99.10 Endurritun annars stigs stæðna á topppunktsformi

9.10.4 Að endurrita stæður á topppunktsformi

9.10.4 • Að endurrita stæður á topppunktsformi

Verkefni

Hér er ein leið til að endurrita stæðuna á topppunktsformi.

Lausn

3 x^{2} + 12 x + 9

a. Skoðaðu skrefin og skrifaðu stutta skýringu á því hvað gerist í hverju skrefi.

Upphaflega stæðan:

3 x^{2} + 12 x + 9

3 (x^{2} + 4 x + 3)

3 (x^{2} + 4 x + 4 + 3 - 4)

3 (x^{2} + 4 x + 4 - 1)

3 ({(x + 2)}^{2} - 1)

3 {(x + 2)}^{2} - 3

Berðu saman svörin þín:

Ritaðu stæðuna með 3 sem þætti.
$3 (x^{2} + 4 x + 3)$
Leggðu 4 við til að fylla í ferninginn og dragðu 4 frá til að halda gildi stæðunnar óbreyttu.
$3 (x^{2} + 4 x + 4 + 3 - 4)$
Dragðu saman líka liði svo ferningur tvíliðu sjáist.
$x^{2} + 4 x + 4$ $3 (x^{2} + 4 x + 4 - 1)$
Ritaðu ferning tvíliðu sem veldi.
$3 ({(x + 2)}^{2} - 1)$
Beittu dreifireglunni til að fá topppunktsform.
$3 {(x + 2)}^{2} - 3$

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins sem táknar þessa stæðu?

x-hnit topppunktsins er −2.

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins sem táknar þessa stæðu?

y-hnit topppunktsins er −3.

d. Opnast grafið upp eða niður? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Berðu saman svarið þitt:

Grafið opnast upp. Til dæmis sáum við í fyrri kafla að þegar stuðullinn við ferningsliðinn er jákvæður opnast grafið upp.

{(x - h)}^{2}

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

Lausn

- 2 x^{2} - 4 x + 6

Berðu saman svarið þitt:

- 2 {(x + 1)}^{2} + 8

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

Lausn

4 x^{2} + 24 x + 20

Berðu saman svarið þitt:

4 {(x + 3)}^{2} - 16

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

Lausn

- x^{2} + 20 x

Berðu saman svarið þitt:

- {(x - 10)}^{2} + 100

Viltu prófa meira?

Dýpkun

Fylltu inn í eyðurnar í topppunktsformi fallsins án þess að fylla í ferninginn. Vísbending: Hugsaðu um núllstöðvar fallsins.

Lausn

f (x) = 2 (x - 3) (x - 9)

f (x) =___{(x______)}^{2}______

a. Hvert er gildið á a? 2.

b. Hvert er formerkið við b? Frádráttur (−).

c. Hvert er gildið á c? 6.

d. Hvert er formerkið við d? Frádráttur (−).

e. Hvert er gildið á e? 18.

f. Undirbúðu þig undir að sýna rökstuðning fyrir svörunum þínum.

Berðu saman svarið þitt:

Núllstöðvar fallsins eru 3 og 9. Þar sem graf annars stigs falls hefur lóðréttan samhverfuás í gegnum topppunktinn hlýtur x-hnit topppunktsins að vera 6.

y-hnit topppunktsins er −18 vegna þess að:

f (6) = - 18

Þetta þýðir að fallið má rita svona:

f (x) = a {(x - 6)}^{2} - 18

Ef við margföldum upp úr upphaflegu formi sést að stuðullinn við ferningsliðinn er 2. Þess vegna verður a í topppunktsforminu líka að vera 2.

2 (x - 3) (x - 9)

Fylltu inn í eyðurnar í topppunktsformi fallsins án þess að fylla í ferninginn.

Lausn

g (x) = 2 (x - 3) (x - 9) + 21

g (x) =___{(x______)}^{2}______

a. Hvert er gildið á a? 2.

b. Hvert er formerkið við b? Frádráttur (−).

c. Hvert er gildið á c? 6.

d. Hvert er formerkið við d? Samlagning (+).

e. Hvert er gildið á e? 3.

f. Undirbúðu þig undir að sýna rökstuðning fyrir svörunum þínum.

Berðu saman svarið þitt:

Þótt 3 og 9 séu ekki núllstöðvar fallsins g, þá er g(x) jafnt og 21 þegar x er 3 og þegar x er 9.

g (3) = g (9) = 21

Þar sem gröf annars stigs falla eru samhverf er x-hnit topppunktsins enn 6. y-hnit topppunktsins er 3 vegna þess að:

g (6) = 3

Gildið á a er 2 af sömu ástæðu og hjá fallinu f.

Myndband

Myndbandið í upprunanum fjallar um að endurrita stæður á topppunktsformi. Sjálft myndbandið er utan texta- og stærðfræðiyfirferðarinnar.

Viðbótarefni

Topppunktsform með forystustuðli sem er ekki 1

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

2 x^{2} + 8 x + 4

Ritaðu stæðuna með 2 sem þætti.
$2 (x^{2} + 4 x + 2)$
Leggðu 4 við til að fylla í ferninginn og dragðu 4 frá til að halda gildi stæðunnar óbreyttu.
$2 (x^{2} + 4 x + 4 + 2 - 4)$
Dragðu saman líka liði svo ferningur tvíliðu sjáist.
$x^{2} + 4 x + 4$
$2 (x^{2} + 4 x + 4 - 2)$
Ritaðu ferning tvíliðu sem veldi.
$2 ({(x + 2)}^{2} - 2)$
Beittu dreifireglunni til að fá topppunktsform.
$2 {(x + 2)}^{2} - 4$

99.10 Endurritun annars stigs stæðna á topppunktsformi

9.10.4 Að endurrita stæður á topppunktsformi

9.10.4 • Að endurrita stæður á topppunktsformi

Verkefni

Hér er ein leið til að endurrita stæðuna á topppunktsformi.

Lausn

3 x^{2} + 12 x + 9

a. Skoðaðu skrefin og skrifaðu stutta skýringu á því hvað gerist í hverju skrefi.

Upphaflega stæðan:

3 x^{2} + 12 x + 9

3 (x^{2} + 4 x + 3)

3 (x^{2} + 4 x + 4 + 3 - 4)

3 (x^{2} + 4 x + 4 - 1)

3 ({(x + 2)}^{2} - 1)

3 {(x + 2)}^{2} - 3

Berðu saman svörin þín:

Ritaðu stæðuna með 3 sem þætti.
$3 (x^{2} + 4 x + 3)$
Leggðu 4 við til að fylla í ferninginn og dragðu 4 frá til að halda gildi stæðunnar óbreyttu.
$3 (x^{2} + 4 x + 4 + 3 - 4)$
Dragðu saman líka liði svo ferningur tvíliðu sjáist.
$x^{2} + 4 x + 4$ $3 (x^{2} + 4 x + 4 - 1)$
Ritaðu ferning tvíliðu sem veldi.
$3 ({(x + 2)}^{2} - 1)$
Beittu dreifireglunni til að fá topppunktsform.
$3 {(x + 2)}^{2} - 3$

b. Hvert er x-hnit topppunkts grafsins sem táknar þessa stæðu?

x-hnit topppunktsins er −2.

c. Hvert er y-hnit topppunkts grafsins sem táknar þessa stæðu?

y-hnit topppunktsins er −3.

d. Opnast grafið upp eða niður? Útskýrðu hvernig þú veist það.

Berðu saman svarið þitt:

Grafið opnast upp. Til dæmis sáum við í fyrri kafla að þegar stuðullinn við ferningsliðinn er jákvæður opnast grafið upp.

{(x - h)}^{2}

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

Lausn

- 2 x^{2} - 4 x + 6

Berðu saman svarið þitt:

- 2 {(x + 1)}^{2} + 8

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

Lausn

4 x^{2} + 24 x + 20

Berðu saman svarið þitt:

4 {(x + 3)}^{2} - 16

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

Lausn

- x^{2} + 20 x

Berðu saman svarið þitt:

- {(x - 10)}^{2} + 100

Viltu prófa meira?

Dýpkun

Fylltu inn í eyðurnar í topppunktsformi fallsins án þess að fylla í ferninginn. Vísbending: Hugsaðu um núllstöðvar fallsins.

Lausn

f (x) = 2 (x - 3) (x - 9)

f (x) =___{(x______)}^{2}______

a. Hvert er gildið á a? 2.

b. Hvert er formerkið við b? Frádráttur (−).

c. Hvert er gildið á c? 6.

d. Hvert er formerkið við d? Frádráttur (−).

e. Hvert er gildið á e? 18.

f. Undirbúðu þig undir að sýna rökstuðning fyrir svörunum þínum.

Berðu saman svarið þitt:

Núllstöðvar fallsins eru 3 og 9. Þar sem graf annars stigs falls hefur lóðréttan samhverfuás í gegnum topppunktinn hlýtur x-hnit topppunktsins að vera 6.

y-hnit topppunktsins er −18 vegna þess að:

f (6) = - 18

Þetta þýðir að fallið má rita svona:

f (x) = a {(x - 6)}^{2} - 18

Ef við margföldum upp úr upphaflegu formi sést að stuðullinn við ferningsliðinn er 2. Þess vegna verður a í topppunktsforminu líka að vera 2.

2 (x - 3) (x - 9)

Fylltu inn í eyðurnar í topppunktsformi fallsins án þess að fylla í ferninginn.

Lausn

g (x) = 2 (x - 3) (x - 9) + 21

g (x) =___{(x______)}^{2}______

a. Hvert er gildið á a? 2.

b. Hvert er formerkið við b? Frádráttur (−).

c. Hvert er gildið á c? 6.

d. Hvert er formerkið við d? Samlagning (+).

e. Hvert er gildið á e? 3.

f. Undirbúðu þig undir að sýna rökstuðning fyrir svörunum þínum.

Berðu saman svarið þitt:

Þótt 3 og 9 séu ekki núllstöðvar fallsins g, þá er g(x) jafnt og 21 þegar x er 3 og þegar x er 9.

g (3) = g (9) = 21

Þar sem gröf annars stigs falla eru samhverf er x-hnit topppunktsins enn 6. y-hnit topppunktsins er 3 vegna þess að:

g (6) = 3

Gildið á a er 2 af sömu ástæðu og hjá fallinu f.

Myndband

Myndbandið í upprunanum fjallar um að endurrita stæður á topppunktsformi. Sjálft myndbandið er utan texta- og stærðfræðiyfirferðarinnar.

Viðbótarefni

Topppunktsform með forystustuðli sem er ekki 1

Ritaðu stæðuna á topppunktsformi.

2 x^{2} + 8 x + 4

Ritaðu stæðuna með 2 sem þætti.
$2 (x^{2} + 4 x + 2)$
Leggðu 4 við til að fylla í ferninginn og dragðu 4 frá til að halda gildi stæðunnar óbreyttu.
$2 (x^{2} + 4 x + 4 + 2 - 4)$
Dragðu saman líka liði svo ferningur tvíliðu sjáist.
$x^{2} + 4 x + 4$
$2 (x^{2} + 4 x + 4 - 2)$
Ritaðu ferning tvíliðu sem veldi.
$2 ({(x + 2)}^{2} - 2)$
Beittu dreifireglunni til að fá topppunktsform.
$2 {(x + 2)}^{2} - 4$