6.2 Jöfn hringhreyfing

Í fyrri hluta skilgreindum við hringhreyfingu. Einfaldasta tilvik hringhreyfingar er jöfn hringhreyfing, þar sem hlutur fer eftir hringlaga ferli með jafnri ferð. Athugið að ólíkt ferð breytist línulegur hraði hlutar í hringhreyfingu stöðugt, því stefna hans breytist sífellt. Úr hreyfifræði vitum við að hröðun er breyting á hraða, annaðhvort á stærð hans, stefnu eða hvoru tveggja. Hlutur í jafnri hringhreyfingu er því alltaf á hröðun, þótt stærð hraðans sé föst.

Þið finnið sjálf fyrir þessari hröðun í hvert sinn sem þið sitjið í bíl sem tekur beygju. Ef stýrinu er haldið stöðugu í beygjunni og bíllinn fer með jafnri ferð, er hann í jafnri hringhreyfingu. Það sem þið finnið er tilfinning um að renna, eða kastast eftir ferðinni, frá miðju beygjunnar. Þetta er ekki raunverulegur kraftur sem verkar á ykkur; þetta gerist vegna þess að líkaminn vill halda áfram á beinni línu, samkvæmt fyrsta lögmáli Newtons, á meðan bíllinn beygir út af þeirri beinu braut. Inni í bílnum virðist sem þið séuð þvinguð frá miðju beygjunnar. Þessi sýndarkraftur kallast miðflóttakraftur. Því krappari sem beygjan er og því meiri sem ferðin er, því greinilegri verða þessi áhrif.

Mynd 6.7 sýnir hlut sem hreyfist eftir hringlaga ferli með jafnri ferð. Stefna augnabliks-snertihraðans er sýnd á tveimur punktum á ferlinum. Hröðun er í stefnu hraðabreytingarinnar; í þessu tilviki vísar hún nokkurn veginn í átt að snúningsmiðjunni. Snúningsmiðjan er í miðju hringlaga ferilsins. Ef við ímyndum okkur að Δs verði sífellt minna myndi hröðunin vísa nákvæmlega í átt að snúningsmiðjunni, en erfitt er að teikna það tilvik. Hröðun hlutar í jafnri hringhreyfingu köllum við miðsóknarhröðun, $a_c$, því „miðsókn“ merkir leit að miðju.

Nú þegar við vitum að stefna miðsóknarhröðunar er að snúningsmiðjunni skulum við ræða stærð miðsóknarhröðunar. Fyrir hlut sem fer með ferðinni v eftir hringlaga ferli með radíus r er stærð miðsóknarhröðunar

Miðsóknarhröðun er meiri við mikla ferð og í kröppum beygjum, það er með minni radíus, eins og þið hafið ef til vill tekið eftir við akstur, því bíllinn ýtir ykkur í raun að miðju beygjunnar. Það kemur þó dálítið á óvart að $a_c$ er í réttu hlutfalli við ferðina í öðru veldi. Það merkir til dæmis að hröðunin er fjórum sinnum meiri þegar beygja er tekin á 100 km/klst en á 50 km/klst.

Við getum einnig sett $a_c$ fram með stærð hornhraðans. Ef $v=r\omega$ er sett inn í jöfnuna hér að ofan fæst $a_c$ = (rω)²/r = rω². Stærð miðsóknarhröðunar með stærð hornhraða er því

Þar sem hlutur í jafnri hringhreyfingu verður fyrir hröðun, með því að breyta stefnu hreyfingarinnar en ekki ferðinni, vitum við af öðru lögmáli Newtons að ytri heildarkraftur hlýtur að verka á hlutinn. Þar sem stærð hröðunarinnar er föst er stærð heildarkraftsins einnig föst; og þar sem hröðunin vísar að snúningsmiðjunni vísar heildarkrafturinn einnig þangað.

Hvaða kraftur sem er, eða samsetning krafta, getur valdið miðsóknarhröðun. Nokkur dæmi eru togkraftur bandsins í staurbolta, þyngdarkraftur jarðar á tunglið, núningur milli vegar og dekkja bíls sem fer í beygju og þverkraftur rússíbanabrautar á vagn í hringlykkju.

Sá þáttur heildarkrafts sem veldur hringhreyfingu kallast miðsóknarkraftur. Þegar heildarkrafturinn er jafn miðsóknarkraftinum og stærð hans er föst verður jöfn hringhreyfing. Stefna miðsóknarkrafts er að snúningsmiðjunni, eins og stefna miðsóknarhröðunar. Samkvæmt öðru lögmáli Newtons veldur heildarkraftur hröðun massa samkvæmt F_net = ma. Í jafnri hringhreyfingu er hröðunin miðsóknarhröðun: a = $a_c$. Því er stærð miðsóknarkraftsins, $F_c$,

Með því að nota tvö form jöfnunnar fyrir stærð miðsóknarhröðunar, $a_c=\frac{v^2}{r}$ og $a_c=r{\omega }^2$, fáum við tvær segðir fyrir stærð miðsóknarkraftsins $F_c$. Fyrri segðin er með snertihraða og sú síðari með hornhraða:

Bæði form jöfnunnar ráðast af massa, hraða og radíus hringferilsins. Þið getið notað þá segð fyrir miðsóknarkraft sem hentar betur. Annað lögmál Newtons segir einnig að hluturinn hröðist í sömu stefnu og heildarkrafturinn. Samkvæmt skilgreiningu vísar miðsóknarkrafturinn að snúningsmiðjunni, svo hluturinn hröðast einnig að miðjunni. Bein lína frá hringferlinum að miðju hringsins er alltaf hornrétt á snertihraðann. Athugið að ef fyrri segðin er leyst fyrir r fæst

Af þessari segð sjáum við að fyrir gefinn massa og hraða veldur mikill miðsóknarkraftur litlum sveigjugeisla, það er krappri beygju.

Til að fá tilfinningu fyrir dæmigerðri stærð miðsóknarhröðunar gerum við verklega æfingu þar sem miðsóknarhröðun tennisspaða er metin. Síðan berum við í fyrsta unna dæminu saman miðsóknarhröðun bíls í beygju við þyngdarhröðun og í öðru unna dæminu reiknum við kraftinn sem þarf til að bíll taki beygju.