1010 Vökvar og föst efni

10.6 Grindarbyggingar í kristölluðum föstum efnum

Námsmarkmið

Að loknum þessum kafla munt þú geta:

lýsa uppröðun atóma og jóna í kristalbyggingum
reikna jónaradíusa út frá stærðum einingarsellu
útskýra hvernig mælingar á röntgengeislabeygju eru notaðar til að ákvarða kristalbyggingar

Meira en 90% af náttúrulegum og manngerðum föstum efnum eru kristölluð. Flest föst efni myndast með reglulegri uppröðun agna sinna, því heildaraðdráttarkraftar milli agna hámarkast og heildarorka milli sameinda lágmarkast þegar agnirnar pakkast á sem hagkvæmastan hátt. Þessi reglulega uppröðun á atómstigi endurspeglast oft á stórsæjum mælikvarða. Í þessum kafla skoðum við nánar byggingu málmkristalla og jónakristalla og lærum hvernig þessar byggingar eru ákvarðaðar með tilraunum.

Bygging málma

Við munum hefja umfjöllun okkar um kristölluð föst efni á því að skoða hrein málmfrumefni. Þau eru tiltölulega einföld vegna þess að hvert þeirra inniheldur aðeins eina tegund atóma. Hreinn málmur er kristallað fast efni þar sem málmatómum er pakkað þétt saman í endurteknu mynstri. Sumir eiginleikar málma almennt, svo sem mótanleiki þeirra og seigja, stafa að miklu leyti af því að eins atómum er raðað í reglubundið mynstur. Mismunandi eiginleikar eins málms miðað við annan byggjast að hluta til á stærð atóma þeirra og sérkennum í rýmisröðun þeirra. Við munum kanna líkindi og mun á fjórum algengustu kristalgerðum málma í köflunum sem á eftir koma.

Einingarsellur málma

Byggingu kristallaðs fasts efnis, hvort sem það er málmur eða ekki, er best lýst með því að skoða einföldustu endurteknu einingu þess, sem kallast einingarsella. Einingarsellan samanstendur af grindarpunktum sem tákna staðsetningar atóma eða jóna. Öll byggingin samanstendur síðan af þessari einingarsellu sem endurtekur sig í þrívídd, eins og sýnt er á mynd 10.46.

Skýringarmynd af tveimur myndum er sýnd. Á fyrri myndinni er sýndur teningur með kúlu í hverju horni. Teningurinn er merktur „Einingarsella“ og kúlurnar í hornunum eru merktar „Grindarpunktar“. Seinni myndin sýnir sama tening, en að þessu sinni er hann einn teningur af átta sem mynda stærri tening. Upprunalegi teningurinn er litaður en hinir teningarnir ekki. — **Mynd 10.46.** Einingarsella sýnir staðsetningar grindarpunkta sem endurtaka sig í allar áttir.

Hefjum rannsókn okkar á byggingu kristalgrinda og einingarsellna á einföldustu byggingunni og grunnstæðustu einingarsellunni. Til að sjá þetta fyrir sér má ímynda sér mikinn fjölda eins kúlna, til dæmis tennisbolta, sem raðað er reglulega í ílát. Einfaldasta leiðin væri að búa til lög þar sem kúlurnar í einu lagi eru beint fyrir ofan kúlurnar í laginu fyrir neðan, eins og sýnt er á mynd 10.47. Þessi röðun kallast einföld teningsbygging og einingarsellan kallast einföld teningssella eða frumstæð teningssella.

Skýringarmynd af þremur myndum er sýnd. Á fyrri myndinni er sýndur teningur með kúlu í hverju horni. Hringur er dreginn um kúlurnar í hornunum. Seinni myndin sýnir sama tening, en að þessu sinni eru kúlurnar í hornunum stærri og litaðar. Á þriðju myndinni er teningurinn einn teningur af átta sem mynda stærri tening. Upprunalegi teningurinn er litaður en hinir teningarnir ekki. — **Mynd 10.47.** Þegar málmatómum er raðað þannig að kúlur í einu lagi eru beint fyrir ofan eða neðan kúlur í öðru lagi, kallast grindarbyggingin einfaldur teningur. Athugið að kúlurnar snertast.

Í einfaldri teningsbyggingu er kúlunum ekki pakkað eins þétt og hægt væri og þær fylla aðeins um 52% af rúmmáli ílátsins. Þetta er tiltölulega óskilvirk röðun og aðeins einn málmur (pólón, Po) kristallast í einfaldri teningsbyggingu. Eins og sýnt er á mynd 10.48 samanstendur fast efni með þessa röðun af plönum (eða lögum) þar sem hvert atóm snertir aðeins fjóra næstu granna í sínu lagi, eitt atóm beint fyrir ofan sig í laginu fyrir ofan og eitt atóm beint fyrir neðan sig í laginu fyrir neðan. Fjöldi annarra agna sem hver ögn í kristölluðu föstu efni snertir kallast samhæfingartala hennar. Fyrir pólónatóm í einfaldri teningsröðun er samhæfingartalan því sex.

Skýringarmynd af tveimur myndum er sýnd. Á fyrri myndinni eru sýndir átta staflaðir teningar sem mynda einn stóran tening. Þrjár línur sem liggja ofan frá og niður, framan frá og aftur og til hliðar í miðri byggingunni eru litaðar dekkri en hinar línurnar. Seinni myndin sýnir sama mengi teninga, en að þessu sinni eru kúlur á enda hverrar línu tölusettar; lárétta línan sem liggur frá vinstri til hægri er merkt með „2“ og „5“, lóðrétta línan er merkt með „1“ og „6“ og línan sem liggur lárétt framan frá og aftur er merkt með „3“ og „4“. — **Mynd 10.48.** Atóm í einfaldri teningsgrindarbyggingu snertir sex önnur atóm og hefur því samhæfingartöluna sex.

Í einfaldri teningsgrind er einingarsellan sem endurtekur sig í allar áttir teningur sem afmarkast af miðjum átta atóma, eins og sýnt er á mynd 10.49. Atóm í aðliggjandi hornum þessarar einingarsellu snertast, þannig að kantlengd sellunnar er jöfn tveimur atómgeislum, eða einu atómþvermáli. Teningslaga einingarsella inniheldur aðeins þá hluta þessara atóma sem eru innan hennar. Þar sem atóm í horni einfaldrar teningssellu tilheyrir alls átta einingarsellum er aðeins einn áttundi hluti atómsins innan tiltekinnar einingarsellu. Og þar sem hver einföld teningssella hefur eitt atóm í hverju af átta hornum sínum, er $8 \times \frac{1}{8} = 1$ atóm innan einnar einfaldrar teningssellu.

Skýringarmynd af tveimur myndum er sýnd. Á fyrri myndinni er átta kúlum staflað saman til að mynda tening og punktar í miðju hverrar kúlu eru tengdir saman til að mynda teningslögun. Punktarnir eru merktir „Grindarpunktar“ en merking undir myndinni hljóðar svo: „Einföld teningslaga einingarsella.“ Seinni myndin sýnir þann hluta hverrar kúlu sem liggur innan teningsins. Horn teningsins eru sýnd með litlum hringjum sem merktir eru „Grindarpunktar“ og setningin „8 horn“ er skrifuð undir myndinni. — **Mynd 10.49.** Einföld teningslaga einingarsella inniheldur einn áttunda hluta atóms í hverju af átta hornum sínum, þannig að hún inniheldur eitt atóm í heildina.

Dæmi 10.14

Útreikningur á atómradíus og eðlismassa málma, hluti 1

Kantlengd einingarsellu alfa-pólóníums er 336 pm.

(a) Ákvarðaðu radíus pólóníumatóms.

(b) Ákvarðaðu eðlismassa alfa-pólóníums.

Lausn

Alfa-pólóníum kristallast í einfaldri teningslaga einingarsellu:

A diagram shows a cube with a one eighth portion of eight spheres inside the cube, one section in each corner. Along the bottom right side of the cube are two double ended arrows that each stretch along half of the total distance across the cube. Each arrow is labeled “r.”

(a) Tvö samliggjandi Po-atóm snertast, þannig að kantlengd sellunnar er jöfn tveimur atómradíusum Po: l = 2r. Þess vegna er radíus Po r = l/2 = 336 pm/2 = 168 pm.

(b) Eðlismassi er gefinn með eðlismassi = massi/rúmmál. Finna má eðlismassa pólóníums með því að ákvarða eðlismassa einingarsellu þess, það er massann innan einingarsellunnar deilt með rúmmáli hennar. Þar sem Po-einingarsella inniheldur einn áttunda úr Po-atómi í hverju af átta hornum sínum, inniheldur einingarsellan eitt Po-atóm.

Massa Po-einingarsellu má finna með því að:

1 Po-einingarsella \times \frac{1 Po-atóm}{1 Po-einingarsella} \times \frac{1 mól Po}{6,022 \times 10^{23} Po-atóm} \times \frac{208,998 g}{1 mól Po} = 3,47 \times 10^{−22} g

Rúmmál Po-einingarsellu má finna á eftirfarandi hátt:

V = l^{3} = {(336 \times 10^{−10} cm)}^{3} = 3,79 \times 10^{−23} {cm}^{3}

(Athugið að kantlengdinni var breytt úr pm í cm til að fá hefðbundnar rúmmálseiningar fyrir eðlismassa.)

Þess vegna er eðlismassi Po = $3.471 \times 10^{−22}$ g / $3.79 \times 10^{−23}$ cm³ = 9,16 g/cm³.

Prófaðu þig

Kantlengd einingarsellu nikkels er 0,3524 nm. Eðlismassi Ni er 8,90 g/cm³. Kristallast nikkel í einfaldri teningsbyggingu? Útskýrðu.

Flestir málmkristallar tilheyra einni af fjórum helstu gerðum einingarsella. Að sinni munum við einbeita okkur að þremur teningslaga einingarsellum: einfaldri teningssellu (sem við höfum þegar séð), rúmmiðjaðri teningssellu og flatmiðjaðri teningssellu — sem allar eru sýndar á mynd 10.50. (Athugið að í raun eru til sjö mismunandi grindarkerfi, og sum þeirra hafa fleiri en eina gerð af grind, sem gerir samtals 14 mismunandi gerðir einingarsella. Við geymum flóknari rúmfræði þar til síðar í þessum kafla.)

Þrjú pör af myndum eru sýnd. Fyrstu þrjár myndirnar eru í röð og merktar „Staðsetningar grindarpunkta“ en næstu þrjár myndir eru í röð merktri „Teningslaga einingarsellur.“ Fyrsta myndin í efri röðinni sýnir tening með svörtum punktum í hverju horni, en fyrsta myndin í neðri röðinni samanstendur af átta kúlum sem er raðað saman til að mynda tening, og punktar í miðju hverrar kúlu eru tengdir saman til að mynda teningsform. Nafnið undir þessari mynd er „Einfaldur teningur.“ Önnur myndin í efri röðinni sýnir tening með svörtum punktum í hverju horni og rauðum punkti í miðjunni, en önnur myndin í neðri röðinni samanstendur af átta kúlum sem er raðað saman til að mynda tening með einni kúlu í miðju teningsins, og punktar í miðju hverrar hornkúlu eru tengdir saman til að mynda teningsform. Nafnið undir þessari mynd er „Rúmmiðjaður teningur.“ Þriðja myndin í efri röðinni sýnir tening með svörtum punktum í hverju horni og rauðum punktum í miðju hverrar hliðar, en þriðja myndin í neðri röðinni samanstendur af átta kúlum sem er raðað saman til að mynda tening ásamt sex öðrum kúlum sem eru staðsettar í miðju hverrar hliðar teningsins. Punktar í miðju hverrar hornkúlu eru tengdir saman til að mynda teningsform. Nafnið undir þessari mynd er „Flatmiðjaður teningur.“ — **Mynd 10.50.** Teningslaga einingarsellur málma sýna (á efri myndunum) staðsetningu grindarpunkta og (á neðri myndunum) málmatóm sem eru staðsett í einingarsellunni.

Sumir málmar kristallast í uppröðun sem hefur teningslaga einingarsellu með atómum í öllum hornum og einu atómi í miðjunni, eins og sýnt er á mynd 10.51. Þetta kallast rúmmiðjað teningslaga (BCC) fast efni. Atómin í hornum BCC-einingarsellu snertast ekki innbyrðis heldur snerta þau atómið í miðjunni. Ein BCC-einingarsella inniheldur tvö atóm: einn áttunda hluta atóms í hverju af hornunum átta ( $8 \times \frac{1}{8} = 1$ atóm frá hornunum) að viðbættu einu atómi frá miðjunni. Hvert atóm í þessari byggingu snertir fjögur atóm í laginu fyrir ofan sig og fjögur atóm í laginu fyrir neðan sig. Þannig hefur atóm í BCC-byggingu samhæfingartöluna átta.

Þrjár myndir eru sýndar. Fyrsta myndin sýnir tening með svörtum punktum í hverju horni og rauðum punkti í miðjunni. Önnur myndin samanstendur af átta kúlum sem raðað er saman í tening, með einni kúlu í miðjunni og punktum í miðju hverrar hornkúlu sem tengjast og mynda teningsform. Undir þessari mynd stendur „Rúmmiðjuð teningsbygging.“ Þriðja myndin er eins og sú önnur, en sýnir aðeins þá hluta kúlanna sem eru innan teningsformsins. — **Mynd 10.51.** Í rúmmiðjaðri teningsbyggingu snertast atóm í sama lagi ekki. Hvert atóm snertir fjögur atóm í laginu fyrir ofan og fjögur í laginu fyrir neðan.

Atómum í BCC-röðun er pakkað mun betur saman en í einfaldri teningsbyggingu og fylla þau um 68% af heildarrúmmálinu. Meðal jafnmynda málma með BCC-byggingu við stofuhita eru K, Ba, Cr, Mo, W og Fe. (Frumefni eða efnasambönd sem kristallast í sömu byggingu kallast jafnmynda.)

Margir aðrir málmar, svo sem ál, kopar og blý, kristallast í röðun þar sem teningslaga einingarsellan hefur atóm í öllum hornum og í miðju hverrar hliðar, eins og mynd 10.52 sýnir. Þessi röðun kallast flatmiðjað teningslaga (FCC) fast efni. FCC-einingarsella inniheldur fjögur atóm: einn áttunda hluta atóms í hverju af hornunum átta ( $8 \times \frac{1}{8} = 1$ atóm úr hornunum) og hálft atóm á hverri af hliðunum sex ( $6 \times \frac{1}{2} = 3$ atóm úr hliðunum). Atómin í hornunum snerta atómin í miðju aðliggjandi hliða eftir hornalínum hliðanna á teningnum. Þar sem atómin eru á eins grindarpunktum er umhverfi þeirra nákvæmlega eins.

Þrjár myndir eru sýndar. Fyrsta myndin sýnir tening með svörtum punktum í hverju horni og rauðum punktum í miðju hverrar hliðar teningsins. Önnur myndin samanstendur af átta kúlum sem raðað er saman í tening ásamt sex kúlum til viðbótar, þar sem ein er á hverri hlið byggingarinnar. Punktar í miðju hverrar hornkúlu tengjast og mynda teningsform. Undir þessari mynd stendur „Flatmiðjuð teningsbygging.“ Þriðja myndin er eins og sú önnur, en sýnir aðeins þá hluta kúlanna sem eru innan teningsformsins. — **Mynd 10.52.** Flatmiðjað teningslaga fast efni hefur atóm í hornunum og, eins og nafnið gefur til kynna, í miðju hliðanna á einingarsellum sínum.

Atómum í FCC-röðun er pakkað eins þétt saman og mögulegt er og fylla þau 74% af rúmmálinu. Þessi bygging kallast einnig teningslaga þéttpökkun (CCP). Í CCP eru þrjú endurtekin lög af sexhyrningsröðuðum atómum. Hvert atóm snertir sex atóm í sínu eigin lagi, þrjú í laginu fyrir ofan og þrjú í laginu fyrir neðan. Í þessari röðun snertir hvert atóm 12 nálæga granna og hefur því samhæfingartöluna 12. Það er kannski ekki augljóst við fyrstu sýn að FCC- og CCP-raðanir séu jafngildar, en ástæðan fyrir því að þær eru í raun sama byggingin er sýnd á mynd 10.53.

Þrjár myndir eru sýndar. Á fyrstu myndinni sýnir hliðarmynd lag af bláum kúlum, merkt „C“, sem staflað er ofan á og situr í bilunum á öðru lagi sem samanstendur af grænum kúlum, merkt „B“, sem sitja ofan á fjólubláu lagi af kúlum merktu „A.“ Merking undir þessari mynd er „Hliðarmynd.“ Önnur myndin sýnir sömu lög af kúlum ofan frá, þar sem efsta lagið er „C“, annað lagið er „B“ og neðsta lagið er „C.“ Þessi mynd er merkt „Ofanálitsmynd“ og undir henni stendur „Teningslaga þéttpökkuð bygging.“ Þriðja myndin sýnir efri sýn á hlið tenings sem samanstendur af tveimur settum af endurteknu lögunum sem sýnd eru á hinum myndunum. Lögunum er raðað „C, B, A, C, B, A, C“ og undir þessari mynd stendur „Snúin mynd.“ — **Mynd 10.53.** CCP-röðun samanstendur af þremur endurteknum lögum (ABCABC…) af sexhyrningsröðuðum atómum. Atóm í CCP-byggingu hafa samhæfingartöluna 12 vegna þess að þau snerta sex atóm í sínu lagi, auk þriggja atóma í laginu fyrir ofan og þriggja atóma í laginu fyrir neðan. Með því að snúa sjónarhorninu getum við séð að CCP-bygging hefur einingarsellu þar sem ein hliðin inniheldur atóm úr lagi A í einu horni, atóm úr lagi B þvert yfir hornalínu (í tveimur hornum og í miðju hliðarinnar) og atóm úr lagi C í því horni sem eftir er. Þetta er það sama og flatmiðjuð teningsröðun.

Þar sem þéttari pökkun hámarkar heildaraðdráttarkrafta milli atóma og lágmarkar heildarorku kerfisins pakka atóm í flestum málmum sér á þennan hátt. Við finnum tvær tegundir af þéttpökkun í einföldum málmkristalbyggingum: CCP, sem við höfum þegar kynnst, og sexhyrnda þéttpökkun (HCP) sem sýnd er á mynd 10.54. Báðar samanstanda af endurteknum lögum af sexhyrningsröðuðum atómum. Í báðum tegundum er öðru lagi (B) komið fyrir á fyrsta laginu (A) þannig að hvert atóm í öðru laginu snertir þrjú atóm í fyrsta laginu. Þriðja laginu er komið fyrir á annan tveggja vegu. Í HCP eru atóm í þriðja laginu beint fyrir ofan atóm í fyrsta laginu (þ.e. þriðja lagið er einnig af gerð A) og stöflunin samanstendur af tilskiptum þéttpökkuðum lögum af gerð A og gerð B (þ.e. ABABAB⋯). Í CCP eru atóm í þriðja laginu ekki beint yfir atómum í neinu af fyrstu tveimur lögunum (þ.e. þriðja lagið er af gerð C) og stöflunin samanstendur af tilskiptum þéttpökkuðum lögum af gerð A, gerð B og gerð C (þ.e. ABCABCABC⋯). Um tveir þriðju hlutar allra málma kristallast í þéttpökkuðum röðunum með samhæfingartöluna 12. Málmar sem kristallast í HCP-byggingu eru meðal annars Cd, Co, Li, Mg, Na og Zn, og málmar sem kristallast í CCP-byggingu eru meðal annars Ag, Al, Ca, Cu, Ni, Pb og Pt.

Tvær myndir eru sýndar. Fyrsta myndin, merkt „Sexhyrnd þéttpökkuð“, sýnir sjö grænar kúlur sem raðað er í hringlaga lag sem liggur ofan á öðru lagi sem er eins nema kúlurnar eru fjólubláar. Seinna lagið er aðeins hliðrað þannig að kúlur efsta lagsins liggja í grópunum á seinna laginu. Tvö tilskipt græn og fjólublá lög af kúlum til viðbótar liggja undir fyrsta parinu. Önnur myndin sýnir sjö bláar kúlur, merktar „Lag C“, sem raðað er í hringlaga lag sem liggur ofan á öðru lagi, merktu „Lag B“, sem er eins nema kúlurnar eru grænar. Seinna lagið er aðeins hliðrað þannig að kúlur efsta lagsins liggja í grópunum á seinna laginu. Tvö tilskipt fjólublá og síðan blá lög af kúlum til viðbótar liggja undir fyrsta parinu. Fjólubláa lagið er merkt „Lag A“ og undir þessari mynd stendur „Teningslaga þéttpökkuð.“ — **Mynd 10.54.** Í báðum tegundum þéttpökkunar er atómum pakkað eins þétt og mögulegt er. Sexhyrnd þéttpökkun samanstendur af tveimur tilskiptum lögum (ABABAB…). Teningslaga þéttpökkun samanstendur af þremur tilskiptum lögum (ABCABCABC…).

Dæmi 10.15

Útreikningur á atómradíus og eðlismassa málma, hluti 2

Kalsíum kristallast í flatmiðjaðri teningsgrind. Kantlengd einingarsellu þess er 558,8 pm.

(a) Hver er atómradíus Ca í þessari byggingu?

(b) Reiknaðu eðlismassa Ca.

Lausn

An image of a cube is shown. A one-eighth section of a sphere is shown inside each corner of the cube and a full sphere is shown in the middle of the cube. A line stretched across the front face of the cube from the top left corner to the bottom right corner is labeled “4 r.” The left and bottom sides of the cube are labeled “a.”

(a) Í flatmiðjaðri teningsgrind (FCC) snertast Ca-atóm eftir hornalínu hliðarinnar. Lengd hornalínunnar er því jöfn fjórum atómradíusum Ca (d = 4r). Tveir samliggjandi kantar og hornalína hliðarinnar mynda rétthyrndan þríhyrning, þar sem lengd hvorrar skammhliðar er 558,8 pm og lengd langhliðarinnar er jöfn fjórum atómradíusum Ca:

a^{2} + a^{2} = d^{2} ⟶ {(558,8 pm)}^{2} + {(558,8 pm)}^{2} = {(4 r)}^{2}

Ef þetta er leyst fæst r = sqrt(((558,8 pm)² + (558,8 pm)²) / 16) = 197,6 pm fyrir Ca-geisla.

(b) Eðlismassi er gefinn með eðlismassi = massi/rúmmál. Finna má eðlismassa kalsíums með því að ákvarða eðlismassa einingarsellu þess, til dæmis massann í einni einingarsellu deilt með rúmmáli hennar. Flatmiðjuð Ca-einingarsella hefur einn áttunda úr atómi í hverju af hornunum átta ( $8 \times \frac{1}{8} = 1$ atóm) og hálft atóm á hverri af hliðunum sex ( $6 \times \frac{1}{2} = 3$ atóm), eða samtals fjögur atóm í einingarsellunni.

Massa einingarsellunnar má finna með því að:

1 Ca-einingarsella \times \frac{4 Ca-atóm}{1 Ca-einingarsella} \times \frac{1 mól Ca}{6,022 \times 10^{23} Ca-atóm} \times \frac{40,078 g}{1 mól Ca} = 2,662 \times 10^{−22} g

Rúmmál Ca-einingarsellu má finna með því að:

V = a^{3} = {(558,8 \times 10^{−10} cm)}^{3} = 1,745 \times 10^{−22} {cm}^{3}

(Athugið að kantlengdinni var breytt úr pm í cm til að fá hefðbundnar rúmmálseiningar fyrir eðlismassa.)

Þá er eðlismassi Ca = $2.662 \times 10^{−22}$ g / $1.745 \times 10^{−22}$ cm³ = 1,53 g/cm³.

Prófaðu þig

Silfur kristallast í FCC-byggingu. Kantlengd einingarsellu þess er 409 pm.

(a) Hver er atómgeisli Ag í þessari byggingu?

(b) Reiknaðu eðlismassa Ag.

Almennt skilgreinist einingarsella út frá lengd þriggja ása (a, b og c) og hornunum (α, β og γ) á milli þeirra, eins og sýnt er á mynd 10.55. Ásarnir eru skilgreindir sem lengdirnar milli punkta í rýmisgrindinni. Þar af leiðandi tengja ásar einingarsellu saman punkta með eins umhverfi.

Sýndur er teningur þar sem svartur punktur er teiknaður á hvert horn. Hringur í botni teningsins samanstendur af þremur tvístefnuörvum. Efst til vinstri á þessum hring stendur „alfa“, efst til hægri stendur „beta“ og neðst stendur „gamma“. Neðsta vinstra horn teningsins er merkt „a“, en botn bakhliðarinnar er merktur „b“ og efsta vinstra hornið að aftan er merkt „c“. — **Mynd 10.55.** Einingarsella skilgreinist út frá lengd þriggja ása sinna (a, b og c) og hornunum (α, β og γ) á milli ásanna.

Til eru sjö mismunandi grindarkerfi, og sum þeirra hafa fleiri en eina tegund grindar. Samtals eru því til fjórtán mismunandi einingarsellur, sem hafa þau form sem sýnd eru á mynd 10.56.

Tafla samanstendur af tveimur dálkum og átta röðum. Í hausnum stendur „System / Axes / Horn“ og „Einingarsellur“. Í fyrsta dálki stendur „Tenings-, a er jafnt og b er jafnt og c, alfa er jafnt og beta er jafnt og gamma er jafnt og 90 gráður,“ „Fjórhyrnd, a er jafnt og b er ekki jafnt og c, alfa er jafnt og beta er jafnt og gamma er jafnt og 90 gráður,“ „Tígul-, a er ekki jafnt og b er ekki jafnt og c, alfa er jafnt og beta er jafnt og gamma er jafnt og 90 gráður,“ „Einklínísk, a er ekki jafnt og b er ekki jafnt og c, alfa er jafnt og gamma er jafnt og 90 gráður, beta er ekki jafnt og 90 gráður,“ „Þríklínísk, a er ekki jafnt og b er ekki jafnt og c, alfa er ekki jafnt og beta er ekki jafnt og gamma er ekki jafnt og 90 gráður,“ „Sexhyrnd, a er jafnt og b er ekki jafnt og c, alfa er jafnt og beta er jafnt og 90 gráður, gamma er jafnt og 120 gráður,“ „Tígulflötungs-, a er jafnt og b er jafnt og c, alfa er jafnt og beta er jafnt og gamma er ekki jafnt og 90 gráður.“ Annar dálkurinn samanstendur af skýringarmyndum. Fyrsta myndaröðin í fyrsta reitnum sýnir tening með kúlum á hverju horni merktan „Einfaldur“, tening með kúlum á hverju horni og á hverri hlið merktan „Flatmiðjaður“ og tening með kúlum á hverju horni og einni í miðjunni merktan „Rúmmiðjaður“. Önnur myndaröðin í öðrum reitnum sýnir lóðréttan rétthyrning með kúlum á hverju horni merktan „Einfaldur“ og lóðréttan rétthyrning með kúlum á hverju horni og einni í miðjunni merktan „Rúmmiðjaður“. Þriðja myndaröðin í þriðja reitnum sýnir lóðréttan rétthyrning með kúlum á hverju horni merktan „Einfaldur“, lóðréttan rétthyrning með kúlum á hverju horni og einni í miðjunni merktan „Rúmmiðjaður“, lóðréttan rétthyrning með kúlum á hverju horni og einni á efri og neðri hlið merktan „Grunnmiðjaður“, og lóðréttan rétthyrning með kúlum á hverju horni og einni á hverri hlið merktan „Flatmiðjaður“. Fjórða myndaröðin í fjórða reitnum sýnir lóðréttan rétthyrning með kúlum á hverju horni sem hallar til hliðar merktan „Einfaldur“ og lóðréttan rétthyrning með kúlum á hverju horni sem hallar til hliðar og hefur tvær kúlur í miðjunni merktan „Rúmmiðjaður“. Fimmta myndin í fimmta reitnum sýnir tening sem hallar með kúlum á hverju horni, en sjötta myndin í sjötta reitnum sýnir par af sexhyrndum hringjum sem tengjast saman og mynda sexhliða form með kúlum á hverju horni. Sjöunda myndin í sjöunda reitnum sýnir rétthyrning sem hallar með kúlum á hverju horni. — **Mynd 10.56.** Til eru sjö mismunandi grindarkerfi og 14 mismunandi einingarsellur.

Bygging jónakristalla

Jónakristallar samanstanda af tveimur eða fleiri mismunandi tegundum jóna sem eru venjulega af mismunandi stærð. Pökkun þessara jóna í kristalbyggingu er flóknari en pökkun málmatóma sem eru af sömu stærð.

Flestar einatóma jónir hegða sér eins og hlaðnar kúlur og aðdráttarafl þeirra gagnvart jónum með gagnstæða hleðslu er jafnt í allar áttir. Þar af leiðandi myndast stöðugar byggingar fyrir jónaefni (1) þegar jónir með eina hleðslu eru umkringdar eins mörgum jónum og mögulegt er með gagnstæða hleðslu og (2) þegar katjónir og anjónir snertast. Byggingar ákvarðast af tveimur meginþáttum: hlutfallslegri stærð jónanna og hlutfalli fjölda jákvæðra og neikvæðra jóna í efnasambandinu.

Í einföldum jónabyggingum finnum við venjulega anjónirnar, sem eru að jafnaði stærri en katjónirnar, raðaðar í þéttpakkaða fylkingu. (Eins og áður hefur komið fram gera viðbótarrafeindir sem dragast að sama kjarna anjónir stærri og færri rafeindir sem dragast að sama kjarna gera katjónir minni miðað við atómin sem þær myndast úr.) Minni katjónirnar fylla oftast aðra af tveimur gerðum hola (eða millirýma) sem verða eftir á milli anjónanna. Minni holurnar finnast á milli þriggja anjóna í einum fleti og einnar anjónar í aðliggjandi fleti. Anjónirnar fjórar sem umlykja þessa holu raðast á horn fjórflötungs, þannig að holan kallast fjórflötungshola. Stærri gerð hola finnst í miðju sex anjóna (þriggja í einu lagi og þriggja í aðliggjandi lagi) sem staðsettar eru á hornum áttflötungs; þetta kallast áttflötungshola. Mynd 10.57 sýnir báðar þessar gerðir hola.

Myndin sýnir ofanálit af lagi af bláum kúlum sem raðað er í breiðu sem liggur ofan á annarri breiðu sem er eins, nema hvað kúlurnar eru grænar. Seinni breiðan er aðeins hliðruð þannig að kúlur efri breiðunnar liggja í dældum þeirrar neðri. Þriðja breiðan, sem samanstendur af fjólubláum kúlum, liggur neðst. Rýmin sem myndast á milli kúlanna í hverju lagi eru merkt „Áttflötungsholur“ og „Fjórflötungsholur“. — **Mynd 10.57.** Katjónir geta fyllt tvær gerðir hola á milli anjóna: áttflötungsholur eða fjórflötungsholur.

Eftir því hver hlutfallsleg stærð katjóna og anjóna er, geta katjónir jónaefnis fyllt fjórflötungs- eða áttflötungsholur, eins og sýnt er á mynd 10.58. Tiltölulega litlar katjónir fylla fjórflötungsholur og stærri katjónir fylla áttflötungsholur. Ef katjónirnar eru of stórar til að passa í áttflötungsholurnar geta anjónirnar tekið upp opnari byggingu, eins og einfalda teningsfylkingu. Stærri katjónirnar geta þá fyllt stærri teningsholurnar sem opnara millibilið gerir mögulegar.

Skýringarmynd af þremur myndum er sýnd. Á fyrstu myndinni eru sýndir átta staflaðir teningar, með fjólubláum kúlum á hverju horni, sem mynda einn stóran tening. Neðsti vinstri teningurinn er öðruvísi. Hann hefur grænar kúlur á hverju horni og fjórar appelsínugular og sex ljósfjólubláar kúlur staðsettar á hliðum teningsins. Merkingar neðan við þessa byggingu segja „Fjórflötungshola“ og „Geisli katjónar er um 22,5 til 41,4 prósent af geisla anjónar“. Á annarri myndinni mynda átta staflaðir teningar, með appelsínugulum og grænum kúlum til skiptis á hverju horni, einn stóran tening sem er sýndur. Neðsti vinstri teningurinn hefur dekkri línur sem tengja kúlurnar saman. Merkingar neðan við þessa byggingu segja „Áttflötungshola“ og „Geisli katjónar er um 41,4 til 73,2 prósent af geisla anjónar“. Á þriðju myndinni mynda átta staflaðir teningar, með fjólubláum kúlum á hverju horni og ljósfjólubláum kúlum á innri hliðum þeirra, einn stóran tening sem er sýndur. Merkingar neðan við þessa byggingu segja „Teningshola“ og „Geisli katjónar er um 73,2 til 100 prósent af geisla anjónar.“ — **Mynd 10.58.** Stærð katjónar og lögun holunnar sem efnasambandið fyllir tengjast beint.

Það eru tvær fjórflötungsholur fyrir hverja anjón í annaðhvort HCP- eða CCP-fylkingu anjóna. Efnasamband sem kristallast í þéttpakkaðri fylkingu anjóna með katjónir í fjórflötungsholunum getur haft hámarkshlutfall katjóna og anjóna sem nemur 2:1; allar fjórflötungsholurnar eru fylltar við þetta hlutfall. Dæmi um þetta eru Li₂O, Na₂O, Li₂S og Na₂S. Efnasambönd með hlutfall sem er minna en 2:1 geta einnig kristallast í þéttpakkaðri fylkingu anjóna með katjónir í fjórflötungsholunum, ef stærðir jónanna passa. Í þessum efnasamböndum standa sumar fjórflötungsholurnar þó auðar.

Dæmi 10.16

Fylling fjórflötungshola

Sinksúlfíð er mikilvæg uppspretta sinks í iðnaði og nýtist einnig sem hvítt litarefni í málningu. Sinksúlfíð kristallast þannig að sinkjónir fylla helming fjórflötungshola í þéttpakkaðri grind súlfíðjóna. Hver er formúla sinksúlfíðs?

Lausn

Þar sem tvær fjórflötungsholur eru fyrir hverja anjón (súlfíðjón) og sinkjónir fylla helming þessara hola, hlýtur að vera $\frac{1}{2} \times 2 = 1$ sinkjón fyrir hverja súlfíðjón. Því er formúlan ZnS.

Prófaðu þig

Lýsa má litíumseleníði sem þéttpakkaðri grind seleníðjóna þar sem litíumjónir fylla allar fjórflötungsholurnar. Hver er formúla litíumseleníðs?

Hlutfall áttflötungshola og anjóna í annaðhvort HCP- eða CCP-byggingu er 1:1. Því geta efnasambönd með katjónir í áttflötungsholum í þéttpakkaðri grind anjóna haft hámarkshlutfallið 1:1 milli katjóna og anjóna. Í til dæmis NiO, MnS, NaCl og KH eru allar áttflötungsholurnar fylltar. Hlutfall sem er lægra en 1:1 sést þegar sumar áttflötungsholurnar eru tómar.

Dæmi 10.17

Hlutfallafræði jónasambanda

Safír er áloxíð. Áloxíð kristallast þannig að áljónir eru í tveimur þriðju hlutum áttflötungsholanna í þéttpakkaðri grind oxíðjóna. Hver er formúla áloxíðs?

Lausn

Þar sem það er ein áttflötungshola fyrir hverja anjón (oxíðjón) og aðeins tveir þriðju hlutar þessara hola eru fylltir, hlýtur hlutfall áls og súrefnis að vera 2/3:1, sem gæfi Al₂/3O. Einfaldasta heiltöluhlutfallið er 2:3, þannig að formúlan er Al₂O₃.

Prófaðu þig

Hvíta litarefnið títanoxíð kristallast þannig að títanjónir eru í helmingi áttflötungsholanna í þéttpakkaðri grind oxíðjóna. Hver er formúla títanoxíðs?

Í einfaldri teningslaga grind anjóna er ein teningshola sem katjón getur setið í fyrir hverja anjón í grindinni. Í CsCl, og í öðrum efnasamböndum með sömu byggingu, eru allar teningsholurnar fylltar. Helmingur teningsholanna er fylltur í SrH₂, UO₂, SrCl₂ og CaF₂.

Mismunandi gerðir jónaefna kristallast oft í sömu byggingu þegar hlutfallslegar stærðir jóna þeirra og efnamagnshlutföll (þeir tveir meginþættir sem ákvarða byggingu) eru svipuð.

Einingarsellur jónaefna

Mörg jónaefni kristallast í teningslaga einingarsellum og við munum nota þessi efni til að lýsa almennum einkennum jónabygginga.

Þegar jónaefni samanstendur af katjónum og anjónum af svipaðri stærð í hlutfallinu 1:1 myndar það venjulega einfalda teningsbyggingu. Sesíumklóríð, CsCl (sýnt á mynd 10.59), er dæmi um þetta, þar sem Cs⁺ og Cl⁻ hafa geislana 174 pm og 181 pm, í þessari röð. Við getum hugsað okkur þetta þannig að klóríðjónir mynda einfalda teningslaga einingarsellu með sesíumjón í miðjunni, eða að sesíumjónir mynda einingarsellu með klóríðjón í miðjunni, eða sem einfaldar teningslaga einingarsellur myndaðar af Cs⁺-jónum sem skarast við einingarsellur myndaðar af Cl⁻-jónum. Sesíumjónir og klóríðjónir snertast eftir rýmishornalínum einingarsellnanna. Ein sesíumjón og ein klóríðjón eru í hverri einingarsellu, sem gefur efnamagnshlutfallið 1:1 sem formúlan fyrir sesíumklóríð krefst. Athugið að enginn grindarpunktur er í miðju sellunnar og CsCl er ekki BCC-bygging vegna þess að sesíumjón er ekki eins og klóríðjón.

Þrjár myndir eru sýndar. Fyrsta myndin sýnir tening með svörtum punktum í hverju horni og rauðum punkti í miðjunni. Þessum teningi er staflað með sjö öðrum ólituðum teningum til að mynda stærri tening. Önnur myndin samanstendur af átta kúlum sem er raðað saman til að mynda tening með einni minni kúlu í miðjunni. Heitið undir þessari mynd er „einföld teningsbygging“. Þriðja myndin sýnir fimm lárétt lög af fjólubláum kúlum með lögum af minni grænum kúlum á milli. — **Mynd 10.59.** Jónaefni með katjónir og anjónir af svipaðri stærð, eins og CsCl, mynda venjulega einfalda teningsbyggingu. Hægt er að lýsa þeim með einingarsellum sem hafa annaðhvort katjónir eða anjónir í hornunum.

Við höfum nefnt að staðsetning grindarpunkta er að vissu marki valkvæð. Þetta sést á annarri lýsingu á byggingu CsCl þar sem grindarpunktarnir eru staðsettir í miðju sesíumjónanna. Í þessari lýsingu eru sesíumjónirnar staðsettar á grindarpunktunum í hornum sellunnar og klóríðjónin er staðsett í miðju sellunnar. Einingarsellurnar tvær eru ólíkar en þær lýsa nákvæmlega sömu byggingu.

Þegar jónaefni samanstendur af katjónum og anjónum í hlutfallinu 1:1 sem eru mjög ólíkar að stærð, kristallast það venjulega í FCC-einingarsellu, líkt og sýnt er á mynd 10.60. Natríumklóríð, NaCl, er dæmi um þetta, þar sem Na⁺ og Cl⁻ hafa geislana 102 pm og 181 pm, í þessari röð. Við getum hugsað okkur þetta þannig að klóríðjónir mynda FCC-sellu, þar sem natríumjónir eru staðsettar í áttflötungsholunum á miðjum brúnum sellunnar og í miðju hennar. Natríum- og klóríðjónirnar snertast eftir brúnum sellunnar. Einingarsellan inniheldur fjórar natríumjónir og fjórar klóríðjónir, sem gefur efnamagnshlutfallið 1:1 sem formúlan NaCl krefst.

Teningslaga form sinksúlfíðs, sinkblendis, kristallast einnig í FCC-einingarsellu, eins og sýnt er á mynd 10.61. Þessi bygging inniheldur súlfíðjónir á grindarpunktum FCC-grindar. (Röðun súlfíðjóna er nákvæmlega eins og röðun klóríðjóna í natríumklóríði.) Geisli sinkjónar er aðeins um 40% af geisla súlfíðjónar, þannig að þessar litlu Zn²⁺-jónir eru í fjórflötungsholum á víxl, það er í helmingi fjórflötungsholanna. Í einingarsellunni eru fjórar sinkjónir og fjórar súlfíðjónir, sem gefur reynsluformúluna ZnS.

Tvær myndir eru sýndar. Fyrsta myndin sýnir tening með svörtum punktum í hverju horni og rauðum punkti í miðju hverrar hliðar teningsins. Þessum teningi er staflað með sjö öðrum ólituðum teningum til að mynda stærri tening. Önnur myndin samanstendur af átta kúlum sem mynda horn tenings með sex öðrum kúlum staðsettum á hliðum teningsins. Kúlurnar eru tengdar hver annarri með línum. Heitið undir þessari mynd er „Z n S, flatmiðjuð einingarsella.“ — **Mynd 10.61.** ZnS, sinksúlfíð (eða sinkblendi) myndar FCC-einingarsellu með súlfíðjónum á grindarpunktunum og mun minni sinkjónum sem fylla helming fjórflötungsholanna í byggingunni.

Einingarsella kalsíumflúoríðs, líkt og sú sem sýnd er á mynd 10.62, er einnig FCC-einingarsella, en í þessu tilviki eru katjónirnar á grindarpunktunum; jafngildar kalsíumjónir eru á grindarpunktum FCC-grindar. Flúoríðjónir fylla allar fjórflötungsholurnar í FCC-fylki kalsíumjóna. Í einingarsellunni eru fjórar kalsíumjónir og átta flúoríðjónir, sem gefur hlutfallið 1:2 milli kalsíums og flúors, eins og efnaformúlan CaF₂ krefst. Nákvæm skoðun á mynd 10.62 sýnir einfalt teningslaga fylki flúoríðjóna þar sem kalsíumjónir eru í helmingi teningshola. Ekki er hægt að lýsa byggingunni út frá rúmgrind punkta á flúoríðjónunum, því umhverfi flúoríðjónanna er ekki alltaf eins. Afstaða kalsíumjónanna fjögurra gagnvart flúoríðjónunum er breytileg.

Tvær myndir eru sýndar. Fyrri myndin sýnir tening með svörtum punktum í hverju horni og rauðum punkti í miðju hverrar hliðar teningsins. Þessum teningi er staflað með sjö öðrum ólituðum teningum til að mynda stærri tening. Seinni myndin samanstendur af átta litlum grænum kúlum sem mynda horn tenings ásamt sex öðrum litlum grænum kúlum sem eru staðsettar á hliðum teningsins. Átta stærri grænum kúlum er dreift inni í teningnum og allar kúlurnar eru tengdar hver annarri með línum. Heitið undir þessari mynd er „C a F, lágvísir 2, flatmiðjuð einingarsella.“ — **Mynd 10.62.** Kalsíumflúoríð, CaF₂, myndar FCC-einingarsellu þar sem kalsíumjónir (grænar) eru á grindarpunktunum og flúoríðjónir (rauðar) fylla öll fjórflötungsholurnar á milli þeirra.

Útreikningur á jónageislum

Ef við þekkjum kantlengd einingarsellu í jónaefni og staðsetningu jónanna í sellunni getum við reiknað út jónageisla fyrir jónirnar í efnasambandinu, að því gefnu að við gefum okkur forsendur um lögun og snertingu einstakra jóna.

Dæmi 10.18

Útreikningur á jónageislum

Kantlengd einingarsellu LiCl (bygging lík NaCl, FCC) er 0,514 nm eða 5,14 Å. Ef gert er ráð fyrir að litíumjónin sé nógu lítil til að klóríðjónirnar snertist, eins og á mynd 10.60, skal reikna jónageisla klóríðjónarinnar.

Athugið: Lengdareiningin ångström, Å, er oft notuð til að tákna stærðir á atómkvarða og jafngildir 10⁻¹⁰ m.

Lausn

Á hlið LiCl-einingarsellu snertast klóríðjónir þvert yfir hornalínu hennar:

Three images are shown. The first shows a cube of alternating green and purple spheres. A smaller cube within that cube is outlined and a larger version of it appears next. This figure is a grey cube that appears to be made up of spheres. There are small spaces between each sphere. There is a right triangle outlined in this cube and a larger version of it appears next. This right triangle has two sides labeled “a,” and the hypotenuse, which spans two half-circles and one full one is labeled, “r, 2 r, and r.”

Ef við teiknum rétthyrndan þríhyrning á hlið einingarsellunnar sjáum við að lengd hornalínunnar er jöfn fjórum klóríðgeislum (einn geisli frá hverri klóríðjón í hornunum og eitt þvermál, sem jafngildir tveimur geislum, frá klóríðjóninni í miðju hliðarinnar), þannig að d = 4r. Samkvæmt reglu Pýþagórasar fáum við:

a^{2} + a^{2} = d^{2}

sem gefur:

{(0,514 nm)}^{2} + {(0,514 nm)}^{2} = {(4 r)}^{2} = 16 r^{2}

Ef leyst er úr þessu fæst:

r = \sqrt{\frac{{(0,514 nm)}^{2} + {(0,514 nm)}^{2}}{16}} = 0,182 nm (1,82 Å) {fyrir Cl}^{−} geisla .

Prófaðu þig

Kantlengd einingarsellu KCl (NaCl-lík bygging, FCC) er 6,28 Å. Gerum ráð fyrir snertingu anjónar og katjónar eftir sellukantinum og reiknaðu út geisla kalíumjónarinnar. Geisli klóríðjónarinnar er 1,82 Å.

Mikilvægt er að átta sig á því að gildi fyrir jónageisla, sem reiknuð eru út frá kantlengdum einingarsella, byggjast á fjölmörgum forsendum, svo sem fullkominni kúlulögun jóna, sem eru í besta falli nálganir. Þess vegna eru slík reiknuð gildi sjálf nálganir og ekki er hægt að ganga of langt í samanburði. Engu að síður hefur þessi aðferð reynst gagnleg til að reikna út jónageisla út frá tilraunamælingum, til dæmis ákvörðunum með röntgenkristallafræði.

Röntgenkristallafræði

Stærð einingarsellunnar og uppröðun atóma í kristal má ákvarða með mælingum á beygju röntgengeisla í kristalnum, sem kallast röntgenkristallafræði. Beygja er sú breyting á ferðastefnu sem rafsegulbylgja verður fyrir þegar hún mætir efnislegri hindrun sem hefur stærðir sem eru sambærilegar við bylgjulengd ljóssins. Röntgengeislar eru rafsegulgeislun með bylgjulengdir sem eru um það bil jafn langar og fjarlægðin milli nálægra atóma í kristöllum (af stærðargráðunni nokkur Å).

Þegar geisli af einlitum röntgengeislum skellur á kristal dreifast geislarnir í allar áttir af völdum atómanna innan kristalsins. Þegar dreifðar bylgjur sem ferðast í sömu átt mætast verður samliðun, ferli þar sem bylgjurnar sameinast og leiða annaðhvort til aukningar eða minnkunar á útslagi (styrk), eftir því hversu langt er á milli hágilda bylgjanna sem sameinast (sjá mynd 10.63).

Sýnd er myndapörun sem hefur fjóra hluta. Í fyrsta hlutanum eru sýndar tvær sínusbylgjur, önnur teiknuð ofan við hina, og hluti frá toppi eins ferils til topps næsta ferils er merktur „lambda“. Ferlarnir skarast nákvæmlega. Undir þessu stendur „Uppbyggileg samliðun“. Ör sem vísar til hægri liggur frá fyrsta hlutanum til þess annars, sem sýnir eina stærri sínusbylgju með hærri og lægri toppum og dölum. Hluti frá toppi eins ferils til topps næsta ferils er merktur „lambda“ og undir þessu stendur „Hágildi og lággildi styrkja hvort annað“. Í öðrum hlutanum eru sýndar tvær sínusbylgjur, önnur teiknuð ofan við hina, og hluti frá toppi eins ferils til topps næsta ferils er merktur „lambda“. Ferlarnir skarast ekki. Undir þessu stendur „Eyðandi samliðun“. Ör sem vísar til hægri liggur frá fyrsta hlutanum til þess annars, sem sýnir eina flata línu. Undir þessu stendur „Hágildi og lággildi eyða hvort öðru“. — **Mynd 10.63.** Ljósbylgjur sem taka sama rými verða fyrir samliðun og sameinast þannig að þær mynda bylgjur með meiri (a) eða minni (b) styrk, allt eftir því hversu langt er á milli hágilda þeirra og lággilda.

Þegar röntgengeislum með ákveðna bylgjulengd, λ, er dreift af atómum í aðliggjandi kristalflötum sem eru aðskildir með fjarlægðinni d, geta þeir orðið fyrir uppbyggilegri samliðun ef munurinn á vegalengdinni sem bylgjurnar tvær ferðast áður en þær sameinast er heiltölumargfeldi, n, af bylgjulengdinni. Þessu skilyrði er fullnægt þegar horn beygða geislans, θ, tengist bylgjulengdinni og fjarlægðinni milli atómanna samkvæmt jöfnunni:

n = 2 dsin

Þetta samband kallast Bragg-jafnan til heiðurs W. H. Bragg, enska eðlisfræðingnum sem útskýrði þetta fyrirbæri fyrstur manna. Mynd 10.64 sýnir tvö dæmi um beygðar bylgjur frá sömu tveimur kristalflötunum. Efri myndin sýnir bylgjur sem beygjast við Bragg-hornið og valda uppbyggilegri samliðun, en sú neðri sýnir beygju við annað horn sem uppfyllir ekki Bragg-skilyrðið og veldur eyðandi samliðun.

Sýndar eru tvær svipaðar myndir. Fyrri myndin, merkt „Uppbyggileg samliðun“, sýnir tvær láréttar raðir af sjö svörtum punktum með línu sem liggur í gegnum þá. Fjórðu punktarnir í hvorri röð eru tengdir með lóðréttri línu. Fjarlægðin milli þessara raða er merkt „d“. Geisli merktur „Aðfallandi geisli“ stefnir niður á við undir horni sem er merkt „theta“ þar til hann hittir línuna sem tengir fjórðu punktana, en eftir það stefnir beygður geisli upp á við undir sama horni „theta“. Punktalína er dregin þvert yfir beygða geislann. Seinni myndin, merkt „Eyðandi samliðun“, er mjög svipuð, nema hvað hornin „theta“ eru mun hvassari, sem gerir halla geislanna mun minni. — **Mynd 10.64.** Beygja röntgengeisla sem dreifast af atómum í kristal gerir kleift að ákvarða fjarlægðina milli atómanna. Efri myndin sýnir uppbyggilega samliðun tveggja dreifðra bylgna og beygða bylgju með miklum styrk sem af því hlýst. Neðri myndin sýnir eyðandi samliðun og beygða bylgju með litlum styrk.

Nota má röntgengeislabeygjumæli, eins og þann sem sýndur er á mynd 10.65, til að mæla hornin sem röntgengeislar beygjast við þegar þeir víxlverka við kristal, eins og lýst var áðan. Út frá slíkum mælingum má nota Bragg-jöfnuna til að reikna út fjarlægðir milli atóma, eins og sýnt er í eftirfarandi sýnidæmi.

Skýringarmynd, merkt „a“, sýnir tening vinstra megin með rás boraða í hægri hlið hans, merkt „Röntgengeislagjafi“. Geisli kemur út úr þessari rás og ferðast í láréttri línu að sporöskjulaga, stuttu röri, merktu „Samsíðari til að fókusa geisla“ og „Röntgengeislabeygja“, þar sem hann fer í gegnum tening merktan „Kristallað efni“ og dreifist á lóðréttan flöt merktan „Myndflötur“. Önnur skýringarmynd, merkt „b“, sýnir ferningslaga flöt með stórum punkti í miðjunni merktum „Röntgengeisli“, sem er umkringdur smærri punktum sem raðað er í hringi og merktir „Beygðir röntgengeislar“. — **Mynd 10.65.** (a) Í beygjumæli skellur röntgengeisli á kristölluðu efni og myndar (b) röntgenbeygjumynstur sem hægt er að greina til að ákvarða kristalbygginguna.

Dæmi 10.19

Notkun Bragg-jöfnunnar

Í beygjumæli voru röntgengeislar með bylgjulengdina 0,1315 nm notaðir til að framkalla beygjumynstur fyrir kopar. Fyrsta stigs beygja (n = 1) átti sér stað við hornið θ = 25,25°. Ákvarðaðu bilið milli beygjuplananna í kopar.

Lausn

Fjarlægðin milli plananna er fundin með því að leysa Bragg-jöfnuna, nλ = 2d sin θ, fyrir d.

Þetta gefur: d = nλ / (2 sin θ) = 1(0,1315 nm) / (2 sin(25,25°)) = 0,154 nm.

Prófaðu þig

Kristall með bil milli plana sem er jafnt og 0,394 nm beygir röntgengeisla með bylgjulengdina 0,147 nm. Hvert er hornið fyrir fyrsta stigs beygju?

Svipmynd af efnafræðingi

Röntgenkristallafræðingurinn Rosalind Franklin

Uppgötvun Francis Crick og James Watson á byggingu DNA árið 1953 er eitt af stóru afrekum vísindasögunnar. Þeir hlutu Nóbelsverðlaunin í lífeðlisfræði eða læknisfræði árið 1962 ásamt Maurice Wilkins, sem útvegaði tilraunastaðfestingu á byggingu DNA. Breski efnafræðingurinn Rosalind Franklin lagði ómetanlegt af mörkum til þessa afreks með mælingum sínum á röntgengeislabeygjumyndum af DNA. Snemma á starfsferli sínum reyndust rannsóknir Franklin á byggingu kola gagnlegar fyrir stríðsrekstur Breta. Eftir að Franklin færði áherslur sínar yfir á líffræðileg kerfi í byrjun sjötta áratugarins uppgötvuðu hún og Raymond Gosling, doktorsnemi hennar, að DNA er til í tvennu formi: löngum, mjóum þræði sem myndast við raka („B“-gerð) og stuttum, breiðum þræði sem myndast við þurrkun („A“-gerð). Röntgengeislabeygjumyndir hennar af DNA (mynd 10.66) veittu lykilupplýsingar sem gerðu Watson og Crick kleift að staðfesta að DNA myndar tvöfaldan gorm og að ákvarða nánari atriði um stærð þess og byggingu. Franklin stundaði einnig brautryðjandarannsóknir á veirum og RNA-erfðaefninu sem þær geyma og leiddi þannig fram nýja vitneskju sem umbylti þekkingu á þessu sviði. Eftir að Franklin greindist með krabbamein í eggjastokkum hélt hún áfram störfum sínum þar til hún lést árið 1958, þá 37 ára. Meðal margra heiðursviðurkenninga eftir andlát hennar má nefna að árið 2004 breytti Chicago Medical School of Finch University of Health Sciences nafni sínu í Rosalind Franklin University of Medicine and Science og tók upp eina af frægu röntgengeislabeygjumyndum hennar af DNA sem opinbert kennimerki háskólans.

Mynd 10.66. Þessi mynd sýnir röntgenbeygjumynd svipaða þeirri sem Franklin fékk í rannsóknum sínum. (mynd: National Institutes of Health)