1.5 Óvissa, réttleiki og nákvæmni mælinga

Talning er eina tegund mælinga sem er laus við óvissu, að því gefnu að fjöldi hlutanna sem taldir eru breytist ekki á meðan á talningu stendur. Niðurstaða slíkrar talningar er dæmi um nákvæma tölu. Með því að telja eggin í öskju má ákvarða nákvæmlega hversu mörg egg hún inniheldur. Tölugildi skilgreindra stærða eru einnig nákvæm. Samkvæmt skilgreiningu er 1 fet nákvæmlega 12 tommur, 1 tomma er nákvæmlega 2,54 sentimetrar og 1 gramm er nákvæmlega 0,001 kílógramm. Stærðir sem fengnar eru með öðrum mælingum en talningu eru hins vegar háðar óvissu í mismiklum mæli vegna hagnýtra takmarkana á því mæliferli sem notað er.

Marktækir stafir í mælingum

Tölugildi mældra stærða eru ekki nákvæm, ólíkt skilgreindum eða töldum stærðum. Til að mæla rúmmál vökva í mæliglasi ætti að lesa af við botn vökvabogans, sem er lægsti punkturinn á sveigðu yfirborði vökvans.

Sjá mynd 1.26. Botn vökvabogans í þessu tilfelli liggur greinilega á milli merkjanna fyrir 21 og 22, sem þýðir að rúmmál vökvans er vissulega meira en 21 mL en minna en 22 mL. Vökvaboginn virðist vera aðeins nær 22 mL merkinu en 21 mL merkinu og því væri 21,6 mL raunhæft mat á rúmmáli vökvans. Í tölunni 21,6 eru tölustafirnir 2 og 1 því öruggir, en 6 er áætlun. Sumir gætu metið stöðu vökvabogans þannig að hann sé jafnlangt frá báðum merkjum og áætlað að tölustafurinn í tíundasætinu sé 5, á meðan aðrir gætu talið hann vera enn nær 22 mL merkinu og áætlað að þessi tölustafur sé 7. Athugið að það væri tilgangslaust að reyna að áætla tölustaf fyrir hundraðshlutasætið, þar sem tölustafurinn í tíundasætinu er óviss. Almennt leyfa talnakvarðar, eins og sá sem er á þessu mæliglasi, mælingar niður í einn tíunda hluta minnstu kvarðaskiptingar. Kvarðinn í þessu tilfelli hefur 1 mL skiptingar og því má mæla rúmmál að næsta 0,1 mL.

Þetta hugtak á við um allar mælingar, jafnvel þótt ekki sé gerð virk áætlun. Ef mynt er sett á hefðbundna rafeindavog gæti mælingin sýnt 6,72 g. Tölustafirnir 6 og 7 eru öruggir og 2 gefur til kynna að massi myntarinnar sé líklega á milli 6,71 og 6,73 gramma. Myntin vegur um það bil 6,72 grömm, með tilgreindri óvissu í mælingunni upp á ±0,01 gramm. Ef myntin er vegin á næmari vog gæti massinn verið 6,723 g. Þetta þýðir að massi hennar liggur á milli 6,722 og 6,724 gramma, sem er 0,001 gramms óvissa. Sérhver mæling hefur einhverja óvissu, sem fer eftir því tæki sem notað er (og færni notandans). Allir tölustafir í mælingu, þar með talinn óvissi aftasti stafurinn, kallast marktækir stafir. Athugið að núll getur verið mælt gildi. Ef staðið er á vog sem sýnir þyngd í heilum pundum og hún sýnir „120“, þá eru 1 (hundruð), 2 (tugir) og 0 (einingar) öll marktæk (mæld) gildi.

Niðurstaða mælingar er rétt framsett þegar marktækir stafir hennar endurspegla nákvæmlega vissu mæliferlisins. En hvað ef verið er að greina uppgefið gildi og reynt að ákvarða hvað er marktækt og hvað ekki? Til að byrja með eru allir tölustafir sem ekki eru núll marktækir og það eru aðeins núllin sem krefjast umhugsunar. Hér verða notuð hugtökin „fornúll“, „aftannúll“ og „innilokuð núll“ og skoðað hvernig eigi að meðhöndla þau.

Byrjað er á fyrsta tölustafnum frá vinstri sem ekki er núll, og hann talinn ásamt öllum tölustöfum til hægri. Þetta er fjöldi marktækra stafa í mælingunni, nema aftasti stafurinn sé aftannúll sem liggur vinstra megin við tugakommuna.

Innilokuð núll eru tilkomin vegna mælingar og eru því alltaf marktæk. Fornúll eru hins vegar aldrei marktæk — þau segja aðeins til um hvar tugakomman er staðsett.

Fornúllin í þessu dæmi eru ekki marktæk. Hægt væri að nota veldarithátt (eins og lýst er í viðauka B) og setja töluna fram sem 8,32407 × 10⁻³; þá inniheldur talan 8,32407 alla marktæku stafina og 10⁻³ staðsetur tugakommuna.

Fjöldi marktækra stafa er óviss í tölu sem endar á núlli vinstra megin við staðsetningu tugakommunnar. Núllin í mælingunni 1 300 grömm gætu verið marktæk eða þau gætu einfaldlega gefið til kynna hvar tugakomman er staðsett. Þessa tvíræðni má leysa með því að nota veldarithátt: 1,3 × 10³ (tveir marktækir stafir), 1,30 × 10³ (þrír marktækir stafir, ef tugirnir voru mældir), eða 1,300 × 10³ (fjórir marktækir stafir, ef einingarnar voru einnig mældar). Í þeim tilvikum þar sem aðeins talan á tugakerfisformi er tiltæk er skynsamlegt að gera ráð fyrir að öll aftannúll séu ómarktæk.

Þegar fjöldi marktækra stafa er ákvarðaður er mikilvægt að gefa gaum að uppgefnum gildum. Einnig þarf að hugsa um mælinguna og marktæku stafina út frá því hvað er raunhæft eða líklegt þegar metið er hvort gildið sé rökrétt. Til dæmis sýndi opinbert manntal í janúar 2014 að íbúafjöldi Bandaríkjanna væri 317.297.725. Heldur þú að mannfjöldi Bandaríkjanna hafi verið ákvarðaður rétt með þessum níu marktæku stöfum, það er að segja upp á hvern einasta mann? Fólk fæðist, deyr eða flytur til og frá landinu á hverri stundu. Þar að auki eru gerðar ályktanir til að gera grein fyrir þeim mikla fjölda fólks sem ekki er raunverulega talinn. Vegna þessarar óvissu gæti verið raunhæfara að gera ráð fyrir að við þekkjum mannfjöldann með um það bil milljón manna skekkju. Í því tilviki ætti að gefa mannfjöldann upp sem 3,17 × 10⁸ manns.

Marktækir stafir í útreikningum

Önnur mikilvæg meginregla um óvissu er að niðurstöður sem reiknaðar eru út frá mælingu eru að minnsta kosti jafn óvissar og mælingin sjálf. Taka þarf tillit til óvissu í mælingum til að koma í veg fyrir að óvissa í reiknuðum niðurstöðum sé rangt framsett. Ein leið til þess er að gefa upp niðurstöðu útreiknings með réttum fjölda marktækra stafa. Hann ræðst af eftirfarandi þremur reglum um námundun talna:

1. Þegar tölur eru lagðar saman eða dregnar frá skal námunda niðurstöðuna að sama fjölda aukastafa og sú tala sem hefur fæsta aukastafi (sú tala sem hefur mesta óvissu hvað varðar samlagningu og frádrátt).
2. Þegar tölur eru margfaldaðar eða þeim er deilt skal námunda niðurstöðuna að sama fjölda tölustafa og sú tala sem hefur fæsta marktæka stafi (sú tala sem hefur mesta óvissu hvað varðar margföldun og deilingu).
3. Ef tölustafurinn sem á að fella niður (sá sem er beint hægra megin við stafinn sem á að halda) er minni en 5 skal „námunda niður“ og halda stafnum óbreyttum. Ef hann er stærri en 5 skal „námunda upp“ og hækka stafinn sem haldið er um 1. Ef stafurinn sem fellur niður er 5, og hann er annaðhvort síðasti stafurinn í tölunni eða á eftir honum koma aðeins núll, skal námunda upp eða niður eftir því hvort það skilar sléttri tölu fyrir stafinn sem haldið er. Ef einhverjir stafir aðrir en núll koma á eftir fimmunni sem fellur niður skal námunda upp. (Síðasti hluti þessarar reglu kann að virðast dálítið undarlegur, en hann byggist á áreiðanlegri tölfræði og miðar að því að forðast skekkju þegar tölustafnum „5“ er sleppt, þar sem hann er jafn nálægt báðum mögulegum gildum stafsins sem haldið er.)

Eftirfarandi dæmi sýna hvernig þessari reglu er beitt við að námunda nokkrar mismunandi tölur að þremur marktækum stöfum:

• 0,028675 námundast „upp“ í 0,0287 (stafurinn sem fellur niður, 7, er stærri en 5)
• 18,3384 námundast „niður“ í 18,3 (tölustafurinn sem fellur niður, 3, er minni en 5)
• 6,8752 námundast „upp“ í 6,88 (tölustafurinn sem fellur niður er 5 og tölustafur sem er ekki núll kemur á eftir honum)
• 92,85 námundast „niður“ í 92,8 (tölustafurinn sem fellur niður er 5 og tölustafurinn sem haldið er er sléttur)

Skoðum þessar reglur nánar með nokkrum dæmum.

Dæmi 1.4

Samlagning og frádráttur með marktækum stöfum

Regla: Við samlagningu eða frádrátt talna skal námunda útkomuna að sama fjölda aukastafa og sú tala sem hefur fæsta aukastafi (þ.e. óvissasta gildið hvað varðar samlagningu og frádrátt).

(a) Leggðu saman 1,0023 g og 4,383 g.

(b) Dragðu 421,23 g frá 486 g.

Lausn

(a) 1,0023 g + 4,383 g = 5,3853 g

Svarið er 5,385 g (námundað að þúsundustu; þrír aukastafir)

(b) 486 g − 421,23 g = 64,77 g

Svarið er 65 g (námundað að heilli tölu; engir aukastafir)

Prófaðu þig

(a) Leggðu saman 2,334 mL og 0,31 mL.

(b) Dragðu 55,8752 m frá 56,533 m.

Svar:

(a) 2,64 mL; (b) 0,658 m

Innan um öll þessi tæknilegu atriði er mikilvægt að hafa í huga ástæðuna fyrir þessum reglum um marktæka stafi og námundun. Hún er sú að sýna réttilega nákvæmni þeirra gilda sem gefin eru upp. Þannig er tryggt að reiknuð niðurstaða sé ekki sett fram sem nákvæmari en það gildi sem minnsta nákvæmni hefur í útreikningnum.

Dæmi 1.7

Ákvörðun eðlismassa með vatnsrýmingu

Bútur af bendistáli er veginn og honum síðan sökkt í mæliglas sem er að hluta til fyllt vatni, með þeim niðurstöðum sem sýndar eru.

(a) Notaðu þessi gildi til að ákvarða eðlismassa þessa bendistálsbúts.

(b) Bendistál er að mestu leyti járn. Styður niðurstaða þín í (a) þessa fullyrðingu? Hvernig?

Lausn

Rúmmál bendistálsbútsins er jafnt rúmmáli vatnsins sem hann ryður frá sér:

$$\text{rúmmál}=\text{22,4 mL}-\text{13,5 mL}=\text{8,9 mL}={\text{8,9 cm}}^3$$

(námundað að næsta 0,1 mL, samkvæmt reglu um samlagningu og frádrátt)

Eðlismassinn er hlutfall massa og rúmmáls:

$$\text{eðlismassi}=\frac{\text{massi}}{\text{rúmmál}}=\frac{\text{69,658 g}}{{\text{8,9 cm}}^3}=\text{7,8 g/}{\text{cm}}^3$$

(námundað að tveimur marktækum stöfum, samkvæmt reglu um margföldun og deilingu)

Samkvæmt töflu 1.4 er eðlismassi járns 7,9 g/cm³, sem er mjög nálægt eðlismassa bendistálsins. Þetta styður þá staðreynd að bendistál er að mestu leyti járn.

Prófaðu þig

Óreglulega lagaður bútur af gljáandi, gulleitu efni er veginn og honum síðan sökkt í mæliglas, með þeim niðurstöðum sem sýndar eru.

(a) Notaðu þessi gildi til að ákvarða eðlismassa þessa efnis.

(b) Getur þú giskað á með rökstuddum hætti hvaða efni þetta er? Útskýrðu röksemdafærslu þína.

Svar:

(a) 19 g/cm³; (b) Þetta er líklega gull; útlitið passar við gull og eðlismassinn er mjög nálægt því sem gefið er upp fyrir gull í töflu 1.4.

Réttleiki og nákvæmni

Vísindamenn gera venjulega endurteknar mælingar á stærð til að tryggja gæði niðurstaðna sinna og til að meta bæði nákvæmni og réttleika þeirra. Mælingar teljast nákvæmar ef þær gefa mjög svipaðar niðurstöður þegar þær eru endurteknar á sama hátt. Mæling telst rétt ef hún gefur niðurstöðu sem er mjög nálægt sönnu eða samþykktu gildi. Nákvæm gildi koma heim og saman hvert við annað; rétt gildi koma heim og saman við satt gildi. Þessar skilgreiningar má yfirfæra á önnur svið, svo sem niðurstöður í bogfimi (mynd 1.27).

Gerum ráð fyrir að gæðaeftirlitsefnafræðingur hjá lyfjafyrirtæki fái það verkefni að athuga réttleika og nákvæmni þriggja mismunandi véla sem eiga að skammta 10 únsur (296 mL) af hóstasaft í geymsluflöskur. Hún notar hverja vél til að fylla fimm flöskur og ákvarðar síðan vandlega raunverulegt rúmmál sem skammtað var og fær þær niðurstöður sem skráðar eru í töflu 1.5.

Þegar litið er til þessara niðurstaðna getur hún greint frá því að skammtari nr. 1 sé nákvæmur (gildin eru öll nálægt hvert öðru, aðeins skeikar fáeinum tíundum úr millilítra) en ekki réttur (ekkert gildanna er nálægt markgildinu 296 mL, heldur er hvert þeirra meira en 10 mL of lágt). Niðurstöður fyrir skammtara nr. 2 sýna meiri réttleika (hvert rúmmál er innan við 3 mL frá 296 mL) en minni nákvæmni (rúmmálin sveiflast um meira en 4 mL). Að lokum getur hún greint frá því að skammtari nr. 3 virki vel og skammti hóstasaftina bæði rétt (öll rúmmál eru innan við 0,1 mL frá markgildinu) og nákvæmlega (rúmmálin víkja ekki meira en 0,2 mL hvert frá öðru).