2121 Kjarnaefnafræði

21.3 Geislavirk hrörnun

Námsmarkmið

Að loknum þessum kafla munt þú geta:

þekkja algengar tegundir geislavirkrar hrörnunar
greina algengar agnir og orku sem koma við sögu í kjarnahrörnunarhvörfum
skrifa og stilla jöfnur fyrir kjarnahrörnun
reikna hreyfifræðilegar stærðir fyrir hrörnunarferli, þar á meðal helmingunartíma
lýsa algengum aðferðum við geislavirka aldursgreiningu

Eftir að Becquerel uppgötvaði geislavirkni, að nokkru leyti fyrir tilviljun, tóku margir þekktir vísindamenn að rannsaka þetta nýja og áhugaverða fyrirbæri. Þar á meðal voru Marie Curie, fyrsta konan sem hlaut Nóbelsverðlaun og eina manneskjan sem hefur hlotið tvenn Nóbelsverðlaun í tveimur ólíkum vísindagreinum, efnafræði og eðlisfræði, og Ernest Rutherford, þekktur fyrir gullþynnutilraunina. Curie notaði fyrst hugtakið geislavirkni og Rutherford rannsakaði og nefndi þrjár algengustu tegundir geislunar. Í upphafi tuttugustu aldar fundust mörg geislavirk efni, eiginleikar geislunar voru rannsakaðir og mældir og traustur skilningur á geislun og kjarnahrörnun varð til.

Sjálfkrafa breyting óstöðugrar kjarntegundar í aðra kjarntegund kallast geislavirk hrörnun. Óstöðuga kjarntegundin kallast móðurkjarntegund; kjarntegundin sem myndast við hrörnunina kallast dótturkjarntegund. Dótturkjarntegundin getur verið stöðug eða hún getur sjálf hrörnað. Geislunin sem myndast við geislavirka hrörnun verður til þannig að dótturkjarntegundin liggur nær stöðugleikabeltinu en móðurkjarntegundin. Því getur staðsetning kjarntegundar miðað við stöðugleikabeltið gefið vísbendingu um hvaða tegund hrörnunar hún gengst undir (mynd 21.5).

Skýringarmynd sýnir tvær kúlur sem samanstanda af mörgum smærri hvítum og grænum kúlum, tengdar með ör sem vísar til hægri og annarri ör sem vísar niður út frá henni. Vinstri kúlan, merkt „Móðurkjarni úran-238“, hefur tvær hvítar og tvær grænar kúlur sem eru nálægt hver annarri og afmarkaðar með rauðu. Þessar tvær grænu og tvær hvítu kúlur eru sýndar nálægt oddi örvarinnar sem vísar niður og eru merktar „alfaögn“. Hægri kúlan, merkt „Dótturkjarni radon-234“, lítur út eins og sú vinstri, en hefur pláss fyrir fjórar smærri kúlur sem afmarkað er með rauðri brotalínu. — **Mynd 21.5.** Kjarni úrans-238 (móðurkjarntegundin) gengst undir α-hrörnun og myndar þórín-234 (dótturkjarntegundina). Alfaeindin fjarlægir tvær róteindir og tvær nifteindir úr kjarna úrans-238.

Tegundir geislavirkrar hrörnunar

Tilraunir Ernest Rutherfords með víxlverkun geislunar við segul- eða rafsvið (mynd 21.6) hjálpuðu honum að ákvarða að ein tegund geislunar samanstóð af jákvætt hlöðnum og tiltölulega massamiklum α-eindum. Önnur tegund samanstóð af neikvætt hlöðnum og mun léttari β-eindum og sú þriðja var óhlaðnar rafsegulbylgjur, γ-geislar. Nú vitum við að α-eindir eru orkuríkir helínkjarnar, β-eindir eru orkuríkar rafeindir og γ-geislun er orkurík rafsegulgeislun. Við flokkum mismunandi tegundir geislavirkrar hrörnunar eftir geisluninni sem myndast.

Skýringarmynd er sýnd. Grár kassi vinstra megin á myndinni, merktur „Blýklumpur“, hefur holrými í miðjunni þar sem sýni merkt „Geislavirkt efni“ er komið fyrir. Blár geisli kemur frá sýninu, út úr klumpinum, og fer í gegnum tvær láréttar plötur sem eru merktar „Rafhlaðnar plötur“. Efri platan er merkt með plúsmerki en sú neðri með mínusmerki. Geislinn brotnar upp í þrjá geisla þegar hann fer á milli platnanna; ofan frá og niður eru þeir rauður, merktur „betageislar“, fjólublár, merktur „gammageislar“, og grænn, merktur „alfageislar“. Geislarnir sýnast lenda á lóðréttri plötu merktri „Ljósmyndaplata“ lengst til hægri á myndinni. — **Mynd 21.6.** Alfaeindir sveigjast lítið og dragast að neikvæðu plötunni, sem sýnir að þær eru jákvætt hlaðnar og tiltölulega massamiklar. Betaeindir sveigjast meira og dragast að jákvæðu plötunni, sem sýnir að þær eru neikvætt hlaðnar og léttari. Gammageislar verða ekki fyrir áhrifum rafsviðsins og eru óhlaðnir.

Alfahrörnun (α-hrörnun) er losun α-eindar úr kjarnanum. Til dæmis gengst pólon-210 undir α-hrörnun:

_{84}^{210} Po ⟶_{2}^{4} He +_{82}^{206} Pb eða_{84}^{210} Po ⟶_{2}^{4} α +_{82}^{206} Pb

Alfahrörnun á sér fyrst og fremst stað í þungum kjörnum (A > 200, Z > 83). Þar sem tap á α-eind gefur af sér dótturkjarntegund með massatölu sem er fjórum einingum lægri og sætistölu sem er tveimur einingum lægri en hjá móðurkjarntegundinni hefur dótturkjarntegundin hærra n:p-hlutfall en móðurkjarntegundin. Ef móðurkjarntegundin sem gengst undir α-hrörnun liggur neðan við stöðugleikabeltið (sjá mynd 21.2) liggur dótturkjarntegundin nær beltinu.

Betahrörnun (β-hrörnun) er losun rafeindar úr kjarna. Joð-131 er dæmi um kjarntegund sem gengst undir β-hrörnun:

_{53}^{131} I ⟶_{-1}^{0} e +_{54}^{131} Xe eða_{53}^{131} I ⟶_{-1}^{0} β +_{54}^{131} Xe

Líta má á betahrörnun sem umbreytingu nifteindar í róteind og β-eind. Hún kemur fram í kjarntegundum með hátt n:p-hlutfall. Betaeindin (rafeindin) sem losnar kemur úr atómkjarnanum en er ekki ein af rafeindunum sem umlykja kjarnann. Slíkir kjarnar liggja ofan við stöðugleikabeltið. Losun rafeindar breytir ekki massatölu kjarntegundarinnar en fjölgar róteindum hennar og fækkar nifteindum. Þar af leiðandi lækkar n:p-hlutfallið og dótturkjarntegundin liggur nær stöðugleikabeltinu en móðurkjarntegundin gerði.

Gammageislun (γ-geislun) kemur fram þegar kjarntegund myndast í örvuðu ástandi og fellur síðan í grunnástand sitt með losun γ-geisla, sem er skammtur af orkuríkri rafsegulgeislun. Oft er gefið til kynna að kjarni sé í örvuðu ástandi með stjörnu (*). Kóbalt-60 gefur frá sér γ-geislun og er notað á mörgum sviðum, meðal annars við krabbameinsmeðferð:

_{27}^{60} Co* ⟶_{0}^{0} γ +_{27}^{60} Co

Hvorki massatala né sætistala breytist við losun γ-geisla, nema γ-geislunin fylgi annarri tegund hrörnunar.

Losun jáeindar (β⁺-hrörnun) er losun jáeindar úr kjarnanum. Súrefni-15 er dæmi um kjarntegund sem gengst undir losun jáeindar:

_{8}^{15} O ⟶_{+1}^{0} e +_{7}^{15} N eða_{8}^{15} O ⟶_{+1}^{0} β +_{7}^{15} N

Losun jáeindar kemur fram í kjarntegundum þar sem n:p-hlutfallið er lágt. Þessar kjarntegundir liggja neðan við stöðugleikabeltið. Jáeindahrörnun er umbreyting róteindar í nifteind með losun jáeindar. Við þetta hækkar n:p-hlutfallið og dótturkjarntegundin liggur nær stöðugleikabeltinu en móðurkjarntegundin gerði.

Rafeindahremming á sér stað þegar atómkjarni fangar eina af innri rafeindum atómsins. Til dæmis gengst kalíum-40 undir rafeindahremmingu:

_{19}^{40} K +_{-1}^{0} e ⟶_{18}^{40} Ar

Rafeindahremming á sér stað þegar rafeind á innra hveli sameinast róteind og umbreytist í nifteind. Við tap á innri rafeind myndast skarð sem ein af ytri rafeindunum fyllir. Þegar ytri rafeindin fellur í skarðið losar hún orku, oftast í formi röntgengeisla. Líkt og losun jáeindar á rafeindahremming sér stað í róteindaríkum kjörnum sem liggja neðan við stöðugleikabeltið. Rafeindahremming hefur sömu áhrif á kjarnann og losun jáeindar: sætistalan lækkar um einn en massatalan breytist ekki. Þetta hækkar n:p-hlutfallið og dótturkjarntegundin liggur nær stöðugleikabeltinu en móðurkjarntegundin gerði. Erfitt er að spá fyrir um hvort rafeindahremming eða losun jáeindar eigi sér stað. Valið ræðst fyrst og fremst af hreyfifræðilegum þáttum, þar sem sú leið sem krefst minni virkjunarorku er líklegri til að eiga sér stað.

Mynd 21.7 tekur saman þessar tegundir hrörnunar, jöfnur þeirra og breytingar á sætis- og massatölum.

Þessi tafla hefur fjóra dálka og sex raðir. Fyrsta röðin er hausaröð og hún merkir hvern dálk: „Tegund”, „Kjarnajafna”, „Framsetning” og „Breyting á massa-/sætistölum”. Undir dálkinum „Tegund“ er eftirfarandi: „Alfasundrun“, „Betasundrun“, „Gammasundrun“, „Losun jáeindar“ og „Rafeindahremming“. Undir dálkinum „Kjarnajafna“ eru nokkrar jöfnur. Hver byrjar á hávísi A yfir lágvísi Z X. Þar er stórt bil og síðan eftirfarandi jöfnur: „hávísir 4 yfir lágvísi 2 He plús hávísir A mínus 4 yfir lágvísi Z mínus 2 Y“, „hávísir 0 yfir lágvísi mínus 1 e plús hávísir A yfir lágvísi Z plús 1 Y“, „hávísir 0 yfir lágvísi 0 lágstafur gamma plús hávísir A yfir lágvísi Z Y“, „hávísir 0 yfir lágvísi plús 1 e plús hávísir A yfir lágvísi Y mínus 1 Y“ og „hávísir 0 yfir lágvísi mínus 1 e plús hávísir A yfir lágvísi Y mínus 1 Y“. Undir dálkinum „Framsetning“ eru fimm skýringarmyndir. Sú fyrsta sýnir klasa af grænum og hvítum kúlum. Hluti klasans sem inniheldur tvær hvítar og tvær grænar kúlur er útlínaður. Þar er ör sem vísar til hægri á svipaðan klasa og áður var lýst, en útlínaða hlutann vantar. Út frá örinni greinist önnur ör sem vísar niður. Litli klasinn með tveimur hvítum og tveimur grænum kúlum birtist við enda örvarinnar. Næsta skýringarmynd sýnir sama klasa af hvítum og grænum kúlum. Ein hvít kúla er útlínuð. Þar er ör sem vísar til hægri á svipaðan klasa, en hvítu kúluna vantar. Önnur ör greinist frá aðalörinni og rauð kúla með mínusmerki birtist við endann. Næsta skýringarmynd sýnir sama klasa af hvítum og grænum kúlum. Öll kúlan er útlínuð og merkt „örvað kjarnaástand“. Þar er ör sem vísar til hægri á sama klasa. Engar kúlur vantar. Út frá aðalörinni er önnur ör sem vísar á fjólubláa bylgjuör sem aftur vísar á lágstafinn gamma. Næsta skýringarmynd sýnir sama klasa af hvítum og grænum kúlum. Ein græn kúla er útlínuð. Þar er ör sem vísar til hægri á svipaðan klasa, en grænu kúluna vantar. Önnur ör greinist frá aðalörinni og rauð kúla með plúsmerki birtist við endann. Næsta skýringarmynd sýnir sama klasa af hvítum og grænum kúlum. Ein græn kúla er útlínuð. Þar er ör sem vísar til hægri á svipaðan klasa, en grænu kúluna vantar. Tvær aðrar örvar greinast frá aðalörinni. Sú fyrri sýnir gyllta kúlu með mínusmerki sem sameinast örinni sem vísar til hægri. Sú seinni vísar á bláa bylgjuör merkta „röntgengeisli“. Undir dálkinum „Breyting á massa-/sætistölum” er eftirfarandi: „A: lækkar um 4, Z: lækkar um 2“, „A: óbreytt, Z: hækkar um 1“, „A: óbreytt, Z: óbreytt“, „A: óbreytt, Z: óbreytt“, „A: óbreytt, Z: lækkar um 1“ og „A: óbreytt, Z: lækkar um 1“. — **Mynd 21.7.** Taflan tekur saman tegund, kjarnajöfnu, myndræna framsetningu og breytingar á massa- og sætistölum fyrir helstu tegundir geislavirkra hrörnunarferla.

Efnafræði í daglegu lífi

Jáeindaskönnun (PET)

Jáeindaskönnun (PET) nýtir geislun til að greina og fylgjast með heilsufari og árangri læknismeðferða með því að sýna hvernig tilteknir hlutar líkama sjúklings starfa (mynd 21.8). Til að framkvæma jáeindaskönnun er geislasamsæta sem gefur frá sér jáeindir framleidd í hringhraðli og síðan tengd við efni sem sá líkamshluti sem til rannsóknar er nýtir sér. Þessu merkta efnasambandi, eða geislamerki, er síðan komið fyrir í sjúklingnum, annaðhvort gefið í æð eða látið hann anda því að sér sem gasi. Það hvernig vefurinn nýtir efnið sýnir síðan hvernig viðkomandi líffæri eða líkamshluti starfar.

Mynd 21.8. Jáeindaskanni (a) nýtir geislun til að sýna starfsemi í líkama sjúklings. Skönnun getur sýnt heilbrigðan heila (b) eða nýst til að greina sjúkdóma á borð við Alzheimerssjúkdóm (c). (mynd a: breytt verk eftir Jens Maus)

Til dæmis er F-18 framleitt með því að skjóta róteindum á ¹⁸O (¹⁸8O + ¹1p ⟶ ¹⁸9F + ¹0n) og það síðan fellt inn í glúkósaafleiðu sem kallast flúordeoxýglúkósi (FDG). Það hvernig líkaminn nýtir FDG veitir mikilvægar greiningarupplýsingar. Þar sem krabbamein nýta glúkósa á annan hátt en eðlilegir vefir getur FDG til dæmis leitt krabbamein í ljós. ¹⁸F gefur frá sér jáeindir sem víxlverka við nálægar rafeindir og mynda gammageislun. Skanninn nemur þessa orku og breytir henni í nákvæma þrívíða litamynd sem sýnir hvernig viðkomandi líkamshluti starfar. Mismunandi styrkur gammageislunar skilar sér í mismunandi birtustigi og litum á myndinni, sem röntgenlæknir getur síðan túlkað. Jáeindaskannanir geta greint hjartaskemmdir og hjartasjúkdóma, hjálpað til við greiningu Alzheimerssjúkdóms, sýnt hvaða hlutar heilans verða fyrir áhrifum af flogaveiki, leitt krabbamein í ljós, sýnt stig þess og útbreiðslu og sýnt hvort meðferð ber árangur. Ólíkt segulómun og röntgenmyndatöku, sem sýna fyrst og fremst útlit vefja, er stóri kosturinn við jáeindaskannanir sá að þær sýna starfsemi. Nú til dags eru jáeindaskannanir venjulega framkvæmdar samhliða tölvusneiðmyndatöku.

Geislavirkar hrörnunarraðir

Náttúrulegar geislasamsætur þyngstu frumefnanna mynda raðir samfelldra hrörnunarþrepa. Allar kjarntegundir í slíkri röð mynda geislavirka fjölskyldu, eða geislavirka hrörnunarröð. Þrjár þessara raða innihalda flest náttúruleg geislavirk frumefni lotukerfisins. Þær eru úranröðin, aktíníðröðin og þórínröðin. Neptúnínröðin er fjórða röðin, en hún skiptir ekki lengur máli á jörðinni vegna þess hve stuttan helmingunartíma efnin í henni hafa. Hver röð einkennist af móðurkjarntegund, fyrsta efninu, sem hefur langan helmingunartíma og röð dótturkjarna sem leiða að lokum til stöðugrar lokaafurðar, það er kjarna á stöðugleikabeltinu (mynd 21.9). Í öllum þremur röðunum er lokaafurðin stöðug samsæta blýs. Neptúnínröðin, sem áður var talið að endaði á bismút-209, endar á þallíni-205.

Sýnt er línurit þar sem x-ásinn er merktur „Fjöldi nifteinda (n)“ og hefur gildi frá 122 til 148 með 2 stiga millibili. Y-ásinn er merktur „Sætistala“ og hefur gildi frá 80 til 92 með 1 stiga millibili. Tvær gerðir af örvum eru notaðar á þessu línuriti til að tengja punktana. Grænar örvar eru merktar sem „alfa-hrörnun“ en rauðar örvar eru merktar „beta-hrörnun“. Byrjað er á punktinum „92, 146“ sem er merktur „hávísir 238, U“. Græn ör tengir þennan punkt við annan punkt „90, 144“ sem er merktur „hávísir 234, Th“. Rauð ör tengir þetta við þriðja punktinn „91, 143“ sem er merktur „hávísir 234, Pa“, sem er tengdur við fjórða punktinn „92, 142“ með rauðri ör og er merktur „hávísir 234, U“. Græn ör liggur að næsta punkti, „90, 140“ sem er merktur „hávísir 230, Th“ og er tengdur með grænni ör við sjötta punktinn, „88, 138“ sem er merktur „hávísir 226, Ra“ sem aftur er tengdur með grænni ör við sjöunda punktinn „86, 136“ sem er merktur „hávísir 222, Ra“. Áttundi punkturinn, við „84, 134“ er merktur „hávísir 218, Po“ og hefur grænar örvar sem liggja að honum og frá honum að níunda punktinum „82, 132“ sem er merktur „hávísir 214, Pb“ sem er tengdur með rauðri ör við tíunda punktinn, „83, 131“ sem er merktur „hávísir 214, Bi“. Rauð ör liggur að ellefta punktinum „84, 130“ sem er merktur „hávísir 214, Po“ og græn ör liggur að tólfta punktinum „82, 128“ sem er merktur „hávísir 210, Pb“. Rauð ör liggur að þrettánda punktinum „83, 127“ sem er merktur „hávísir 210, Bi“ og rauð ör liggur að fjórtánda punktinum „84, 126“ sem er merktur „hávísir 210, Po“. Lokapunkturinn er merktur „82, 124“ og „hávísir 206, Pb“. — **Mynd 21.9.** Úran-238 gengur í gegnum geislavirka hrörnunarröð með 14 skrefum áður en stöðugt blý-206 myndast. Röðin samanstendur af átta α-hrörnunum og sex β-hrörnunum.

Geislavirkir helmingunartímar

Geislavirk hrörnun fylgir hvarfhraða fyrsta stigs. Þar sem fjallað hefur verið ítarlega um fyrsta stigs hvörf í kaflanum um hvarfhraðafræði beitum við nú þeim hugtökum á kjarnahrörnun. Hver geislavirkur kjarni hefur einkennandi, fastan helmingunartíma (t₁/2), sem er sá tími sem það tekur helming kjarnanna í sýni að hrörna. Helmingunartími samsætu gerir okkur kleift að ákvarða hversu lengi sýni af gagnlegri samsætu verður tiltækt og hversu lengi þarf að geyma sýni af óæskilegri eða hættulegri samsætu áður en það hrörnar niður í nægilega lágt geislunarstig.

Til dæmis hefur kóbalt-60, samsæta sem gefur frá sér gammageisla til krabbameinsmeðferðar, helmingunartímann 5,27 ár (mynd 21.10). Í tilteknum kóbalt-60 gjafa hrörnar helmingur ⁶⁰27Co-kjarnanna á 5,27 ára fresti. Því helmingast bæði efnismagnið og geislunarstyrkurinn á 5,27 ára fresti. Athugið að fyrir tiltekið efni er geislunarstyrkurinn í beinu hlutfalli við hrörnunarhraða efnisins og magn þess. Þetta er í samræmi við ferli sem fylgir fyrsta stigs hvarfhraðafræði. Þess vegna þarf að skipta reglulega út kóbalt-60 gjafa sem notaður er til krabbameinsmeðferðar svo hann haldi virkni sinni.

Sýnt er línurit með titlinum „C o bandstrik 60 hrörnun“, þar sem x-ásinn er merktur „C o bandstrik 60 eftir, opinn svigi, prósentumerki, lokaður svigi“ og hefur gildi frá 0 til 100 með skrefastærðinni 25. Y-ásinn er merktur „Fjöldi helmingunartíma“ og hefur gildi frá 0 til 5 með skrefastærðinni 1. Fyrsti punkturinn, við „0, 100“, hefur hring fylltan með smáum punktum teiknaðan nálægt sér sem er merktur „10 g.“ Annar punkturinn, við „1, 50“, hefur minni hring fylltan með smáum punktum teiknaðan nálægt sér sem er merktur „5 g.“ Þriðji punkturinn, við „2, 25“, hefur lítinn hring fylltan með smáum punktum teiknaðan nálægt sér sem er merktur „2.5 g.“ Fjórði punkturinn, við „3, 12.5“, hefur mjög lítinn hring fylltan með smáum punktum teiknaðan nálægt sér sem er merktur „1.25 g.“ Síðasti punkturinn, við „4, 6.35“, hefur örsmáan hring fylltan með smáum punktum teiknaðan nálægt sér sem er merktur „625 g.“ — **Mynd 21.10.** Fyrir kóbalt-60, sem hefur helmingunartímann 5,27 ár, eru 50% eftir 5,27 ár, 25% eftir 10,54 ár, 12,5% eftir 15,81 ár og svo framvegis.

Þar sem kjarnahrörnun fylgir fyrsta stigs hvarfhraðafræði getum við aðlagað þau stærðfræðilegu sambönd sem notuð eru fyrir fyrsta stigs efnahvörf. Við setjum almennt fjölda kjarna, N, í stað styrks. Ef hraðinn er gefinn upp í kjarnahrörnun á sekúndu köllum við það virkni geislavirka sýnisins. Hraði geislavirkrar hrörnunar er:

hrörnunarhraði = λN, þar sem λ = hrörnunarfasti viðkomandi geislasamsætu

Hrörnunarfastinn, λ, er sambærilegur við hvarfhraðafastann sem fjallað var um í kaflanum um hvarfhraðafræði. Hægt er að setja hrörnunarfastann fram með tilliti til helmingunartímans, t₁/2:

λ = \frac{ln 2}{t_{1 / 2}} = \frac{0,693}{t_{1 / 2}} eða t_{1 / 2} = \frac{ln 2}{λ} = \frac{0,693}{λ}

Fyrsta stigs jöfnurnar sem tengja saman magn, N, og tíma eru:

N_{t} = N_{0} e^{- λ t} eða t = - \frac{1}{λ} ln (\frac{N_{t}}{N_{0}})

þar sem N₀ er upphaflegur fjöldi kjarna eða móla af samsætunni og N_t er fjöldi kjarna eða móla sem eftir er á tímanum t. Dæmi 21.5 beitir þessum útreikningum til að finna hraða geislavirkrar hrörnunar fyrir tilteknar kjarntegundir.

Dæmi 21.5

Hraði geislavirkrar hrörnunar

⁶⁰27Co hrörnar með helmingunartímann 5,27 ár og myndar ⁶⁰28Ni.

(a) Hver er hrörnunarfastinn fyrir geislavirka hrörnun kóbalts-60?

(b) Reiknaðu hlutfall sýnis af samsætunni ⁶⁰27Co sem verður eftir að 15 árum liðnum.

Lausn

(a) Gildi hraðafastans er gefið með:

λ = \frac{ln 2}{t_{1 / 2}} = \frac{0,693}{5,27 ár} = 0,132 {ár}^{−1}

(b) Hlutfallið af ⁶⁰27Co sem er eftir tímann t er gefið með N_t/N₀. Ef jöfnu fyrsta stigs hvarfs, N_t = N₀e^(−λt), er umraðað til að leysa fyrir þetta hlutfall fæst:

\frac{N_{t}}{N_{0}} = e^{- λ t} = e^{- (0,132 /ár) (15 \times ár)} = 0,138

Hlutfallið af ⁶⁰27Co sem verður eftir að 15,0 árum liðnum er 0,138. Með öðrum orðum verða 13,8% af upphaflegu ⁶⁰27Co eftir að 15 árum liðnum.

(c) 2,00% af upphaflega magninu af ⁶⁰27Co jafngildir 0,0200 $\times ⁠$ N₀. Ef þessu er sett inn í jöfnuna fyrir tíma í fyrsta stigs hvarfhraðafræði fæst:

t = - \frac{1}{λ} ln (\frac{N_{t}}{N_{0}}) = - \frac{1}{0,132 {ár}^{−1}} ln (\frac{0,0200 \times N_{0}}{N_{0}}) = 29,6 ár

Prófaðu þig

Radon-222, ²²²86Rn, hefur helmingunartíma 3,823 daga. Hversu langan tíma tekur það sýni af radon-222 með massann 0,750 g að hrörna þannig að aðeins 0,100 g af radon-222 verði eftir?

11,1 dagar

Þar sem hver kjarntegund hefur ákveðinn fjölda kjarneinda, tiltekið jafnvægi milli fráhrindingar og aðdráttar og sinn eigin stöðugleika er helmingunartími geislavirkra kjarntegunda mjög breytilegur. Til dæmis er helmingunartími ²⁰⁹83Bi 1,9 $\times ⁠$ 10¹⁹ ár; ²³⁹94Pu hefur helmingunartíma 24.000 ár; ²²²86Rn hefur helmingunartíma 3,82 daga; og frumefni 111 (Rg, röntgenín) hefur helmingunartíma 1,5 $\times ⁠$ 10⁻³ sekúndur. Helmingunartími nokkurra geislavirkra samsæta sem eru mikilvægar í læknisfræði er sýndur í töflu 21.2 og aðrar eru taldar upp í viðauka M.

Helmingunartími geislavirkra samsæta sem eru mikilvægar í læknisfræði
Tegund 1	Sundrunarháttur	Helmingunartími	Notkun
F-18	β+ sundrun	110. mínútur	PET-skimanir
Co-60	β-sundrun, γ-sundrun	5,27 ár	krabbameinsmeðferð
Tc-99m	γ-sundrun	8,01 klukkustundir	skimanir á heila, lungum, hjarta og beinum
I-131	β-sundrun	8,02 dagar	skimanir og meðferð á skjaldkirtli
Tl-201	rafeindahremming	73 klukkustundir	skimanir á hjarta og slagæðum; áreynslupróf fyrir hjarta

Geislavirk aldursgreining

Nokkrar geislasamsætur hafa helmingunartíma og aðra eiginleika sem gera þær gagnlegar til að aldursgreina uppruna hluta á borð við fornleifar, leifar lífvera sem áður lifðu eða jarðmyndanir. Þetta ferli kallast geislavirk aldursgreining og hefur leitt til margra tímamótauppgötvana í vísindum um jarðsögu jarðar, þróun lífs og sögu mannkyns. Við skoðum hér nokkrar algengar tegundir geislavirkrar aldursgreiningar og hvernig tilteknar samsætur nýtast í hverri þeirra.

Geislavirk aldursgreining með kolefni-14

Geislavirkni kolefnis-14 veitir aðferð til að aldursgreina hluti sem voru hluti af lifandi lífveru. Þessi aðferð, sem kallast geislakolefnisaldursgreining eða aldursgreining með kolefni-14, er nákvæm fyrir kolefnisinnihaldandi efni sem eru allt að um 30.000 ára gömul og getur gefið nokkuð nákvæmar aldursgreiningar upp að um 50.000 árum.

Náttúrulegt kolefni samanstendur af þremur samsætum: ¹²6C, sem er um 99% af kolefni á jörðinni; ¹³6C, sem er um 1% af heildinni; og snefilmagni af ¹⁴6C. Kolefni-14 myndast í efri lögum lofthjúpsins við hvarf köfnunarefnisatóma við nifteindir úr geimgeislum:

_{7}^{14} N +_{0}^{1} n ⟶_{6}^{14} C +_{1}^{1} H

Allar kolefnissamsætur hvarfast við súrefni og mynda CO₂. Hlutfallið milli ¹⁴CO₂ og ¹²CO₂ er háð hlutfallinu milli ¹⁴C og ¹²C í lofthjúpnum. Náttúruleg gnægð ¹⁴C í lofthjúpnum er um það bil 1 hluti af billjón. Þetta hlutfall hefur almennt verið stöðugt yfir tíma þar til nýlega, eins og sést í gassýnum sem finnast föst í ís. Upptaka ¹⁴CO₂ og ¹²CO₂ í plöntur er eðlilegur hluti af ljóstillífun, sem þýðir að ¹⁴C:¹²C-hlutfallið í lifandi plöntu er það sama og ¹⁴C:¹²C-hlutfallið í lofthjúpnum. Þegar plantan deyr bindur hún ekki lengur kolefni með ljóstillífun. Þar sem ¹²C er stöðug samsæta og hrörnar ekki geislavirkt breytist styrkur hennar í plöntunni ekki. Hins vegar hrörnar kolefni-14 með β-geislun og hefur helmingunartímann 5730 ár:

_{6}^{14} C ⟶_{7}^{14} N +_{-1}^{0} e

Þannig minnkar ¹⁴C:¹²C-hlutfallið smám saman eftir að plantan deyr. Minnkun hlutfallsins með tíma gefur mælikvarða á þann tíma sem liðinn er frá dauða plöntunnar eða annarrar lífveru sem át plöntuna. Mynd 21.11 sýnir þetta ferli myndrænt.

Skýringarmynd sýnir kú standa á jörðinni við hlið trés. Í efra vinstra horni myndarinnar, þar sem himinninn er sýndur, er ein hvít kúla sem tengist með ör niður á við stærri kúlu úr grænum og hvítum kúlum, merktri „hávísir 14, lágvísir 7, N.“ Þessi bygging tengist þremur öðrum byggingum með ör sem vísar til hægri. Hver þessara þriggja sem hún vísar á samanstendur af grænum og hvítum kúlum og allar hafa örvar sem vísa frá þeim til jarðar. Sú fyrsta þeirra er merkt „Snefilmagn, hávísir 14, lágvísir 6, C,“ önnur er merkt „1 prósent, hávísir 13, lágvísir 6, C“ og sú síðasta er merkt „99 prósent, hávísir 12, lágvísir 6, C.“ Tvær örvar sem vísa niður og sameinast í eina ör liggja frá kúnni og trénu til jarðar og eru merktar „lífvera deyr“ og „hávísir 14, lágvísir 6, C, sundrun hefst.“ Ör sem vísar til hægri, merkt að ofan með „Sundrun“ og að neðan með „Tími“, liggur frá þessu að merkingunni „hávísir 14, lágvísir 6, C, öfugt skástrik, hávísir 12, lágvísir 6, C, hlutfall lækkað.“ Nálægt toppi trésins er ör sem vísar niður með merkingunni „hávísir 14, lágvísir 6, C, öfugt skástrik, hávísir 12, lágvísir 6, C, hlutfall er stöðugt í lifandi lífverum“ sem liggur að síðustu neðri fullyrðingunni. — **Mynd 21.11.** Plöntur og dýr taka upp geislavirkt kolefni-14 ásamt stöðugu kolefni-12 og hlutfallið helst stöðugt meðan lífveran lifir. Eftir dauða hrörnar C-14 og C-14:C-12-hlutfallið lækkar.

Til dæmis bendir helmingunartími ¹⁴C, 5730 ár, til þess að tréhlutur sé 5730 ára gamall ef ¹⁴C:¹²C-hlutfallið í honum, mælt við fornleifauppgröft, er helmingi minna en í lifandi tré. Hægt er að ákvarða ¹⁴C:¹²C-hlutfallið mjög nákvæmlega úr afar litlum sýnum, allt niður í eitt milligramm, með massagreini.

Dæmi 21.6

Geislakolefnisaldursgreining

Örlítill pappírsbiti úr Dauðahafshandritunum, búinn til úr jurtaleifum sem áður lifðu, hefur virknina 10,8 sundranir á mínútu á hvert gramm kolefnis. Ef upphafleg virkni C-14 var 13,6 sundranir/mín/g C, metið þá aldur Dauðahafshandritanna.

Lausn

Sundrunarhraðinn, fjöldi sundrana á mínútu á hvert gramm kolefnis, er í réttu hlutfalli við magn geislavirks C-14 sem eftir er í pappírnum. Því getum við sett hraðann í stað magnanna, N, í jöfnunni:

t = - \frac{1}{λ} ln (\frac{N_{t}}{N_{0}}) ⟶ t = - \frac{1}{λ} ln (\frac{{hraði}_{t}}{{hraði}_{0}})

þar sem lágvísirinn 0 táknar tímann þegar plönturnar voru skornar til að búa til pappírinn og lágvísirinn t táknar núverandi tíma.

Hægt er að ákvarða hrörnunarfastann út frá helmingunartíma C-14, sem er 5730 ár:

λ = \frac{ln 2}{t_{1 / 2}} = \frac{0,693}{5730 ár} = 1,21 \times 10^{−4} {ár}^{−1}

Með því að setja inn og leysa jöfnuna fáum við:

t = - \frac{1}{λ} ln (\frac{{hraði}_{t}}{{hraði}_{0}}) = - \frac{1}{1,21 \times 10^{−4} {ár}^{−1}} ln (\frac{10,8 sundr./mín/g C}{13,6 sundr./mín/g C}) = 1910 ár

Þess vegna eru Dauðahafshandritin um það bil 1900 ára gömul (mynd 21.12).

Ljósmyndin sýnir sex blaðsíður af pappír með rifnum brúnum sem eru þaktar skrift. — **Mynd 21.12.** Aldursgreining með kolefni-14 hefur sýnt að þessar blaðsíður úr Dauðahafshandritunum voru skrifaðar eða afritaðar á pappír úr plöntum sem dóu milli 100 f.Kr. og 50 e.Kr.

Prófaðu þig

Nákvæmari tímasetningar á valdatíð fornegypskra faraóa hafa nýlega verið ákvarðaðar með því að nota plöntur sem varðveittust í grafhýsum þeirra. Sýni af fræjum og plöntuleifum úr grafhýsi Tútankamons konungs hafa C-14-hrörnunarhraðann 9,07 sundranir/mín/g C. Hversu langt er síðan valdatíð Tútankamons lauk?

Fyrir um 3350 árum, eða um það bil 1340 f.Kr.

Nokkrar verulegar og vel skjalfestar breytingar hafa orðið á ¹⁴C:¹²C-hlutfallinu. Nákvæmni þess að beita þessari aðferð beint byggist á því að ¹⁴C:¹²C-hlutfallið í lifandi plöntu sé það sama nú og það var á fyrri tímum, en það á ekki alltaf við. Vegna aukinnar uppsöfnunar CO₂, aðallega ¹²CO₂, í andrúmsloftinu af völdum bruna jarðefnaeldsneytis, þar sem nánast allt ¹⁴C hefur hrörnað, getur ¹⁴C:¹²C-hlutfallið í andrúmsloftinu breyst. Þessi manngerða aukning á ¹²CO₂ í andrúmsloftinu veldur því að ¹⁴C:¹²C-hlutfallið lækkar, sem hefur aftur áhrif á hlutfallið í núlifandi lífverum á jörðinni. Sem betur fer getum við notað önnur gögn, svo sem aldursgreiningu trjáa út frá árhringjum, til að reikna út leiðréttingarstuðla. Með þessum leiðréttingarstuðlum er hægt að ákvarða nákvæmar dagsetningar. Almennt virkar geislavirk aldursgreining aðeins í um 10 helmingunartíma; þess vegna eru mörkin fyrir aldursgreiningu með kolefni-14 um 57.000 ár.

Geislavirk aldursgreining með öðrum kjarntegundum en kolefni-14

Geislavirk aldursgreining getur einnig nýtt aðrar geislavirkar kjarntegundir með lengri helmingunartíma til að tímasetja eldri atburði. Til dæmis er hægt að nota úran-238, sem hrörnar í nokkrum skrefum yfir í blý-206, til að ákvarða aldur bergs og áætla aldur elsta bergs á jörðinni. Þar sem U-238 hefur helmingunartímann 4,5 milljarða ára tekur það þann tíma fyrir helming upphaflegs U-238 að hrörna í Pb-206. Í bergsýni sem inniheldur ekki umtalsvert magn af Pb-208, algengustu samsætu blýs, getum við gert ráð fyrir að blý hafi ekki verið til staðar þegar bergið myndaðist. Þess vegna getum við ákvarðað aldur bergsins með því að mæla og greina U-238:Pb-206-hlutfallið. Þetta gerir ráð fyrir að allt blý-206 sem er til staðar komi frá hrörnun úrans-238. Ef viðbótar blý-206 er til staðar, sem sést af tilvist annarra blýsamsætna í sýninu, þarf að leiðrétta fyrir því. Aldursgreining með kalíum-argon notar svipaða aðferð. K-40 hrörnar með jáeindageislun og rafeindahremmingu og myndar Ar-40 með helmingunartímann 1,25 milljarða ára. Ef bergsýni er mulið og magn Ar-40 gass sem sleppur er mælt gefur Ar-40:K-40-hlutfallið aldur bergsins. Aðrar aðferðir, svo sem aldursgreining með rúbidíum-strontíum, þar sem Rb-87 hrörnar í Sr-87 með helmingunartímann 48,8 milljarða ára, byggjast á sömu lögmálum. Til að áætla neðri mörk fyrir aldur jarðar ákvarða vísindamenn aldur ýmissa berg- og steindasýna og gera ráð fyrir að jörðin sé eldri en elsta berg og steindir í jarðskorpunni. Frá og með árinu 2014 var elsta þekkta berg á jörðinni Jack Hills-sirkon frá Ástralíu, sem reyndist tæplega 4,4 milljarða ára gamalt samkvæmt aldursgreiningu með úran-blýi.

Dæmi 21.7

Geislavirk aldursgreining bergs

Storkuberg inniheldur $9.58 \times 10^{−5}$ g af U-238 og $2.51 \times 10^{−5}$ g af Pb-206, og miklu minna magn af Pb-208. Ákvarðaðu áætlaðan tíma þegar bergið myndaðist.

Lausn

Bergsýnið inniheldur mjög lítið af Pb-208, algengustu samsætu blýs, þannig að við getum gengið út frá því að allt Pb-206 í berginu hafi orðið til við geislavirka hrörnun U-238. Þegar bergið myndaðist innihélt það allt það U-238 sem nú er í því, auk þess U-238 sem hefur síðan hrörnað.

Magn U-238 sem nú er í berginu er:

9,58 \times 10^{−5} g U \times (\frac{1 mól U}{238 g U}) = 4,03 \times 10^{−7} mól U

Þar sem eitt mól af U-238 myndar eitt mól af Pb-206 við hrörnun er magn þess U-238 sem hefur gengið í gegnum geislavirka hrörnun frá því að bergið myndaðist:

2,51 \times 10^{−5} g Pb \times (\frac{1 mól Pb}{206 g Pb}) \times (\frac{1 mól U}{1 mól Pb}) = 1,22 \times 10^{−7} mól U

Heildarmagn U-238 sem upphaflega var í berginu er því:

4,03 \times 10^{−7} mól + 1,22 \times 10^{−7} mól = 5,25 \times 10^{−7} mól U

Sá tími sem liðinn er frá myndun bergsins er gefinn með:

t = - \frac{1}{λ} ln (\frac{N_{t}}{N_{0}})

þar sem N₀ táknar upphaflegt magn U-238 og N_t táknar núverandi magn U-238.

U-238 hrörnar í Pb-206 með helmingunartímann $4.5 \times 10^{9}$ ár, svo hrörnunarfastinn λ er:

λ = \frac{ln 2}{t_{1 / 2}} = \frac{0,693}{4,5 \times 10^{9} ár} = 1,54 \times 10^{−10} {ár}^{−1}

Með því að setja inn og leysa fáum við:

t = - \frac{1}{1,54 \times 10^{−10} {ár}^{−1}} ln (\frac{4,03 \times 10^{−7} mól U}{5,25 \times 10^{−7} mól U}) = 1,7 \times 10^{9} ár

Því er bergið um það bil 1,7 milljarða ára gamalt.

Prófaðu þig

Bergsýni inniheldur 6,14 $\times ⁠$ 10⁻⁴ g af Rb-87 og 3,51 $\times ⁠$ 10⁻⁵ g af Sr-87. Reiknaðu aldur bergsins. Helmingunartími β-hrörnunar Rb-87 er 4,7 $\times ⁠$ 10¹⁰ ár.

3,7 $\times ⁠$ 10⁹ ár