44 Framsetning talna og reikningur

4.5 Margföldun og deiling í talnakerfum

Kona leysir jöfnu á töflu. — **Mynd 4.6.** Aðferðir við margföldun og deilingu eru þær sömu í öllum talnakerfum. (mynd: aðlagað verk „NCTR Intern Claire Boyle“ eftir Danny Tucker/U.S. Food and Drug Administration, almenningseign)

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

margfaldað og deilt í öðrum talnakerfum en tugakerfi.
greint villur í margföldun og deilingu í öðrum talnakerfum en tugakerfi.

Rétt eins og í hlutanum um samlagningu og frádrátt í talnakerfum þarf að setja reglur um hvernig tölur eru sameinaðar þegar talningarkerfi hefur verið valið. Þar á meðal eru reglur um margföldun og deilingu. Við þekkjum þessar aðgerðir í tugakerfi. Hvað breytist ef notuð er önnur grunntala, stærri eða minni?

Í þessum hluta beitum við aðferðum tugakerfisins við margföldun og deilingu í talnakerfum með öðrum grunntölum.

Margföldun í öðrum talnakerfum en tugakerfi

Margföldun táknar endurtekna samlagningu, óháð grunntölu. Samlagningarreglur eru þó mismunandi eftir talnakerfum. Til að búa til margföldunartöflu fyrir annað kerfi en tugakerfi þurfum við því að þekkja samlagningu og samlagningartöflu kerfisins. Skoðum margföldun í sextalakerfi.

Margföldun hefur sömu merkingu og í tugakerfi. Til dæmis merkir $4 \times 6$ summu sex fjarka: $4 \times 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4$ .

Beitum þessu í sextalakerfi. Núll margfaldað með hvaða tölu sem er gefur 0 í öllum talnakerfum og 1 margfaldað með tölu gefur töluna sjálfa.

Skref 1: Við byrjum á töflunni hér fyrir neðan:

*	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5
2	2	4
3	3
4	4
5	5

Skref 2: Þar stendur þegar $2 \times 2 = 4$ , enda er 4 leyfilegur tölustafur bæði í tugakerfi og sextalakerfi. En hvert er gildi $2 \times 3$ ? Með endurtekinni samlagningu fæst $2 \times 3 = 2 + 2 + 2 = 4 + 2$ . Samkvæmt samlagningartöflu sextalakerfisins (tafla 4.4) er $4 + 2 = 10$ . Við færum það í töfluna:

*	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5
2	2	4	10
3	3	10
4	4
5	5

Skref 3: Næst fyllum við út $2 \times 4$ . Með endurtekinni samlagningu og reglum sextalakerfisins fæst $2 \times 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 10 + 2 = 12$ . Við færum það í töfluna:

*	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5
2	2	4	10	12
3	3	10
4	4	12
5	5

Skref 4: Að lokum er $2 \times 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 + 2 = 14$ . Við færum það einnig í töfluna:

*	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5
2	2	4	10	12	14
3	3	10
4	4	12
5	5	14

Skref 5: Með sams konar útreikningum fyllum við hina reitina. Hér er margfeldið $4 \times 5$ reiknað: $4 \times 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 12 + 12 + 4 = 24 + 4 = 32$ .

Hér eru notaðar samlagningarreglurnar úr hlutanum um samlagningu og frádrátt í talnakerfum, einkum $4 + 4 = 12$ , og síðan kunnugleg samlagning með samlagningartöflu sextalakerfisins í töflu 4.4. Fullgerða margföldunartaflan er:

*	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5
2	2	4	10	12	14
3	3	10	13	20	23
4	4	12	20	24	32
5	5	14	23	32	41

Tekurðu eftir einhverju við neðstu línuna? Svipar henni til þess sem gerist í tugakerfi?

Til að búa til margföldunartöflu fyrir annað talnakerfi en tugakerfi þarf samlagningartöflu viðkomandi kerfis. Settu margföldunartöfluna upp og reiknaðu reitina með endurtekinni samlagningu í kerfinu. Aðeins þarf að teikna töfluna einu sinni.

Dæmi 4.38

Margföldunartafla gerð fyrir grunntölu minni en 10

Búðu til margföldunartöflu fyrir sjötalakerfi.

Lausn

Skref 1: Beitum aðferðinni hér að framan til að finna margföldunartöflu sjötalakerfisins. Núll margfaldað með hvaða tölu sem er gefur 0 í öllum talnakerfum og 1 margfaldað með tölu gefur töluna sjálfa. Við byrjum því á töflunni hér fyrir neðan:

*	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6
3	3	6
4	4
5	5
6	6

Skref 2: Þar stendur þegar $2 \times 2 = 4$ , enda er 4 leyfilegur tölustafur bæði í tugakerfi og sjötalakerfi. Sama gildir um $2 \times 3$ og $3 \times 2$ , sem eru 6. En hvert er gildi $2 \times 4$ ? Með endurtekinni samlagningu fæst $2 \times 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 6 + 2$ . Samkvæmt samlagningartöflu sjötalakerfisins í lausn sýnidæmis 4.29 er $6 + 2 = 11$ . Við færum það í töfluna:

*	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	11
3	3	6
4	4	11
5	5
6	6

Skref 3: Næst fyllum við út $2 \times 5$ . Með endurtekinni samlagningu og reglum sjötalakerfisins fæst $2 \times 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11 + 2 = 13$ . Við færum það í töfluna:

*	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	11	13
3	3	6
4	4	11
5	5	13
6	6

Skref 4: Að lokum er $2 \times 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 13 + 2 = 15$ . Við færum það einnig í töfluna:

*	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	11	13	15
3	3	6
4	4	11
5	5	13
6	6	15

Skref 5: Með sams konar útreikningum fyllum við hina reitina. Hér er margfeldið $4_{7} \times 5_{7}$ reiknað:

4_{7} \times 5_{7} = 4_{7} + 4_{7} + 4_{7} + 4_{7} + 4_{7} = 11_{7} + 11_{7} + 4_{7} = 22_{7} + 4_{7} = 26_{7}

Hér eru notaðar samlagningarreglurnar úr hlutanum um samlagningu og frádrátt í talnakerfum, einkum $4_{7} + 4_{7} = 11_{7}$ , og síðan kunnugleg samlagning með samlagningartöflu sjötalakerfisins í lausn sýnidæmis 4.29. Með þessum reglum fæst það sem eftir er af töflunni hér fyrir neðan:

*	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	11	13	15
3	3	6	12	15	21	24
4	4	11	15	22	26	33
5	5	13	21	26	34	42
6	6	15	24	33	42	51

Dæmi 4.39

Margföldunartafla gerð fyrir grunntölu stærri en 10

Búðu til margföldunartöflu fyrir tólfundarkerfi.

Lausn

Beitum endurtekinni samlagningu í tólfundarkerfi. Hér er margfeldið $7_{12} \times 9_{12}$ reiknað:

7_{12} \times 9_{12} = 7_{12} + 7_{12} + 7_{12} + 7_{12} + 7_{12} + 7_{12} + 7_{12} + 7_{12} + 7_{12} = 12_{12} + 12_{12} + 12_{12} + 12_{12} + 7_{12} = 48_{12} + 7_{12} = 53_{12}

Hér eru notaðar samlagningarreglurnar úr hlutanum um samlagningu og frádrátt í talnakerfum, einkum $7_{12} + 7_{12} = 12_{12}$ , og síðan kunnugleg samlagning með samlagningartöflu tólfundarkerfisins í lausn sýnidæmis 4.31. Með þessum reglum fæst það sem eftir er af töflunni hér fyrir neðan:

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1

Margföldunartafla tvíundarkerfisins hér fyrir neðan er jafn einföld og samlagningartaflan í töflu 4.6. Þar sem margfeldi 1 og hvaða tölu sem er er talan sjálf fæst taflan hér á eftir.

*	0	1
0	0	0
1	0	1

Rétt eins og með samlagningartöfluna getum við notað margföldunar- og samlagningartöflur til að margfalda tvær tölur í öðrum talnakerfum en tugakerfi. Ferlið er hið sama og reglurnar um að geyma tölur og setja núll í auð sæti gilda einnig.

Dæmi 4.40

Margföldun í kerfi með grunntölu undir 10

Reiknaðu $45_{6} \times 24_{6}$ .
Reiknaðu $101_{2} \times 110_{2}$ .

Lausn

Skref 1: Notaðu margföldunartöflu sextalakerfisins (tafla 4.8) og samlagningartöflu þess (tafla 4.4) þegar þarf.

Settu dæmið upp í dálka:

4 5

x 2 4

Skref 2: Margfaldaðu tölustafina 5 og 4 í einingasætinu með töflu 4.8. Margfeldið er 32₆. Skrifaðu 2 og geymdu 3.

3

4 5

x 2 4

2

Skref 3: Margfaldaðu 4 með 4 og leggðu síðan 3 við, rétt eins og í tugakerfi. Samkvæmt töflu 4.8 er $4_{6} \times 4_{6} = 24_{6}$ og síðan $24_{6} + 3_{6} = 31_{6}$ . Skrifaðu því 31.

3

4 5

x 2 4

3 1 2

Skref 4: Næst kemur 2 í sexasæti neðri tölunnar. Margfeldið 2₆ $\times ⁠$ 5₆ er 14₆. Skrifaðu 4 og geymdu 1.

Skref 5: Margfaldaðu 2 með 4 og leggðu síðan 1 við. Þá fæst $12_{6} + 1_{6} = 13_{6}$ . Skrifaðu það í aðra línu.

1

4 5

x 2 4

3 1 2

1 3 4 0

Skref 6: Leggðu saman niður dálkana.

1

4 5

x 2 4

1 3 1 2

1 3 4 0

2 0 5 2

Skref 7: Í sextalakerfi er 3 + 3 = 10₆. Skrifaðu 0 og geymdu 1. Niðurstaðan er:
$45_{6} \times 24_{6} = 2052_{6}$ .
Skref 1: Notaðu margföldunartöflu tvíundarkerfisins (tafla 4.10) og samlagningartöflu þess í sýnitöflu 4.6 þegar þarf. Settu dæmið upp í dálka:

1 0 1

x 1 1 0

Skref 2: Fylgdu fyrra mynstri og kunnuglegri margföldunaraðferð tugakerfisins. Þá fæst:

1 0 1

x 1 1 0

0 0 0

1 0 1

1 0 1

Skref 3: Þegar lagt er saman niður dálkana fæst:

1 0 1

x 1 1 0

0 0 0

1 0 1

1 0 1

1 1 1 1 0

Því er $101_{2} \times 110_{2} = 11110_{2}$ .

Í stuttu máli er margföldunartafla talnakerfisins notuð við margföldun tveggja talna. Margfaldað er á sama hátt og í tugakerfi. Samlagningarreglur kerfisins eru einnig notaðar þegar tala er geymd og þegar línurnar með margfeldi hvers tölustafs eru lagðar saman.

Dæmi 4.41

Margföldun í kerfi með grunntölu yfir 10

Reiknaðu $3 A_{12} \times 74_{12}$ .

Lausn

Skref 1: Notaðu margföldunartöflu tólfundarkerfisins í lausn sýnidæmis 4.39 og samlagningartöflu þess í töflu 4.7 þegar þarf. Settu dæmið upp í dálka:

	3	A
$\times ⁠$	7	4

Skref 2: Fyrst er 4 margfaldað með 3A og fyrsta línan fæst.

	3	A
$\times ⁠$	7	4
1	3	4

Skref 3: Næst kemur 7 í tólfasæti neðri tölunnar.

		5
		3	A
	x	7	4
	1	3	4
2	2	A	0

Skref 4: Leggðu saman niður dálkana.

		3	A
	x	7	4
	1	3	4
2	2	A	0
2	4	1	4

Skref 5: Í tólfundarkerfi er 3 + A = 11₁₂. Skrifaðu 1 og geymdu 1.

Niðurstaðan er $3 A_{12} \times 74_{12} = 2414_{12}$ .

Deiling í öðrum talnakerfum en tugakerfi

Rétt eins og við aðrar reikniaðgerðir fer deiling í talnakerfi með aðra grunntölu en 10 fram á sama hátt og í tugakerfi. Til dæmis er $72 \div 9 = 8$ vegna þess að $9 \times 8 = 72$ . Í mörgum deilingardæmum nægir því að finna viðeigandi færslu í margföldunartöflunni.

Dæmi 4.42

Deiling í öðru talnakerfi en tugakerfi

Reiknaðu $14_{6} \div 5_{6}$ .
Reiknaðu $5 A_{12} \div 7_{12}$ .

Lausn

Í margföldunartöflu sextalakerfisins (tafla 4.8) sést að $5_{6} \times 2_{6} = 14_{6}$ . Því er $14_{6} \div 5_{6} = 2_{6}$ .
Í margföldunartöflu tólfundarkerfisins í lausn sýnidæmis 4.39 sést að $7_{12} \times A_{12} = 5 A_{12}$ . Því er $5 A_{12} \div 7_{12} = A_{12}$ .

Villur í margföldun og deilingu í öðrum talnakerfum en tugakerfi

Villur í margföldun og deilingu utan tugakerfis eru sams konar og í samlagningu og frádrætti. Oft er reglum eða tölustöfum tugakerfisins beitt í reiknidæmi í öðru talnakerfi. Ein villutegund er að nota tölustaf sem tilheyrir ekki táknasafni kerfisins.

Dæmi 4.43

Óleyfilegur tölustafur greindur í öðru talnakerfi en tugakerfi

Útskýrðu villuna í eftirfarandi útreikningi og finndu rétt svar:

4_{6} \times 2_{6} = 8_{6}

Lausn

Þar sem dæmið er í sextalakerfi má aðeins nota táknin 0, 1, 2, 3, 4 og 5. Tölustafurinn 8 í svarinu er því augljóslega óleyfilegur. Samkvæmt margföldunartöflu sextalakerfisins (tafla 4.8) er $4_{6} \times 2_{6} = 12_{6}$ .

Önnur villutegund er að nota tugakerfisreglu þegar tölurnar eru í öðru talnakerfi. Í sautjántalakerfi væri $6_{17} \times 9_{17} = 54_{17}$ til dæmis rangt, þótt $6 \times 9 = 54$ sé rétt í tugakerfi. Talnatáknið 54 táknar annað gildi í sautjántalakerfi.

Dæmi 4.44

Reiknivilla greind í öðru talnakerfi en tugakerfi

Útskýrðu villuna í eftirfarandi útreikningi og finndu rétt svar:

18_{12} \times 7_{12} = 126_{12}

Lausn

Ef dæmið væri í tugakerfi væri svarið rétt. Í tólfundarkerfi er $8_{12} \times 7_{12}$ hins vegar ekki 56 heldur 48. Notaðu margföldunartöflu tólfundarkerfisins (tafla 4.9) vandlega til að leiðrétta villuna. Rétt svar er $18_{12} \times 7_{12} = B 8_{12}$ .

Prófaðu skilning þinn

Hvað þarf að nota til að búa til margföldunartöflu fyrir tiltekið talnakerfi?

Hver er munurinn á margföldun í tugakerfi og margföldun í öðru talnakerfi?

Hvaða töflu er stuðst við þegar deilt er í öðru talnakerfi en tugakerfi?

Reiknaðu

{24_6} \times {53_6}

Reiknaðu

{32_{14}} \div {4_{14}}

Hvernig veistu að villa hefur orðið ef svarið við margföldunardæmi í fimmtalakerfi er 28₅?

Nefndu tvær algengar leiðir til að greina villu í reikningi í öðru talnakerfi en tugakerfi.

Æfingar úr hluta 4.5

Í eftirfarandi dæmum skaltu búa til margföldunartöflu fyrir tilgreint talnakerfi.

fimmtalakerfi

þrítalakerfi

sextándakerfi (Vísbending: Notaðu tölustafina 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F.)

tvíundarkerfi

Í eftirfarandi dæmum skaltu framkvæma tilgreinda reikniaðgerð í sextalakerfi.

{4_6} \times {3_6}

{14_6} \times {5_6}

{31_6} \times {3_6}

{43_6} \times {34_6}

{532_6} \times {23_6}

10.

{254_6} \times {143_6}

11.

{20_6} \div {3_6}

12.

{23_5} \div {5_6}

Í eftirfarandi dæmum skaltu framkvæma tilgreinda reikniaðgerð í tólfundarkerfi.

13.

{5_{12}} \times {6_{12}}

14.

{3_{12}} \times {{\text{A}}_{12}}

15.

{34_{12}} \times {7_{12}}

16.

{76_{12}} \times {{\text{B}}_{12}}

17.

{59_{12}} \times 1{{\text{A}}_{12}}

18.

{\text{A}}{1_{12}} \times {36_{12}}

19.

{53_{12}} \div {9_{12}}

20.

2{{\text{B}}_{12}} \div {7_{12}}

21.

Útskýrðu tvær leiðir til að greina villu í reikningi í öðrum talnakerfum en tugakerfi.

22.

Útskýrðu villuna í eftirfarandi útreikningi:

{15_{12}} \times {7_{12}} = {105_{12}}

23.

Útskýrðu villuna í eftirfarandi útreikningi:

{45_8} \times {6_8} = {94_8}

24.

Í tugakerfi eru 100 margföldunarreglur auk reglu um að geyma tölu. Hve margar margföldunarreglur eru í sextalakerfi?

25.

Í tugakerfi eru 100 margföldunarreglur auk reglu um að geyma tölu. Hve margar margföldunarreglur eru í fjórtántalakerfi?

26.

Í tugakerfi eru 100 margföldunarreglur auk reglu um að geyma tölu. Hve margar margföldunarreglur eru í tvíundarkerfi?

27.

Skoðaðu svörin við æfingum 24 og 26. Hvaða talnakerfi telurðu skilvirkast: tugakerfi, sextalakerfi eða tvíundarkerfi?

Í eftirfarandi dæmum skaltu nota margföldunartöfluna sem þú bjóst til í æfingu 4 og framkvæma tilgreindar reikniaðgerðir í tvíundarkerfi.

28.

{11_2} \times {11_2}

29.

{101_2} \times {10_2}

30.

{11011_2} \times {1011_2}

31.

{1011_2} \times {1010101_2}

32.

Umreiknaðu

{1011_2}

{1010101_2}

yfir í tugakerfi. Margfaldaðu síðan tugakerfistölurnar. Umreiknaðu næst svarið við æfingu 31 yfir í tugakerfi. Eru niðurstöðurnar jafnar?

Í eftirfarandi dæmum skaltu nota margföldunartöfluna sem þú bjóst til í æfingu 3 og framkvæma tilgreindar reikniaðgerðir í sextándakerfi.

33.

{19_{16}} \times {5_{16}}

34.

3{{\text{B}}_{16}} \times {{\text{A}}_{16}}

35.

{25_{16}} \times {16_{16}}

36.

{{\text{C}}_{16}} \div {4_{16}}

Í eftirfarandi dæmum skaltu útskýra hvernig sjá má að villa var gerð án þess að framkvæma reikniaðgerðina í tilgreinda talnakerfinu.

37.

{43_5} \times {32_5} = {126_5}

38.

{5_{14}} \times {9_{14}} = {45_{14}}

*	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5
2	2	4	10	12	14
3	3	10	13	20	23
4	4	12	20	24	32
5	5	14	23	32	41

*	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	11	13	15
3	3	6	12	15	21	24
4	4	11	15	22	26	33
5	5	13	21	26	34	42
6	6	15	24	33	42	51

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1

*	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5
2	2	4	10	12	14
3	3	10	13	20	23
4	4	12	20	24	32
5	5	14	23	32	41

*	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	11	13	15
3	3	6	12	15	21	24
4	4	11	15	22	26	33
5	5	13	21	26	34	42
6	6	15	24	33	42	51

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1

*	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5
2	2	4	10	12	14
3	3	10	13	20	23
4	4	12	20	24	32
5	5	14	23	32	41

*	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6
2	2	4	6	11	13	15
3	3	6	12	15	21	24
4	4	11	15	22	26	33
5	5	13	21	26	34	42
6	6	15	24	33	42	51

*	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1