18.4 Rafmætti

Markmið kaflans

Í lok þessa kafla munt þú geta gert eftirfarandi:

1. Reiknað rafstöðuorku.
2. Reiknað rafmætti og spennumun.

Lykilhugtök

Eins og þú lærðir í umfjöllun um þyngdarafl hefur massi í þyngdarsviði stöðuorku. Það merkir að hann getur fengið hröðun og aukið hreyfiorku sína. Hreyfiorkan getur síðan nýst til að vinna vinnu. Ef þú vilt til dæmis nota stein til að reka nagla í við lyftir þú steininum fyrst upp, þannig að stöðuorkan eykst, og lætur hann síðan falla.

Rafstöðuorka virkar á svipaðan hátt, en hún byggist á rafsviði í stað þyngdarsviðs. Vegna stöðu sinnar í rafsviði hefur hleðsla rafstöðuorku. Ef hleðslan getur hreyfst frjálst veldur krafturinn frá rafsviðinu því að hún fær hröðun og rafstöðuorkan breytist í hreyfiorku.

Mynd 18.21 sýnir samlíkinguna milli þyngdarstöðuorku og rafstöðuorku. Vinstra megin eykst þyngdarstöðuorka jarðar-bolta-kerfisins þegar boltinn er ofar í þyngdarsviði jarðar. Hægra megin eykst rafstöðuorka tveggja hleðslna þegar jákvæða hleðslan er lengra frá neikvæðu hleðslunni.

Notum táknið$U_G$fyrir þyngdarstöðuorku. Þegar massi fellur í þyngdarsviði minnkar þyngdarstöðuorka hans. Samkvæmt varðveislu orku er vinnan sem þyngdarsviðið vinnur jöfn minnkun stöðuorkunnar:$W_{\text{done}\text{by}\text{gravity}}$

Mínusmerkið sýnir að stöðuorka boltans minnkar.

Vinnan sem þyngdaraflið vinnur á massann er

Hér er F þyngdarkrafturinn og$y_{\text{i}}$og$y_{\text{f}}$eru upphafs- og lokastaða boltans. Mínusmerkið kemur fram vegna þess að þyngdaraflið stefnir niður, sem við tökum sem neikvæða stefnu. Nálægt yfirborði jarðar er þyngdarsviðið nánast fast og$F=mg$.

Þar sem$y_{\text{f}}-y_{\text{i}}$er neikvæð hæðin h sem massinn fellur um, skrifum við oft einfaldlega$\Delta U_{\text{G}}=-mgh$.

Nú beitum við sömu röksemdafærslu á hleðslu í rafsviði. Breytingin$\Delta U_{\text{E}}$á rafstöðuorku er neikvæð vinna rafsviðsins þegar það færir hleðslu q frá upphafsstöðu$x_{\text{i}}$til lokastöðu$x_{\text{f}}$. Fyrir einsleitt rafsvið E fæst$-\Delta U_{\text{E}}=W_{\text{done}\text{by}\text{E-field}}$$W_{\text{done}\text{by}\text{E-field}}=F(x_{\text{f}}-x_{\text{i}})$$F=qE$

eða

Þessi jafna gefur breytingu rafstöðuorku hleðslu q þegar hún færist frá$x_{\text{i}}$til$x_{\text{f}}$í einsleitu rafsviði E.

Mynd 18.22 sýnir hvernig samlíkingin virkar nærri yfirborði jarðar, þar sem þyngdarsviðið er nánast fast. Í efri hlutanum fær hleðsla hröðun vegna einsleits rafsviðs. Í neðri hlutanum fær kúlulaga massi hröðun vegna einsleits þyngdarsviðs. Í báðum tilvikum minnkar stöðuorka agnarinnar og hreyfiorkan eykst.

Ef rafsviðið er ekki einsleitt gildir jafnan$\Delta U_{\text{E}}=-qE\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i}}\right)$ekki beint og afleiðslan verður flóknari. Fyrir tvær punkthleðslur$q_1$og$q_2$í fjarlægðinni r er rafstöðuorka kerfisins$q_1$$q_2$$q_2$$q_1$$q_1$$q_2$$q_1$$q_2$

Ef hleðslurnar$q_1$og$q_2$geta hreyfst frjálst geta þær safnað hreyfiorku með því að þeytast í sundur eða dragast saman. Hámarksvinnan sem þær geta unnið, ef þær fara óendanlega langt hvor frá annarri, er gefin með jöfnunni hér að ofan.

Rafmætti

Rafmætti er oft einfaldlega kallað mætti eða spenna. Einingin er J/C og nefnist volt (V), eftir ítalska eðlisfræðingnum Alessandro Volta. Út frá$U_{\text{E}}=k{q}_1{q}_2/r$fæst rafmætti í fjarlægðinni r frá punkthleðslu$q_1$:

Þessi jafna gefur orkuna á hverja hleðslueiningu sem þarf til að færa hleðslu$q_2$frá óendanlegri fjarlægð í fjarlægðina r frá punkthleðslu$q_1\text{.}$Stærðfræðilega er þetta

Fyrir staka punkthleðslu$q_1$má sleppa vísunum og skrifa

Nálægt nokkrum hleðslum$q_1,q_2,q_3,\dots$leggst rafmætti frá hverri hleðslu saman, rétt eins og rafsvið fylgja samlagningarreglunni. Fyrir hleðslur verður rafmætti í tilteknum punkti$q_1$

Hér eru$r_1,r_2,r_3,\dots ,$fjarlægðirnar frá miðju hleðslna að punktinum sem skoðaður er. Rafmætti í einum punkti er því summa rafmætta frá hverri hleðslu fyrir sig.

Í einsleitu rafsviði fæst spennumunurinn þegar farið er frá$x_{\text{i}}$til$x_{\text{f}}$með því að deila breytingu rafstöðuorku með hleðslunni:$\Delta U_{\text{E}}=-qE\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i}}\right)$

Jákvæð hleðsla á svæði með hátt rafmætti finnur kraft sem ýtir henni í átt að lægra rafmætti. Í þessum skilningi líkist rafmætti þrýstingi í vökva: ef ekkert hindrar rennslið fer vökvi frá háum þrýstingi til lágs þrýstings.

Myndskeið um eðlisfræði: spenna

Myndskeiðið tengir rafstöðuorku við rafmætti eða spennu og sýnir útreikning á rafmætti frá einsleitu rafsviði.

1. 0,33 V
2. 6 V
3. 12 V
4. 32 V

Tenging við eðlisfræði: rafdýr

Mörg dýr geta myndað eða numið rafsvið. Þetta nýtist við veiðar, varnir, rötun, samskipti og æxlun. Þar sem saltvatn er góður leiðari hafa rafnemandi fiskar þróast í öllum heimshöfum. Alessandro Volta byggði meðal annars rannsóknir sínar á rafmagnsfiskum og lýsti rafhlöðum sem gerviraflíffærum.

Dýr sem framleiða rafmagn geta oft líka numið rafsvið. Þekktasta dæmið er rafállinn, sem hefur þrjú pör líffæra sem framleiða rafhleðslu. Þessi líffæri eru meira en 80% af líkama fisksins. Rafálar geta myndað mun meiri spennu en venjuleg innstunga gefur og geta rotað eða drepið bráð. Þeir nota einnig veikari raflosanir til að rata.

Til að mynda sterkar losanir notar rafállinn meginlíffærið, sem inniheldur um 6.000 raðir rafplatna í langri keðju. Þegar rafplöturnar tengjast þannig leggjast spennumunirnir saman og stór lokaspenna myndast. Rafhlöður nýta svipaða rúmfræði með stafla af plötum til að mynda stærri spennumun.

1. 0,17 mV
2. 1,7 mV
3. 17 mV
4. 170 mV

Dæmi röntgenrör

Tannlæknar nota röntgengeisla til að mynda tennur og bein. Röntgenrör hafa rafeindagjafa um 10 cm frá málmskífu. Rafeindirnar hraðast frá gjafanum að skífunni í einsleitu rafsviði með styrk um 100 kN/C. (a) Hver er spennumunurinn milli rafeindagjafans og skífunnar? (b) Hver er loka-hreyfiorka rafeindanna?

Í röntgenröri fer mikill straumur um rafeindagjafann og rafeindir losna frá honum. Rafsviðið hraðar rafeindunum að skífunni; krafturinn er $F=qE$. Þegar þær rekast á skífuna myndast röntgengeislar.

Strategy FOR (A)

Fyrir (a) notum við $\Delta V=-E\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i}}\right)$ og $\Delta V=-E\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i}}\right)$. Setjum $x_{\text{i}}=0$ og $x_{\text{f}}=10\text{cm}=0.10\text{m}$. Til að hraða rafeindunum í jákvæða x-stefnu verður rafsviðið að stefna í neikvæða x-stefnu, svo $E=-100\times {10}^3\text{N/C}$.

Solution FOR (A)

$$\Delta V=-E\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i}}\right)=-\left(-100\times {10}^3\text{N/C}\right)\left(0.10\text{m}-0\right)=+10\text{kV.}$$

18.31

Lausn

Discussion FOR (A)

Spennumunurinn er jákvæður. Orka á hverja jákvæða hleðslueiningu er því meiri við skífuna en við rafeindagjafann. Rafeindir hafa hins vegar neikvæða hleðslu og hraðast því frá gjafanum að skífunni.

Strategy FOR (B)

Fyrir (b) notum við varðveislu orku. Breyting rafstöðuorku plús breyting hreyfiorku er núll: $\Delta U_E+\Delta K=0\text{.}$

Breyting rafstöðuorku í einsleitu rafsviði er $$\Delta U_{\text{E}}=-qE\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i}}\right)\text{,}$$, þar sem $E=-100\times {10}^3\text{N/C}$. Þar sem rafeindirnar byrja í kyrrstöðu er $\Delta K=K_{\text{f}}$. Með $q=-1.602\times {10}^{-19}\text{C}$ fæst

Solution FOR (B)

$$\begin{array}{ccc}\hfill \Delta U_E+\Delta K& \hfill =\hfill & 0.\hfill \\ \hfill -qE\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i}}\right)+K_{\text{f}}& \hfill =\hfill & 0.\hfill \\ \hfill K_{\text{f}}& \hfill =\hfill & qE\left(x_{\text{f}}-x_{\text{i.}}\right)\text{.}\hfill \end{array}$$

18.32

$$\begin{array}{ccc}\hfill K_{\text{f}}& \hfill =\hfill & \left(-1.60\times {10}^{-19}\text{C}\right)\left(-100\times {10}^3\text{N/C}\right)\left(0.10\text{m}-0\right)\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & 1.6\times {10}^{-15}\text{J.}\hfill \end{array}$$

18.33

Discussion FOR (B)

Með $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ sést að þetta er mjög lítil orka, en rafeindir eru líka mjög léttar. Orkan nægir til að hraða þeim upp í meira en 100 milljón mílur á klukkustund.

Dæmi rafstöðuorka hurðarhúns og rykkorns

Skoðum aftur hurðarhúninn úr fyrra dæmi. Hurðarhúnninn er kúlulaga málmleiðari með jafndreifða stöðurafhleðslu $q_1=\mathrm{-1.5}\text{nC}$ á yfirborðinu. Hver er rafstöðuorkan milli hurðarhúnsins og rykkorns með hleðsluna $q_2=0.20\text{nC}$ í 1,0 cm fjarlægð frá yfirborðinu?

Strategy

Meðhöndlum hleðsluna eins og hún væri í miðju hurðarhúnsins. Veljum $+x$-stefnu út frá miðjunni og látum miðjuna vera í $x=0$. $r=2.5\text{cm}+1.0\text{cm}=3.5\text{cm}$

Lausn

Hleðsla hurðarhúnsins er $q_1=\mathrm{-1.5}\text{nC}=\mathrm{-1.5}\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C,}$ og hleðsla rykkornsins er $q_2=0.20\text{nC}=2.0\times {10}^{\mathrm{-10}}\text{C}$. Fjarlægðin er $r=3.5\text{cm}=0.035\text{m}$. Setjum þetta í $U_{\text{E}}=k{q}_1{q}_2/r$ og síðan í $U_{\text{E}}=k{q}_1{q}_2/r$:

$$\begin{array}{ccc}\hfill U_E\hfill & \hfill =\hfill & \frac{k{q}_1{q}_2}{r}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill =\hfill & \frac{\left(8.99\times {10}^9\text{N}\cdot {\text{m}}^{\text{2}}{\text{/C}}^{\text{2}}\right)\left(-1.5\times {10}^{\mathrm{-9}}\text{C}\right)\left(2.0\times {10}^{\mathrm{-10}}\text{C}\right)}{\left(0.035\text{m}\right)}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill =\hfill & \mathrm{-7.7}\times {10}^{\mathrm{-8}}\text{J}\text{.}\hfill \end{array}$$

18.34

Discussion

Orkan er neikvæð, sem merkir að hún minnkar enn frekar þegar rykkornið nálgast hurðarhúninn. Þetta hjálpar til við að skýra hvers vegna ryk safnast á hluti sem bera stöðurafhleðslu.

Æfingadæmi