77.13 Teikning grafs út frá staðalformi, 2. hluti

7.13.2 Línulegi liðurinn í annars stigs stæðu

7.13.2 • Línulegi liðurinn í annars stigs stæðu

Verkefni

Notaðu grafteikniverkfæri eða aðra tækni utan námskeiðsins. Teiknaðu graf jöfnunnar:

Lausn

y=x²

Gerðu síðan tilraunir með að bæta við mismunandi línulegum liðum, til dæmis:

x²+4x

x²+20x

x²−50x

Skráðu athuganir þínar.

Berðu saman svarið þitt:

Grafið lítur áfram út eins og graf annars stigs falls þegar línulegum lið er bætt við, en það hliðrast bæði lárétt og lóðrétt. Þegar jákvæðu margfeldi af x er bætt við stæðuna x² hliðrast grafið niður og til vinstri. Þegar neikvæðu margfeldi af x er bætt við hliðrast grafið niður og til hægri.

Notaðu athuganir þínar úr spurningu 1 til að svara spurningum 2-5 og fylltu út töfluna.

Jafna	Skurðpunktar við x-ás	x-hnit topppunkts
y = x² + 6x	2a. _____	2b. _____
y = x² − 10x	3a. _____	3b. _____
y = −x² + 50x	4a. _____	4b. _____
y = −x² − 36x	5a. _____	5b. _____

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=x²+6x

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(0,0), (−6,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=−3

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=x²−10x

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(0,0), (10,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=5

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=−x²+50x

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(0,0), (50,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=25

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=−x²−36x

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(0,0), (−36,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=−18

Sumar annars stigs stæður hafa engan línulegan lið. Í spurningum 6-7 skaltu finna skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir graf hverrar jöfnu:

y=x²−25

y=x²+16

Athugaðu að graf getur verið þannig að það skeri ekki x-ásinn. Ef þú festist skaltu prófa að teikna gröf jafnanna.

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=x²−25

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(5,0), (−5,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=0

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=x²+16

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

Grafið hefur enga skurðpunkta við x-ás.

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=0

Viðbótarefni

Annars stigs föll án línulegra liða

Dæmi

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og topppunkt fallsins:

f(x)=x²−4

Skref 1 - Ritaðu fallið á þáttuðu formi. Notaðu mismun ferninga:

f(x)=x²−4=(x−2)(x+2)

Skref 2 - Settu hvorn þátt jafnan 0.

x−2=0

x=2

x+2=0

x=−2

Skurðpunktarnir við x-ás eru:

(2,0), (−2,0)

Skref 3 - Finndu x-gildið í miðjunni á milli skurðpunktanna tveggja við x-ás. Það gerist þegar:

x=0

Þetta er x-hnit topppunktsins. Til að finna topppunktinn sjálfan skaltu setja gildið inn í fallið:

f(0)=0²−4=−4

Topppunktur:

(0,−4)

77.13 Teikning grafs út frá staðalformi, 2. hluti

7.13.2 Línulegi liðurinn í annars stigs stæðu

7.13.2 • Línulegi liðurinn í annars stigs stæðu

Verkefni

Notaðu grafteikniverkfæri eða aðra tækni utan námskeiðsins. Teiknaðu graf jöfnunnar:

Lausn

y=x²

Gerðu síðan tilraunir með að bæta við mismunandi línulegum liðum, til dæmis:

x²+4x

x²+20x

x²−50x

Skráðu athuganir þínar.

Berðu saman svarið þitt:

Notaðu athuganir þínar úr spurningu 1 til að svara spurningum 2-5 og fylltu út töfluna.

Jafna	Skurðpunktar við x-ás	x-hnit topppunkts
y = x² + 6x	2a. _____	2b. _____
y = x² − 10x	3a. _____	3b. _____
y = −x² + 50x	4a. _____	4b. _____
y = −x² − 36x	5a. _____	5b. _____

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=x²+6x

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(0,0), (−6,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=−3

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=x²−10x

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(0,0), (10,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=5

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=−x²+50x

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(0,0), (50,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=25

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=−x²−36x

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(0,0), (−36,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=−18

Sumar annars stigs stæður hafa engan línulegan lið. Í spurningum 6-7 skaltu finna skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir graf hverrar jöfnu:

y=x²−25

y=x²+16

Athugaðu að graf getur verið þannig að það skeri ekki x-ásinn. Ef þú festist skaltu prófa að teikna gröf jafnanna.

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=x²−25

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

(5,0), (−5,0)

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=0

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og x-hnit topppunktsins fyrir jöfnuna:

Lausn

y=x²+16

a. Hverjir eru skurðpunktarnir við x-ás?

Berðu saman svarið þitt:

Grafið hefur enga skurðpunkta við x-ás.

b. Hvert er x-hnit topppunktsins?

x=0

Viðbótarefni

Annars stigs föll án línulegra liða

Dæmi

Finndu skurðpunkta grafsins við x-ás og topppunkt fallsins:

f(x)=x²−4

Skref 1 - Ritaðu fallið á þáttuðu formi. Notaðu mismun ferninga:

f(x)=x²−4=(x−2)(x+2)

Skref 2 - Settu hvorn þátt jafnan 0.

x−2=0

x=2

x+2=0

x=−2

Skurðpunktarnir við x-ás eru:

(2,0), (−2,0)

Skref 3 - Finndu x-gildið í miðjunni á milli skurðpunktanna tveggja við x-ás. Það gerist þegar:

x=0

Þetta er x-hnit topppunktsins. Til að finna topppunktinn sjálfan skaltu setja gildið inn í fallið:

f(0)=0²−4=−4

Topppunktur:

(0,−4)