4.1 Hindú-arabíska sætiskerfið – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
44 Framsetning talna og reikningur
4.1 Hindú-arabíska sætiskerfið
4.1 Hindú-arabíska sætiskerfið
Mynd 4.2. Í handritinu má sjá fornar gerðir hindú-tölustafa. (Mynd: aðlögun á „Bakhshali-handritinu“, Bodleian-bókasöfn/Háskólinn í Oxford, almenningseign)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
reiknað gildi veldisstæðu.
fært hindú-arabískt talnatákn yfir á liðað form.
fært liðað form tölu yfir í hindú-arabískt talnatákn.
Nútímakerfi talningar og útreikninga er ekki sjálfgefið. Tiltölulega ný hugmynd er að nota ólík tákn fyrir ólíkt magn. Lengst af í sögu mannsins var algengt að rista eina línu eða setja einn punkt fyrir hvert talið eintak. Nútímakerfið endurtekur ekki tákn til að tákna fleiri en eitt eintak heldur ræðst gildi tölustafs af sæti hans í talnatákninu. Talnatákn er tákn sem stendur fyrir tölu. Tala er óhlutbundin hugmynd sem lýsir magni eða fjölda.
Mikilvægt er að greina á milli talnatákns og tölu. Sömu manneskjuna má kalla bróður, föður, eiginmann eða frænda. Öll heitin vísa samt til sömu manneskjunnar, Jóns Jónssonar. Manneskjan samsvarar tölunni en heitin samsvara talnatáknunum.
Talninga- og reiknikerfið okkar notar sætisgildi sem byggjast á veldum af 10. Í þessum hluta rifjum við upp veldi og sætiskerfið okkar.
Gildi veldisstæðna reiknað
Flest nútímatalnakerfi nota sætisgildi, þannig að táknað magn ræðst bæði af tölustafnum og sæti hans í talnatákninu. Sætisgildin eru veldi af tiltekinni grunntölu og því má lýsa tölum í slíkum kerfum með veldisstæðum. Veldisstæða er stærðfræðileg stæða sem inniheldur veldisvísi. Að reikna gildi hennar merkir að framkvæma þær reikniaðgerðir sem hún lýsir. Í þessum kafla notum við jákvæða heiltöluveldisvísa. Rifjum fyrst upp hvað veldi tákna. Gerum ráð fyrir að talan komi fyrir sem þáttur í margfeldi sinnum. Það er táknað ()^(). Talan a er veldisstofninn og b er veldisvísirinn. Ef talan 13 kemur fyrir átta sinnum sem þáttur í margfeldi skrifum við (13)^(8) og segjum „13 í áttunda veldi“.
Við útreikning veldisstæðna þarf að muna forgangsröð reikniaðgerða. Fyrst er reiknað innan sviga, síðan eru veldi reiknuð, þá margföldun og deiling og loks samlagning og frádráttur.
Dæmi 4.1
Gildi veldisstæðu reiknað
Reiknaðu gildi veldisstæðnanna hér á eftir.
Lausn
Við notum forgangsröð reikniaðgerða: reiknum fyrst veldin, síðan margföldun og loks samlagningu.
Við notum forgangsröð reikniaðgerða: reiknum fyrst veldin, síðan margföldun og loks samlagningu. Mundu að sérhver tala önnur en núll í núllta veldi er 1.
Við notum forgangsröð reikniaðgerða: reiknum fyrst veldin, síðan margföldun og loks samlagningu. Mundu að sérhver tala önnur en núll í núllta veldi er 1.
Hindú-arabísk talnatákn færð yfir á liðað form
Þegar þú sérð talnatáknið 738 og lest það upphátt segirðu líklega „sjö hundruð þrjátíu og átta“ og veltir því fyrir þér hvers vegna spurt sé. Þú segir ekki „sjö, þrír og átta“, þótt barn á leikskólaaldri gæti gert það. Hvers vegna?
Ástæðan er sú að þú hefur lært sætisgildi, það er sæti tölustafa í talnatákni sem ráða gildi þeirra. Í þriggja stafa talnatákni stendur fyrsti tölustafurinn fyrir hundruð, sá næsti fyrir tugi og sá síðasti fyrir einingar. Sætisgildin byggjast á veldum af 10 og því er kerfið með grunntöluna 10.
Skilningur á sætisgildi gerir talnakerfið okkar gagnlegt. Þú hefur einnig lært hindú-arabíska talnakerfið, sem notar tölustafina 0 til 9 og sætisgildi byggð á veldum af 10.
Að skrifa tölu sem summu margfelda tölustafanna og sætisgilda þeirra kallast að skrifa hana á liðuðu formi. Í talnatákni með tölustöfum er fyrsti tölustafurinn margfaldaður með 10 í veldi þar sem veldisvísirinn er einum lægri en . Fyrir hvern tölustaf sem á eftir kemur lækkar veldisvísirinn um einn. Talan 738 er því skrifuð .
Hvað með fjögurra stafa tölu, til dæmis 5.825? Hún er lesin „fimm þúsund átta hundruð tuttugu og fimm“. Á liðuðu formi er hún . Hæsti veldisvísirinn er einum lægri en fjöldi tölustafa og veldisvísarnir lækka um einn eftir því sem lengra er farið til hægri.
Dæmi 4.2
Tala skrifuð á liðuðu formi
Skrifaðu tölurnar hér á eftir á liðuðu formi.
563
4.821
903.786
Lausn
Skref 1: Talan 563 hefur þrjá tölustafi og því er jafnt og 3. Fyrsti tölustafurinn er margfaldaður með 10 í öðru veldi og við byrjum á . Skref 2: Næsti tölustafur, 6, er margfaldaður með 10 í næsta lægra veldi og margfeldinu bætt við. Þá fæst . Skref 3: Síðasti tölustafurinn er margfaldaður með 10 í núllta veldi og margfeldinu bætt við. Þá fæst .
Skref 1: Talan 4.821 hefur fjóra tölustafi og því er jafnt og 4. Fyrsti tölustafurinn, 4, er margfaldaður með 10 í þriðja veldi: . Skref 2: Næsti tölustafur, 8, er margfaldaður með 10 í næsta lægra veldi og margfeldinu bætt við. Þá fæst . Skref 3: Við færum okkur að næsta tölustaf og lækkum veldisvísinn aftur um einn. Þá fæst . Skref 4: Síðasti tölustafurinn er margfaldaður með 10 í núllta veldi og margfeldinu bætt við. Þá fæst .
Talan 903.786 hefur sex tölustafi og því er jafnt og 6. Við byrjum á 9 sinnum 10 í fimmta veldi og lækkum veldisvísinn um einn fyrir hvern tölustaf sem á eftir kemur. Niðurstaðan er .
Liðað form tölu fært yfir í hindú-arabískt talnatákn
Að færa liðað form tölu aftur yfir í hindú-arabískt talnatákn er andhverfa þess að liða töluna og jafngildir því að reikna gildi veldisstæðunnar.
Dæmi 4.3
Liðað form tölu fært yfir í hindú-arabískt talnatákn
Færðu stæðurnar hér á eftir yfir í hindú-arabísk talnatákn.
Lausn
Þegar gildi stæðunnar er reiknað fæst:
Þegar gildi stæðunnar er reiknað fæst:
Þegar gildi stæðunnar er reiknað fæst:
Prófaðu skilning þinn
Hvað er átt við með sætiskerfi?
Reiknaðu gildi veldisstæðunnar: .
Skrifaðu töluna 45.209 á liðuðu formi.
Hvaða tala myndar grunn sætisgildanna í talnakerfinu okkar?
Hver er munurinn á talnatákni og tölu?
Færðu yfir í hindú-arabískt talnatákn: .
Æfingar úr hluta 4.1
1.
Hvað felst í því að talnakerfi sé sætiskerfi?
2.
Á hvaða grunntölu byggjast sætisgildin í kerfinu okkar?
3.
Hver er munurinn á talnatákni og tölu?
4.
Hvað tengir talnatákn við tölur?
Reiknaðu gildi veldisstæðunnar í dæmunum hér á eftir.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Skrifaðu hindú-arabísku töluna á liðuðu formi í dæmunum hér á eftir.
15.
13
16.
25
17.
82
18.
99
19.
131
20.
408
21.
651
22.
3,901
23.
5,098
24.
12,430
Færðu liðað form tölu yfir í hindú-arabískt talnatákn í dæmunum hér á eftir.
