1818 Stöðurafmagn

18.2 Lögmál Coulombs

Markmið kaflans

Í lok þessa kafla munt þú geta gert eftirfarandi:

Lýst lögmáli Coulombs í orðum og með jöfnu.
Leyst dæmi sem fela í sér lögmál Coulombs.

Lykilhugtök

fasti Coulombs	lögmál Coulombs
rafstöðukraftur	lögmál öfugs ferningssambands
punkthleðsla	snúningsvog

Meira en 100 árum áður en Thomson og Rutherford uppgötvuðu grunnagnirnar sem bera jákvæða og neikvæða rafhleðslu lýsti franski vísindamaðurinn Charles-Augustin de Coulomb kraftinum milli hlaðinna hluta með stærðfræði. Til þess þurfti nákvæmar mælingar á kröftum milli hlaðinna kúlna, og Coulomb smíðaði snjallt tæki sem kallast snúningsvog.

Tækið á Mynd 18.15 hefur einangrandi stöng sem hangir í þræði inni í glerhýsi. Á öðrum enda stangarinnar er málmkúla A. Þegar engin hleðsla er á kúlunni snertir hún kúlu B. Coulomb snerti kúlurnar með þriðju hlaðinni málmkúlu. Hleðslan dreifðist þá jafnt milli kúlna A og B, sem hrundu hvor annarri frá sér vegna þess að eins hleðslur hrinda hvor annarri frá sér.

Fráhrindikrafturinn lét kúlu A snúast frá kúlu B og sneri þræðinum þar til kraftvægi þráðarins vó upp rafkraftinn. Coulomb gat síðan snúið hnappi efst á tækinu og fært kúlu A nær kúlu B. Hann fann að ef fjarlægðin milli kúlanna var helminguð varð krafturinn fjórfalt meiri.

F \propto \frac{1}{r^{2,}}

18.5

Hér er r fjarlægðin milli kúlanna.

Rafhleðsla dreifist jafnt milli tveggja leiðandi kúlna af sömu stærð. Þessi staðreynd gerði Coulomb kleift að helminga óþekkta hleðslu. Ef ferlið er endurtekið fæst kúla með fjórðung upphaflegu hleðslunnar og svo framvegis. Með þessari aðferð mældi hann kraftinn milli kúlna A og B fyrir mismunandi hleðslur og komst að því að krafturinn er í réttu hlutfalli við hleðslu hvorrar kúlu:

F \propto q_{A} q_{B,}

18.6

Hér er $q_{A}$ hleðslan á kúlu A og $q_{B}$ hleðslan á kúlu B.

This figure consists of seven drawings, the largest of which is labeled “Fig. 1”. The largest structure appears as follows: there is a cap at the top, and below that are a disc, a long cylinder, a wider disc, and a shorter cylinder. The six smaller drawings show the parts from which the large structure is assembled. One part, labeled “Fig. 5” and placed nearest the upper left corner, consists of a vertical rod with a hook at the top, a sphere at the bottom, and a disc over a hemisphere near the middle. Another part, labeled “Fig. 4”, lies parallel to the bottom edge of the figure. It consists of a rod with a short line and a small sphere attached to one end. Three parts, labeled “Fig. 2”, are arranged in a column on the right side of the figure. Of these, the upper part consists of a cap-shaped structure with a horizontal projection and a vertical projection; the middle part consists of a cylinder with a wider discover it; and the lower part consists of another cylinder with a lip. The final part, labeled “Fig. 3” and placed near the bottom right corner of the figure, is a T-shaped structure with a small sphere at each end of the horizontal line. — **Mynd 18.15.** Teikning af snúningsvog Coulombs, sem hann notaði til að mæla rafkraftinn milli hlaðinna kúlna. (mynd: Charles-Augustin de Coulomb)

Með því að sameina þessi tvö hlutföll setti Coulomb fram eftirfarandi jöfnu fyrir kraftinn milli hlaðinna kúlna:

F = \frac{k q_{1} q_{2}}{r^{2}}

18.7

Þessi jafna kallast lögmál Coulombs og lýsir rafstöðukraftinum milli hlaðinna hluta. Hlutfallsfastinn k kallast fasti Coulombs. Í SI-einingum er gildi hans $k = 8.99 \times 10^{9} N \cdot m^{2} {/C}^{2.}$

Krafturinn verkar eftir línunni sem tengir miðjur hlutanna. Ef hleðslurnar hafa gagnstæð formerki gefur lögmál Coulombs neikvæða niðurstöðu og krafturinn er aðdráttarkraftur. Ef hleðslurnar hafa sama formerki er niðurstaðan jákvæð og krafturinn er fráhrindikraftur. Til dæmis, ef bæði $q_{1}$ og $q_{2}$ eru neikvæð eða bæði jákvæð, er krafturinn fráhrindikraftur. Ef $q_{1}$ er neikvæð hleðsla og $q_{2}$ er jákvæð hleðsla, eða öfugt, er krafturinn aðdráttarkraftur.

This figure has two parts. Part a shows two small spheres of equal size, labeled “q subscript 1” and “q subscript 2”, separated by a distance marked as “r”. Each sphere contains a minus sign. Two arrows, labeled “F subscript 1,2” and “F subscript 2,1”, point from the spheres away from each other. Part b also shows two small spheres of equal size, labeled “q subscript 1” and “q subscript 2”, separated by a larger distance marked as “r”. One of these spheres contains a minus sign and the other contains a plus sign. Two arrows, labeled 7F subscript 1,2” and “F subscript 2,1”, point from the spheres toward each other. — **Mynd 18.16.** Stærð rafstöðukraftsins F milli punkthleðslnanna q₁ og q₂, sem eru aðskildar með fjarlægðinni r, fæst með lögmáli Coulombs. Þriðja lögmál Newtons gildir eins og venjulega: krafturinn F₁,₂ á q₁ er jafn stór og gagnstæður að stefnu kraftinum F₂,₁ sem q₁ verkar með á q₂. (a) Eins hleðslur. (b) Ólíkar hleðslur.

Lögmál Coulombs gildir aðeins um hlaðna hluti sem eru kyrrir hvor miðað við annan. Krafturinn er í réttu hlutfalli við hleðslu hvors hlutar og í öfugu hlutfalli við annað veldi fjarlægðarinnar milli þeirra. Ef hleðslan $q_{1}$ er tvöfölduð tvöfaldast krafturinn. Ef fjarlægðin er tvöfölduð minnkar krafturinn um þáttinn $2^{2} = 4$ .

Lögmál Coulombs er dæmi um lögmál öfugs ferningssambands. Annað slíkt lögmál er þyngdarlögmál Newtons, $F = G m_{1} m_{2} / r^{2}$ .

Lögmálin eru lík, en tvennt skiptir máli: þyngdarfastinn G er miklu minni en fasti Coulombs, $G = 6.67 \times 10^{- 11} m^{3} /kg \cdot s^{2}$ , og massi er aðeins af einni gerð en rafhleðsla er bæði jákvæð og neikvæð. Þess vegna er þyngdarkraftur miklu veikari en rafstöðukraftur og aðeins aðdráttarkraftur.

Coulomb mældi fjarlægðina milli kúlna frá miðju hverrar kúlu. Þótt hann útskýrði ekki þessa forsendu í upphaflegu greinum sínum reynist hún rétt: utan frá séð má meðhöndla jafna kúlulaga hleðsludreifingu eins og öll hleðslan væri í miðju kúlunnar.

Myndskeið um eðlisfræði: rafstöðufræði og lögmál Coulombs

Myndskeiðið útskýrir grunnatriði lögmáls Coulombs. Athugið að fyrirlesarinn notar d fyrir fjarlægðina milli miðja agnanna í stað r.

Skilningstékk. Satt eða ósatt: Ef ein ögn ber jákvæða hleðslu og önnur ber neikvæða hleðslu er krafturinn milli þeirra aðdráttarkraftur.

Satt
Ósatt

Skyndiæfing: svífandi plast

Í þessari æfingu notar þú rafstöðufræði til að láta þunnan plastbút svífa í loftinu.

Blaðra
Léttur plastpoki, til dæmis grænmetispoki úr matvöruverslun

Framkvæmd

Klipptu plastpokann þannig að úr verði plastlykkja um 5 cm á breidd.
Blástu upp blöðruna.
Hlaðaðu blöðruna með því að nudda henni við fötin þín.
Hlaðaðu plastlykkjuna með því að setja hana á yfirborð sem er ekki úr málmi og nudda hana með klút.
Haltu blöðrunni í annarri hendi og plastlykkjunni fyrir ofan blöðruna með hinni. Slepptu lykkjunni og færðu blöðruna undir hana til að halda henni svífandi í loftinu.

Skilningstékk. Hvernig heldur blaðran plastlykkjunni svífandi?

Blaðran og lykkjan eru báðar neikvætt hlaðnar; fráhrindingin hjálpar blöðrunni að halda lykkjunni á lofti.
Blaðran er hlaðin en plastlykkjan er hlutlaus; þetta hjálpar blöðrunni að halda lykkjunni á lofti.
Blaðran og lykkjan eru báðar jákvætt hlaðnar; fráhrindingin hjálpar blöðrunni að halda lykkjunni á lofti.
Blaðran er jákvætt hlaðin en plastlykkjan neikvætt hlaðin; þetta hjálpar blöðrunni að halda lykkjunni á lofti.

Dæmi að finna kraft milli hlaðinna hluta

Gerum ráð fyrir að Coulomb mæli kraftinn $20 \times 10^{−6} N$ milli tveggja hlaðinna kúlna þegar fjarlægðin milli þeirra er 5,0 cm. Með því að snúa hnappinum efst á snúningsvoginni færir hann kúlurnar nær hvor annarri þannig að fjarlægðin verður 3,0 cm. Hvaða kraft mælir hann nú?

Strategy

Beitum lögmáli Coulombs fyrir og eftir að kúlurnar eru færðar nær hvor annarri. Við þekkjum ekki hleðslurnar, en þær haldast óbreyttar. Köllum þær $q_{1}$ og $q_{2}$ . Margfeldið $q_{1} q_{2}$ er því ein óþekkt stærð. Hin óþekkta stærðin er lokakrafturinn $F_{f}$ þegar fjarlægðin er 3,0 cm.

Notum táknin $F_{i} = 20 \times 10^{−6} N$ og $r_{i} = 5.0 cm = 0.050 m$ fyrir upphafsstöðuna. Fyrir lokastöðuna er $r_{f} = 3.0 cm = 0.030 m$ .

Lausn

Lögmál Coulombs fyrir upphafsstöðuna gefur

F_{i} = \frac{k q_{1} q_{2}}{r i 2.} .

18.8

og fyrir lokastöðuna

F_{f} = \frac{k q_{1} q_{2}}{r f 2.} .

18.9

Með því að deila seinni jöfnunni með þeirri fyrri og leysa fyrir $F_{f}$ fæst

\begin{matrix} \frac{F_{f}}{F_{i}} & = & \frac{k q_{1} q_{2} / r f 2}{k q_{1} q_{2} / r i 2} . \\ = & \frac{r i 2}{r f 2} \\ F_{f} & = & F_{i} \frac{r i 2}{r f 2} . \end{matrix}

18.10

Setjum inn þekktu stærðirnar:

\begin{matrix} F_{f} & = & F_{i} \frac{r i 2}{r f 2} \\ = & (20 \times 10^{−6} N) \frac{{(0.050 m)}^{2}}{{(0.030 m)}^{2}} \\ = & 56 \times 10^{−6} N \\ = & 5.6 \times 10^{−5} N. \end{matrix}

18.11

Krafturinn verkar eftir línunni sem tengir miðjur kúlanna. Þar sem hleðslurnar eru af sömu tegund er krafturinn fráhrindikraftur.

Discussion

Krafturinn er meiri við 3,0 cm fjarlægð en við 5,0 cm, eins og búast má við. Í þessu dæmi styttast fjarlægðareiningarnar út í hlutfallinu, en þegar fastinn k er notaður beint þarf að vinna í SI-einingum.

Einnig má finna óþekktu stærðina $| q_{1} q_{2} |$ úr upphafsjöfnunni:

\begin{matrix} F_{f} & = & \frac{k q_{1} q_{2}}{r i 2} \\ q_{1} q_{2} & = & \frac{F_{i} r i 2}{k} \\ = & \frac{(20 \times 10^{−6} N) {(0.050 m)}^{2}}{8.99 \times 10^{9} N \cdot m^{2} {/C}^{2}} \\ = & 5.6 \times 10^{−18} C^{2} \end{matrix}

18.12

Þar sem hleðslan á hvorri kúlu er sú sama fæst

q_{1} = q_{2} = \pm \sqrt{5.6 \times 10^{−18} C^{2}} = \pm 2.4 nC.

18.13

Dæmi að finna fjarlægð milli hlaðinna hluta

Verkfræðingur mælir kraftinn milli tveggja blekdropa með því að mæla hröðun þeirra og þvermál. Hún finnur að hvor dropi verkar á hinn með fráhrindikraftinum $F = 5.5 mN$ . Ef hvor blekdropi ber hleðsluna $q_{ink drop} = −1 \times 10^{−10} C$ , hversu langt er á milli dropanna?

Strategy

Við þekkjum kraftinn og hleðslu hvors dropa og getum því leyst lögmál Coulombs fyrir fjarlægðinni r. Fyrst þarf að breyta kraftinum í SI-einingar: $F = 5.5 mN = 5.5 \times 10^{−3} N.$ .

Lausn

Í lögmáli Coulombs eru hleðslurnar $q_{1} = q_{2} = q ink drop,$ svo teljarinn í lögmáli Coulombs er $q_{1} q_{2} = q ink drop 2$ . Þá fæst

\begin{matrix} F & = & \frac{k q ink drop 2}{r^{2}} \\ r & = & \pm \sqrt{\frac{k q ink drop 2}{F}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{(8.99 \times 10^{9} N \cdot m^{2} {/C}^{2}) {(−1 \times 10^{−10} C)}^{2}}{5.5 \times 10^{−3} N}} \\ = & \pm 1.3 \times 10^{−4} m \end{matrix}

18.14

Discussion

Þetta jafngildir 130 µm, eða um einum tíunda úr millimetra. Plús-mínus formerkið segir aðeins hvor dropinn er til hægri eða vinstri; það skiptir ekki máli þar sem droparnir eru eins.

Æfingadæmi

11.

Hleðsla −4 × 10⁻⁹ C er í 3 cm fjarlægð frá hleðslu 3 × 10⁻⁹ C. Hver er stærð og stefna kraftsins milli þeirra?

1,2 × 10⁻⁴ N, og krafturinn er aðdráttarkraftur
1,2 × 10¹⁴ N, og krafturinn er aðdráttarkraftur
6,74 × 10²³ N, og krafturinn er aðdráttarkraftur
−ŷ, og krafturinn er aðdráttarkraftur

12.

Tvær hleðslur hrinda hvor annarri frá sér með kraftinum 2,0 N. Ef fjarlægðin milli þeirra þrefaldast, hver verður krafturinn milli hleðslanna?

0,22 N
0,67 N
2,0 N
18,0 N

Athugaðu skilning þinn

13.

Hvernig tengjast rafstöðukraftur og hleðsla?

Krafturinn er í réttu hlutfalli við margfeldi hleðslanna tveggja.
Krafturinn er í öfugu hlutfalli við margfeldi hleðslanna tveggja.
Krafturinn er í réttu hlutfalli við aðra hvora hleðsluna sem krafturinn verkar á milli.
Krafturinn er í öfugu hlutfalli við aðra hvora hleðsluna sem krafturinn verkar á milli.

14.

Hvers vegna er lögmál Coulombs kallað lögmál öfugs ferningssambands?

Vegna þess að krafturinn er í réttu hlutfalli við andhverfu fernings fjarlægðarinnar milli hleðslna.
Vegna þess að krafturinn er í réttu hlutfalli við margfeldi tveggja hleðslna.
Vegna þess að krafturinn er í réttu hlutfalli við andhverfu margfeldis tveggja hleðslna.
Vegna þess að krafturinn er í réttu hlutfalli við ferningsrót fjarlægðarinnar milli hleðslna.

Dæmi að finna kraft milli hlaðinna hluta

Strategy

Notum táknin $F_{i} = 20 \times 10^{−6} N$ og $r_{i} = 5.0 cm = 0.050 m$ fyrir upphafsstöðuna. Fyrir lokastöðuna er $r_{f} = 3.0 cm = 0.030 m$ .

Lausn

Lögmál Coulombs fyrir upphafsstöðuna gefur

F_{i} = \frac{k q_{1} q_{2}}{r i 2.} .

18.8

og fyrir lokastöðuna

F_{f} = \frac{k q_{1} q_{2}}{r f 2.} .

18.9

Með því að deila seinni jöfnunni með þeirri fyrri og leysa fyrir $F_{f}$ fæst

\begin{matrix} \frac{F_{f}}{F_{i}} & = & \frac{k q_{1} q_{2} / r f 2}{k q_{1} q_{2} / r i 2} . \\ = & \frac{r i 2}{r f 2} \\ F_{f} & = & F_{i} \frac{r i 2}{r f 2} . \end{matrix}

18.10

Setjum inn þekktu stærðirnar:

\begin{matrix} F_{f} & = & F_{i} \frac{r i 2}{r f 2} \\ = & (20 \times 10^{−6} N) \frac{{(0.050 m)}^{2}}{{(0.030 m)}^{2}} \\ = & 56 \times 10^{−6} N \\ = & 5.6 \times 10^{−5} N. \end{matrix}

18.11

Krafturinn verkar eftir línunni sem tengir miðjur kúlanna. Þar sem hleðslurnar eru af sömu tegund er krafturinn fráhrindikraftur.

Discussion

Einnig má finna óþekktu stærðina $| q_{1} q_{2} |$ úr upphafsjöfnunni:

\begin{matrix} F_{f} & = & \frac{k q_{1} q_{2}}{r i 2} \\ q_{1} q_{2} & = & \frac{F_{i} r i 2}{k} \\ = & \frac{(20 \times 10^{−6} N) {(0.050 m)}^{2}}{8.99 \times 10^{9} N \cdot m^{2} {/C}^{2}} \\ = & 5.6 \times 10^{−18} C^{2} \end{matrix}

18.12

Þar sem hleðslan á hvorri kúlu er sú sama fæst

q_{1} = q_{2} = \pm \sqrt{5.6 \times 10^{−18} C^{2}} = \pm 2.4 nC.

18.13

Dæmi að finna fjarlægð milli hlaðinna hluta

Strategy

Við þekkjum kraftinn og hleðslu hvors dropa og getum því leyst lögmál Coulombs fyrir fjarlægðinni r. Fyrst þarf að breyta kraftinum í SI-einingar: $F = 5.5 mN = 5.5 \times 10^{−3} N.$ .

Lausn

Í lögmáli Coulombs eru hleðslurnar $q_{1} = q_{2} = q ink drop,$ svo teljarinn í lögmáli Coulombs er $q_{1} q_{2} = q ink drop 2$ . Þá fæst

\begin{matrix} F & = & \frac{k q ink drop 2}{r^{2}} \\ r & = & \pm \sqrt{\frac{k q ink drop 2}{F}} \\ = & \pm \sqrt{\frac{(8.99 \times 10^{9} N \cdot m^{2} {/C}^{2}) {(−1 \times 10^{−10} C)}^{2}}{5.5 \times 10^{−3} N}} \\ = & \pm 1.3 \times 10^{−4} m \end{matrix}

18.14

Discussion

Þetta jafngildir 130 µm, eða um einum tíunda úr millimetra. Plús-mínus formerkið segir aðeins hvor dropinn er til hægri eða vinstri; það skiptir ekki máli þar sem droparnir eru eins.