Hvað nákvæmlega er átt við með hringhreyfingu eða snúningi? Snúningshreyfing er hringhreyfing hlutar um snúningsás. Hér ræðum við sérstaklega hringhreyfingu og spunahreyfingu. Hringhreyfing verður þegar hlutur hreyfist eftir hringlaga ferli. Dæmi eru kappakstursbíll sem fer hratt eftir hringlaga beygju, leikfang bundið í band sem sveiflast í hring yfir höfðinu á þér eða hringlykkja í rússíbana. Spunahreyfing er snúningur um ás sem liggur í gegnum massamiðju hlutarins, til dæmis þegar jörðin snýst um möndul sinn, hjól snýst um öxul, hvirfilbylur snýst á eyðileggingarleið sinni eða listhlaupari snýst í keppni á Ólympíuleikum. Stundum snýst hlutur um eigin ás á meðan hann er í hringhreyfingu, eins og jörðin sem snýst um möndul sinn á leið sinni um sólu, en hér skoðum við þessar tvær hreyfingar hvor í sínu lagi.
Þegar við leysum dæmi um snúningshreyfingu notum við breytur sem líkjast línulegum breytum, svo sem vegalengd, hraða, hröðun og krafti, en taka jafnframt tillit til sveigju eða snúnings hreyfingarinnar. Hér skilgreinum við snúningshorn, sem er hornsamsvara vegalengdar, og hornhraða, sem er hornsamsvara línulegs hraða.
Þegar hlutir snúast um einhvern ás, til dæmis þegar geisladiskurinn á mynd 6.2 snýst um miðju sína, fylgir hver punktur í hlutnum hringlaga ferli.
Mynd 6.2. Allir punktar á geisladiski ferðast eftir hringlaga ferlum. Holurnar (punktarnir) eftir línu frá miðju út að jaðri fara allar í gegnum sama hornið Δθ á tímanum Δt.
Bogalengd, Δs, er vegalengdin sem farin er eftir hringlaga ferli. Sveigjugeisli, , er radíus hringlaga ferilsins. Hvort tveggja sést á mynd 6.3.
Mynd 6.3. Geisla hrings, r, er snúið um hornið Δθ. Bogalengdin, Δs, er vegalengdin sem farin er eftir ummálinu.
Hugsum okkur línu frá miðju geisladisksins út að jaðri hans. Á tilteknum tíma færist hver hola á þessari línu í gegnum sama horn. Snúningshornið er magn snúningsins og er hornhliðstæða vegalengdar. Snúningshornið Δθ er bogalengdin deild með sveigjugeislanum.
Snúningshorn er oft mælt í einingu sem kallast radían. Radíanar eru í raun íddarlausir, þí radían er skilgreind sem hlutfall tveggja lengda, radíuss og bogalengdar. Einn snúningur er einn heill hringur, þar sem allir punktar hringsins koma aftur í upphafsstöðu. Einn snúningur samsvarar íönum, eða , og hefur þí snúningshornið og bogalengd sem er jöfn ummáli hringsins. Við getum breytt á milli radíana, snúninga og gráða með sambandinu
1 snúningur = = . Tafla 6.1 sýnir umbreytingu milli gráða og radíana fyrir nokkur algeng horn.
Gráðumál
Radíanmál
30°
π/6
60°
π/3
90°
π/2
120°
2π/3
135°
3π/4
180°
Hornhraði
Hversu hratt snýst hlutur? Við getum svarað þí með hugtakinu hornhraði. Skoðum fyrst hornhraða, ω, sem er breytingarhraði snúningshornsins. Á jöfnuformi er stæð hornhraðans
Þetta þýðir að snúningur um hornið Δθ verður á tímanum Δt. Ef hlutur snýst um stærra horn á tilteknum tíma hefur hann meiri hornhraða. Eining hornhraða er radíanar á sekúndu (rad/s).
Nú skulum við taka stefnuna með í reikninginn; þá tölum við um hornhraða. Stefna hornhraðans er eftir snúningsásnum. Fyrir hlut sem snýst réttsælis vísar hornhraðinn frá þér eftir snúningsásnum. Fyrir hlut sem snýst rangsælis vísar hornhraðinn til þín eftir snúningsásnum.
Hornhraði (ω) er hornhliðstæða línulegs hraða . Snertihraði er augnabliks-línulegur hraði hlutar í snúningshreyfingu. Til að fá nákvæmt samband hornhraða og snertihraða skulum við aftur skoða holu á geisladiski sem snýst. Holan fer bogalengdina Δs á stuttum tíma Δt og þí er stæð snertihraða hennar
Af skilgreiningu snúningshorns, , sjáum við að . Ef þí er stungið inn í jöfnuna fyrir fæst
Jafnan segir að stæð snertihraðans sé í éttu hlutfalli við fjarlægðina frá snúningsmiðju. Stæð snertihraðans er þí meiri fyrir punkt á ytri jaðri geisladisksins, þar sem er stærra, en fyrir punkt næ miðjunni, þar sem er minna. Þetta er ökrétt, þí punktur lengra frá miðju þarf að fara lengri bogalengd á sama tíma og punktur næ miðju. Athugið að báðir punktar hafa samt sama hornhraða, óháð fjarlægð frá snúningsmiðju. Sjá mynd 6.4.
Mynd 6.4. Punktar 1 og 2 snúast um sama horn, Δθ, en punktur 2 fer lengri bogalengd, Δs2, vegna þess að hann er lengra frá snúningsmiðju.
Skoðum nú annað dæmi: dekk á bíl á ferð (sjá mynd 6.5). Þí hraðar sem dekkið snýst, þí hraðar hreyfist bíllinn; stórt ω merkir stórt , þí . Á sama hátt gefur dekk með stærri radíus, sem snýst með sama hornhraða ω, bílnum meiri línulegan hraða, eða snertihraða, . Ástæðan er sú að stærri radíus þýðir að lengri bogalengd þarf að snerta veginn, svo bíllinn verður að færast lengra á sama tíma.
Mynd 6.5. Bíll sem hreyfist með hraðanum v til hægri hefur dekk sem snýst með hornhraðanum ω. Stærð snertihraða slitflatar dekksins miðað við öxulinn er v, sú sama og ef bíllinn væri tjakkaður upp og hjólin snerust án þess að snerta veginn. Beint undir öxlinum, þar sem dekkið snertir veginn, hreyfist slitflöturinn afturábak miðað við öxulinn með snertihraðanum v = rω, þar sem r er radíus dekksins. Vegurinn er kyrrstæður miðað við þennan punkt dekksins, svo bíllinn verður að hreyfast áfram með línulega hraðanum v. Meiri hornhraði dekksins þýðir meiri línulegan hraða bílsins.
Samt eru tilvik þar sem línulegur hraði og snertihraði eru ekki jafngildir, til dæmis þegar bíll spólar á ís. Þá er línulegi hraðinn minni en snertihraðinn. Vegna skorts á núningi undir dekkjunum á ís er bogalengdin sem slitflötur dekkjanna fer meiri en línulega vegalengdin sem bíllinn fer. Þetta líkist því að hlaupa á hlaupabretti eða stíga þrekhjól; maður fer bókstaflega ekkert, þótt það gerist hratt.
Lausn dæma sem fela í sér snúningshorn og hornhraða
Nú þegar við skiljum hugtökin snúningshorn og hornhraði skulum við beita þeim á raunverulegar aðstæður: klukkuturn og dekk sem snýst.
Æfingadæmi
1.
Hvert er hornið í gráðum á milli klukkuvísis og mínútuvísis á klukku sem sýnir 9:00 f.h.?
2.
Hvert er áætlað gildi bogalengdarinnar á milli klukkuvísis og mínútuvísis á klukku sem sýnir 10:00 f.h. ef radíus klukkunnar er 0,2 m?
0,1 m
0,2 m
0,3 m
0,6 m
Athugaðu skilning þinn
3.
Hvað er hringhreyfing?
Hringhreyfing er hreyfing hlutar þegar hann fylgir línulegum ferli.
Hringhreyfing er hreyfing hlutar þegar hann fylgir sikksakkferli.
Hringhreyfing er hreyfing hlutar þegar hann fylgir hringlaga ferli.
Valkostur D er villandi sem truflari.
4.
Hvað er átt við með sveigjugeisla þegar snúningshreyfingu er lýst?
Sveigjugeislinn er radíus hringlaga ferils.
Sveigjugeislinn er þvermál hringlaga ferils.
Sveigjugeislinn er ummál hringlaga ferils.
Sveigjugeislinn er flatarmál hringlaga ferils.
5.
Hvað er hornhraði?
Hornhraði er breytingarhraði þvermáls hringlaga ferilsins.
Hornhraði er breytingarhraði hornsins sem hringlaga ferillinn spannar.
Hornhraði er breytingarhraði flatarmáls hringlaga ferilsins.
Hornhraði er breytingarhraði radíuss hringlaga ferilsins.
6.
Hvaða jafna skilgreinir hornhraða, ω, þegar r er sveigjugeislinn, θ er hornið og t er tíminn?
ω = Δt/Δθ
ω = Δ/Δt
ω = Δt/Δ
7.
Nefnið þrjú dæmi um hlut í hringhreyfingu.
Gervihnöttur á braut um jörðu, kappakstursbíll sem hreyfist eftir hringlaga kappakstursbraut og skopparakringla sem snýst um eigin ás.
Gervihnöttur á braut um jörðu, kappakstursbíll sem hreyfist eftir hringlaga kappakstursbraut og bolti bundinn í band sem sveiflast í hring um höfuð manns.
Jörðin sem snýst um eigin ás, kappakstursbíll sem hreyfist eftir hringlaga kappakstursbraut og bolti bundinn í band sem sveiflast í hring um höfuð manns.
Jörðin sem snýst um eigin ás, blöð á loftviftu í gangi og skopparakringla sem snýst um eigin ás.
8.
Hver er innbyrðis stefna radíusvigurs og snertihraðavigurs hlutar í jafnri hringhreyfingu?
Snertihraðavigurinn er alltaf samsíða radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
Snertihraðavigurinn er alltaf hornréttur á radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
Snertihraðavigurinn myndar alltaf hvasst horn við radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
Snertihraðavigurinn myndar alltaf gleitt horn við radíus hringlaga ferilsins sem hluturinn hreyfist eftir.
