66.5 Þáttun þríliða

6.5.3 Þáttun þríliða með því að prófa sig áfram

6.5.3 • Þáttun þríliða með því að prófa sig áfram

Verkefni

Svona má þátta þríliði á forminu ax² + bx + c með því að prófa sig áfram:

a x^{2} + b x + c

Skref 1: Raðaðu þríliðnum eftir lækkandi stigi ef þess þarf.
Skref 2: Taktu stærsta samdeili út fyrir sviga, ef hann er til.
Skref 3: Finndu öll þáttapör fyrsta liðarins.
Skref 4: Finndu öll þáttapör síðasta liðarins.
Skref 5: Prófaðu mögulegar samsetningar þar til rétt margfeldi fæst.
Skref 6: Athugaðu svarið með margföldun.

Mundu þessar gagnlegu reglur þegar þú þáttar þríliði:

• Taktu stærsta samdeili út fyrir sviga fyrst. Þá verður þríliðurinn sem eftir stendur oft einfaldari í þáttun.

a x^{2} + b x + c \to x^{2} + b x + c

Ef miðliðurinn er neikvæður og síðasti liðurinn jákvæður verða formerkin í tvíliðunum bæði neikvæð.
Ef forystustuðullinn er neikvæður er stærsti samdeilirinn líka neikvæður. Að taka neikvæða samdeilinn út fyrir sviga einfaldar þáttunina.
Ef forystustuðullinn er ekki 1 og enginn stærsti samdeilir er til staðar, þurfa fyrstu liðir tvíliðanna að margfaldast í forystuliðinn. Þá má prófa sig áfram til að finna réttu tvíliðina.

Vinnið með félaga. Þáttið hvern þrílið. Ef þú festist skaltu spyrja félagann, bera saman svör og ræða það sem vafðist fyrir ykkur.

2 a^{2} + 5 a + 3

Berðu saman svarið þitt:

(a + 1) (2 a + 3)

8 x^{2} - 14 x + 3

Berðu saman svarið þitt:

(2 x - 3) (4 x - 1)

18 x^{2} - 3 x y - 10 y^{2}

Berðu saman svarið þitt:

(3 x + 2 y) (6 x - 5 y)

15 n^{3} - 85 n^{2} + 100 n

Berðu saman svarið þitt:

5 n (n - 4) (3 n - 5)

- 10 y^{4} - 55 y^{3} - 60 y^{2}

Berðu saman svarið þitt:

- 5 y^{2} (y + 4) (2 y + 3)

56 q^{3} + 320 q^{2} - 96 q

Berðu saman svarið þitt:

8 q (q + 6) (7 q - 2)

Viðbótarefni

Þáttun þríliða með því að prófa sig áfram

Næsta skref er að þátta þríliði þar sem forystustuðullinn er ekki 1, það er þríliði á forminu ax² + bx + c. Athugaðu alltaf fyrst hvort hægt sé að taka stærsta samdeili út fyrir sviga.

a x^{2} + b x + c

Dæmi 1

Þáttaðu fullkomlega:

4 x^{3} + 16 x^{2} - 20 x

Skref 1: Þríliðurinn er þegar raðaður eftir lækkandi stigi.
Skref 2: Finndu stærsta samdeili og taktu hann út fyrir sviga.
$4 x^{3} + 16 x^{2} - 20 x = 4 x (x^{2} + 4 x - 5)$
Skref 3: Þríliðurinn innan svigans hefur forystustuðulinn 1, svo við getum snúið FOIL-aðferðinni við.
$- 1, 5; - 1 + 5 = 4 ✓$
$1, - 5; 1 + (- 5) = - 4$
$4 x (x - 1) (x + 5)$
$4 x (x - 1) (x + 5) = 4 x^{3} + 16 x^{2} - 20 x ✓$

Dæmi 2

Hvað gerist þegar forystustuðullinn er ekki 1 og enginn stærsti samdeilir er til staðar? Þá má prófa möguleg þáttapör.

3 x^{2} + 5 x + 2

Fyrstu liðir tvíliðanna þurfa að margfaldast í 3x². Mögulegu fyrstu liðirnir eru x og 3x.

Þáttun annars stigs stæðunnar 3x² + 5x + 2. Liðirnir x og 3x eru sýndir rauðir og örvar sýna upphaflega skiptingu í tvíliðina (x )(3x ).

Síðustu liðirnir þurfa að margfaldast í 2. Þar sem allir liðir þríliðsins eru jákvæðir prófum við jákvæðu þáttapörin 1 og 2.

Skref í þáttun 3x² + 5x + 2. Rauður texti sýnir þáttapörin (1, 3x) og (2, 1), og örvar benda á mögulegu þættina (x + 1)(3x + 2) og (x + 2)(3x + 1).

Við þurfum að prófa röð þáttanna, því innri og ytri margfeldin ráða miðliðnum.

(x + 1) (3 x + 2) = 3 x^{2} + 5 x + 2 ✓

(x + 2) (3 x + 1) = 3 x^{2} + 7 x + 2

Stæðan 3x² + 5x + 2 er sýnd með tveimur leiðum til þáttunar. Litaðar örvar sýna margföldun innri og ytri liða til að athuga miðliðinn.

Rétta þáttunin er því:

3 x^{2} + 5 x + 2 = (x + 1) (3 x + 2)

Aðferðin er sú sama: raða, taka stærsta samdeili ef hann er til, finna þáttapör fyrsta og síðasta liðar, prófa samsetningar og athuga með margföldun.

Mundu að ef miðliðurinn er neikvæður og síðasti liðurinn jákvæður verða formerkin í tvíliðunum bæði neikvæð.

Dæmi 3

Þáttaðu fullkomlega með því að prófa sig áfram:

18 x^{2} - 37 x y + 15 y^{2}

Þríliðurinn er þegar raðaður eftir lækkandi stigi.
Finndu þáttapör fyrsta liðarins og síðasta liðarins. Þar sem síðasti liðurinn er jákvæður og miðliðurinn neikvæður notum við neikvæða þætti fyrir síðasta liðinn.
Skoðaðu allar samsetningar þáttanna. Ef þríliðurinn hefur engan sameiginlegan þátt getur hvorugur tvíliðurinn haft sameiginlegan þátt.
Réttu þættirnir eru þeir sem gefa upprunalega þríliðinn.
$(2 x - 3 y) (9 x - 5 y)$
$(2 x - 3 y) (9 x - 5 y) = 18 x^{2} - 37 x y + 15 y^{2} ✓$

Í öðrum þríliðum skaltu ekki gleyma að leita fyrst að stærsta samdeili. Ef forystustuðullinn er neikvæður er stærsti samdeilirinn líka neikvæður.

Dæmi 1

Þáttaðu fullkomlega:

4 x^{3} + 16 x^{2} - 20 x

Skref 1: Þríliðurinn er þegar raðaður eftir lækkandi stigi.
Skref 2: Finndu stærsta samdeili og taktu hann út fyrir sviga.
$4 x^{3} + 16 x^{2} - 20 x = 4 x (x^{2} + 4 x - 5)$
Skref 3: Þríliðurinn innan svigans hefur forystustuðulinn 1, svo við getum snúið FOIL-aðferðinni við.
$- 1, 5; - 1 + 5 = 4 ✓$
$1, - 5; 1 + (- 5) = - 4$
$4 x (x - 1) (x + 5)$
$4 x (x - 1) (x + 5) = 4 x^{3} + 16 x^{2} - 20 x ✓$

Dæmi 2

Hvað gerist þegar forystustuðullinn er ekki 1 og enginn stærsti samdeilir er til staðar? Þá má prófa möguleg þáttapör.

3 x^{2} + 5 x + 2

Fyrstu liðir tvíliðanna þurfa að margfaldast í 3x². Mögulegu fyrstu liðirnir eru x og 3x.

Síðustu liðirnir þurfa að margfaldast í 2. Þar sem allir liðir þríliðsins eru jákvæðir prófum við jákvæðu þáttapörin 1 og 2.

Við þurfum að prófa röð þáttanna, því innri og ytri margfeldin ráða miðliðnum.

(x + 1) (3 x + 2) = 3 x^{2} + 5 x + 2 ✓

(x + 2) (3 x + 1) = 3 x^{2} + 7 x + 2

Rétta þáttunin er því:

3 x^{2} + 5 x + 2 = (x + 1) (3 x + 2)

Aðferðin er sú sama: raða, taka stærsta samdeili ef hann er til, finna þáttapör fyrsta og síðasta liðar, prófa samsetningar og athuga með margföldun.

Mundu að ef miðliðurinn er neikvæður og síðasti liðurinn jákvæður verða formerkin í tvíliðunum bæði neikvæð.

Dæmi 3

Þáttaðu fullkomlega með því að prófa sig áfram:

18 x^{2} - 37 x y + 15 y^{2}

Þríliðurinn er þegar raðaður eftir lækkandi stigi.
Finndu þáttapör fyrsta liðarins og síðasta liðarins. Þar sem síðasti liðurinn er jákvæður og miðliðurinn neikvæður notum við neikvæða þætti fyrir síðasta liðinn.
Skoðaðu allar samsetningar þáttanna. Ef þríliðurinn hefur engan sameiginlegan þátt getur hvorugur tvíliðurinn haft sameiginlegan þátt.
Réttu þættirnir eru þeir sem gefa upprunalega þríliðinn.
$(2 x - 3 y) (9 x - 5 y)$
$(2 x - 3 y) (9 x - 5 y) = 18 x^{2} - 37 x y + 15 y^{2} ✓$

Í öðrum þríliðum skaltu ekki gleyma að leita fyrst að stærsta samdeili. Ef forystustuðullinn er neikvæður er stærsti samdeilirinn líka neikvæður.