66.5 Þáttun þríliða

6.5.4 Þáttun þríliða með ac-aðferðinni og innsetningu

6.5.4 • Þáttun þríliða með ac-aðferðinni og innsetningu

Verkefni

Í síðustu verkefnum var forystustuðullinn oft 1. Ac-aðferðin virkar líka þegar forystustuðullinn er önnur tala, ef þríliðurinn er á forminu hér fyrir neðan.

a x^{2} + b x + c

Hugmyndin er að skipta miðliðnum í tvo liði þannig að hægt sé að þátta með hópun.

Stæðan ax í öðru veldi plús bx plús c, þar sem miðliðnum bx er skipt í mx og nx.

Skref 1: Taktu fyrst út stærsta samdeili, ef hann er til staðar.
Skref 2: Margfaldaðu stuðlana a og c og finndu margfeldið ac.
$a c$
Skref 3: Finndu tvær tölur, m og n, sem hafa margfeldið ac og summuna b.
$m \cdot n = a \cdot c$
$m + n = b$
Skref 4: Skiptu miðliðnum bx í mx og nx.
$a x^{2} + b x + c = a x^{2} + m x + n x + c$
Skref 5: Hópaðu liðina og þáttaðu með hópun.
Skref 6: Athugaðu svarið með því að margfalda þættina aftur saman.

Að nota ac-aðferðina

Þáttaðu stæðuna.

16 x^{2} - 32 x + 12

Allir liðirnir hafa 4 sem stærsta samdeili, svo byrjað er á að taka 4 út fyrir sviga.

16 x^{2} - 32 x + 12 = 4 (4 x^{2} - 8 x + 3)

Fyrir þríliðinn inni í sviganum er a = 4, b = -8 og c = 3, þannig að ac = 12.

a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12

Tölurnar -6 og -2 hafa margfeldið 12 og summuna -8.

(- 6) (- 2) = 12

- 6 + (- 2) = - 8

Skiptu miðliðnum og þáttaðu með hópun.

4 (4 x^{2} - 8 x + 3)

4 (4 x^{2} - 6 x - 2 x + 3)

4 (2 x (2 x - 3) - 1 (2 x - 3))

4 (2 x - 3) (2 x - 1)

Margföldun þáttanna gefur upphaflegu stæðuna aftur.

4 (2 x - 3) (2 x - 1) = 16 x^{2} - 32 x + 12

Þáttaðu stæðuna.

6 y^{2} + y - 15

Hér er a = 6, b = 1 og c = -15, þannig að ac = -90.

a \cdot c = 6 \cdot (- 15) = - 90

Tölurnar 10 og -9 hafa margfeldið -90 og summuna 1.

10 (- 9) = - 90

10 + (- 9) = 1

6 y^{2} + y - 15 = 6 y^{2} + 10 y - 9 y - 15

2 y (3 y + 5) - 3 (3 y + 5)

(3 y + 5) (2 y - 3)

(3 y + 5) (2 y - 3) = 6 y^{2} + y - 15

Þáttaðu stæðuna.

48 z^{3} - 102 z^{2} - 45 z

Byrjaðu á því að taka 3z út fyrir sviga sem stærsta samdeili.

48 z^{3} - 102 z^{2} - 45 z = 3 z (16 z^{2} - 34 z - 15)

Fyrir þríliðinn inni í sviganum er ac = -240.

16 \cdot (- 15) = - 240

Tölurnar 6 og -40 hafa margfeldið -240 og summuna -34.

6 (- 40) = - 240

6 + (- 40) = - 34

3 z (16 z^{2} + 6 z - 40 z - 15)

3 z (2 z (8 z + 3) - 5 (8 z + 3))

3 z (8 z + 3) (2 z - 5)

Innsetning

Stundum lítur stæðan ekki strax út eins og þríliður á forminu ax í öðru veldi plús bx plús c. Þá má nota innsetningu. Algengt er að láta u standa fyrir þann hluta stæðunnar sem endurtekur sig.

a u^{2} + b u + c

Stærðin u getur til dæmis verið veldi eins og x í öðru veldi eða svigi eins og x mínus 3.

u = x^{2}

u = x - 3

Þáttaðu með innsetningu.

y^{4} - y^{2} - 20

Láttu u = y í öðru veldi. Þá verður y í fjórða veldi jafnt u í öðru veldi.

u = y^{2}

y^{4} - y^{2} - 20 = {(y^{2})}^{2} - y^{2} - 20

u^{2} - u - 20

u^{2} - u - 20 = (u + 4) (u - 5)

Settu y í öðru veldi aftur í stað u.

(y^{2} + 4) (y^{2} - 5)

Þáttaðu með innsetningu.

{(x - 5)}^{2} + 6 (x - 5) + 8

Láttu u = x - 5.

u = x - 5

u^{2} + 6 u + 8

u^{2} + 6 u + 8 = (u + 2) (u + 4)

((x - 5) + 2) ((x - 5) + 4)

(x - 3) (x - 1)

Þáttaðu með innsetningu.

x^{4} - 3 x^{2} - 28

Láttu u = x í öðru veldi.

u = x^{2}

u^{2} - 3 u - 28

u^{2} - 3 u - 28 = (u - 7) (u + 4)

(x^{2} - 7) (x^{2} + 4)

Viðbótarefni

Ac-aðferðin er skipuleg leið til að þátta þríliði. Hún er líka oft tengd þáttun með hópun, því miðliðnum er skipt áður en liðunum er hópað.

Dæmi 1: Þáttaðu með ac-aðferðinni.

6 x^{2} + 7 x + 2

Þríliðnum 6x í öðru veldi plús 7x plús 2 er breytt í fjóra liði með því að skipta 7x í 3x og 4x áður en þáttað er með hópun.

Skref 1: Enginn stærsti samdeilir þarf að taka út.
Skref 2: Hér er a = 6, b = 7 og c = 2, svo ac = 12.
$6 \cdot 2 = 12$
Skref 3: Tölurnar 3 og 4 hafa margfeldið 12 og summuna 7.
$3 \cdot 4 = 12$
$3 + 4 = 7$
Skref 4: Skiptu 7x í 3x og 4x.
$6 x^{2} + 7 x + 2 = 6 x^{2} + 3 x + 4 x + 2$
Skref 5: Þáttaðu með hópun.
$6 x^{2} + 3 x + 4 x + 2$
$3 x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)$
$(2 x + 1) (3 x + 2)$
Skref 6: Athugaðu svarið með margföldun.
$(2 x + 1) (3 x + 2)$
$6 x^{2} + 4 x + 3 x + 2$
$6 x^{2} + 7 x + 2$

Reyndu þetta: ac-aðferðin

Þáttaðu með ac-aðferðinni.

10 y^{2} - 55 y + 70

Stæðan 5 sinnum sviginn 2y í öðru veldi mínus 11y plús 14 er skrifuð með miðliðnum skipt í mínus 7y og mínus 4y.

Skref 1: Stærsti samdeilir liðanna er 5.
$10 y^{2} - 55 y + 70 = 5 (2 y^{2} - 11 y + 14)$
Skref 2: Fyrir þríliðinn inni í sviganum er ac = 28.
$2 \cdot 14 = 28$
Skref 3: Tölurnar -4 og -7 hafa margfeldið 28 og summuna -11.
$(- 4) (- 7) = 28$
$- 4 + (- 7) = - 11$
Skref 4: Skiptu miðliðnum.
$5 (2 y^{2} - 11 y + 14) = 5 (2 y^{2} - 7 y - 4 y + 14)$
Skref 5: Þáttaðu með hópun.
$5 (y (2 y - 7) - 2 (2 y - 7))$
$5 (y - 2) (2 y - 7)$
Skref 6: Athugaðu svarið.
$5 (y - 2) (2 y - 7)$
$5 (2 y^{2} - 7 y - 4 y + 14)$
$5 (2 y^{2} - 11 y + 14)$
$10 y^{2} - 55 y + 70$

Viðbótarefni: innsetning

Innsetning hjálpar þegar sama stæða kemur fyrir tvisvar, til dæmis sem liður og síðan í öðru veldi. Þá má þátta einfaldari þrílið fyrst og setja upprunalegu stæðuna aftur inn í lokin.

Dæmi 2: Þáttaðu með innsetningu.

x^{4} - 4 x^{2} - 5

Skref 1: Skrifaðu stæðuna þannig að x í öðru veldi sjáist sem endurtekin stærð.
${(x^{2})}^{2} - 4 (x^{2}) - 5$
Skref 2: Láttu u = x í öðru veldi.
$u = x^{2}$
$u^{2} - 4 u - 5$
Skref 3: Þáttaðu þríliðinn í u.
$u^{2} - 4 u - 5 = (u + 1) (u - 5)$
Skref 4: Settu x í öðru veldi aftur í stað u.
$(x^{2} + 1) (x^{2} - 5)$
Skref 5: Athugaðu svarið.
$(x^{2} + 1) (x^{2} - 5)$
$x^{4} - 5 x^{2} + x^{2} - 5$
$x^{4} - 4 x^{2} - 5$

Reyndu þetta: innsetning

Þáttaðu með innsetningu.

{(x - 2)}^{2} + 7 (x - 2) + 12

Skref 1: Láttu u = x - 2.
$u = x - 2$
Skref 2: Settu u inn fyrir x - 2.
$u^{2} + 7 u + 12$
Skref 3: Þáttaðu þríliðinn.
$u^{2} + 7 u + 12 = (u + 3) (u + 4)$
Skref 4: Settu x - 2 aftur í stað u.
$((x - 2) + 3) ((x - 2) + 4)$
Skref 5: Einfaldaðu þættina.
$(x + 1) (x + 2)$

Það væri líka hægt að margfalda svigana í upphaflegu stæðunni fyrst og þátta síðan. Innsetningin heldur reikningnum yfirleitt styttri og skýrari.

66.5 Þáttun þríliða

6.5.4 Þáttun þríliða með ac-aðferðinni og innsetningu

6.5.4 • Þáttun þríliða með ac-aðferðinni og innsetningu

Verkefni

Í síðustu verkefnum var forystustuðullinn oft 1. Ac-aðferðin virkar líka þegar forystustuðullinn er önnur tala, ef þríliðurinn er á forminu hér fyrir neðan.

a x^{2} + b x + c

Hugmyndin er að skipta miðliðnum í tvo liði þannig að hægt sé að þátta með hópun.

Skref 1: Taktu fyrst út stærsta samdeili, ef hann er til staðar.
Skref 2: Margfaldaðu stuðlana a og c og finndu margfeldið ac.
$a c$
Skref 3: Finndu tvær tölur, m og n, sem hafa margfeldið ac og summuna b.
$m \cdot n = a \cdot c$
$m + n = b$
Skref 4: Skiptu miðliðnum bx í mx og nx.
$a x^{2} + b x + c = a x^{2} + m x + n x + c$
Skref 5: Hópaðu liðina og þáttaðu með hópun.
Skref 6: Athugaðu svarið með því að margfalda þættina aftur saman.

Að nota ac-aðferðina

Þáttaðu stæðuna.

16 x^{2} - 32 x + 12

Allir liðirnir hafa 4 sem stærsta samdeili, svo byrjað er á að taka 4 út fyrir sviga.

16 x^{2} - 32 x + 12 = 4 (4 x^{2} - 8 x + 3)

Fyrir þríliðinn inni í sviganum er a = 4, b = -8 og c = 3, þannig að ac = 12.

a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12

Tölurnar -6 og -2 hafa margfeldið 12 og summuna -8.

(- 6) (- 2) = 12

- 6 + (- 2) = - 8

Skiptu miðliðnum og þáttaðu með hópun.

4 (4 x^{2} - 8 x + 3)

4 (4 x^{2} - 6 x - 2 x + 3)

4 (2 x (2 x - 3) - 1 (2 x - 3))

4 (2 x - 3) (2 x - 1)

Margföldun þáttanna gefur upphaflegu stæðuna aftur.

4 (2 x - 3) (2 x - 1) = 16 x^{2} - 32 x + 12

Þáttaðu stæðuna.

6 y^{2} + y - 15

Hér er a = 6, b = 1 og c = -15, þannig að ac = -90.

a \cdot c = 6 \cdot (- 15) = - 90

Tölurnar 10 og -9 hafa margfeldið -90 og summuna 1.

10 (- 9) = - 90

10 + (- 9) = 1

6 y^{2} + y - 15 = 6 y^{2} + 10 y - 9 y - 15

2 y (3 y + 5) - 3 (3 y + 5)

(3 y + 5) (2 y - 3)

(3 y + 5) (2 y - 3) = 6 y^{2} + y - 15

Þáttaðu stæðuna.

48 z^{3} - 102 z^{2} - 45 z

Byrjaðu á því að taka 3z út fyrir sviga sem stærsta samdeili.

48 z^{3} - 102 z^{2} - 45 z = 3 z (16 z^{2} - 34 z - 15)

Fyrir þríliðinn inni í sviganum er ac = -240.

16 \cdot (- 15) = - 240

Tölurnar 6 og -40 hafa margfeldið -240 og summuna -34.

6 (- 40) = - 240

6 + (- 40) = - 34

3 z (16 z^{2} + 6 z - 40 z - 15)

3 z (2 z (8 z + 3) - 5 (8 z + 3))

3 z (8 z + 3) (2 z - 5)

Innsetning

a u^{2} + b u + c

Stærðin u getur til dæmis verið veldi eins og x í öðru veldi eða svigi eins og x mínus 3.

u = x^{2}

u = x - 3

Þáttaðu með innsetningu.

y^{4} - y^{2} - 20

Láttu u = y í öðru veldi. Þá verður y í fjórða veldi jafnt u í öðru veldi.

u = y^{2}

y^{4} - y^{2} - 20 = {(y^{2})}^{2} - y^{2} - 20

u^{2} - u - 20

u^{2} - u - 20 = (u + 4) (u - 5)

Settu y í öðru veldi aftur í stað u.

(y^{2} + 4) (y^{2} - 5)

Þáttaðu með innsetningu.

{(x - 5)}^{2} + 6 (x - 5) + 8

Láttu u = x - 5.

u = x - 5

u^{2} + 6 u + 8

u^{2} + 6 u + 8 = (u + 2) (u + 4)

((x - 5) + 2) ((x - 5) + 4)

(x - 3) (x - 1)

Þáttaðu með innsetningu.

x^{4} - 3 x^{2} - 28

Láttu u = x í öðru veldi.

u = x^{2}

u^{2} - 3 u - 28

u^{2} - 3 u - 28 = (u - 7) (u + 4)

(x^{2} - 7) (x^{2} + 4)

Viðbótarefni

Ac-aðferðin er skipuleg leið til að þátta þríliði. Hún er líka oft tengd þáttun með hópun, því miðliðnum er skipt áður en liðunum er hópað.

Dæmi 1: Þáttaðu með ac-aðferðinni.

6 x^{2} + 7 x + 2

Skref 1: Enginn stærsti samdeilir þarf að taka út.
Skref 2: Hér er a = 6, b = 7 og c = 2, svo ac = 12.
$6 \cdot 2 = 12$
Skref 3: Tölurnar 3 og 4 hafa margfeldið 12 og summuna 7.
$3 \cdot 4 = 12$
$3 + 4 = 7$
Skref 4: Skiptu 7x í 3x og 4x.
$6 x^{2} + 7 x + 2 = 6 x^{2} + 3 x + 4 x + 2$
Skref 5: Þáttaðu með hópun.
$6 x^{2} + 3 x + 4 x + 2$
$3 x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)$
$(2 x + 1) (3 x + 2)$
Skref 6: Athugaðu svarið með margföldun.
$(2 x + 1) (3 x + 2)$
$6 x^{2} + 4 x + 3 x + 2$
$6 x^{2} + 7 x + 2$

Reyndu þetta: ac-aðferðin

Þáttaðu með ac-aðferðinni.

10 y^{2} - 55 y + 70

Skref 1: Stærsti samdeilir liðanna er 5.
$10 y^{2} - 55 y + 70 = 5 (2 y^{2} - 11 y + 14)$
Skref 2: Fyrir þríliðinn inni í sviganum er ac = 28.
$2 \cdot 14 = 28$
Skref 3: Tölurnar -4 og -7 hafa margfeldið 28 og summuna -11.
$(- 4) (- 7) = 28$
$- 4 + (- 7) = - 11$
Skref 4: Skiptu miðliðnum.
$5 (2 y^{2} - 11 y + 14) = 5 (2 y^{2} - 7 y - 4 y + 14)$
Skref 5: Þáttaðu með hópun.
$5 (y (2 y - 7) - 2 (2 y - 7))$
$5 (y - 2) (2 y - 7)$
Skref 6: Athugaðu svarið.
$5 (y - 2) (2 y - 7)$
$5 (2 y^{2} - 7 y - 4 y + 14)$
$5 (2 y^{2} - 11 y + 14)$
$10 y^{2} - 55 y + 70$

Viðbótarefni: innsetning

Dæmi 2: Þáttaðu með innsetningu.

x^{4} - 4 x^{2} - 5

Skref 1: Skrifaðu stæðuna þannig að x í öðru veldi sjáist sem endurtekin stærð.
${(x^{2})}^{2} - 4 (x^{2}) - 5$
Skref 2: Láttu u = x í öðru veldi.
$u = x^{2}$
$u^{2} - 4 u - 5$
Skref 3: Þáttaðu þríliðinn í u.
$u^{2} - 4 u - 5 = (u + 1) (u - 5)$
Skref 4: Settu x í öðru veldi aftur í stað u.
$(x^{2} + 1) (x^{2} - 5)$
Skref 5: Athugaðu svarið.
$(x^{2} + 1) (x^{2} - 5)$
$x^{4} - 5 x^{2} + x^{2} - 5$
$x^{4} - 4 x^{2} - 5$

Reyndu þetta: innsetning

Þáttaðu með innsetningu.

{(x - 2)}^{2} + 7 (x - 2) + 12

Skref 1: Láttu u = x - 2.
$u = x - 2$
Skref 2: Settu u inn fyrir x - 2.
$u^{2} + 7 u + 12$
Skref 3: Þáttaðu þríliðinn.
$u^{2} + 7 u + 12 = (u + 3) (u + 4)$
Skref 4: Settu x - 2 aftur í stað u.
$((x - 2) + 3) ((x - 2) + 4)$
Skref 5: Einfaldaðu þættina.
$(x + 1) (x + 2)$

Það væri líka hægt að margfalda svigana í upphaflegu stæðunni fyrst og þátta síðan. Innsetningin heldur reikningnum yfirleitt styttri og skýrari.