66 Hringhreyfing og snúningshreyfing

6.1 Snúningshorn og hornhraði

Lykilhugtök hlutans

snúningshorn	hornhraði	bogalengd	hringhreyfing
sveigjugeisli	snúningshreyfing	spunahreyfing	snertihraði

Snúningshorn

Hvað nákvæmlega er átt við með hringhreyfingu eða snúningi? Snúningshreyfing er hringhreyfing hlutar um snúningsás. Hér ræðum við sérstaklega hringhreyfingu og spunahreyfingu. Hringhreyfing verður þegar hlutur hreyfist eftir hringlaga ferli. Dæmi eru kappakstursbíll sem fer hratt eftir hringlaga beygju, leikfang bundið í band sem sveiflast í hring yfir höfðinu á þér eða hringlykkja í rússíbana. Spunahreyfing er snúningur um ás sem liggur í gegnum massamiðju hlutarins, til dæmis þegar jörðin snýst um möndul sinn, hjól snýst um öxul, hvirfilbylur snýst á eyðileggingarleið sinni eða listhlaupari snýst í keppni á Ólympíuleikum. Stundum snýst hlutur um eigin ás á meðan hann er í hringhreyfingu, eins og jörðin sem snýst um möndul sinn á leið sinni um sólu, en hér skoðum við þessar tvær hreyfingar hvor í sínu lagi.

Þegar við leysum dæmi um snúningshreyfingu notum við breytur sem líkjast línulegum breytum, svo sem vegalengd, hraða, hröðun og krafti, en taka jafnframt tillit til sveigju eða snúnings hreyfingarinnar. Hér skilgreinum við snúningshorn, sem er hornsamsvara vegalengdar, og hornhraða, sem er hornsamsvara línulegs hraða.

Þegar hlutir snúast um einhvern ás, til dæmis þegar geisladiskurinn á mynd 6.2 snýst um miðju sína, fylgir hver punktur í hlutnum hringlaga ferli.

Skýringarmynd af geisladiski þar sem holur liggja í línum frá miðju að jaðri; hornið θ er merkt á milli tveggja punktalína. — **Mynd 6.2.** Allir punktar á geisladiski ferðast eftir hringlaga ferlum. Holurnar (punktarnir) eftir línu frá miðju út að jaðri fara allar í gegnum sama hornið Δθ á tímanum Δt.

Bogalengd, Δs, er vegalengdin sem farin er eftir hringlaga ferli. Sveigjugeisli, $r$ , er radíus hringlaga ferilsins. Hvort tveggja sést á mynd 6.3.

Skýringarmynd af hring með miðju O, geisla r, bogalengd Δs frá A til B og horni Δθ; jafnan Δθ = Δs/r er sýnd við hliðina. — **Mynd 6.3.** Geisla hrings, r, er snúið um hornið Δθ. Bogalengdin, Δs, er vegalengdin sem farin er eftir ummálinu.

Hugsum okkur línu frá miðju geisladisksins út að jaðri hans. Á tilteknum tíma færist hver hola á þessari línu í gegnum sama horn. Snúningshornið er magn snúningsins og er hornhliðstæða vegalengdar. Snúningshornið Δθ er bogalengdin deild með sveigjugeislanum.

Δθ = \frac{Δs}{r}

Snúningshorn er oft mælt í einingu sem kallast radían. Radíanar eru í raun $v$ íddarlausir, þ $v$ í radían er skilgreind sem hlutfall tveggja lengda, radíuss og bogalengdar. Einn snúningur er einn heill hringur, þar sem allir punktar hringsins koma aftur í upphafsstöðu. Einn snúningur samsvarar $2 π rad$ íönum, eða $360 °$ , og hefur þ $v$ í snúningshornið $2 π radíana$ og bogalengd sem er jöfn ummáli hringsins. Við getum breytt á milli radíana, snúninga og gráða með sambandinu

1 snúningur = $2 π rad$ = $360 °$ . Tafla 6.1 sýnir umbreytingu milli gráða og radíana fyrir nokkur algeng horn.

2 π rad = 360 °; 1 rad = \frac{360}{°} \approx 57,3 °

Gráðumál	Radíanmál
30°	π/6
60°	π/3
90°	π/2
120°	2π/3
135°	3π/4
180°	$π$

Hornhraði

Hversu hratt snýst hlutur? Við getum svarað þ $v$ í með hugtakinu hornhraði. Skoðum fyrst hornhraða, ω, sem er breytingarhraði snúningshornsins. Á jöfnuformi er stæ $r$ ð hornhraðans

ω = \frac{Δθ}{Δt}

Þetta þýðir að snúningur um hornið Δθ verður á tímanum Δt. Ef hlutur snýst um stærra horn á tilteknum tíma hefur hann meiri hornhraða. Eining hornhraða er radíanar á sekúndu (rad/s).

Nú skulum við taka stefnuna með í reikninginn; þá tölum við um hornhraða. Stefna hornhraðans er eftir snúningsásnum. Fyrir hlut sem snýst réttsælis vísar hornhraðinn frá þér eftir snúningsásnum. Fyrir hlut sem snýst rangsælis vísar hornhraðinn til þín eftir snúningsásnum.

Hornhraði (ω) er hornhliðstæða línulegs hraða $v$ . Snertihraði er augnabliks-línulegur hraði hlutar í snúningshreyfingu. Til að fá nákvæmt samband hornhraða og snertihraða skulum við aftur skoða holu á geisladiski sem snýst. Holan fer bogalengdina Δs á stuttum tíma Δt og þ $v$ í er stæ $r$ ð snertihraða hennar

v = \frac{Δs}{Δt}

Af skilgreiningu snúningshorns, $Δθ = \frac{Δs}{r}$ , sjáum við að $Δs = r Δθ$ . Ef þ $v$ í er stungið inn í jöfnuna fyrir $v$ fæst

v = r \frac{Δθ}{Δt} = r ω

Jafnan $v = r ω$ segir að stæ $r$ ð snertihraðans $v$ sé í $r$ éttu hlutfalli við fjarlægðina $r$ frá snúningsmiðju. Stæ $r$ ð snertihraðans er þ $v$ í meiri fyrir punkt á ytri jaðri geisladisksins, þar sem $r$ er stærra, en fyrir punkt næ $r$ miðjunni, þar sem $r$ er minna. Þetta er $r$ ökrétt, þ $v$ í punktur lengra frá miðju þarf að fara lengri bogalengd á sama tíma og punktur næ $r$ miðju. Athugið að báðir punktar hafa samt sama hornhraða, óháð fjarlægð frá snúningsmiðju. Sjá mynd 6.4.

Hringmynd með geislunum r1 og r2; punktur 2 er lengra frá miðju en punktur 1 og fer því lengri bogalengd Δs2 fyrir sama horn Δθ. — **Mynd 6.4.** Punktar 1 og 2 snúast um sama horn, Δθ, en punktur 2 fer lengri bogalengd, Δs₂, vegna þess að hann er lengra frá snúningsmiðju.

Skoðum nú annað dæmi: dekk á bíl á ferð (sjá mynd 6.5). Þ $v$ í hraðar sem dekkið snýst, þ $v$ í hraðar hreyfist bíllinn; stórt ω merkir stórt $v$ , þ $v$ í $v = r ω$ . Á sama hátt gefur dekk með stærri radíus, sem snýst með sama hornhraða ω, bílnum meiri línulegan hraða, eða snertihraða, $v$ . Ástæðan er sú að stærri radíus þýðir að lengri bogalengd þarf að snerta veginn, svo bíllinn verður að færast lengra á sama tíma.

Skýringarmynd af framhluta bíls; ör á hjólinu sýnir hornhraða ω, græn ör sýnir hraða v fram á við, radíus hjólsins er merktur r og jafnan v = rω sést við hliðina. — **Mynd 6.5.** Bíll sem hreyfist með hraðanum v til hægri hefur dekk sem snýst með hornhraðanum ω. Stærð snertihraða slitflatar dekksins miðað við öxulinn er v, sú sama og ef bíllinn væri tjakkaður upp og hjólin snerust án þess að snerta veginn. Beint undir öxlinum, þar sem dekkið snertir veginn, hreyfist slitflöturinn afturábak miðað við öxulinn með snertihraðanum v = rω, þar sem r er radíus dekksins. Vegurinn er kyrrstæður miðað við þennan punkt dekksins, svo bíllinn verður að hreyfast áfram með línulega hraðanum v. Meiri hornhraði dekksins þýðir meiri línulegan hraða bílsins.

Samt eru tilvik þar sem línulegur hraði og snertihraði eru ekki jafngildir, til dæmis þegar bíll spólar á ís. Þá er línulegi hraðinn minni en snertihraðinn. Vegna skorts á núningi undir dekkjunum á ís er bogalengdin sem slitflötur dekkjanna fer meiri en línulega vegalengdin sem bíllinn fer. Þetta líkist því að hlaupa á hlaupabretti eða stíga þrekhjól; maður fer bókstaflega ekkert, þótt það gerist hratt.

Lausn dæma sem fela í sér snúningshorn og hornhraða

Smelliverkefni

Mæling á hornhraða

Í þessu verkefni búið þið til og mælið jafna hringhreyfingu og berið hana síðan saman við hringhreyfingar með mismunandi radíus.

Eitt band (1 m langt)
Einn hlutur (gúmmítappi með tveimur götum) til að binda við endann
Ein skeiðklukka

Framkvæmd

Bindið hlut við enda bandsins.
Sveiflið hlutnum í láréttum hring fyrir ofan höfuðið (sveiflið frá úlnliðnum). Mikilvægt er að hringurinn sé láréttur.
Haldið hlutnum á jafnri ferð á meðan hann sveiflast.
Mælið hornhraði hlutarins á þennan hátt. Mælið í sekúndum þann tíma sem tekur hlutinn að fara 10 snúninga. Deilið 10 snúningum með þeim tíma til að fá hornhraða í snúningum á sekúndu, sem má síðan breyta í radíana á sekúndu.
Hver er áætluð línuleg ferð hlutarins?
Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengd bandsins verði 90 cm. Endurtakið skref 2-5.
Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengdin verði 80 cm. Endurtakið skref 2-5.
Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengdin verði 70 cm. Endurtakið skref 2-5.
Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengdin verði 60 cm. Endurtakið skref 2-5.
Færið höndina upp eftir bandinu þannig að lengdin verði 50 cm. Endurtakið skref 2-5.
Gerið graf af hornhraða sem falli af radíus (þ.e. lengd bandsins) og línulegri ferð sem falli af radíus. Lýsið útliti hvors grafs.

Ef þú sveiflar hlut hægt getur hann snúist minna en einn snúning á sekúndu. Hversu margir snúningar á sekúndu eru það ef hluturinn fer einn snúning á fimm sekúndum? Hver verður stærð hornhraðans í radíönum á sekúndu?

Hluturinn snýst með 1/5 snúning/s. Hornhraði hlutarins er $\frac{2}{π} rad/s$ .
Hluturinn snýst með 1/5 snúning/s. Hornhraði hlutarins er $\frac{π}{5} rad/s$ .
Hluturinn snýst með 5 snúning/s. Hornhraði hlutarins er 10 $π rad/s$ .
Hluturinn snýst með 5 snúning/s. Hornhraði hlutarins er 5 $π rad/s$ .

Nú þegar við skiljum hugtökin snúningshorn og hornhraði skulum við beita þeim á raunverulegar aðstæður: klukkuturn og dekk sem snýst.

Unnið dæmi

Snúningshorn á klukkuturni

Klukkan á klukkuturni hefur radíusinn $1,0 m$ . (a) Hvaða snúningshorn fer klukkuvísirinn í gegnum þegar hann færist frá 12:00 til 15:00? (b) Hver er bogalengdin eftir ysta jaðri klukkunnar milli þessara tveggja staða klukkuvísisins?

Aðferð

Við getum fundið snúningshornið með þ $v$ í að margfalda einn heilan snúning, $2 π radíana$ , með þeim hluta af 12 klukkustundum sem klukkuvísirinn fer þegar hann færist frá 12 til 3. Þegar snúningshornið er þekkt getum við fundið bogalengdina með þ $v$ í að umrita jöfnuna $Δθ = \frac{Δs}{r}$ , þar sem radíusinn er gefinn.

Lausn á (a)

Þegar $v$ ísirinn færist frá 12 til 3 fer hann yfir $\frac{1}{4}$ af þeim 12 klukkustundum sem þarf fyrir einn heilan snúning. Hornið á milli $v$ ísisins klukkan 12 og klukkan 3 er þ $v$ í $\frac{1}{4}$ $\times ⁠$ $2 π rad$ = $\frac{π}{2}$ , eða $90 °$ .

Δθ = \frac{π}{2} rad

Lausn á (b)

Með því að umrita jöfnuna

Δθ = \frac{Δs}{r}

fæst

Δs = r Δθ

Þegar þekktu gildin eru sett inn fæst bogalengdin

Δs = (1,0 m) (\frac{π}{2} rad) = 1,6 m

Umræða

Við gátum fellt radíana út úr lokasvarinu í lið (b) vegna þess að radíanar eru í raun víddarlausir. Radían er skilgreind sem hlutfall tveggja lengda, radíuss og bogalengdar. Jafnan gefur því svar í metrum, eins og búast má við fyrir bogalengd.

Unnið dæmi

Hversu hratt snýst bíldekk?

Reiknið hornhraða bíldekks með radíus $0,300 m$ þegar bíllinn fer á $15,0 m/s$ , sem er um $54 km/klst$ . Sjá mynd 6.5.

Aðferð

Í þessu tilviki er ferð slitflatar dekksins miðað við hjólásinn sú sama og ferð bílsins miðað við veginn, svo $v$ = $15,0 m/s$ . Radíus dekksins er $r$ = $0,300 m$ . Þar sem $v$ og $r$ eru þekkt getum við umritað jöfnuna $v = r ω$ sem $ω = \frac{v}{r}$ og fundið stæ $r$ ð hornhraðans.

Lausn

Til að finna stærð hornhraðans notum við sambandið

ω = \frac{v}{r}

Þegar þekktu stærðirnar eru settar inn fæst

ω = \frac{15,0}{m/s} = 50,0 rad/s

Umræða

Þegar einingar eru styttar út í útreikningnum hé $r$ að ofan fæst 50,0/s, það er 50,0 á sekúndu, sem er yfirleitt skrifað 50,0 s⁻¹. Stæ $r$ ð hornhraðans þarf hins vegar að hafa eininguna rad/s. Þar sem radíanar eru $v$ íddarlausir getum við sett þá inn í svarið, þ $v$ í við vitum að hreyfingin er hringhreyfing. Athugið einnig að ef jarðýta með miklu stærri dekk, til dæmis með radíus $1,20 m$ , færi með sömu ferðinni $15,0 m/s$ , myndu dekkin snúast hægar. Þá $v$ æri stæ $r$ ð hornhraðans

ω = \frac{15,0}{m/s} = 12,5 rad/s

Æfingadæmi

Hvert er hornið í gráðum á milli klukkuvísis og mínútuvísis á klukku sem sýnir 9:00 f.h.?

$0 °$
$90 °$
$180 °$
$360 °$

Hvert er áætlað gildi bogalengdarinnar á milli klukkuvísis og mínútuvísis á klukku sem sýnir 10:00 f.h. ef radíus klukkunnar er 0,2 m?

0,1 m
0,2 m
0,3 m
0,6 m

Athugaðu skilning þinn

Hvað er hringhreyfing?

Hringhreyfing er hreyfing hlutar þegar hann fylgir línulegum ferli.
Hringhreyfing er hreyfing hlutar þegar hann fylgir sikksakkferli.
Hringhreyfing er hreyfing hlutar þegar hann fylgir hringlaga ferli.
Valkostur D er villandi sem truflari.

Hvað er átt við með sveigjugeisla þegar snúningshreyfingu er lýst?

Sveigjugeislinn er radíus hringlaga ferils.
Sveigjugeislinn er þvermál hringlaga ferils.
Sveigjugeislinn er ummál hringlaga ferils.
Sveigjugeislinn er flatarmál hringlaga ferils.

Hvað er hornhraði?

Hornhraði er breytingarhraði þvermáls hringlaga ferilsins.
Hornhraði er breytingarhraði hornsins sem hringlaga ferillinn spannar.
Hornhraði er breytingarhraði flatarmáls hringlaga ferilsins.
Hornhraði er breytingarhraði radíuss hringlaga ferilsins.

Hvaða jafna skilgreinir hornhraða, ω, þegar r er sveigjugeislinn, θ er hornið og t er tíminn?

$ω = \frac{Δθ}{Δt}$
ω = Δt/Δθ
ω = Δ $r$ /Δt
ω = Δt/Δ $r$

Nefnið þrjú dæmi um hlut í hringhreyfingu.

Gervihnöttur á braut um jörðu, kappakstursbíll sem hreyfist eftir hringlaga kappakstursbraut og skopparakringla sem snýst um eigin ás.
Gervihnöttur á braut um jörðu, kappakstursbíll sem hreyfist eftir hringlaga kappakstursbraut og bolti bundinn í band sem sveiflast í hring um höfuð manns.
Jörðin sem snýst um eigin ás, kappakstursbíll sem hreyfist eftir hringlaga kappakstursbraut og bolti bundinn í band sem sveiflast í hring um höfuð manns.
Jörðin sem snýst um eigin ás, blöð á loftviftu í gangi og skopparakringla sem snýst um eigin ás.

Hver er innbyrðis stefna radíusvigurs og snertihraðavigurs hlutar í jafnri hringhreyfingu?

Snertihraðavigurinn er alltaf samsíða radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
Snertihraðavigurinn er alltaf hornréttur á radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
Snertihraðavigurinn myndar alltaf hvasst horn við radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
Snertihraðavigurinn myndar alltaf gleitt horn við radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.