22 Rökfræði

2.1 Yrðingar og magnarar

Hópur byggingarstarfsmanna vinnur við húsbyggingu. — **Mynd 2.2.** Rétt eins og við húsbyggingu þarf að byrja á réttum einingum þegar rökfærsla er byggð upp. (mynd: aðlögun á verkinu „Barn Raising“ eftir Robert Stinnett/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

borið kennsl á rökfræðilegar yrðingar;
táknað yrðingar með táknum;
myndað neitun yrðinga með orðum;
myndað neitun yrðinga með táknum;
þýtt neitanir milli orða og tákna;
sett fram yrðingar með mögnurunum allir, sumir og enginn;
myndað neitun yrðinga sem innihalda magnarana allir, sumir og enginn.

Ef þú hefur einhvern tíma byggt klúbbhús, trjáhús eða virki með vinum þínum hefur þú líklega byrjað á að safna verkfærum og efniviði, svo sem hömrum, sögum, skrúfjárnum, timbri, nöglum og skrúfum. Vonandi kunni að minnsta kosti einn í hópnum að nota verkfærin rétt og stýrði framkvæmdinni. Hús sem hvílir ekki á traustum grunni verður veikt og gæti jafnvel hrunið í næsta stórviðri. Sams konar traustur grunnur skiptir máli í rökfræði.

Í þessum hluta byrjum við á einingunum sem allar rökfærslur eru byggðar úr. Grunneining sérhverrar rökfærslu er rökfræðileg yrðing, eða einfaldlega yrðing. Rökfræðileg yrðing er heil setning sem setur fram fullyrðingu sem getur verið sönn eða ósönn.

Í rökfærslum setur fólk stundum fram ósannar fullyrðingar. Þegar styrkur eða gildi rökfærslu er metið þarf einnig að skoða sanngildi allra yrðinga sem styðja rökfærsluna, það er hvort þær séu sannar eða ósannar. Ósönn yrðing telst engu að síður rökfræðileg yrðing, en sterk rökfærsla byggist á sönnum yrðingum.

Að bera kennsl á rökfræðilegar yrðingar

Rauðar, gular og bleikar rósir. — **Mynd 2.3.** Ekki eru allar rósir rauðar. (mynd: „assorted pink yellow white red roses macro“ eftir ProFlowers/Flickr, CC BY 2.0)

Dæmi um rökfræðilega yrðingu með ósönnu sanngildi er: „Allar rósir eru rauðar.“ Þetta er rökfræðileg yrðing vegna þess að hún er heil setning og setur fram fullyrðingu sem getur verið sönn eða ósönn. Yrðingin er ósönn því ekki eru allar rósir rauðar; sumar eru rauðar en aðrar bleikar, gular eða hvítar. Beiðnir, spurningar og fyrirmæli geta verið heilar setningar en eru ekki rökfræðilegar yrðingar, því þær geta hvorki verið sannar né ósannar. Segi einhver til dæmis: „Vinsamlegast sestu þarna,“ felur beiðnin ekki í sér fullyrðingu og er hvorki sönn né ósönn. Hún er því ekki rökfræðileg yrðing.

Dæmi 2.1

Að bera kennsl á rökfræðilegar yrðingar

Ákvarðaðu hvort hver eftirfarandi setning sé rökfræðileg yrðing. Ef svo er skaltu ákvarða hvort hún sé sönn eða ósönn.

Tiger Woods vann Masters-golfmótið að minnsta kosti fimm sinnum.
Vinsamlegast sestu þarna.
Öllum köttum er illa við hunda.

Lausn

Þetta er rökfræðileg yrðing vegna þess að hún er heil setning og setur fram fullyrðingu sem getur verið sönn eða ósönn. Miðað við árið 2021 er yrðingin sönn: Tiger Woods vann Masters-mótið árin 1997, 2001, 2002, 2005 og 2019.
Þetta er ekki rökfræðileg yrðing. Þótt hún sé heil setning felur beiðnin ekki í sér fullyrðingu sem getur verið sönn eða ósönn.
Þetta er rökfræðileg yrðing vegna þess að hún er heil setning og setur fram fullyrðingu sem getur verið sönn eða ósönn. Yrðingin er ósönn því sumum köttum líkar við suma hunda.

Táknræn framsetning yrðinga

Þegar rökfærslur úr mörgum yrðingum eru greindar er táknræn framsetning notuð til að stytta textann. Hún auðveldar einnig að sjá vensl yrðinganna á hnitmiðaðan hátt og meta styrk eða gildi rökfærslunnar. Hver rökfræðileg yrðing er táknuð með einum lágstaf og venjulega er byrjað á stafnum $p$ .

Fyrst æfir þú að setja eina rökfræðilega yrðingu fram með táknum. Þessi færni nýtist þegar samsettar yrðingar eru teknar fyrir síðar.

Dæmi 2.2

Táknræn framsetning yrðinga

Settu hverja eftirfarandi rökfræðilega yrðingu fram með táknum.

Barry Bonds á metið í heildarfjölda heimahlaupa á ferlinum í bandarísku atvinnumannadeildinni í hafnabolta.
Sum spendýr lifa í sjónum.
Ruth Bader Ginsburg var dómari við Hæstarétt Bandaríkjanna frá 1993 til 2020.

Lausn

$p$ : Barry Bonds á metið í heildarfjölda heimahlaupa á ferlinum í bandarísku atvinnumannadeildinni í hafnabolta. Yrðingin er merkt með $p .$ Eftir að yrðing hefur verið merkt er $p$ notað í stað yrðingarinnar í fullri lengd við táknræna framsetningu og greiningu rökfærslunnar.
$q$ : Sum spendýr lifa í sjónum. Stafurinn $q$ greinir þessa yrðingu frá yrðingunni í lið 1, en nota má hvaða lágstaf sem er.
$r$ : Ruth Bader Ginsburg var dómari við Hæstarétt Bandaríkjanna frá 1993 til 2020. Þegar margar yrðingar koma fyrir síðar þarf að nota ólíkan staf fyrir hverja þeirra.

Neitun yrðinga

Skoðum ósönnu yrðinguna sem áður kom fyrir: „Allar rósir eru rauðar.“ Segði einhver þetta, gætir þú svarað: „Sumar rósir eru ekki rauðar.“ Síðan mætti styrkja rökfærsluna með fleiri yrðingum, til dæmis: „Til eru meðal annars hvítar, gular og bleikar rósir.“

Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna. Sé upphaflega yrðingin ósönn er neitun hennar sönn og sé hún sönn er neitunin ósönn. Oft má mynda neitun með því einu að bæta orðinu ekki við eða fjarlægja það. Skoðum til dæmis yrðinguna: „Emma Stone er með græn augu.“ Neitun hennar er: „Emma Stone er ekki með græn augu.“ Fleiri dæmi eru í töflunni hér á eftir.

Rökfræðileg yrðing	Neitun
Gordon Ramsey er kokkur.	Gordon Ramsey er ekki kokkur.
Tígurinn Tony er ekki með bletti.	Tígurinn Tony er með bletti.

Orðalag rökfærslu getur haft áhrif á árangur hennar. Ef einhver setur fram ósanna yrðingu geturðu hrakið hana með neitun hennar og þannig undirstrikað réttmæti afstöðu þinnar.

Dæmi 2.3

Neitun rökfræðilegra yrðinga

Skrifaðu neitun hverrar rökfræðilegrar yrðingar með orðum.

Michael Phelps var ólympíusundmaður.
Tom er köttur.
Jerry er ekki mús.

Lausn

Bættu orðinu ekki við til að mynda neitun játandi yrðingarinnar: „Michael Phelps var ekki ólympíusundmaður.“
Bættu orðinu ekki við til að mynda neitun játandi yrðingarinnar: „Tom er ekki köttur.“
Fjarlægðu orðið ekki til að mynda neitun neikvæðu yrðingarinnar: „Jerry er mús.“

Táknræn neitun rökfræðilegra yrðinga

Í rökfræði táknar bylgjutáknið ~ neitun, það er orðið ekki. Því er ekki $p$ táknað með $~ p$ . Til að mynda neitun yrðingar með táknum er bylgjutákni bætt við eða það fjarlægt. Tvöföld neitun $p$ jafngildir $p$ . Með táknum er jafnan $~ (~ p) = p .$

Dæmi 2.4

Táknræn neitun rökfræðilegra yrðinga

Skrifaðu neitun hverrar rökfræðilegrar yrðingar með táknum.

$p$ : Michael Phelps var ólympíusundmaður.
$r$ : Tom er ekki köttur.
$~ q$ : Jerry er ekki mús.

Lausn

Til að mynda neitun játandi yrðingar með táknum er bylgjutákni bætt við: $~ p$ .
Þar sem tákn þessarar yrðingar er $r$ er neitun hennar $~ r$ .
Tákn þessarar yrðingar er $~ q$ , svo til að mynda neitun hennar fjarlægjum við bylgjutáknið, enda er $~ (~ q) = q .$ Svarið er $q$ .

Þýðing neitana milli orða og tákna

Til að greina rökfærslur er mikilvægt að geta þýtt milli táknrænnar og skriflegrar framsetningar rökfræðilegra yrðinga.

Dæmi 2.5

Þýðing neitana milli orða og tákna

Eftirfarandi yrðingar eru gefnar:

$r$ : Elmo er rauður Muppet-brúðukarl.

$p$ : Tómatsósa er ekki grænmeti.

Skrifaðu yrðinguna „Elmo er ekki rauður Muppet-brúðukarl“ með táknum.
Settu yrðinguna $~ p$ fram með orðum.

Lausn

„Elmo er ekki rauður Muppet-brúðukarl“ er neitun yrðingarinnar „Elmo er rauður Muppet-brúðukarl“, sem er táknuð með $r$ . Því er „Elmo er ekki rauður Muppet-brúðukarl“ táknað með $~ r$ .
Þar sem $p$ táknar yrðinguna „Tómatsósa er ekki grænmeti“ jafngildir $~ p$ yrðingunni „Tómatsósa er grænmeti“.

Yrðingar með mögnurunum allir, sumir og enginn

Magnari er orð sem lýsir tölulegum venslum tveggja mengja eða flokka. Allir ferningar eru til dæmis rétthyrningar, en aðeins sumir rétthyrningar eru ferningar og enginn ferningur er hringur. Orðin allir, sumir og enginn eru magnarar. Í rökfærslu nefnast rökfræðilegu yrðingarnar sem styðja hana forsendur, en ályktunin sem dregin er af forsendunum nefnist niðurstaða. Rökfærslur sem hefjast á tilteknum forsendum og draga af þeim almennari niðurstöðu nefnast tilleiðslurökfærslur.

Hugsum okkur foreldri á göngu með þriggja ára barni sínu. Barnið sér kardínála fljúga hjá og bendir á hann. Síðar sér það farþröst lenda í tré og önd fljúga að tjörn. Barnið veit að kardínálar, farþrestir og endur eru fuglar og hrópar: „Allir fuglar fljúga!“ Barnið hefur sett fram tilleiðslurökfærslu. Það sá þrjár tilteknar fuglategundir fljúga og dró af því almennu niðurstöðuna að allir fuglar gætu flogið. Niðurstaðan er ósönn.

Tilteknar forsendur rökfærslu barnsins má orða þannig:

Forsenda: Kardínálar eru fuglar sem fljúga.
Forsenda: Farþrestir eru fuglar sem fljúga.
Forsenda: Endur eru fuglar sem fljúga.

Almenna niðurstaðan er: „Allir fuglar fljúga!“

Tilleiðslurökfærsla ætti að innihalda að minnsta kosti þrjár tilteknar forsendur sem sýna mynstur til stuðnings almennu niðurstöðunni. Til að hrekja niðurstöðuna þarf gagndæmi. Foreldrið getur sagt barninu frá mörgæsum eða emúum til að skýra hvers vegna niðurstaðan er ósönn.

Yfirleitt er þó ekki unnt að sanna að tilleiðslurökfærsla sé sönn. Því eru slíkar rökfærslur metnar sterkar eða veikar. Matið er mjög huglægt og ræðst oft af bakgrunnsþekkingu þess sem metur. Flestar tilgátur sem vísindamenn setja fram við tilraunir samkvæmt svonefndri vísindalegri aðferð byggjast á tilleiðslu.

Í næsta dæmi notum við magnara til að setja fram niðurstöður nokkurra tilleiðslurökfærslna.

Dæmi 2.6

Almennar niðurstöður tilleiðslurökfærslna settar fram með mögnurum

Dragðu rökrétta niðurstöðu af hverri röð forsenda og notaðu einn eftirfarandi magnara: allir, sumir eða enginn.

Ferningar og rétthyrningar hafa fjórar hliðar. Ferningur er samsíðungur og rétthyrningur er samsíðungur. Hvaða niðurstöðu má draga af þessum forsendum?
$1 + 2 = 3,$ $6 + 7 = 13,$ og $23 + 24 = 47.$ Tölurnar 1 og 2, 6 og 7 og 23 og 24 eru samliggjandi heiltölur; 3, 13 og 47 eru oddatölur. Hvaða niðurstöðu má draga af þessum forsendum?
Ígulker lifa í sjónum og anda ekki að sér lofti. Hákarlar lifa í sjónum og anda ekki að sér lofti. Álar lifa í sjónum og anda ekki að sér lofti. Hvaða niðurstöðu má draga af þessum forsendum?

Lausn

Líkleg niðurstaða er: „Sumar ferhyrndar myndir eru samsíðungar.“ Rangt væri hins vegar að segja að allar ferhyrndar myndir væru samsíðungar, því sumar þeirra, til dæmis trapisur, eru það ekki. Sú niðurstaða er ósönn.
Af forsendunum má draga niðurstöðuna: „Summa tveggja samliggjandi talningartalna er alltaf oddatala.“ Flestar tilleiðslurökfærslur er ekki unnt að sanna, en sumar stærðfræðireglur má sanna. Látum $n$ tákna fyrri talningartöluna. Þá er $n + 1$ næsta talningartalan og $n + (n + 1) = 2 n + 1$ . Þar sem $2 n$ er deilanlegt með tveimur er það slétt tala og þegar einum er bætt við slétta tölu fæst alltaf oddatala. Niðurstaðan er því sönn.
Miðað aðeins við gefnar forsendur og án frekari þekkingar á hvölum eða höfrungum mætti álykta: „Engar lífverur sem lifa í sjónum anda að sér lofti.“ Þótt niðurstaðan sé ósönn leiðir hún af þekktum forsendum og er því rökrétt miðað við gögnin. Einnig mætti álykta: „Sumar lífverur sem lifa í sjónum anda ekki að sér lofti.“ Val magnara getur verið ólíkt eftir því hversu sannfærandi fólk telur rökfærsluna. Fleiri en eitt svar geta verið gild.

Þú átt leik 2.6

Dragðu rökrétta niðurstöðu af hverri röð forsenda og notaðu einn eftirfarandi magnara: allir, sumir eða enginn.

1 + 2 = 3

5 + 6 = 11

, og

14 + 15 = 29

. Tölurnar 1 og 2, 5 og 6 og 14 og 15 eru samliggjandi heiltölur. Summurnar 3, 11 og 29 eru allar prímtölur. Prímtölur eru jákvæðar heiltölur stærri en einn sem aðeins eru deilanlegar með einum og sjálfum sér. Hvaða niðurstöðu geturðu dregið af þessum forsendum?

Farþröstur er fugl sem verpir bláum eggjum. Hæna er fugl sem verpir yfirleitt hvítum og brúnum eggjum. Strútur er fugl sem verpir óvenjustórum eggjum. Fuglar sem verpa eggjum fæða ekki lifandi unga. Hvaða niðurstöðu geturðu dregið af þessum forsendum?

Allir samsíðungar hafa fjórar hliðar. Allir rétthyrningar eru samsíðungar. Allir ferningar eru rétthyrningar. Hvaða viðbótarályktun geturðu dregið um ferninga af þessum forsendum?

Neitun yrðinga með mögnurum

Mundu að neitun yrðingar hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna. Yrðingar með mögnurum hafa fjögur grunnform.

Öll $A$ eru $B$ .
Sum $A$ eru $B$ .
Engin $A$ eru $B$ .
Sum $A$ eru ekki $B$ .

Til að mynda neitun rökfræðilegra yrðinga með mögnurunum allir, sumir eða enginn er ekki nóg að bæta orðinu ekki við eða fjarlægja það.

Skoðum yrðinguna: „Allar appelsínur eru sítrusávextir.“ Hún lýsir hlutmengjavenslum; mengi appelsína er hlutmengi sítrusávaxta. Engin appelsína er því utan mengis sítrusávaxta. Neitunin verður að rjúfa hlutmengjavenslin. Segja má: „Að minnsta kosti ein appelsína er ekki sítrusávöxtur,“ eða hnitmiðaðra: „Sumar appelsínur eru ekki sítrusávextir.“ Freistandi væri að segja: „Engar appelsínur eru sítrusávextir,“ en það væri rangt. Sú yrðing gengi lengra en að rjúfa hlutmengjavenslin og segði að mengin ættu ekkert sameiginlegt. Neitun „ $A$ er hlutmengi í $B$ “ er „ $A$ er ekki hlutmengi í $B$ “, eins og Venn-myndin sýnir á Mynd 2.4.

Tvær myndir sýna stóran og lítinn hring. Fyrri myndin, merkt „Yrðing“, sýnir að allar appelsínur eru sítrusávextir: stór hringur er merktur „sítrusávextir“ og lítill hringur innan hans „appelsínur“. X er í miðju litla hringsins. Grunnmengið er U = ávextir. Síðari myndin, merkt „Neitun“, sýnir að sumar appelsínur eru ekki sítrusávextir: litli hringurinn „appelsínur“ sker jaðar stóra hringsins „sítrusávextir“ og X er í hluta litla hringsins utan hins stóra. Grunnmengið er U = ávextir.

Yrðingin „Allar appelsínur eru sítrusávextir“ er sönn og neitun hennar, „Sumar appelsínur eru ekki sítrusávextir“, er því ósönn.

Skoðum nú yrðinguna: „Engin epli eru appelsínur.“ Hún segir að mengi epla og mengi appelsína séu sundurlæg. Neitunin verður að segja að mengin séu ekki sundurlæg, það er að þau eigi að minnsta kosti eitt stak sameiginlegt og sniðmengi þeirra sé ekki tómt. Neitun yrðingarinnar „ $A$ ∩ $B$ er tómamengið“ er yrðingin „ $A$ ∩ $B$ er ekki tómt“, eins og Venn-myndin sýnir á Mynd 2.5.

Tvær myndir sýna tvo hringi. Fyrri myndin, merkt „Yrðing“, sýnir að engin epli eru appelsínur: bleikur hringur er merktur „epli“ og grænn hringur „appelsínur“, án skörunar. Grunnmengið er U = ávextir. Síðari myndin, merkt „Neitun“, sýnir að sum epli eru appelsínur: hringirnir skarast, skörunarsvæðið er appelsínugult og X er á því. Grunnmengið er U = ávextir.

Neitun sönnu yrðingarinnar „Engin epli eru appelsínur“ er ósanna yrðingin „Sum epli eru appelsínur“.

Tafla 2.2 tekur saman fjögur form rökfræðilegra yrðinga með mögnurum, form neitana þeirra og merkingu vensla flokkanna eða mengjanna $A$ og $B$ .

Rökfræðilegar yrðingar með mögnurum	Neitun rökfræðilegra yrðinga með mögnurum
Form: Öll A eru B. Merking: A er hlutmengi í B, A ⊂ B . Allir sebrahestar eru röndóttir. (Satt)	Form: Sum A eru ekki B. Merking: A er ekki hlutmengi í B, A ⊄ B . Sumir sebrahestar eru ekki röndóttir. (Ósatt)
Form: Sum A eru B. Merking: A ∩ B er ekki tómt, A ∩ B ≠ ∅ . Sumir fiskar eru hákarlar. (Satt)	Form: Engin A eru B. Merking: A ∩ B er tómt, A ∩ B = ∅ . Engir fiskar eru hákarlar. (Ósatt)
Form: Engin A eru B. Merking: A ∩ B er tómt, A ∩ B = ∅ . Engin tré eru sígræn. (Ósatt)	Form: Sum A eru B. Merking: A ∩ B er ekki tómt, A ∩ B ≠ ∅ . Sum tré eru sígræn. (Satt)
Form: Sum A eru ekki B. Merking: A er ekki hlutmengi í B, A ⊄ B . Sum hross eru ekki mustangar. (Satt)	Form: Öll A eru B. Merking: A er hlutmengi í B, A ⊂ B . Öll hross eru mustangar. (Ósatt)

Fjallað var ítarlega um mengi í kafla 1. Rifjum upp að „ $A$ er hlutmengi í $B$ “ merkir að hvert stak mengis $A$ er einnig stak í menginu $B$ . Sniðmengi mengjanna $A$ og $B$ er mengi allra staka sem þau eiga sameiginleg. Ef $A$ ∩ $B$ er tómamengið eiga mengin $A$ og $B$ engin stök sameiginleg, skarast ekki og eru sundurlæg.

Dæmi 2.7

Neitun yrðinga með mögnurunum allir, sumir eða enginn

Eftirfarandi yrðingar eru gefnar:

$p$ : Allir hlébarðar eru með bletti.
$r$ : Sum epli eru rauð.
$s$ : Engar sítrónur eru sætar.

Skrifaðu hverja eftirfarandi táknræna yrðingu með orðum.

$~ p$
~ $r$
$~ s$

Lausn

Yrðingin „Allir hlébarðar eru með bletti“ er $p$ og hefur formið „Öll $A$ eru $B$ “. Samkvæmt töflu 2.2 hefur neitunin formið „Sum $A$ eru ekki $B$ “. Neitun $p$ er yrðingin: „Sumir hlébarðar eru ekki með bletti.“
Yrðingin „Sum epli eru rauð“ hefur formið „Sum $A$ eru $B$ “. Það merkir að flokkarnir $A$ og $B$ skarast. Samkvæmt töflu 2.2 hefur neitunin formið „Engin $A$ eru $B$ “, sem merkir að $A$ og $B$ skarast ekki. Neitunin hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna. Neitun „Sum epli eru rauð“ er því: „Engin epli eru rauð.“
Þar sem $s$ er yrðingin „Engar sítrónur eru sætar“ fullyrðir $s$ að mengi sítróna og mengi sætra hluta skarist ekki. Neitun $s$ , $~ s$ , verður að fullyrða hið gagnstæða: að mengi sítróna og mengi sætra hluta skarist. Að minnsta kosti ein sítróna verður því að vera sæt. Yrðingin „Sumar sítrónur eru sætar“ er $~ s$ . Neitun yrðingarinnar „Engin $A$ eru $B$ “ er yrðingin „Sum $A$ eru $B$ “, eins og sýnt er í töflu 2.2.

Athugaðu skilning þinn

_________ __________ er heil setning sem setur fram fullyrðingu sem getur verið sönn eða ósönn.

_________________ rökfræðilegrar yrðingar hefur gagnstætt sanngildi við upphaflegu yrðinguna.

p

táknar rökfræðilegu yrðinguna „Flauelsblóm eru gul“, þá táknar ______ yrðinguna „Flauelsblóm eru ekki gul“.

Yrðingin

\text{~}(\text{~}p)

hefur sama sanngildi og yrðingin _______.

Rökfræðilegu yrðingarnar sem styðja niðurstöðu rökfærslu nefnast ____________.

_______________________ rökfærslur draga almenna niðurstöðu af tilteknum forsendum.

Allir, sumir og enginn eru dæmi um ______________________, orð sem lýsa tölulegum venslum tveggja eða fleiri hópa.

Neitun yrðingarinnar „Allir gíraffar eru hávaxnir“ er _______________________________.

Æfingar úr hluta 2.1

Ákvarðaðu fyrir eftirfarandi æfingar hvort setningin sé rökfræðileg yrðing. Ef svo er skaltu ákvarða hvort hún sé sönn eða ósönn.

Lán sem notað er til að fjármagna húsnæði nefnist húsnæðislán.

Allar oddatölur eru deilanlegar með 2.

Vinsamlegast færðu mér þessa glósubók.

Vélmenni, hvert er hlutverk þitt?

Í ensku er samtenging orð sem tengir saman tvö orðasambönd eða setningarhluta.

8 - 3 = 5

7 + 3 = 11

Hvað eru 7 plús 3?

Settu hverja eftirfarandi yrðingu fram með táknum.

Grammy-verðlaunasöngkonan Lady Gaga fæddist ekki í Houston í Texas.

10.

Bruno Mars kom tvisvar fram í hálfleikssýningu Super Bowl.

11.

Coco Chanel sagði: „Mesta hugrekkið felst enn í því að hugsa sjálfstætt. Upphátt.“

12.

Bruce Wayne er ekki Superman.

Skrifaðu neitun hverrar eftirfarandi yrðingar með orðum.

13.

Bozo er ekki trúður.

14.

Ash er þjálfari og vinur Pikachu.

15.

Vanilla er vinsælasta bragðtegundin af ís.

16.

Smaug er dreki sem spúir eldi.

17.

Elephant og Piggie eru ekki bestu vinir.

18.

Sumum hundum líkar við ketti.

19.

Sumir kleinuhringir eru ekki kringlóttir.

20.

Allir bílar eru með hjól.

21.

Engir hringir eru ferningar.

22.

Fyrsti græni litur náttúrunnar er ekki gullinn.

23.

Forngríski heimspekingurinn Platon sagði: „Mesti auðurinn er að una við lítið.“

24.

Öll tré bera hnetur.

Skrifaðu neitun hverrar eftirfarandi yrðingar bæði með táknum og orðum.

25.

p

: Hár þeirra er rautt.

26.

\text~q

: Uppáhaldsofurhetjan mín er ekki með skikkju.

27.

s

: Allir úlfar góla að tunglinu.

28.

t

: Enginn abbast upp á Texas.

29.

\text~u

: Ég elska ekki New York.

30.

\text~v

: Sumir kettir eru ekki tígrisdýr.

31.

\text~q

: Engir ferningar eru ekki samsíðungar.

32.

\text~p

: Forsetinn er ekki hrifinn af spergilkáli.

Skrifaðu hverja eftirfarandi táknræna yrðingu með orðum.

33.

Gefið er:

p

: Kermit er grænn froskur; settu

\text~p

fram með orðum.

34.

Gefið er:

\text~r

: Mick Jagger er ekki aðalsöngvari The Rolling Stones; settu

r

fram með orðum.

35.

Gefið er:

q

: Allir hundar fara til himna; settu

\text~q

fram með orðum.

36.

Gefið er:

\text~s

: Sumar pítsur eru ekki með pepperóní; settu

s

fram með orðum.

37.

Gefið er:

\text~p

: Engar pítsur eru með ananas; settu

\text{~}\text(\text~p)

fram með orðum.

38.

Gefið er:

r

: Ekki eru allar rósir rauðar; settu

\text{~}\text(\text~r)

fram með orðum.

39.

Gefið er:

\text~t

: Thelonious Monk er ekki frægur djasspíanisti; settu

\text{~}\text(\text~t)

fram með orðum.

40.

Gefið er:

\text~v

: Ekki eru allar fjólur bláar; settu

\text{~}\text(\text~v)

fram með orðum.

Dragðu rökrétta niðurstöðu af forsendunum í eftirfarandi æfingum og notaðu einn magnaranna allir, sumir eða enginn.

41.

Ford Motor Company framleiðir bíla í Michigan. General Motors framleiðir bíla í Michigan. Chrysler framleiðir bíla í Michigan. Hvaða niðurstöðu má draga af þessum forsendum?

42.

Michelangelo Buonarroti var mikill endurreisnarlistamaður frá Ítalíu. Raphael Sanzio var mikill endurreisnarlistamaður frá Ítalíu. Sandro Botticelli var mikill endurreisnarlistamaður frá Ítalíu. Hvaða niðurstöðu geturðu dregið af þessum forsendum?

43.

Talan 4 er slétt tala og deilanleg með 2. Talan 6 er slétt tala og deilanleg með 2. Talan 8 er slétt tala og deilanleg með 2. Hvaða niðurstöðu geturðu dregið af þessum forsendum?

44.

Talan 3 er oddatala og ekki deilanleg með 2. Talan 7 er oddatala og ekki deilanleg með 2. Talan 21 er oddatala og ekki deilanleg með 2. Hvaða niðurstöðu geturðu dregið af þessum forsendum?

45.

Oddatalan 5 er ekki deilanleg með 3. Oddatalan 7 er ekki deilanleg með 3. Oddatalan 29 er ekki deilanleg með 3. Hvaða niðurstöðu geturðu dregið af þessum forsendum?

46.

Mörgæsir eru ófleygir fuglar. Emúar eru ófleygir fuglar. Strútar eru ófleygir fuglar. Hvaða niðurstöðu geturðu dregið af þessum forsendum?

47.

Plöntur þurfa vatn til að lifa. Dýr þurfa vatn til að lifa. Bakteríur þurfa vatn til að lifa. Hvaða niðurstöðu geturðu dregið af þessum forsendum?

48.

Smákaka með súkkulaðibitum er ekki súr. Hafrasmákaka er ekki súr. Oreo-kaka er ekki súr. Hvaða niðurstöðu geturðu dregið af þessum forsendum?