Lykilhugtök

Lykilhugtök

2.1 Yrðingar og magnarar

• Rökfræðilegar yrðingar eru heilar setningar sem fela í sér fullyrðingar sem hægt er að meta sem sannar eða ósannar.
• Rökfræðilegar yrðingar eru táknaðar með lágstöfum.
• Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur sanngildi sem er gagnstætt sanngildi upphaflegu yrðingarinnar.
• Þú skalt geta:
  • ákvarðað hvort setning sé rökfræðileg yrðing.
  • sett rökfræðilegar yrðingar fram með orðum og táknum og fært þær milli orðalags og táknmáls.
  • neitað rökfræðilegum yrðingum, þar á meðal yrðingum með mögnurunum „allir“, „sumir“ og „enginn“.

2.2 Samsettar yrðingar

• Setningatengi mynda samsettar rökfræðilegar yrðingar með orðunum „og“, „eða“ og „ef … þá“.
• Samtenging er samsett rökfræðileg yrðing sem myndast þegar tvær yrðingar eru tengdar með „og“ eða „en“. Ef sjálfstæðu setningarnar eru táknaðar með $p$ og $q$ er samtengingin táknuð $p\wedge q$. Samtengingin er aðeins sönn ef báðar yrðingarnar $p$ og $q$ eru sannar.
• Mistenging tengir tvær rökfræðilegar yrðingar með „eða“. Í rökfræði er „eða“ notað í víðri merkingu. Mistengingin er sönn ef að minnsta kosti önnur yrðingin er sönn og getur verið sönn þótt báðar séu sannar.
• Skilyrðing hefur formið ef $p$, þá $q$, þar sem $p$ og $q$ eru rökfræðilegar yrðingar. Hún er aðeins ósönn þegar $p$ er sönn og $q$ er ósönn.
• Tvískilyrðing er mynduð með tenginu $\mathrm{ef\; og\; aðeins\; ef}$. Hún er sönn þegar sanngildi $p$ og $q$ eru eins. Ef $p$ er sönn verður $q$ að vera sönn; ef $p$ er ósönn verður $q$ að vera ósönn.
• Settu samsettar yrðingar fram með orðum og táknum og færðu þær milli orðalags og táknmáls.

  Setningatengi	Tákn	Heiti
  og en	$\wedge$	samtenging
  eða	$\vee$	mistenging, eða í víðri merkingu
  ekki	$~$	neitun
  ef $\dots$ þá …, leiðir af sér	$\to$	skilyrðing, leiðing
  ef og aðeins ef	$\leftrightarrow$	tvískilyrðing

• Forgangsröð setningatengja segir í hvaða röð túlka skal samsettar rökfræðilegar yrðingar með fleiri en einu tengi.
• Beita skal forgangsröðinni þannig:
  • Svigar
  • Neitanir
  • Mistengingar/samtengingar, frá vinstri til hægri
  • Skilyrðingar
  • Tvískilyrðingar

  

2.3 Gerð sanngildistaflna

• Ákvarðaðu sanngildi yrðinga með neitunum, samtengingum og mistengingum.
  • Neitun rökfræðilegrar yrðingar hefur sanngildi sem er gagnstætt sanngildi upphaflegu yrðingarinnar.
  • Samtenging er sönn þegar báðar yrðingarnar $p$ og $q$ eru sannar; annars er hún ósönn.
  • Mistenging er ósönn þegar báðar yrðingarnar $p$ og $q$ eru ósannar; annars er hún sönn.
• Kunna að gera sanngildistöflu með neitunum, samtengingum og mistengingum og beita forgangsröð setningatengja til að ákvarða sanngildi samsettrar yrðingar.

  Neitun			Samtenging (OG)				Mistenging (EÐA)
  $p$	$~p$		$p$	$q$	$p\wedge q$		$p$	$q$	$p\vee q$
  T	F		T	T	T		T	T	T
  F	T		T	F	F		T	F	T
  			F	T	F		F	T	T
  			F	F	F		F	F	F

• Rökfræðileg yrðing er sísanna ef hún er sönn við öll möguleg sanngildi grunnyrðinganna. Kunna að gera sanngildistöflu fyrir samsetta yrðingu og nota hana til að ákvarða hvort yrðing með neitunum, samtengingum og mistengingum sé sísanna.

2.4 Sanngildistöflur skilyrðinga og tvískilyrðinga

• Skilyrðingin ef $p$ þá $q$ er eins og samningur. Hún er aðeins ósönn þegar samningurinn er rofinn, það er þegar $p$ er sönn og $q$ er ósönn.

  Skilyrðing
  $p$	$q$	$p\to q$
  T	T	T
  T	F	F
  F	T	T
  F	F	T

• Tvískilyrðingin $p$ ef og aðeins ef $q$ er sönn þegar sanngildi $p$ og $q$ eru eins; annars er hún ósönn.

  Tvískilyrðing
  $p$	$q$	$p\leftrightarrow q$
  T	T	T
  T	F	F
  F	T	F
  F	F	T

• Kunna að gera sanngildistöflur með skilyrðingum og tvískilyrðingum.
• Nota sanngildistöflur til að greina skilyrðingar og tvískilyrðingar og ákvarða hvort þær séu sísönnur.

2.5 Jafngildar yrðingar

• Tvær yrðingar $p$ og $q$ eru rökfræðilega jafngildar ef tvískilyrðingin $p\leftrightarrow q$ er sísanna, það er ef síðasti dálkur sanngildistöflunnar inniheldur aðeins T. Táknræn framsetning jafngildis $p$ og $q$ er $p\equiv q.$
• Rökfræðileg yrðing er sísanna ef hún er alltaf sönn.
• Rökfærsla er gild ef skilyrðingin sem táknar hana er sísanna og því sönn við öll möguleg sanngildi grunnyrðinganna.
• Þekkja tilbrigði skilyrðingar, geta ákvarðað sanngildi þeirra og myndað yrðingar með þeim.
• Umhverfa skilyrðingarinnar ef $p$ þá $q$ myndast með því að víxla forliðnum og bakliðnum og er yrðingin ef $q$ þá $p$.
• Andhverfa skilyrðingar myndast með því að neita forliðnum og bakliðnum.
• Gagnumhverfa myndast með því að setja neitun framan við forliðinn og bakliðinn og víxla þeim.

  				Skilyrðing	Gagnumhverfa	Umhverfa	Andhverfa
  $p$	$q$	$~p$	$~q$	$p\to q$	$~q\to ~p$	$q\to p$	$~p\to ~q$
  T	T	F	F	T	T	T	T
  T	F	F	T	F	F	T	T
  F	T	T	F	T	T	F	F
  F	F	T	T	T	T	T	T

• Skilyrðingin er rökfræðilega jafngild gagnumhverfunni.
• Umhverfan er rökfræðilega jafngild andhverfunni.
• Kunna að gera og nota sanngildistöflur til að ákvarða hvort yrðingar séu rökfræðilega jafngildar.

2.6 Reglur De Morgans

• Regla De Morgans um neitun mistengingar segir að $~(p\vee q)$ sé rökfræðilega jafngild $~p\wedge ~q.$
• Regla De Morgans um neitun samtengingar er: $~(p\wedge q)\equiv ~p\vee ~q.$
• Nota reglur De Morgans til að neita samtengingum og mistengingum.
• Neitun skilyrðingarinnar ef $p$ þá $q$ er rökfræðilega jafngild yrðingunni $p$ og ekki $q$. Notaðu þennan eiginleika til að skrifa neitun skilyrðinga.
• Nota sanngildistöflur til að meta reglur De Morgans.

2.7 Rökfærslur

• Rökfærsla notar röð staðreynda eða forsenda til að réttlæta niðurstöðu eða fullyrðingu. Hún er gild ef niðurstaðan leiðir af forsendunum og traust ef hún er gild og allar forsendur hennar eru sannar.
• Modus ponens er gilt form skilyrtrar rökfærslu: Ef skilyrðingin $p\to q$ og forliðurinn $p$ eru sönn verður niðurstaðan $q$ einnig sönn.

  Modus ponens
  Forsenda:	$p\to q$
  Forsenda:	$p$
  Niðurstaða:	$\therefore \mathrm{}q$

• Kunna að beita modus ponens til að ákvarða niðurstöðu út frá tveimur yrðingum.
• Modus tollens er gilt form skilyrtrar rökfærslu: Ef skilyrðingin $p\to q$ og neitun bakliðarins $~q$ eru sannar verður neitun forliðarins $~p$ einnig sönn.

  Modus tollens
  Forsenda:	$p\to q$
  Forsenda:	$~q$
  Niðurstaða:	$\therefore \mathrm{}~p$

• Kunna að beita modus tollens til að ákvarða niðurstöðu út frá tveimur yrðingum.
• Keðjuregla skilyrðinga er gilt form skilyrtrar rökfærslu: Ef forsendur rökfærslunnar hafa formin $p\to q$ og $q\to r$ leiðir af þeim $p\to r.$

  Keðjuregla skilyrðinga
  Forsenda:	$p\to q$
  Forsenda:	$q\to r$
  Niðurstaða:	$\therefore \mathrm{}p\to r$

• Kunna að beita keðjureglu til að draga gildar ályktanir af pörum sannra yrðinga.