2.4 Sanngildistöflur fyrir skilyrðingu og tvískilyrðingu – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
22 Rökfræði
2.4 Sanngildistöflur fyrir skilyrðingu og tvískilyrðingu
2.4 Sanngildistöflur skilyrðinga og tvískilyrðinga
Mynd 2.10. Ef–þá-yrðingar nota rökfræðilega hugsun til að framkvæma fyrirmæli. (mynd: „Coding“ eftir Carlos Varela/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:
notað skilyrðingu og beitt henni við gerð sanngildistöflu.
notað tvískilyrðingu og beitt henni við gerð sanngildistöflu.
notað sanngildistöflur til að ákvarða hvort skilyrðingar og tvískilyrðingar séu gildar.
Forritunarmál nota ef–þá-yrðingar eða ef–þá–annars-yrðingar til að taka ákvarðanir:
Ef forliðurinn er sannur, þá skal framkvæma tiltekna aðgerð.
Eða: ef forliðurinn er sannur, þá skal framkvæma tiltekna aðgerð; annars skal framkvæma aðra aðgerð.
Eftirfarandi framsetning forritskóða myndar til dæmis ef–þá–annars-ákvörðunarsetningu:
Athugaðu gildi breytunnar .
Ef , skrifaðu þá „Halló, heimur!“; annars skrifaðu „Bless“.
Í þessu ímyndaða forriti metur ef–þá-yrðingin gildi breytunnar og bregst við því. Ef til dæmis myndi forritið meta yrðinguna sem sanna og „Halló, heimur!“ birtast á skjánum. Ef hins vegar myndi forritið meta yrðinguna sem ósanna (þar sem 3 er stærri en 1) og skrifa „Bless“ á skjáinn.
Í þessum hluta beitum við sams konar rökhugsun án þess að nota tölvuforrit.
Notkun skilyrðingar við gerð sanngildistöflu
Skilyrðing er rökfræðileg yrðing á forminu ef , þá . Í rökfræði má líta á skilyrðingu sem loforð eða samning. Skilyrðingin, er aðeins ósönn þegar loforðið eða samningurinn er rofinn.
Skoðum eftirfarandi aðstæður. Foreldri segir við barn: „Ef þú lýkur heimavinnunni máttu fara í tölvuleik.“ Barnið langar mikið að spila, svo það byrjar strax, lýkur heimavinnunni innan klukkustundar og sýnir foreldrinu hana. Foreldrið þakkar barninu fyrir vel unnið verk og leyfir því að spila. Bæði eru ánægð. Samningurinn var efndur; satt leiðir af sér satt og niðurstaðan er sönn.
Gerum nú ráð fyrir að barnið byrji ekki strax á heimavinnunni og eigi síðan erfitt með að ljúka henni. Að lokum klárar það hana og sýnir foreldrinu. Foreldrið þakkar barninu aftur fyrir að ljúka verkinu en segir því svo að orðið sé of áliðið til að spila tölvuleiki og að það verði að fara að búa sig undir svefninn. Barnið verður mjög ósátt. Það stóð við sinn hluta samningsins en fékk ekki umbunina sem lofað hafði verið. Samningurinn var rofinn; satt leiðir af sér ósatt og niðurstaðan er ósönn.
Hvað gerist þá ef barnið vinnur ekki heimavinnuna? Þá er forliðurinn ósannur. Enginn samningur hefur tekið gildi og því er ekki hægt að rjúfa hann. Ef bakliðurinn er ósannur fær barnið ekki að spila og kann að verða óánægt, en það er eðlileg niðurstaða þar sem barnið stóð ekki við sinn hluta samkomulagsins. Það lauk ekki heimavinnunni. Ósatt leiðir af sér ósatt og niðurstaðan er sönn. Síðasti möguleikinn er ekki jafn augljós. Ef foreldrið leyfir barninu að spila þótt það hafi ekki unnið heimavinnuna verður hvorugt þeirra ósátt. Ósatt leiðir af sér satt og niðurstaðan er sönn.
Sanngildistaflan fyrir skilyrðinguna hér á eftir dregur þessar niðurstöður saman.
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
Dæmi 2.18
Gerð sanngildistaflna fyrir skilyrðingar
Gerum ráð fyrir að báðar eftirfarandi yrðingar séu sannar: : Systkini mitt þvoði upp og : Foreldrar mínir greiddu því 5,00 dali. Gerðu sanngildistöflu til að ákvarða sanngildi hverrar eftirfarandi skilyrðingar.
Lausn
Þar sem er sönn og er sönn, merkir yrðingin þetta: „Ef systkini mitt þvoði upp, greiddu foreldrar mínir því 5,00 dali.“ Systkini mitt þvoði upp, þar sem er sönn og foreldrarnir greiddu því 5,00 dali. Samningurinn tók því gildi og var efndur. Skilyrðingin er sönn, eins og sanngildistaflan fyrir þetta tilvik sýnir: T → T = T.
T
T
T
merkir: „Ef systkini mitt þvoði upp, greiddu foreldrar mínir því ekki 5,00 dali.“ er sönn en er ósönn. Systkinið þvoði upp og fékk greitt. Forliðurinn er því sannur en bakliðurinn, að systkinið hafi ekki fengið greitt, ósannur. Skilyrðingin er ósönn, eins og sanngildistaflan fyrir þetta tilvik sýnir: T → F = F.
T
T
F
F
merkir: „Ef systkini mitt þvoði ekki upp, greiddu foreldrar mínir því 5,00 dali.“ er ósönn en er sönn. Systkinið þvoði upp og foreldrarnir greiddu því 5,00 dali. Forliðurinn, að systkinið hafi ekki þvegið upp, er því ósannur en bakliðurinn sannur. Skilyrðingin er sönn, eins og sanngildistaflan fyrir þetta tilvik sýnir: F → T = T.
T
T
F
T
Dæmi 2.19
Mat á gildi skilyrðinga
Gerðu sanngildistöflu til að greina allar mögulegar niðurstöður fyrir hverja eftirfarandi yrðingu og ákvarðaðu síðan hvort hún sé gild.
Lausn
Samkvæmt forgangsröð setningatengja er yrðingin jafngild Dálkar sanngildistöflunnar verða því , , og Þar sem aðeins eru tvær grunnyrðingar, og , hefur taflan raðir af sanngildum sem ná yfir allar mögulegar niðurstöður. Yrðingin er ekki gild þar sem síðasti dálkurinn inniheldur ekki eingöngu T.
T
T
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
F
T
T
Samkvæmt forgangsröð setningatengja er yrðingin jafngild Dálkar sanngildistöflunnar verða því , , , auk Þar sem aðeins eru tvær grunnyrðingar, og , hefur taflan raðir af sanngildum sem ná yfir allar mögulegar niðurstöður. Yrðingin er ekki gild þar sem síðasti dálkurinn inniheldur ekki eingöngu T.
T
T
F
T
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T
Notkun tvískilyrðingar við gerð sanngildistöflu
Tvískilyrðingin, , er tvíhliða samningur og jafngildir yrðingunni Tvískilyrðingin, er sönn þegar sanngildi forliðarins er hið sama og sanngildi bakliðarins; annars er hún ósönn.
Sanngildistaflan fyrir tvískilyrðinguna er dregin saman hér á eftir.
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Dæmi 2.20
Gerð sanngildistaflna fyrir tvískilyrðingar
Gerum ráð fyrir að báðar eftirfarandi yrðingar séu sannar: : Píparinn gerði við lekann og : Húseigandinn greiddi píparanum 150,00 dali. Gerðu sanngildistöflu til að ákvarða sanngildi hverrar eftirfarandi tvískilyrðingar.
Lausn
Þar sem er sönn og er sönn, merkir yrðingin þetta: „Píparinn gerði við lekann ef og aðeins ef húseigandinn greiddi honum 150,00 dali.“ Þar sem yrðingarnar og eru báðar sannar var gert við lekann og píparanum greitt; báðir aðilar stóðu því við sinn hluta samkomulagsins. Tvískilyrðingin er sönn, eins og sanngildistaflan fyrir þetta tilvik sýnir: T ↔ T = T.
T
T
T
merkir: „Píparinn gerði við lekann ef og aðeins ef húseigandinn greiddi honum ekki 150 dali.“ Píparinn gerði við lekann og húseigandinn greiddi honum. Forliðurinn er því sannur en bakliðurinn, að húseigandinn hafi ekki greitt honum, ósannur. Tvískilyrðingin er ósönn, eins og sanngildistaflan fyrir þetta tilvik sýnir: T ↔ F = F.
T
T
F
F
merkir: „Píparinn gerði ekki við lekann ef og aðeins ef húseigandinn greiddi honum ekki 150 dali.“ Píparinn gerði við lekann og húseigandinn greiddi honum. Bæði forliðurinn, að píparinn hafi ekki gert við lekann, og bakliðurinn, að húseigandinn hafi ekki greitt honum, eru því ósannir. Tvískilyrðingin er sönn, eins og sanngildistaflan fyrir þetta tilvik sýnir: F ↔ F = T.
T
T
F
F
T
Dæmi 2.21
Mat á gildi tvískilyrðinga
Gerðu sanngildistöflu til að greina allar mögulegar niðurstöður fyrir hverja eftirfarandi yrðingu og ákvarðaðu síðan hvort hún sé gild.
Lausn
Samkvæmt forgangsröð setningatengja er yrðingin jafngild Dálkar sanngildistöflunnar verða því , , , og Þar sem aðeins eru tvær grunnyrðingar, og , hefur taflan raðir af sanngildum sem ná yfir allar mögulegar niðurstöður. Yrðingin er ekki gild þar sem síðasti dálkurinn inniheldur ekki eingöngu T.
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
T
Samkvæmt forgangsröð setningatengja er yrðingin jafngild Dálkar sanngildistöflunnar verða því , , , auk Þar sem aðeins eru tvær grunnyrðingar, og , hefur taflan raðir af sanngildum sem ná yfir allar mögulegar niðurstöður. Yrðingin er ekki gild þar sem síðasti dálkurinn inniheldur ekki eingöngu T.
T
T
T
F
T
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
Samkvæmt forgangsröð setningatengja er yrðingin jafngild Dálkar sanngildistöflunnar verða því , , , , auk Þar sem aðeins eru tvær grunnyrðingar, og , hefur taflan raðir af sanngildum sem ná yfir allar mögulegar niðurstöður. Yrðingin er gild þar sem síðasti dálkurinn inniheldur eingöngu T.
T
T
T
F
F
T
T
T
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T
T
Samkvæmt forgangsröð setningatengja er yrðingin jafngild Dálkar sanngildistöflunnar verða því , , , , auk Þar sem grunnyrðingarnar eru þrjár, , og , hefur taflan raðir af sanngildum sem ná yfir allar mögulegar niðurstöður. Yrðingin er ósönn í öllum tilvikum, því síðasti dálkurinn inniheldur eingöngu F. Hún er því ekki gild.
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
T
F
F
T
F
F
F
F
F
T
F
T
F
F
Athugaðu skilning þinn
Í rökfræði má líta á skilyrðingu sem _____________.
Ef forliður skilyrðingarinnar, , er sannur verður _____ hennar, , einnig að vera sannur til að skilyrðingin sé sönn.
Ef ______________ skilyrðingar er ósannur er skilyrðingin sönn.
Táknræn framsetning _____________________ er .
_____________________ jafngildir yrðingunni
ef og aðeins ef er ____________ þegar sanngildi er hið sama og sanngildi ; annars er hún ósönn.
Æfingar úr hluta 2.4
Ljúktu við sanngildistöfluna í eftirfarandi æfingum til að ákvarða sanngildi yrðingarinnar í síðasta dálki.
1.
T
T
2.
T
T
3.
F
T
4.
F
T
5.
F
T
F
6.
F
F
F
7.
F
F
F
8.
T
F
F
9.
F
F
F
10.
T
T
T
Í eftirfarandi æfingum skaltu gera ráð fyrir að þessar yrðingar séu sannar: p: Faheem er hugbúnaðarverkfræðingur, q: Ann er verkefnisstjóri, r: Giacomo vinnur með Faheem og s: Hugbúnaðarforritið var tilbúið á réttum tíma. Settu hverja eftirfarandi yrðingu fram með táknum og gerðu síðan sanngildistöflu til að ákvarða sanngildi hennar.
11.
Ef Giacomo vinnur með Faheem er Faheem ekki hugbúnaðarverkfræðingur.
12.
Ef hugbúnaðarforritið var ekki tilbúið á réttum tíma er Ann ekki verkefnisstjóri.
13.
Hugbúnaðarforritið var tilbúið á réttum tíma ef og aðeins ef Giacomo vann með Faheem.
14.
Ann er ekki verkefnisstjóri ef og aðeins ef Faheem er hugbúnaðarverkfræðingur.
15.
Ef hugbúnaðarforritið var tilbúið á réttum tíma er Ann verkefnisstjóri en Faheem er ekki hugbúnaðarverkfræðingur.
16.
Ef Giacomo vinnur með Faheem og Ann er verkefnisstjóri var hugbúnaðarforritið tilbúið á réttum tíma.
17.
Hugbúnaðarforritið var ekki tilbúið á réttum tíma ef og aðeins ef Faheem er hugbúnaðarverkfræðingur eða Giacomo vann ekki með Faheem.
18.
Faheem er hugbúnaðarverkfræðingur eða Ann er ekki verkefnisstjóri ef og aðeins ef Giacomo vann ekki með Faheem og hugbúnaðarforritið var tilbúið á réttum tíma.
19.
Yrðingin „Ef Ann er verkefnisstjóri, þá er Faheem hugbúnaðarverkfræðingur“ er sönn ef og aðeins ef yrðingin „Ef hugbúnaðarforritið var tilbúið á réttum tíma, þá vann Giacomo með Faheem“ er sönn.
20.
Ef yrðingin „Ef Giacomo vann ekki með Faheem, þá var hugbúnaðarforritið ekki tilbúið á réttum tíma“ er sönn, þá var Ann ekki verkefnisstjóri.
Í eftirfarandi æfingum skaltu gera sanngildistöflu til að greina allar mögulegar niðurstöður og ákvarða gildi hverrar rökfærslu.
