þegar barn ýtir hringekju af stað eða þegar geisladiskur hægir á sér þar til hann stöðvast eftir að slökkt er á tækinu. Í öllum þessum tilvikum verður hornhröðun vegna þess að hornhraðinn ω breytist. Því hraðar sem breytingin verður, því meiri er hornhröðunin. Hornhröðun α er breytingarhraði hornhraða. Á jöfnuformi er meðalhornhröðun

þar sem Δω er breyting á hornhraða og Δt er tímabreyting. Eining hornhröðunar er (rad/s)/s, eða rad/s². Ef ω eykst er α jákvæð. Ef ω minnkar er α neikvæð. Hafið í huga að samkvæmt venju er rangsælis stefna jákvæð og réttsælis stefna neikvæð. Skautarinn á mynd 6.9 snýst til dæmis rangsælis séð ofan frá, svo hornhraði hennar er jákvæður. Hröðun væri neikvæð þegar hlutur sem snýst rangsælis hægir á sér, en jákvæð þegar hlutur sem snýst rangsælis hraðar á sér.

Sambandið milli stærða snertihröðunar, a, og hornhröðunar, α, er

Þessar jöfnur merkja að stærðir snertihröðunar og hornhröðunar eru í réttu hlutfalli hvor við aðra. Því meiri sem hornhröðunin er, því meiri verður breytingin á snertihröðun og öfugt. Hugsið til dæmis um farþega í sætum parísarhjóls sem er kyrrt í upphafi. Parísarhjól með meiri hornhröðun gefur farþegunum meiri snertihröðun, því þegar hjólið eykur snúningshraða sinn eykur það einnig snertihraðann. Athugið að radíus hlutarins sem snýst skiptir einnig máli. Fyrir tiltekna hornhröðun α gefur minna parísarhjól farþegunum minni snertihröðun.

Hingað til höfum við skilgreint þrjár snúningsbreytur: θ, ω og α. Þær eru hornhliðstæður línulegu breytanna x, v og a. Jöfnurnar í töflunni sýna stærðir snúningsbreytanna og gilda aðeins þegar radíusinn er fastur og hornréttur á snúningsbreytuna. Tafla 6.2 sýnir tengslin.

Nú getum við farið að sjá hvernig snúningsstærðir eins og θ, ω og α tengjast hver annarri. Ef mótorhjólshjól byrjar til dæmis í kyrrstöðu og hefur mikla hornhröðun í nokkuð langan tíma, endar það með því að snúast hratt og fer marga snúninga. Með breytunum sagt: ef hornhröðun hjólsins α er mikil í langan tíma t, verða lokahornhraðinn ω og snúningshornið θ stór. Í línulegri hreyfingu gildir samsvarandi: ef hlutur byrjar í kyrrstöðu og verður fyrir mikilli línulegri hröðun, fær hann mikinn lokahraða og fer langa vegalengd.

Hreyfifræði snúningshreyfingar lýsir tengslum snúningshorns, hornhraða, hornhröðunar og tíma. Hún lýsir aðeins hreyfingu; hún tekur ekki með krafta eða massa sem geta haft áhrif á snúning, en það tilheyrir kraftafræði. Rifjið upp hreyfijöfnuna fyrir línulega hreyfingu:

$v=v_0+at\text{(fast a)}$

Eins og í línulegri hreyfifræði gerum við ráð fyrir að a sé fasti. Það merkir að hornhröðunin α er einnig fasti, því $a=r\alpha$. Hreyfijafnan sem tengir ω, α og t er

$\omega ={\omega }_0+\alpha t\text{(fast α)}$

þar sem ω0 er upphafshornhraði. Takið eftir að jafnan er eins og línulega útgáfan, nema með hornhliðstæðum línulegu breytanna. Reyndar hafa allar línulegu hreyfijöfnurnar snúningshliðstæður, eins og sjá má í töflu 6.3. Þessar jöfnur má nota til að leysa hreyfifræðidæmi um snúningshreyfingu eða línulega hreyfingu þegar a og α eru fastar.

Í þessum jöfnum eru ω0 og v0 upphafsgildi, t₀ er núll, og meðalhornhraði ω¯ og meðalhraði v¯ eru

Ef þið hafið einhvern tíma snúið reiðhjólshjóli eða ýtt hringekju vitið þið að kraft þarf til að breyta hornhraða. Því fjær sem kraftinum er beitt frá snúningspunktinum, eða fulcrum, því meiri verður hornhröðunin. Hurð opnast til dæmis hægt ef ýtt er of nálægt hjörunum, en auðveldlega ef ýtt er langt frá þeim. Við vitum líka að því massameiri sem hurðin er, því hægar opnast hún; það er vegna þess að hornhröðun er í öfugu hlutfalli við massa. Þessi tengsl líkjast mjög tengslum krafts, massa og hröðunar í öðru lögmáli Newtons. Þar sem við höfum þegar fjallað um hornhliðstæður vegalengdar, hraða og tíma kann að vakna spurningin: hver er hornhliðstæða krafts og hvernig tengist hún línulegum krafti?

Hornhliðstæða krafts er kraftvægi, τ, sem lýsir hversu áhrifaríkur kraftur er til að snúa hlut. Sjá mynd 6.11. Jafnan fyrir stærð kraftvægis er

þar sem r er fjarlægðin frá snúningspunktinum að staðnum þar sem kraftinum er beitt, F er stærð línulega kraftsins og θ er hornið milli vogararmsins og kraftsins. Vogararmurinn er vigurinn frá snúningspunktinum að átakspunktinum þar sem kraftinum er beitt. Þar sem stærð vogararmsins er vegalengd er eining hans metri, og kraftvægi hefur eininguna N·m. Kraftvægi er vigurstærð og hefur sömu stefnu og hornhröðunin sem það veldur.

Meira kraftvægi veldur meiri hornhröðun. Því fastar sem maðurinn ýtir á hringekjuna á mynd 6.11, því hraðar eykur hún hornhraðann. Þar að auki hraðar massameiri hringekja sér hægar fyrir sama kraftvægi. Ef maðurinn vill hámarka áhrif kraftsins á hringekjuna ætti hann að ýta eins langt frá miðjunni og hægt er til að fá stærsta vogararminn og þar með mesta kraftvægið og mestu hornhröðunina. Kraftvægi verður einnig mest þegar kraftinum er beitt hornrétt á vogararminn.

Rétt eins og línulegir kraftar geta jafnast út þannig að heildarkraftur verði núll og engin línuleg hröðun verði, getur það sama gerst í snúningshreyfingu. Þegar tvö kraftvægi af sömu stærð verka í gagnstæðar stefnur verður ekkert heildarkraftvægi og engin hornhröðun, eins og sést í eftirfarandi myndbandi. Ef ekkert heildarkraftvægi verkar á kerfi sem snýst með föstum hornhraða heldur kerfið áfram að snúast með sama hornhraða.

Nú skulum við skoða dæmi þar sem hreyfifræði snúnings er beitt á veiðihjól og hugtakið kraftvægi á hringekju.