1.6 Stærðfræðileg meðhöndlun mæliniðurstaðna

1.6 Stærðfræðileg meðhöndlun mæliniðurstaðna

Oft er ekki auðvelt (eða jafnvel mögulegt) að mæla tiltekna stærð beint. Þess í stað þarf að reikna hana út frá öðrum eiginleikum sem mældir eru beint og viðeigandi stærðfræðilegum venslum. Tökum sem dæmi mælingu á meðalhraða spretthlaupara. Þetta er venjulega gert með því að mæla þann tíma sem það tekur hlauparann að hlaupa frá ráslínu að endamarki, auk fjarlægðarinnar milli þessara tveggja lína. Síðan er hraðinn reiknaður út frá jöfnunni sem tengir þessa þrjá eiginleika saman:

Spretthlaupari á ólympíustigi getur hlaupið 100 m á um það bil 10 s, sem samsvarar meðalhraðanum

(Fyrir þennan og næsta útreikning skal gera ráð fyrir að núllin aftast séu marktækir tölustafir.) Athugið að þessi einfaldi útreikningur felur í sér að deila tölugildum hverrar mældrar stærðar til að fá tölugildi útreiknuðu stærðarinnar (100/10 = 10). Á sama hátt er mælieiningum hverrar mældrar stærðar deilt til að fá mælieiningu útreiknuðu stærðarinnar (m/s = m/s). Hugsum okkur nú að nota sömu vensl til að spá fyrir um þann tíma sem það tekur mann sem hleypur á þessum hraða að fara 25 m. Sömu vensl milli eiginleikanna þriggja eru notuð, en í þessu tilviki eru stærðirnar tvær sem gefnar eru hraði (10 m/s) og vegalengd (25 m). Til að finna eiginleikann sem leitað er að, það er tímann, þarf að umraða jöfnunni á viðeigandi hátt:

Þá er hægt að reikna tímann sem hér segir:

Aftur var reikniaðgerðum á tölunum (25/10 = 2,5) fylgt eftir með sömu reikniaðgerðum á einingunum (m/(m/s) = s) til að fá fram bæði tölu og einingu niðurstöðunnar, 2,5 s. Taktu eftir að rétt eins og gildir um tölur, þegar einingu er deilt með nákvæmlega sömu einingu (í þessu tilviki m/m), er niðurstaðan „1“ — eða eins og oft er sagt, einingarnar „styttast út“.

Þessir útreikningar eru dæmi um fjölhæfa stærðfræðilega nálgun sem kallast víddagreining (eða stuðlaaðferðin). Víddagreining byggist á þessari forsendu: einingar stærða verða að gangast undir sömu stærðfræðilegu aðgerðir og tölurnar sem þeim fylgja. Þessari aðferð má beita á útreikninga allt frá einföldum einingabreytingum til flóknari, margra skrefa útreikninga sem fela í sér nokkrar mismunandi stærðir.

Umreiknistuðlar og víddagreining

Hlutfall tveggja jafngildra stærða sem settar eru fram með mismunandi mælieiningum getur nýst sem umreiknistuðull. Til dæmis eru lengdirnar 100 cm og 1 metri jafngildar (samkvæmt skilgreiningu) og því má leiða umreiknistuðul út frá hlutfallinu,

Þegar stærð (eins og fjarlægð í metrum) er margfölduð með viðeigandi umreiknistuðli breytist stærðin í jafngilt gildi með öðrum einingum (eins og fjarlægð í sentimetrum). Til dæmis má breyta 0,86 metra háu lóðréttu stökki körfuboltamanns í sentimetra með því að:

Þar sem þessi einfaldi útreikningur felur í sér stærðir krefst forsenda víddagreiningar þess að við margföldum bæði tölur og einingar. Tölur þessara tveggja stærða eru margfaldaðar til að gefa tölugildi margfeldisins, 86, en einingarnar eru margfaldaðar til að gefa (m $\times$ cm)/m. Eins og gildir um tölur er hlutfall sömu eininga einnig tölulega jafnt og einn, m/m = 1, og einingamargfeldið einfaldast því í cm. (Þegar sömu einingar deilast og gefa stuðulinn 1 er sagt að þær „styttist út“.) Nota má víddagreiningu til að staðfesta rétta notkun umreiknistuðla eins og sýnt er í eftirfarandi sýnidæmi.

Auk einfaldra einingabreytinga má nota stuðlaaðferðina til að leysa flóknari dæmi sem krefjast útreikninga. Óháð smáatriðum er grunnaðferðin sú sama: öllum stuðlunum í útreikningnum verður að raða rétt upp til að tryggja að einingar þeirra styttist út og/eða sameinist á réttan hátt til að gefa æskilega einingu í niðurstöðunni. Eftir því sem efnafræðináminu vindur fram muntu fá mörg tækifæri til að beita þessari aðferð.

Umbreyting hitastigseininga

Við notum orðið hitastig til að vísa til þess hversu heitt eða kalt efni er. Ein leið til að mæla hitabreytingar byggist á því að flest efni þenjast út þegar hitastig þeirra hækkar en dragast saman þegar það lækkar. Vökvinn í venjulegum glerhitamæli breytir um rúmmál eftir því sem hitastigið breytist. Því má nota stöðu vökvayfirborðsins á prentuðum kvarða sem mælikvarða á hitastig.

Hitakvarðar eru skilgreindir út frá völdum viðmiðunarhitastigum. Tvö algeng viðmið eru frostmark og suðumark vatns við tiltekinn loftþrýsting. Á Celsíuskvarða skilgreinist 0 °C sem frostmark vatns og 100 °C sem suðumark þess. Bilinu milli þessara tveggja hitastiga er skipt í 100 jöfn bil sem kallast gráður. Á Kelvinkvarða frýs vatn við 273,15 K og sýður við 373,15 K. Hitamunurinn milli frostmarks og suðumarks er því 100 K, jafnstór og 100 °C hitamunur.

Flestar mælieiningar fyrir tiltekinn eiginleika eru í beinu hlutfalli hvor við aðra (y = mx). Tökum kunnuglegar lengdareiningar sem dæmi:

þar sem y er lengd í sentímetrum, x er lengd í metrum og hlutfallsfastinn m er umreiknistuðullinn 100 cm/m. Celsíus- og Kelvinkvarðarnir hafa jafnstór hitabil en ekki sameiginlegan núllpunkt. Sambandið er því línulegt en ekki hlutfallslegt (y = mx + b), þar sem m = 1 og b lýsir muninum á núllpunktum kvarðanna.

Línulegu jöfnuna sem tengir saman Celsíus- og Kelvinhitastig má leiða út frá frostmarki og suðumarki vatns. Ef Celsíushitastigið er táknað með x og Kelvinhitastigið með y reiknast hallatalan m þannig:

Skurðpunktur jöfnunnar við y-ás, b, er síðan reiknaður með því að nota annaðhvort hitastigsparið (100 °C, 373,15 K) eða hitastigsparið (0 °C, 273,15 K), svona:

Stytt form þessarar jöfnu, þar sem mælieiningum er sleppt, er:

Með því að umraða þessari jöfnu fæst form sem nýtist til að umreikna úr kelvinum í Celsíusgráður:

Eins og fram kom fyrr í þessum kafla er SI-mælieining hitastigs kelvin (K). Ólíkt Celsíuskvarðanum er Kelvinkvarðinn alkvarði fyrir hitastig þar sem 0 (núll) K svarar til lægsta hitastigs sem fræðilega er hægt að ná. Þar sem Kelvin-hitakvarðinn er alkvarði er gráðutákn ekki notað í einingaskammstöfuninni K. Snemma á 19. öld leiddi uppgötvun á sambandi rúmmáls og hitastigs lofttegundar til þeirrar ályktunar að rúmmál lofttegundar yrði núll við −273,15 °C. Árið 1848 setti breski eðlisfræðingurinn William Thompson, sem síðar fékk titilinn Kelvin lávarður, fram alkvarða fyrir hitastig sem byggðist á þessari hugmynd (nánari umfjöllun um þetta efni er að finna í kafla þessarar bókar um lofttegundir).

Frostmark vatns á þessum kvarða er 273,15 K og suðumark þess er 373,15 K. Takið eftir að tölulegur munur á þessum tveimur viðmiðunarhitastigum er 100, sem er sá sami og á Celsíuskvarðanum. Því hefur línulegt samband þessara tveggja hitakvarða hallatöluna 1 K/°C. Með sömu aðferð má leiða út jöfnur til að umreikna á milli Kelvin- og Celsíuskvarðanna:

Hliðrunin 273,15 milli Celsíus- og Kelvinkvarðanna er nákvæm samkvæmt skilgreiningu.

Þótt Kelvinkvarðinn (alkvarðinn) sé opinberi SI-hitakvarðinn er Celsíuskvarðinn einnig mikið notaður í vísindum og daglegu lífi. Hitamunur um 1 K er jafnstór og hitamunur um 1 °C, en tölugildin eru hliðruð um 273,15 vegna mismunandi núllpunkta.