6.2 Jöfn hringhreyfing

Markmið hlutans

Í lok þessa hluta eigið þið að geta gert eftirfarandi:

• Lýst miðsóknarhröðun og tengt hana við línulega hröðun.
• Lýst miðsóknarkrafti og tengt hann við línulegan kraft.
• Leyst dæmi sem fela í sér miðsóknarhröðun og miðsóknarkraft.

Stuðningur við kennara

Námsmarkmiðin í þessum hluta hjálpa nemendum að ná tökum á eftirfarandi viðmiðum:

• (4) Vísindahugtök. Nemandi þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu við fjölbreyttar aðstæður. Nemandi á að geta: (C) greint og lýst hraðaðri hreyfingu í tveimur víddum með jöfnum, þar á meðal dæmum um kasthreyfingu og hringhreyfingu; (D) reiknað áhrif krafta á hluti, þar á meðal tregðulögmálið, samband krafts og hröðunar og eðli kraftapara milli hluta.

Auk þess fjallar verklega framhaldsskólahandbókin í eðlisfræði um efni þessa hluta í verkefninu Hringhreyfing og snúningshreyfing og tengir það eftirfarandi viðmiði:

• (4) Vísindahugtök. Nemandi þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu við fjölbreyttar aðstæður. Nemandi á að geta: (C) greint og lýst hraðaðri hreyfingu í tveimur víddum með jöfnum, þar á meðal dæmum um kasthreyfingu og hringhreyfingu.

Lykilhugtök hlutans

Miðsóknarhröðun

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] Rifjið upp jafna hringhreyfingu. Biðjið nemendur að nefna dæmi um hringhreyfingu. Rifjið upp línulega hröðun.

Í fyrri hluta skilgreindum við hringhreyfingu. Einfaldasta tilvik hringhreyfingar er jöfn hringhreyfing, þar sem hlutur fer eftir hringlaga ferli með jafnri ferð. Athugið að ólíkt ferð breytist línulegur hraði hlutar í hringhreyfingu stöðugt, því stefna hans breytist sífellt. Úr hreyfifræði vitum við að hröðun er breyting á hraða, annaðhvort á stærð hans, stefnu eða hvoru tveggja. Hlutur í jafnri hringhreyfingu er því alltaf á hröðun, þótt stærð hraðans sé föst.

Þið finnið sjálf fyrir þessari hröðun í hvert sinn sem þið sitjið í bíl sem tekur beygju. Ef stýrinu er haldið stöðugu í beygjunni og bíllinn fer með jafnri ferð, er hann í jafnri hringhreyfingu. Það sem þið finnið er tilfinning um að renna, eða kastast eftir ferðinni, frá miðju beygjunnar. Þetta er ekki raunverulegur kraftur sem verkar á ykkur; þetta gerist vegna þess að líkaminn vill halda áfram á beinni línu, samkvæmt fyrsta lögmáli Newtons, á meðan bíllinn beygir út af þeirri beinu braut. Inni í bílnum virðist sem þið séuð þvinguð frá miðju beygjunnar. Þessi sýndarkraftur kallast miðflóttakraftur. Því krappari sem beygjan er og því meiri sem ferðin er, því greinilegri verða þessi áhrif.

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] [AL] Sýnið hringhreyfingu með því að binda lóð í band og sveifla því í hring. Spyrjið nemendur hvað gerist ef bandið er skyndilega klippt. Í hvaða átt fer hluturinn? Hvers vegna? Hvað segir það um stefnu hröðunarinnar? Biðjið nemendur að nefna dæmi þar sem þeir hafa rekist á miðsóknarhröðun.

Mynd 6.7 sýnir hlut sem hreyfist eftir hringlaga ferli með jafnri ferð. Stefna augnabliks-snertihraðans er sýnd á tveimur punktum á ferlinum. Hröðun er í stefnu hraðabreytingarinnar; í þessu tilviki vísar hún nokkurn veginn í átt að snúningsmiðjunni. Snúningsmiðjan er í miðju hringlaga ferilsins. Ef við ímyndum okkur að Δs verði sífellt minna myndi hröðunin vísa nákvæmlega í átt að snúningsmiðjunni, en erfitt er að teikna það tilvik. Hröðun hlutar í jafnri hringhreyfingu köllum við miðsóknarhröðun, a_c, því „miðsókn“ merkir leit að miðju.

Stuðningur við kennara

Skoðið mynd 6.7. Hún sýnir hlut sem hreyfist eftir hringlaga ferli með jafnri ferð og stefnu augnablikshraða á tveimur punktum á ferlinum. Hröðun er í stefnu hraðabreytingarinnar og vísar að snúningsmiðjunni. Þetta er stranglega rétt aðeins þegar Δs stefnir á núll.

Nú þegar við vitum að stefna miðsóknarhröðunar er að snúningsmiðjunni skulum við ræða stærð miðsóknarhröðunar. Fyrir hlut sem fer með ferðinni v eftir hringlaga ferli með radíus r er stærð miðsóknarhröðunar

Miðsóknarhröðun er meiri við mikla ferð og í kröppum beygjum, það er með minni radíus, eins og þið hafið ef til vill tekið eftir við akstur, því bíllinn ýtir ykkur í raun að miðju beygjunnar. Það kemur þó dálítið á óvart að a_c er í réttu hlutfalli við ferðina í öðru veldi. Það merkir til dæmis að hröðunin er fjórum sinnum meiri þegar beygja er tekin á 100 km/klst en á 50 km/klst.

Við getum einnig sett a_c fram með stærð hornhraðans. Ef v = rω er sett inn í jöfnuna hér að ofan fæst a_c = (rω)²/r = rω². Stærð miðsóknarhröðunar með stærð hornhraða er því

Gott að hafa í huga

Jafnan á forminu a_c = rω² er gagnleg þegar þið þekkið hornhraðann frekar en snertihraðann.

Sýndareðlisfræði

Hreyfing maríuhænu í tvívídd

Í þessari hermun gerið þið tilraunir með staðsetningu, hraða og hröðun maríuhænu í hringhreyfingu og sporöskjuhreyfingu. Skiptið hreyfingunni úr línulegri í hringlaga og fylgist með hraða- og hröðunarvigrum. Prófið síðan sporöskjuhreyfingu og takið eftir því hvernig hraða- og hröðunarvigrarnir eru frábrugðnir vigrunum í hringhreyfingu.

Aðgangur að margmiðlunarefni.

Spurning 1. Í jafnri hringhreyfingu, hvert er hornið milli hröðunar og hraða? Hvers konar hröðun verður hlutur fyrir í jafnri hringhreyfingu?

1. Hornið milli hröðunar og hraða er 0° og hluturinn verður fyrir línulegri hröðun.
2. Hornið milli hröðunar og hraða er 0° og hluturinn verður fyrir miðsóknarhröðun.
3. Hornið milli hröðunar og hraða er 90° og hluturinn verður fyrir línulegri hröðun.
4. Hornið milli hröðunar og hraða er 90° og hluturinn verður fyrir miðsóknarhröðun.

Miðsóknarkraftur

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] [AL] Notið sömu sýnikennslu og áður og biðjið nemendur að spá fyrir um samband hornhraða, miðsóknarhröðunar, massa og miðsóknarkrafts. Leyfið nemendum að prófa mismunandi lengdir á bandi og mismunandi þyngdir.

Þar sem hlutur í jafnri hringhreyfingu verður fyrir hröðun, með því að breyta stefnu hreyfingarinnar en ekki ferðinni, vitum við af öðru lögmáli Newtons að ytri heildarkraftur hlýtur að verka á hlutinn. Þar sem stærð hröðunarinnar er föst er stærð heildarkraftsins einnig föst; og þar sem hröðunin vísar að snúningsmiðjunni vísar heildarkrafturinn einnig þangað.

Hvaða kraftur sem er, eða samsetning krafta, getur valdið miðsóknarhröðun. Nokkur dæmi eru togkraftur bandsins í staurbolta, þyngdarkraftur jarðar á tunglið, núningur milli vegar og dekkja bíls sem fer í beygju og þverkraftur rússíbanabrautar á vagn í hringlykkju.

Sá þáttur heildarkrafts sem veldur hringhreyfingu kallast miðsóknarkraftur. Þegar heildarkrafturinn er jafn miðsóknarkraftinum og stærð hans er föst verður jöfn hringhreyfing. Stefna miðsóknarkrafts er að snúningsmiðjunni, eins og stefna miðsóknarhröðunar. Samkvæmt öðru lögmáli Newtons veldur heildarkraftur hröðun massa samkvæmt F_net = ma. Í jafnri hringhreyfingu er hröðunin miðsóknarhröðun: a = a_c. Því er stærð miðsóknarkraftsins, F_c,

Með því að nota tvö form jöfnunnar fyrir stærð miðsóknarhröðunar, a_c = v²/r og a_c = rω², fáum við tvær segðir fyrir stærð miðsóknarkraftsins F_c. Fyrri segðin er með snertihraða og sú síðari með hornhraða:

Bæði form jöfnunnar ráðast af massa, hraða og radíus hringferilsins. Þið getið notað þá segð fyrir miðsóknarkraft sem hentar betur. Annað lögmál Newtons segir einnig að hluturinn hröðist í sömu stefnu og heildarkrafturinn. Samkvæmt skilgreiningu vísar miðsóknarkrafturinn að snúningsmiðjunni, svo hluturinn hröðast einnig að miðjunni. Bein lína frá hringferlinum að miðju hringsins er alltaf hornrétt á snertihraðann. Athugið að ef fyrri segðin er leyst fyrir r fæst

Af þessari segð sjáum við að fyrir gefinn massa og hraða veldur mikill miðsóknarkraftur litlum sveigjugeisla, það er krappri beygju.

Horft á eðlisfræði

Innsæi um miðsóknarkraft og hröðun

Myndbandið útskýrir hvers vegna miðsóknarkraftur, þegar hann er jafn heildarkraftinum og hefur fasta stærð, skapar miðsóknarhröðun og jafna hringhreyfingu.

Stuðningur við kennara

Viðvörun um misskilning: Sumir nemendur kunna að rugla saman miðsóknarkrafti og miðflóttakrafti. Miðflóttakraftur er ekki raunverulegur kraftur heldur afleiðing hröðunarviðmiðunarkerfis, til dæmis bíls í beygju eða jarðar sem snýst. Miðflóttakraftur vísar til sýndarkrafts sem virðist flýja miðjuna.

Aðgangur að margmiðlunarefni.

Spurning 2. Ímyndaðu þér að þú sveiflir jójói í lóðréttan hring réttsælis fyrir framan þig, hornrétt á stefnuna sem þú snýrð í. Ef bandið slitnar rétt þegar jójóið er neðst, næst gólfinu, hvað gerist þá eftir að bandið slitnar?

1. Jójóið flýgur inn á við í stefnu miðsóknarkraftsins.
2. Jójóið flýgur út á við í stefnu miðsóknarkraftsins.
3. Jójóið flýgur til vinstri í stefnu snertihraðans.
4. Jójóið flýgur til hægri í stefnu snertihraðans.

Lausn dæma um miðsóknarhröðun og miðsóknarkraft

Til að fá tilfinningu fyrir dæmigerðri stærð miðsóknarhröðunar gerum við verklega æfingu þar sem miðsóknarhröðun tennisspaða er metin. Síðan berum við í fyrsta unna dæminu saman miðsóknarhröðun bíls í beygju við þyngdarhröðun og í öðru unna dæminu reiknum við kraftinn sem þarf til að bíll taki beygju.

Smelliverkefni

Mat á miðsóknarhröðun

Í þessu verkefni mælið þið sveiflu golfkylfu eða tennisspaða til að meta miðsóknarhröðun enda kylfunnar eða spaðans. Þið getið valið að gera þetta í hægri hreyfingu. Rifjið upp að jafnan fyrir miðsóknarhröðun er a_c = v²/r eða a_c = rω².

• Einn tennisspaði eða ein golfkylfa
• Ein skeiðklukka
• Ein reglustika eða eitt málband

Framkvæmd

1. Vinnið með félaga. Standið í öruggri fjarlægð frá félaga ykkar á meðan hann eða hún sveiflar golfkylfunni eða tennisspaðanum.
2. Lýsið hreyfingu sveiflunnar. Er þetta jöfn hringhreyfing? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
3. Reynið að gera sveifluna eins nálægt jafnri hringhreyfingu og hægt er. Hvaða breytingar þurfti félaginn að gera?
4. Mælið sveigjugeislann. Hvað mælduð þið raunverulega?
5. Notið skeiðklukkuna til að finna annaðhvort línulegan hraða eða hornhraða, eftir því hvaða jöfnu þið ákveðið að nota.
6. Hver er áætluð miðsóknarhröðun út frá þessum mælingum? Hversu nákvæmar teljið þið þær vera? Hvers vegna? Hvernig gætuð þið félagarnir gert mælingarnar nákvæmari?

Stuðningur við kennara

Sveiflu golfkylfu eða spaða má gera mjög svipaða jafnri hringhreyfingu. Til þess þarf viðkomandi að hreyfa hlutinn með jafnri ferð án þess að beygja handlegginn. Lengd handleggsins ásamt lengd kylfunnar eða spaðans er sveigjugeislinn. Nákvæmni mælinga á hornhraða og hornhröðun fer eftir upplausn skeiðklukkunnar og athugunarvillu mannsins sem mælir.

Spurning 3. Var gagnlegra að nota jöfnuna a_c = v²/r eða a_c = rω² í þessu verkefni? Hvers vegna?

1. Einfaldara ætti að vera að nota a_c = rω², því auðveldara væri að mæla hornhraða með athugun.
2. Einfaldara ætti að vera að nota a_c = v²/r, því auðveldara væri að mæla snertihraða með athugun.
3. Einfaldara ætti að vera að nota a_c = rω², því erfitt væri að mæla hornhraða með athugun.
4. Einfaldara ætti að vera að nota a_c = v²/r, því erfitt væri að mæla snertihraða með athugun.

Unnið dæmi: Samanburður á miðsóknarhröðun bíls í beygju og þyngdarhröðun

Bíll fer eftir beygju með radíus 500 m á ferðinni 25,0 m/s, eða um 90 km/klst. Hver er stærð miðsóknarhröðunar bílsins? Berið miðsóknarhröðunina í þessari fremur aflíðandi beygju á þjóðvegshraða saman við þyngdarhröðun, g.

Aðferð

Þar sem línuleg ferð en ekki hornhraði er gefin er þægilegast að nota segðina a_c = v²/r til að finna stærð miðsóknarhröðunarinnar.

Lausn

Ef gefnu gildin v = 25,0 m/s og r = 500 m eru sett inn í segðina fyrir a_c fæst

Umræða

Til að bera þetta saman við þyngdarhröðun, g = 9,80 m/s², tökum við hlutfallið

Því er a_c = 0,128g, sem merkir að miðsóknarhröðunin er um það bil einn tíundi af þyngdarhröðun.

Unnið dæmi: Núningskraftur á bíldekk í beygju

• Reiknið miðsóknarkraftinn sem verkar á 900 kg bíl sem fer eftir beygju með 600 m radíus á láréttum vegi á 25,0 m/s.
• Hvíldarnúningur kemur í veg fyrir að bíllinn renni til. Finnið stærð núningskraftsins milli dekkjanna og vegarins sem gerir bílnum kleift að taka beygjuna án þess að renna áfram út af í beinni línu.
• Ef bíllinn rynni til við meiri ferð, hver er þá hvíldarnúningsstuðullinn milli dekkjanna og vegarins? Gætum við ályktað eitthvað um hvíldarnúningsstuðulinn ef við vissum ekki hvort bíllinn gæti tekið beygjuna hraðar án þess að renna til?

Aðferð og lausn fyrir (a)

Við vitum að F_c = mv²/r. Því fæst

Aðferð og lausn fyrir (b)

Myndin hér að ofan sýnir kraftana sem verka á bílinn þegar hann tekur beygjuna. Á myndinni fer bíllinn inn í blaðsíðuna og beygir til vinstri. Núningur verkar til vinstri og hraðar bílnum að miðju beygjunnar. Þar sem núningur er eini lárétti krafturinn sem verkar á bílinn gefur hann allan miðsóknarkraftinn í þessu tilviki. Núningskrafturinn er því miðsóknarkrafturinn í þessari stöðu og vísar að miðju beygjunnar.

Aðferð og lausn fyrir (c)

Ef bíllinn er við það að renna til er hvíldarnúningurinn í hámarki og f = μ_sN = μ_smg. Ef leyst er fyrir μ_s fæst

Hvort sem við þekkjum hámarksferðina sem leyfist í beygjunni eða ekki getum við ályktað að þetta sé lágmarksgildi fyrir stuðulinn.

Umræða

Þar sem við fundum núningskraftinn í lið (b) gætum við einnig leyst fyrir núningsstuðulinn, því f = μ_sN = μ_smg. Hvíldarnúningur er aðeins jafn μ_sN þegar hann er í hámarki. Ef bíllinn gæti farið hraðar væri núningurinn við gefnu ferðina samt sá sami og við reiknuðum, en hvíldarnúningsstuðullinn væri stærri.

Æfingadæmi

Spurning 4. Hver er miðsóknarhröðunin sem farþegar í bíl finna þegar bíllinn fer á 12 m/s eftir beygju með radíus 2,0 m?

1. 3 m/s²
2. 6 m/s²
3. 36 m/s²
4. 72 m/s²

Spurning 5. Reiknið miðsóknarhröðun hlutar sem fylgir ferli með sveigjugeisla 0,2 m og hefur hornhraðann 5 rad/s.

1. 1 m/s
2. 5 m/s
3. 1 m/s²
4. 5 m/s²

Athugaðu skilning þinn

Spurning 6. Hvað er jöfn hringhreyfing?

1. Jöfn hringhreyfing er þegar hlutur hraðar sér eftir hringlaga ferli með stöðugt vaxandi hraða.
2. Jöfn hringhreyfing er þegar hlutur fer eftir hringlaga ferli með breytilegri hröðun.
3. Jöfn hringhreyfing er þegar hlutur fer eftir hringlaga ferli með jafnri ferð.
4. Jöfn hringhreyfing er þegar hlutur fer eftir hringlaga ferli með breytilegri ferð.

Spurning 7. Hver eftirfarandi lýsir miðsóknarhröðun?

1. Hröðun hlutar sem hreyfist eftir hringlaga ferli og vísar eftir radíus í átt að miðju hringferilsins.
2. Hröðun hlutar sem hreyfist eftir hringlaga ferli og vísar eftir snertli hringferilsins.
3. Hröðun hlutar sem hreyfist eftir línulegum ferli og vísar í hreyfistefnu hlutarins.
4. Hröðun hlutar sem hreyfist eftir línulegum ferli og vísar í gagnstæða átt við hreyfistefnu hlutarins.

Spurning 8. Verkar heildarkraftur á hlut í jafnri hringhreyfingu?

1. Já, hluturinn er á hröðun og því hlýtur heildarkraftur að verka á hann.
2. Já, vegna þess að engin hröðun er til staðar.
3. Nei, vegna þess að hröðun er til staðar.
4. Nei, vegna þess að engin hröðun er til staðar.

Spurning 9. Nefnið tvö dæmi um krafta sem geta valdið miðsóknarhröðun.

1. Þyngdarkraftur jarðar á tunglið og þverkraftur.
2. Þyngdarkraftur jarðar á tunglið og togkrafturinn í bandinu á staurbolta á hringferð.
3. Þverkrafturinn og núningskrafturinn sem verka á bíl á ferð.
4. Þverkrafturinn og togkrafturinn í bandinu á staurbolta.

Stuðningur við kennara

Notið spurningarnar í Athugaðu skilning þinn til að meta hvort nemendur hafi náð tökum á markmiðum þessa hluta. Ef nemendur eiga í erfiðleikum með tiltekið markmið hjálpar leiðsagnarmatið við að finna hvaða markmið veldur vandanum og vísar nemendum á viðeigandi efni.