4.4 Samlagning og frádráttur í talnakerfum – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
44 Framsetning talna og reikningur
4.4 Samlagning og frádráttur í talnakerfum
4.4 Samlagning og frádráttur í talnakerfum
Mynd 4.5. Allar upplýsingar í tölvum eru táknaðar með 0 og 1, þar á meðal stærðir. Tölvur nota því tvíundarkerfið við reikning. (mynd: aðlagað verk „Magnifying glass and binary code“ eftir Marco Verch Professional Photographer/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
lagt saman og dregið frá í talnakerfum með grunntölurnar 2–9 og 12.
greint villur í samlagningu og frádrætti í talnakerfum með grunntölurnar 2–9 og 12.
Þegar talningarkerfi hefur verið valið þarf að setja reglur um reikniaðgerðir. Fyrst koma reglur um samlagningu og frádrátt. Við þekkjum reikning í tugakerfi, til dæmis og . Hvað breytist ef önnur grunntala er notuð, stærri eða minni? Tölvur nota tvíundarkerfi til að tákna tölur. Þegar reiknivél leggur saman, dregur frá, margfaldar eða deilir notar hún tvíundarkerfið. Rafrásir hennar greina tvö ástönd og því nægja tvö tákn.
Í þessum hluta beitum við aðferðum tugakerfisins við samlagningu og frádrátt í talnakerfum með öðrum grunntölum.
Samlagning í öðrum talnakerfum en tugakerfi
Nú þegar við skiljum hvað felst í því að skrifa tölur í öðru talnakerfi en tugakerfi getum við skoðað reikniaðgerðir í slíkum kerfum. Við byrjum á samlagningu. Þegar þú lærðir fyrst að leggja saman lærðir þú líklega samlagningartöfluna. Að því loknu lærðir þú að leggja saman tölur með fleiri en einum tölustaf. Sama ferli gildir í öðrum talnakerfum: fyrst er samlagningartaflan lærð og síðan eru lagðar saman tölur með tveimur eða fleiri tölustöfum.
Við höfum þegar unnið með sextalakerfi og skráð tölurnar upp að 1006. Með þeirri töflu getum við búið til samlagningartöflu sextalakerfisins.
Hér er upphaf samlagningartöflu sextalakerfisins:
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
?
2
2
3
4
5
?
?
3
3
4
5
?
?
?
4
4
5
?
?
?
?
5
5
?
?
?
?
?
Margir reitir eru auðir. Í útfylltu reitunum fer summan aldrei yfir 5, sem er stærsti leyfilegi tölustafurinn í sextalakerfi. En hvernig reiknum við 5 + 3 í sextalakerfi? Ekki má skrifa svarið sem 8 því 8 er ekki tölustafur í kerfinu. Skoðum aftur talnarununa í sextalakerfi.
0
1
2
3
4
5
10
11
12
13
14
15
20
21
22
23
24
25
30
31
32
33
34
35
40
41
42
43
44
45
50
51
52
53
54
55
Hvert er þá gildi 5 + 1 í sextalakerfi? Byrjaðu við 5 og færðu þig eitt skref áfram. Þá lendirðu á 10.
Því er 5 + 1 = 10 í sextalakerfi.
Hvert er þá gildi 5 + 2 í sextalakerfi? Þar sem 5 + 2 = 5 + 1 + 1 byrjum við á 10 og færum okkur eitt skref áfram, að 11. Því er 5 + 2 = 11 í sextalakerfi.
Þannig höldum við áfram, eitt skref í senn eftir talnarununni, og fyllum út það sem eftir er af samlagningartöflu sextalakerfisins í töflu 4.4.
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
10
2
2
3
4
5
10
11
3
3
4
5
10
11
12
4
4
5
10
11
12
13
5
5
10
11
12
13
14
Með töflunni og skilningi okkar á því að „geyma einn“ getum við lagt saman tölur með tveimur eða fleiri tölustöfum í sextalakerfi með sömu skriflegu aðferð og í tugakerfi.
Dæmi 4.28
Samlagning í sextalakerfi
Reiknaðu 2516 + 1336.
Lausn
Skref 1: Setjum samlagninguna upp í dálka.
2
5
1
+
1
3
3
Skref 2: Byrjum á einingasætinu. Samkvæmt samlagningartöflu sextalakerfisins (tafla 4.4) er 1 + 3 = 4.
2
5
1
+
1
3
3
4
Skref 3: Næst kemur „tugasætið“, sem er í raun sexasætið. Samkvæmt töflu 4.4 er 5 + 3 = 12 í sextalakerfi. Rétt eins og í tugakerfi skrifum við 2 og geymum 1.
1
2
5
1
+
1
3
3
2
4
Skref 4: Að lokum kemur „hundraðasætið“, sem er í raun 36-sætið. Þar fæst 1 + 2 + 1 = 3 + 1 = 4.
1
2
5
1
+
1
3
3
4
2
4
Því er 2516 + 1336 = 4246.
Ferlið er hið sama og við samlagningu í tugakerfi, en táknasafnið er annað.
Dæmi 4.29
Samlagningartafla gerð fyrir grunntölu minni en 10
Búðu til samlagningartöflu fyrir sjötalakerfi.
Búðu til samlagningartöflu fyrir tvíundarkerfi.
Lausn
Við byrjum á töflunni hér fyrir neðan.
Í sjötalakerfi kemur 10 á eftir 6, því tölustafirnir eru uppurnir. Því er 67 + 17 = 107. Þá er 67 + 27 tveimur skrefum á eftir 6, það er 117.
Við höldum áfram eins og í tugakerfi en gætum þess að reikna í sjötalakerfi (tafla 4.5).
+
0
1
2
3
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
3
4
5
6
3
3
4
5
6
4
4
5
6
5
5
6
6
6
+
0
1
2
3
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
10
2
2
3
4
5
6
11
3
3
4
5
6
4
4
5
6
5
5
6
6
6
10
11
+
0
1
2
3
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
10
2
2
3
4
5
6
10
11
3
3
4
5
6
10
11
12
4
4
5
6
10
11
12
13
5
5
6
10
11
12
13
14
6
6
10
11
12
13
14
15
Skoðum aftur tvíundarkerfið. Byrjum á töflunni:
Í tvíundarkerfi kemur 10 á eftir 1, því táknin eru uppurin. Því er 12 + 12 = 102. Fullgerð tafla tvíundarkerfisins er sýnd hér fyrir neðan.
Þetta sýnir að aðeins þarf fjórar reglur til að leggja saman í tvíundarkerfi.
+
0
1
0
0
1
1
1
+
0
1
0
0
1
1
1
10
Samlagningartafla fyrir gefna grunntölu er búin til þannig:
Skref 1: Settu töfluna upp.
Skref 2: Fylltu inn allar summur sem má tákna með leyfilegum tölustöfum kerfisins. Á skálínunni rétt utan við útfylltu reitina er gildið 10 óháð grunntölunni.
Skref 3: Fylltu inn gildin sem hefjast á 1. Öll þessi skref má framkvæma í sömu töflu án þess að endurtaka fyrri útreikninga.
Dæmi 4.30
Samlagning í sjötalakerfi
Reiknaðu 5367 + 4337.
Lausn
Skref 1: Setjum samlagninguna upp í dálka.
5
3
6
+
4
3
3
Skref 2: Byrjum á einingasætinu. Samkvæmt samlagningartöflu sjötalakerfisins í lausn dæmis 4.29 er 6 + 3 = 12. Við geymum 1.
1
5
3
6
+
4
3
3
2
Skref 3: Næst kemur „tugasætið“, sem er í raun sjöasætið. Samkvæmt töflunni er 1 + 3 + 3 = 10. Rétt eins og í tugakerfi skrifum við 0 og geymum 1.
1
5
3
6
+
4
3
3
0
2
Skref 4: Að lokum kemur „hundraðasætið“, sem er í raun 49-sætið. Þar fæst 1 + 5 + 4 = 6 + 4 = 13.
1
5
3
6
+
4
3
3
1
3
0
2
Því er 5367 + 4337 = 13027.
Eins og áður kom fram er dæmið sett upp á sama hátt og samlagning í tugakerfi. Í hverju skrefi er samlagningartafla viðkomandi talnakerfis notuð. Farið er frá hægri til vinstri og lagt saman niður dálkana samkvæmt töflunni. Þegar þess þarf er 1 geymdur, rétt eins og í tugakerfi.
Dæmi 4.31
Samlagningartafla gerð fyrir grunntölu stærri en 10
Búðu til samlagningartöflu fyrir tólfundarkerfi.
Lausn
Skref 1: Mundu að táknasafn tólfundarkerfisins er 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A og B. Samlagningartaflan byrjar því eins og sýnt er hér fyrir neðan.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
4
4
5
6
7
8
9
A
B
5
5
6
7
8
9
A
B
6
6
7
8
9
A
B
7
7
8
9
A
B
8
8
9
A
B
9
9
A
B
A
A
B
B
B
Skref 2: Á skálínunni rétt hægra megin við útfylltu reitina stendur 10 í þessu kerfi.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
10
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
10
4
4
5
6
7
8
9
A
B
10
5
5
6
7
8
9
A
B
10
6
6
7
8
9
A
B
10
7
7
8
9
A
B
10
8
8
9
A
B
10
9
9
A
B
10
A
A
B
10
B
B
10
Skref 3: Með kunnuglega mynstrinu og talningu í tólfundarkerfi getum við fyllt hina reitina.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
A
B
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
A
B
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
A
B
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
A
B
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
A
B
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
A
B
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
A
B
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
B
B
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
Taktu eftir að neðsti reiturinn lengst til hægri er 1A12, því sú tala kemur næst á eftir 1912.
Dæmi 4.32
Samlagning í tólfundarkerfi
Reiknaðu 3A712 + 9BA12.
Lausn
Skref 1: Settu tölurnar upp í dálka með aðferðinni úr fyrra samlagningardæmi.
3
A
7
+
9
B
A
Skref 2: Notaðu reglurnar úr samlagningartöflu tólfundarkerfisins í lausn dæmis 4.31 og gættu þess að geyma 1 þegar þarf. Þá fæst:
1
1
3
A
7
+
9
B
A
1
1
A
5
Tölustafirnir sem voru geymdir standa ofan við dálkana.
Því er 3A712 + 9BA12 = 11A512.
Dæmi 4.33
Samlagning í tvíundarkerfi
Skoðum aftur tvíundarkerfið sem tölvur nota. Reiknaðu 10012 + 110112.
Lausn
Skref 1: Settu tölurnar upp í dálka með aðferðinni úr fyrra samlagningardæmi.
1
0
0
1
+
1
1
0
1
1
Skref 2: Notum reglurnar úr samlagningartöflu tvíundarkerfisins í lausn dæmis 4.29 og geymum 1 þegar þarf, eins og sýnt er efst í reitunum. Þá fæst:
1
1
1
1
0
0
1
+
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
Skref 3: Niðurstaðan er 10012 + 110112 = 1001002.
Því er 10012 + 110112 = 1001002.
Frádráttur í öðrum talnakerfum en tugakerfi
Við frádrátt í öðrum talnakerfum er beitt sömu aðferðum og í tugakerfi en samlagningartafla viðkomandi kerfis er notuð.
Dæmi 4.34
Frádráttur í sextalakerfi
Reiknaðu 526 − 346.
Lausn
Skref 1: Setjum frádráttinn upp í dálka.
5
2
−
3
4
Skref 2: Við tökum eina sexa úr sexasætinu og skiptum henni í sex einingar. Þá lækkar tölustafurinn 5 í 4 og í einingasætinu verða 126 einingar.
5 4
12
−
3
4
Skref 3: Í samlagningartöflu sextalakerfisins (tafla 4.4) sést að 4 + 4 = 126. Því er 126 − 46 = 46.
5 4
12
−
3
4
4
Skref 4: Næst reiknum við í „tugasætinu“, sem er í raun sexasætið. Samkvæmt töflu 4.4 er 46 − 36 = 16.
5 4
12
−
3
4
1
4
Því er 526 − 346 = 146.
Dæmi 4.35
Frádráttur í tólfundarkerfi
Reiknaðu A1712 − 4B312.
Lausn
Skref 1: Setjum frádráttinn upp í dálka.
A
1
7
−
4
B
3
Skref 2: Jafnvel í tólfundarkerfi er 712 − 312 = 412.
A
1
7
−
4
B
3
4
Skref 3: Í næsta sæti höfum við 112 − B12. Þar sem 1 er minna en B í tólfundarkerfi þurfum við að fá 1 að láni úr næsta sæti, þar sem A stendur, rétt eins og við frádrátt í tugakerfi.
A 9
11
7
−
4
B
3
4
Skref 4: Samkvæmt samlagningartöflu tólfundarkerfisins í lausn dæmis 4.31 er B12 + 212 = 1112. Því er 1112 − B12 = 212.
A 9
11
7
−
4
B
3
2
4
Skref 5: Að lokum reiknum við í næsta sæti. Samkvæmt töflunni er 412 + 512 = 912 og því 912 − 412 = 512.
A 9
11
7
−
4
B
3
5
2
4
Því er A1712 − 4B312 = 52412.
Villur í samlagningu og frádrætti í öðrum talnakerfum en tugakerfi
Villur í reikningi með aðra grunntölu en 10 felast oft í því að reglum eða tölustöfum tugakerfisins er beitt í öðru talnakerfi. Ein villutegund er að nota tölustaf sem tilheyrir ekki táknasafni kerfisins. Ef 9 kemur til dæmis fyrir í útreikningi í sjötalakerfi vitum við að villa hefur orðið, því 9 er ekki leyfilegur tölustafur þar.
Dæmi 4.36
Óleyfilegur tölustafur greindur í reikningi utan tugakerfis
Útskýrðu villuna í eftirfarandi útreikningi:
Lausn
Þar sem dæmið er í sextalakerfi má aðeins nota tölustafina 0, 1, 2, 3, 4 og 5. Tölustafurinn 9 í svarinu er því augljóslega óleyfilegur. Samkvæmt töflu 4.4 er . Þegar villan er leiðrétt fæst summan .
Önnur villutegund er að nota tugakerfisreglu þegar tölurnar eru í öðru talnakerfi. Ef reiknað er í þrettántalakerfi er 913 + 913 til dæmis ekki 1813, þótt 18 sé rétt svar í tugakerfi og táknin 1 og 8 séu bæði leyfileg í þrettántalakerfi.
Dæmi 4.37
Reiknivilla greind í öðru talnakerfi en tugakerfi
Útskýrðu villuna í eftirfarandi útreikningi og leiðréttu hana:
Lausn
Ef dæmið væri í tugakerfi væri svarið rétt. Í tólfundarkerfi er 9 + 6 hins vegar ekki 15 heldur 13. Notaðu samlagningartöflu tólfundarkerfisins. Rétt svar er , eins og sýnt er hér fyrir neðan:
8
9
+
7
6
1
4
3
Prófaðu skilning þinn
Búðu til samlagningartöflu fyrir áttundakerfi.
Reiknaðu 246+ 536.
Reiknaðu 358− 268.
Reiknaðu 3B14+ 4514.
Reiknaðu A412− 9B12.
Hvernig veistu að villa hefur orðið ef svarið við samlagningardæmi í áttundakerfi er 288?
Nefndu eina algenga villu í reikningi í fjórtántalakerfi.
Æfingar úr hluta 4.4
Í eftirfarandi dæmum skaltu búa til samlagningartöflu fyrir tilgreint talnakerfi.
1.
fimmtalakerfi
2.
þrítalakerfi
3.
sextándakerfi (Vísbending: Notaðu tölustafina 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F.)
4.
tvíundarkerfi
Í eftirfarandi dæmum skaltu framkvæma tilgreinda reikniaðgerð í sextalakerfi.
5.
46 + 36
6.
146 + 256
7.
316 + 36
8.
436 + 346
9.
5326 + 236
10.
2546 + 1436
11.
206 − 36
12.
236 − 56
Í eftirfarandi dæmum skaltu framkvæma tilgreinda reikniaðgerð í tólfundarkerfi.
13.
512 + 612
14.
312 + A12
15.
3412 + 712
16.
7612 + B12
17.
5912 + 1A12
18.
A112 + 3612
19.
5312 − 912
20.
2B12 − 712
21.
Útskýrðu tvær leiðir til að greina villu í reikningi í öðrum talnakerfum en tugakerfi.
22.
Útskýrðu villuna í eftirfarandi útreikningi: 2813 + 4713= 7513.
23.
Útskýrðu villuna í eftirfarandi útreikningi: 367 + 237= 597.
24.
Í tugakerfi eru 100 samlagningarreglur auk reglu um að geyma 1. Hve margar samlagningarreglur eru í sextalakerfi?
25.
Í tugakerfi eru 100 samlagningarreglur auk reglu um að geyma 1. Hve margar samlagningarreglur eru í fjórtántalakerfi?
26.
Í tugakerfi eru 100 samlagningarreglur auk reglu um að geyma 1. Hve margar samlagningarreglur eru í tvíundarkerfi?
Í eftirfarandi dæmum skaltu nota samlagningartöfluna sem þú bjóst til í æfingu 4 og framkvæma tilgreindar reikniaðgerðir í tvíundarkerfi.
27.
1012 + 1112
28.
10112 + 100112
29.
111112 + 111112
30.
10101012 + 10101012
Í eftirfarandi dæmum skaltu nota samlagningartöfluna sem þú bjóst til í æfingu 3 og framkvæma tilgreindar reikniaðgerðir í sextándakerfi.
31.
2916 + 3816
32.
4D16 + 8916
33.
92716 + 43816
34.
BFA16− 78E16
Í dæmunum hér á eftir skaltu segja hvernig sjá má að villa var gerð án þess að framkvæma reikniaðgerðina í tilgreinda talnakerfinu.
