6.1 Snúningshorn og hornhraði

Markmið hlutans

Í lok þessa hluta eigið þið að geta gert eftirfarandi:

• Lýst snúningshorni og tengt það samsvarandi línulegri stærð.
• Lýst hornhraða og tengt hann samsvarandi línulegum hraða.
• Leyst dæmi sem fela í sér snúningshorn og hornhraða.

Stuðningur við kennara

Námsmarkmiðin í þessum hluta hjálpa nemendum að ná tökum á eftirfarandi viðmiði:

• (4) Vísindahugtök. Nemandi þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu við fjölbreyttar aðstæður. Nemandi á að geta: (C) greint og lýst hraðaðri hreyfingu í tveimur víddum með jöfnum, þar á meðal dæmum um kasthreyfingu og hringhreyfingu.

Lykilhugtök hlutans

Snúningshorn

Hvað nákvæmlega er átt við með hringhreyfingu eða snúningi? Snúningshreyfing er hringhreyfing hlutar um snúningsás. Hér ræðum við sérstaklega hringhreyfingu og spunahreyfingu. Hringhreyfing verður þegar hlutur hreyfist eftir hringlaga ferli. Dæmi eru kappakstursbíll sem fer hratt eftir hringlaga beygju, leikfang bundið í band sem sveiflast í hring yfir höfðinu á þér eða hringlykkja í rússíbana. Spunahreyfing er snúningur um ás sem liggur í gegnum massamiðju hlutarins, til dæmis þegar jörðin snýst um möndul sinn, hjól snýst um öxul, hvirfilbylur snýst á eyðileggingarleið sinni eða listhlaupari snýst í keppni á Ólympíuleikum. Stundum snýst hlutur um eigin ás á meðan hann er í hringhreyfingu, eins og jörðin sem snýst um möndul sinn á leið sinni um sólu, en hér skoðum við þessar tvær hreyfingar hvor í sínu lagi.

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] Útskýrið muninn á hringhreyfingu og snúningshreyfingu með því að nota snúning jarðar um möndul sinn og hreyfingu hennar um sólu. Útskýrið að braut jarðar er lítillega sporöskjulaga, þótt hún sé mjög nærri því hringlaga.

[OL] [AL] Biðjið nemendur að nefna dæmi um hringhreyfingu.

Þegar við leysum dæmi um snúningshreyfingu notum við breytur sem líkjast línulegum breytum, svo sem vegalengd, hraða, hröðun og krafti, en taka jafnframt tillit til sveigju eða snúnings hreyfingarinnar. Hér skilgreinum við snúningshorn, sem er hornsamsvara vegalengdar, og hornhraða, sem er hornsamsvara línulegs hraða.

Þegar hlutir snúast um einhvern ás, til dæmis þegar geisladiskurinn á mynd 6.2 snýst um miðju sína, fylgir hver punktur í hlutnum hringlaga ferli.

Bogalengd, Δs, er vegalengdin sem farin er eftir hringlaga ferli. Sveigjugeisli, r, er radíus hringlaga ferilsins. Hvort tveggja sést á mynd 6.3.

Hugsum okkur línu frá miðju geisladisksins út að jaðri hans. Á tilteknum tíma færist hver hola á þessari línu í gegnum sama horn. Snúningshornið er magn snúningsins og er hornhliðstæða vegalengdar. Snúningshornið Δθ er bogalengdin deild með sveigjugeislanum.

Snúningshorn er oft mælt í einingu sem kallast radían. Radíanar eru í raun víddarlausir, því radían er skilgreind sem hlutfall tveggja lengda, radíuss og bogalengdar. Einn snúningur er einn heill hringur, þar sem allir punktar hringsins koma aftur í upphafsstöðu. Einn snúningur samsvarar 2π radíönum, eða 360°, og hefur því snúningshornið 2π radíana og bogalengd sem er jöfn ummáli hringsins. Við getum breytt á milli radíana, snúninga og gráða með sambandinu

1 snúningur = 2π rad = 360°. Tafla 6.1 sýnir umbreytingu milli gráða og radíana fyrir nokkur algeng horn.

Hornhraði

Stuðningur við kennara

[BL] Rifjið upp færslu, ferð, hraða og hröðun.

[AL] Spyrjið nemendur hvort hraði breytist í jafnri hringhreyfingu. Hvað með ferð? Hvað með hröðun?

Hversu hratt snýst hlutur? Við getum svarað því með hugtakinu hornhraði. Skoðum fyrst hornhraða, ω, sem er breytingarhraði snúningshornsins. Á jöfnuformi er stærð hornhraðans

Þetta þýðir að snúningur um hornið Δθ verður á tímanum Δt. Ef hlutur snýst um stærra horn á tilteknum tíma hefur hann meiri hornhraða. Eining hornhraða er radíanar á sekúndu (rad/s).

Nú skulum við taka stefnuna með í reikninginn; þá tölum við um hornhraða. Stefna hornhraðans er eftir snúningsásnum. Fyrir hlut sem snýst réttsælis vísar hornhraðinn frá þér eftir snúningsásnum. Fyrir hlut sem snýst rangsælis vísar hornhraðinn til þín eftir snúningsásnum.

Hornhraði (ω) er hornhliðstæða línulegs hraða v. Snertihraði er augnabliks-línulegur hraði hlutar í snúningshreyfingu. Til að fá nákvæmt samband hornhraða og snertihraða skulum við aftur skoða holu á geisladiski sem snýst. Holan fer bogalengdina Δs á stuttum tíma Δt og því er stærð snertihraða hennar

Af skilgreiningu snúningshorns, Δθ = Δs/r, sjáum við að Δs = rΔθ. Ef því er stungið inn í jöfnuna fyrir v fæst

Jafnan v = rω segir að stærð snertihraðans v sé í réttu hlutfalli við fjarlægðina r frá snúningsmiðju. Stærð snertihraðans er því meiri fyrir punkt á ytri jaðri geisladisksins, þar sem r er stærra, en fyrir punkt nær miðjunni, þar sem r er minna. Þetta er rökrétt, því punktur lengra frá miðju þarf að fara lengri bogalengd á sama tíma og punktur nær miðju. Athugið að báðir punktar hafa samt sama hornhraða, óháð fjarlægð frá snúningsmiðju. Sjá mynd 6.4.

Stuðningur við kennara

[AL] Útskýrið að tímabilið Δt í jöfnunni sem skilgreinir snertihraða, v = Δs/Δt, þarf að vera stutt svo hægt sé að nálga bogaferil hlutarins sem beina línu. Þá getum við skilgreint stefnu snertihraðans sem snertil við hringinn. Þessi nálgun verður sífellt nákvæmari þegar Δt verður sífellt minna.

Skoðum nú annað dæmi: dekk á bíl á ferð (sjá mynd 6.5). Því hraðar sem dekkið snýst, því hraðar hreyfist bíllinn; stórt ω merkir stórt v, því v = rω. Á sama hátt gefur dekk með stærri radíus, sem snýst með sama hornhraða ω, bílnum meiri línulegan hraða, eða snertihraða, v. Ástæðan er sú að stærri radíus þýðir að lengri bogalengd þarf að snerta veginn, svo bíllinn verður að færast lengra á sama tíma.

Samt eru tilvik þar sem línulegur hraði og snertihraði eru ekki jafngildir, til dæmis þegar bíll spólar á ís. Þá er línulegi hraðinn minni en snertihraðinn. Vegna skorts á núningi undir dekkjunum á ís er bogalengdin sem slitflötur dekkjanna fer meiri en línulega vegalengdin sem bíllinn fer. Þetta líkist því að hlaupa á hlaupabretti eða stíga þrekhjól; maður fer bókstaflega ekkert, þótt það gerist hratt.

Gott að hafa í huga

Hornhraði ω og snertihraði v eru vigrar, svo við þurfum að tilgreina bæði stærð og stefnu. Stefna hornhraða liggur eftir snúningsásnum og vísar frá þér þegar hlutur snýst réttsælis en til þín þegar hlutur snýst rangsælis. Í stærðfræði er þessu lýst með hægrihandarreglunni. Snertihraða er yfirleitt lýst með stefnum eins og upp, niður, til vinstri, til hægri, norður, suður, austur eða vestur, eins og sést á mynd 6.6.

Horft á eðlisfræði

Samband hornhraða og ferðar

Myndbandið rifjar upp skilgreiningu og einingar hornhraða og tengir hornhraða við línulega ferð. Það sýnir einnig hvernig breytt er á milli snúninga og radíana.

Aðgangur að margmiðlunarefni.

Spurning 1. Breytist línuleg ferð hlutar sem fer eftir hringlaga ferli með föstum hornhraða ef radíus ferilsins stækkar?

1. Já, vegna þess að snertihraði er óháð radíusnum.
2. Já, vegna þess að snertihraði fer eftir radíusnum.
3. Nei, vegna þess að snertihraði er óháð radíusnum.
4. Nei, vegna þess að snertihraði fer eftir radíusnum.

Lausn dæma sem fela í sér snúningshorn og hornhraða

Smelliverkefni

Mæling á hornhraða

Í þessu verkefni búið þið til og mælið jafna hringhreyfingu og berið hana síðan saman við hringhreyfingar með mismunandi radíus.

• Eitt band (1 m langt)
• Einn hlutur (gúmmítappi með tveimur götum) til að binda við endann
• Ein skeiðklukka

Framkvæmd

1. Bindið hlut við enda bandsins.
2. Sveiflið hlutnum í láréttum hring fyrir ofan höfuðið (sveiflið frá úlnliðnum). Mikilvægt er að hringurinn sé láréttur.
3. Haldið hlutnum á jafnri ferð á meðan hann sveiflast.
4. Mælið hornhraði hlutarins á þennan hátt. Mælið í sekúndum þann tíma sem tekur hlutinn að fara 10 snúninga. Deilið 10 snúningum með þeim tíma til að fá hornhraða í snúningum á sekúndu, sem má síðan breyta í radíana á sekúndu.
5. Hver er áætluð línuleg ferð hlutarins?
6. Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengd bandsins verði 90 cm. Endurtakið skref 2-5.
7. Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengdin verði 80 cm. Endurtakið skref 2-5.
8. Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengdin verði 70 cm. Endurtakið skref 2-5.
9. Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengdin verði 60 cm. Endurtakið skref 2-5.
10. Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengdin verði 50 cm. Endurtakið skref 2-5.
11. Gerið graf af hornhraða sem falli af radíus (þ.e. lengd bandsins) og línulegri ferð sem falli af radíus. Lýsið útliti hvors grafs.

Spurning 2. Ef þú sveiflar hlut hægt getur hann snúist minna en einn snúning á sekúndu. Hversu margir snúningar á sekúndu eru það ef hluturinn fer einn snúning á fimm sekúndum? Hver verður stærð hornhraðans í radíönum á sekúndu?

1. Hluturinn snýst með 1/5 snúning/s. Hornhraði hlutarins er 2π/5 rad/s.
2. Hluturinn snýst með 1/5 snúning/s. Hornhraði hlutarins er π/5 rad/s.
3. Hluturinn snýst með 5 snúning/s. Hornhraði hlutarins er 10π rad/s.
4. Hluturinn snýst með 5 snúning/s. Hornhraði hlutarins er 5π rad/s.

Nú þegar við skiljum hugtökin snúningshorn og hornhraði skulum við beita þeim á raunverulegar aðstæður: klukkuturn og dekk sem snýst.

Unnið dæmi: Snúningshorn á klukkuturni

Klukkan á klukkuturni hefur radíusinn 1,0 m. (a) Hvaða snúningshorn fer klukkuvísirinn í gegnum þegar hann færist frá 12:00 til 15:00? (b) Hver er bogalengdin eftir ysta jaðri klukkunnar milli þessara tveggja staða klukkuvísisins?

Aðferð

Við getum fundið snúningshornið með því að margfalda einn heilan snúning, 2π radíana, með þeim hluta af 12 klukkustundum sem klukkuvísirinn fer þegar hann færist frá 12 til 3. Þegar snúningshornið er þekkt getum við fundið bogalengdina með því að umrita jöfnuna Δθ = Δs/r, þar sem radíusinn er gefinn.

Lausn á (a)

Þegar vísirinn færist frá 12 til 3 fer hann yfir 1/4 af þeim 12 klukkustundum sem þarf fyrir einn heilan snúning. Hornið á milli vísisins klukkan 12 og klukkan 3 er því 1/4 × 2π rad = π/2, eða 90°.

Lausn á (b)

Með því að umrita jöfnuna

fæst

Þegar þekktu gildin eru sett inn fæst bogalengdin

Umræða

Við gátum fellt radíana út úr lokasvarinu í lið (b) vegna þess að radíanar eru í raun víddarlausir. Radían er skilgreind sem hlutfall tveggja lengda, radíuss og bogalengdar. Jafnan gefur því svar í metrum, eins og búast má við fyrir bogalengd.

Unnið dæmi: Hversu hratt snýst bíldekk?

Reiknið hornhraða bíldekks með radíus 0,300 m þegar bíllinn fer á 15,0 m/s, sem er um 54 km/klst. Sjá mynd 6.5.

Aðferð

Í þessu tilviki er ferð slitflatar dekksins miðað við hjólásinn sú sama og ferð bílsins miðað við veginn, svo v = 15,0 m/s. Radíus dekksins er r = 0,300 m. Þar sem v og r eru þekkt getum við umritað jöfnuna v = rω sem ω = v/r og fundið stærð hornhraðans.

Lausn

Til að finna stærð hornhraðans notum við sambandið

Þegar þekktu stærðirnar eru settar inn fæst

Umræða

Þegar einingar eru styttar út í útreikningnum hér að ofan fæst 50,0/s, það er 50,0 á sekúndu, sem er yfirleitt skrifað 50,0 s⁻¹. Stærð hornhraðans þarf hins vegar að hafa eininguna rad/s. Þar sem radíanar eru víddarlausir getum við sett þá inn í svarið, því við vitum að hreyfingin er hringhreyfing. Athugið einnig að ef jarðýta með miklu stærri dekk, til dæmis með radíus 1,20 m, færi með sömu ferðinni 15,0 m/s, myndu dekkin snúast hægar. Þá væri stærð hornhraðans

Æfingadæmi

Spurning 3. Hvert er hornið í gráðum á milli klukkuvísis og mínútuvísis á klukku sem sýnir 9:00 f.h.?

1. 0°
2. 90°
3. 180°
4. 360°

Spurning 4. Hvert er áætlað gildi bogalengdarinnar á milli klukkuvísis og mínútuvísis á klukku sem sýnir 10:00 f.h. ef radíus klukkunnar er 0,2 m?

1. 0,1 m
2. 0,2 m
3. 0,3 m
4. 0,6 m

Athugaðu skilning þinn

Spurning 5. Hvað er hringhreyfing?

1. Hringhreyfing er hreyfing hlutar þegar hann fylgir línulegum ferli.
2. Hringhreyfing er hreyfing hlutar þegar hann fylgir sikksakkferli.
3. Hringhreyfing er hreyfing hlutar þegar hann fylgir hringlaga ferli.
4. Valkostur D er villandi sem truflari.

Spurning 6. Hvað er átt við með sveigjugeisla þegar snúningshreyfingu er lýst?

1. Sveigjugeislinn er radíus hringlaga ferils.
2. Sveigjugeislinn er þvermál hringlaga ferils.
3. Sveigjugeislinn er ummál hringlaga ferils.
4. Sveigjugeislinn er flatarmál hringlaga ferils.

Spurning 7. Hvað er hornhraði?

1. Hornhraði er breytingarhraði þvermáls hringlaga ferilsins.
2. Hornhraði er breytingarhraði hornsins sem hringlaga ferillinn spannar.
3. Hornhraði er breytingarhraði flatarmáls hringlaga ferilsins.
4. Hornhraði er breytingarhraði radíuss hringlaga ferilsins.

Spurning 8. Hvaða jafna skilgreinir hornhraða, ω, þegar r er sveigjugeislinn, θ er hornið og t er tíminn?

1. ω = Δθ/Δt
2. ω = Δt/Δθ
3. ω = Δr/Δt
4. ω = Δt/Δr

Spurning 9. Nefnið þrjú dæmi um hlut í hringhreyfingu.

1. Gervihnöttur á braut um jörðu, kappakstursbíll sem hreyfist eftir hringlaga kappakstursbraut og skopparakringla sem snýst um eigin ás.
2. Gervihnöttur á braut um jörðu, kappakstursbíll sem hreyfist eftir hringlaga kappakstursbraut og bolti bundinn í band sem sveiflast í hring um höfuð manns.
3. Jörðin sem snýst um eigin ás, kappakstursbíll sem hreyfist eftir hringlaga kappakstursbraut og bolti bundinn í band sem sveiflast í hring um höfuð manns.
4. Jörðin sem snýst um eigin ás, blöð á loftviftu í gangi og skopparakringla sem snýst um eigin ás.

Spurning 10. Hver er innbyrðis stefna radíusvigurs og snertihraðavigurs hlutar í jafnri hringhreyfingu?

1. Snertihraðavigurinn er alltaf samsíða radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
2. Snertihraðavigurinn er alltaf hornréttur á radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
3. Snertihraðavigurinn myndar alltaf hvasst horn við radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
4. Snertihraðavigurinn myndar alltaf gleitt horn við radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.

Stuðningur við kennara

Notið spurningarnar í Athugaðu skilning þinn til að meta hvort nemendur hafi náð tökum á námsmarkmiðum þessa hluta. Ef nemendur eiga í erfiðleikum með tiltekið markmið má nota tengd æfingadæmi til frekari þjálfunar.