44.18 n-ti liður runu

4.18.5 Að skipta á milli formúla

4.18.5 • Að skipta á milli formúla

Verkefni

Að breyta rakningarreglu í beina formúlu fyrir jafnmunarunur

Jafnmunaruna hefur eftirfarandi rakningarreglu:

$a_{1} = 3$

$a_{n} = a_{n - 1} + 2$ , $n \geq 2$

Rifjum upp að þessi formúla gefur okkur tvennt:

Fyrsti liðurinn er 3.
Til að fá næsta lið út frá liðnum á undan er 2 lagt við. Með öðrum orðum er fasti mismunurinn 2.

Við skulum finna beina formúlu fyrir rununa.

Við getum táknað runu þar sem fyrsti liðurinn er $A$ og fasti mismunurinn er $B$ með staðlaða beina forminu $A + B (n - 1)$ .

Þess vegna er bein formúla rununnar $a_{n} = 3 + 2 (n - 1)$ .

1. Skrifaðu beina formúlu, eða formúlu fyrir n-ta lið, fyrir jafnmunarunu þar sem $b_{1} = 2$ og $b_{n} = b_{n - 1} + 7$ , $n \geq 2$ .

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$b_{n} = 2 + (n - 1) 7$

Að breyta beinni formúlu í rakningarreglu fyrir jafnmunarunur

Reyndu nú að taka formúluna fyrir n-ta lið og nota hana til að skrifa rakningarreglu fyrir jafnmunarunu.

Okkur er gefin eftirfarandi formúla fyrir n-ta lið jafnmunarunu:

$d_{n} = 5 + (n - 1) \cdot 16$

Þessi formúla er gefin á staðlaða beina forminu $A + B (n - 1)$ , þar sem $A$ er fyrsti liðurinn og $B$ er fasti mismunurinn. Þess vegna er fyrsti liður rununnar 5 og mismunurinn 16.

Við skulum finna rakningarreglu fyrir rununa. Rifjum upp að rakningarreglan gefur okkur tvennt:

Fyrsta liðinn, sem við vitum að er 5.
Regluna til að fá næsta lið út frá liðnum á undan, sem við vitum að er „leggja 16 við“.

Þess vegna er þetta rakningarregla fyrir rununa: $d_{1} = 5$ , $d_{n} = d_{n - 1} + 16$ , $n \geq 2$ .

2. Skrifaðu rakningarregluna fyrir $e_{n} = 12 + (n - 1) 2$ .

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$e_{1} = 12$ , $e_{n} = e_{n - 1} + 2$

$n \geq 2$

Að breyta rakningarreglu í beina formúlu fyrir kvótarunur

Breyttu nú rakningarreglu kvótarunu í formúlu fyrir n-ta lið.

Hér er rakningarregla kvótarunu, $g (n)$ :

$g_{1} = 9$ , $g_{n} = g_{n - 1} \cdot (8)$ , $n \geq 2$

9 er fyrsti liður rununnar og 8 er kvótinn.

Bein formúla er byggð þannig: $g (x) = (fyrsti liður rununnar) \cdot {(kvóti)}^{x - 1}$ .

Settu gildin inn og þá fæst beina formúlan $g_{n} = 9 \cdot 8^{n - 1}$ .

3. Skrifaðu n-ta lið kvótarununnar þar sem $g_{1} = 5$ og $g_{n} = g_{n - 1} \cdot 4$ , $n \geq 2$ .

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$g_{n} = 5 \cdot 4^{(n - 1)}$

Að breyta beinni formúlu í rakningarreglu fyrir kvótarunur

Að lokum má tákna kvótarunur, sem gefnar eru með formúlu fyrir n-ta lið, með rakningarreglu.

Byrjaðu með formúluna fyrir n-ta lið $g_{n}$ , þar sem $g_{n} = 6 \cdot 3^{n - 1}$ .

Ef unnið er til baka, þá er $g_{1} = 6$ þegar $n = 1$ . Þetta er upphafsliðurinn.

Rakningarregla kvótarunu er $g_{n} = g_{n - 1} \cdot r$ , þar sem $r$ er kvótinn.

Kvóti gefnu rununnar er 3.

Því er $g_{1} = 6$ og $g_{n} = g_{n - 1} \cdot 3$ , $n \geq 2$ .

4. Skrifaðu kvótarununa sem táknuð er með $g_{n} = 14 \cdot 2^{n - 1}$ með rakningarreglu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$g_{1} = 14$ , $g_{n} = g_{n - 1} \cdot 2$

$n \geq 2$

Hvers vegna ætti ég að láta mig þetta varða?

A hand holds a tablet displaying a split image: on the left, wind turbines on a grassy hill; on the right, rows of solar panels under a clear sky, all against an orange background.

Ein leið til að takast á við loftslagsbreytingar er að nýta endurnýjanlega orku. Vindorkuver og sólarorka geta framleitt hreina orku. En hvað gerist þegar hvorki blæs né sólin skín? Orkufyrirtæki reiða sig á rafhlöðugeymslur til að geyma orku úr þessum endurnýjanlegu orkugjöfum.

Það er mikilvægt að rafhlöðurnar geti geymt eins mikla orku og hægt er, eins lengi og hægt er. Vísindamenn sem hanna slíkar rafhlöður nota föll til að reikna orkuinntak og orkuúttak og breytingar á þeim yfir tíma.

Ítarefni

Að skipta á milli skilgreininga á runum

Rakningarregla skilgreinir hvern lið runu með fyrri liðum.

Runa	Rakningarregla	Bein formúla eða formúla fyrir n-ta lið
Jafnmunaruna	$F_{1} = a_{1}$ , $F_{n} = F_{n - 1} + d$ , þar sem a₁ er fyrsti liðurinn og d er mismunurinn.	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ , þar sem a₁ er fyrsti liðurinn, n er liðurinn sem þú vilt finna og d er mismunurinn.
Kvótaruna	$H_{1} = a_{1}$ , $H_{n} = H_{n - 1} \cdot r$ , þar sem a₁ er fyrsti liðurinn og r er kvótinn.	$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ , þar sem a₁ er fyrsti liðurinn, n er liðurinn sem þú vilt finna og r er kvótinn.

Dæmi 1

Finndu beinu almennu formúluna fyrir jafnmunarununa sem gefin er með rakningarreglu.

$a_{1} = 5$ , $a_{n} = a_{n - 1} + 6$ , $n \geq 2$

Skref 1 - Skrifaðu rakningarregluna. (gefið)

$a_{1} = 5$ , $a_{n} = a_{n - 1} + 6$ , $n \geq 2$

Skref 2 - Finndu fyrsta liðinn.

$a_{1} = 5$

Skref 3 - Finndu mismuninn.

$d = 6$

Skref 4 - Skrifaðu beinu formúluna fyrir n-ta liðinn.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Skref 5 - Settu fyrsta liðinn og mismuninn inn í formúluna.

$a_{n} = 5 + (n - 1) 6$

Athugaðu með því að finna fyrstu þrjá liðina með hvorri formúlu:

$a_{1} = 5$ , $a_{n} = a_{n - 1} + 6$ , $n \geq 2$	$a_{1} = 5$	$a_{2} = 5 + 6 = 11$	$a_{3} = 11 + 6 = 17$
$a_{n} = 5 + (n - 1) 6$	$a_{1} = 5$	$a_{2} = 5 + (2 - 1) 6 = 11$	$a_{3} = 5 + (3 - 1) 6 = 17$

Báðar formúlur gefa sömu fyrstu þrjá liðina: 5, 11, 17.

Dæmi 2

Finndu beinu almennu formúluna fyrir kvótarununa sem gefin er með rakningarreglu.

$b_{1} = 4$ , $b_{n} = b_{n - 1} \cdot 5$ , $n \geq 2$

Skref 1 - Skrifaðu rakningarregluna (gefið).

$b_{1} = 4$ , $b_{n} = b_{n - 1} \cdot 5$ , $n \geq 2$

Skref 2 - Finndu fyrsta liðinn.

$a_{1} = 4$

Skref 3 - Finndu kvótann.

$r = 5$

Skref 4 - Skrifaðu beinu formúluna fyrir n-ta liðinn.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Skref 5 - Settu fyrsta liðinn og kvótann inn í formúluna.

$a_{n} = 4 (5)^{n - 1}$

Athugaðu með því að finna fyrstu þrjá liðina með hvorri formúlu:

$b_{1} = 4$ , $b_{n} = b_{n - 1} \cdot 5$ , $n \geq 2$	$b_{1} = 4$	$b_{2} = b_{1} \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$	$b_{3} = b_{2} \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100$
$a_{n} = 4 (^{5) n - 1}$	$a_{1} = 4 (^{5) 1 - 1} = 4$	$a_{2} = 4 (^{5) 2 - 1} = 20$	$a_{3} = 4 (^{5) 3 - 1} = 100$

Báðar formúlur gefa sömu fyrstu þrjá liðina: 4, 20, 100.

Dæmi 3

Finndu rakningarregluna fyrir jafnmunarununa sem gefin er á beinu almennu formi.

$a_{n} = 21 + (n - 1) (- 2)$

Skref 1 - Skrifaðu beinu formúluna (gefið).

$a_{n} = 21 + (n - 1) (- 2)$

Skref 2 - Finndu fyrsta liðinn.

$a_{1} = 21$

Skref 3 - Finndu mismuninn.

$d = - 2$

Skref 4 - Skrifaðu rakningarregluna.

$F_{1} = a_{1}$ , $F_{n} = F_{n - 1} + d$ , $n \geq 2$

Skref 5 - Settu fyrsta liðinn og mismuninn inn í formúluna.

$F_{1} = 21$ , $F_{n} = F_{n - 1} - 2$ , $n \geq 2$

Athugaðu röksemdafærsluna með því að finna fyrstu þrjá liðina með hvorri formúlu. Báðar formúlur gefa sömu fyrstu þrjá liðina: 21, 19, 17.

Dæmi 4

Finndu rakningarregluna fyrir kvótarununa sem gefin er á beinu almennu formi.

$a_{n} = 3 \cdot (\frac{1}{4})^{n - 1}$

Skref 1 - Skrifaðu beinu formúluna.

$a_{n} = 3 \cdot (\frac{1}{4})^{n - 1}$

Skref 2 - Finndu fyrsta liðinn.

$a_{1} = 3$

Skref 3 - Finndu kvótann.

$r = \frac{1}{4}$

Skref 4 - Skrifaðu rakningarregluna.

$H_{1} = a_{1}$ , $H_{n} = H_{n - 1} \cdot r$ , $n \geq 2$

Skref 5 - Settu fyrsta liðinn og kvótann inn í formúluna.

$H_{1} = 3$ , $H_{n} = H_{n - 1} \cdot \frac{1}{4}$ , $n \geq 2$

Athugaðu röksemdafærsluna með því að finna fyrstu þrjá liðina með hvorri formúlu. Báðar formúlur gefa sömu fyrstu þrjá liðina: 3, $\frac{3}{4}$ , $\frac{3}{16}$ .

44.18 n-ti liður runu

4.18.5 Að skipta á milli formúla

4.18.5 • Að skipta á milli formúla

Verkefni

Að breyta rakningarreglu í beina formúlu fyrir jafnmunarunur

Jafnmunaruna hefur eftirfarandi rakningarreglu:

$a_{1} = 3$

$a_{n} = a_{n - 1} + 2$ , $n \geq 2$

Rifjum upp að þessi formúla gefur okkur tvennt:

Fyrsti liðurinn er 3.
Til að fá næsta lið út frá liðnum á undan er 2 lagt við. Með öðrum orðum er fasti mismunurinn 2.

Við skulum finna beina formúlu fyrir rununa.

Við getum táknað runu þar sem fyrsti liðurinn er $A$ og fasti mismunurinn er $B$ með staðlaða beina forminu $A + B (n - 1)$ .

Þess vegna er bein formúla rununnar $a_{n} = 3 + 2 (n - 1)$ .

1. Skrifaðu beina formúlu, eða formúlu fyrir n-ta lið, fyrir jafnmunarunu þar sem $b_{1} = 2$ og $b_{n} = b_{n - 1} + 7$ , $n \geq 2$ .

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$b_{n} = 2 + (n - 1) 7$

Að breyta beinni formúlu í rakningarreglu fyrir jafnmunarunur

Reyndu nú að taka formúluna fyrir n-ta lið og nota hana til að skrifa rakningarreglu fyrir jafnmunarunu.

Okkur er gefin eftirfarandi formúla fyrir n-ta lið jafnmunarunu:

$d_{n} = 5 + (n - 1) \cdot 16$

Þessi formúla er gefin á staðlaða beina forminu $A + B (n - 1)$ , þar sem $A$ er fyrsti liðurinn og $B$ er fasti mismunurinn. Þess vegna er fyrsti liður rununnar 5 og mismunurinn 16.

Við skulum finna rakningarreglu fyrir rununa. Rifjum upp að rakningarreglan gefur okkur tvennt:

Fyrsta liðinn, sem við vitum að er 5.
Regluna til að fá næsta lið út frá liðnum á undan, sem við vitum að er „leggja 16 við“.

Þess vegna er þetta rakningarregla fyrir rununa: $d_{1} = 5$ , $d_{n} = d_{n - 1} + 16$ , $n \geq 2$ .

2. Skrifaðu rakningarregluna fyrir $e_{n} = 12 + (n - 1) 2$ .

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$e_{1} = 12$ , $e_{n} = e_{n - 1} + 2$

$n \geq 2$

Að breyta rakningarreglu í beina formúlu fyrir kvótarunur

Breyttu nú rakningarreglu kvótarunu í formúlu fyrir n-ta lið.

Hér er rakningarregla kvótarunu, $g (n)$ :

$g_{1} = 9$ , $g_{n} = g_{n - 1} \cdot (8)$ , $n \geq 2$

9 er fyrsti liður rununnar og 8 er kvótinn.

Bein formúla er byggð þannig: $g (x) = (fyrsti liður rununnar) \cdot {(kvóti)}^{x - 1}$ .

Settu gildin inn og þá fæst beina formúlan $g_{n} = 9 \cdot 8^{n - 1}$ .

3. Skrifaðu n-ta lið kvótarununnar þar sem $g_{1} = 5$ og $g_{n} = g_{n - 1} \cdot 4$ , $n \geq 2$ .

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$g_{n} = 5 \cdot 4^{(n - 1)}$

Að breyta beinni formúlu í rakningarreglu fyrir kvótarunur

Að lokum má tákna kvótarunur, sem gefnar eru með formúlu fyrir n-ta lið, með rakningarreglu.

Byrjaðu með formúluna fyrir n-ta lið $g_{n}$ , þar sem $g_{n} = 6 \cdot 3^{n - 1}$ .

Ef unnið er til baka, þá er $g_{1} = 6$ þegar $n = 1$ . Þetta er upphafsliðurinn.

Rakningarregla kvótarunu er $g_{n} = g_{n - 1} \cdot r$ , þar sem $r$ er kvótinn.

Kvóti gefnu rununnar er 3.

Því er $g_{1} = 6$ og $g_{n} = g_{n - 1} \cdot 3$ , $n \geq 2$ .

4. Skrifaðu kvótarununa sem táknuð er með $g_{n} = 14 \cdot 2^{n - 1}$ með rakningarreglu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

$g_{1} = 14$ , $g_{n} = g_{n - 1} \cdot 2$

$n \geq 2$

Hvers vegna ætti ég að láta mig þetta varða?

Ítarefni

Að skipta á milli skilgreininga á runum

Rakningarregla skilgreinir hvern lið runu með fyrri liðum.

Runa	Rakningarregla	Bein formúla eða formúla fyrir n-ta lið
Jafnmunaruna	$F_{1} = a_{1}$ , $F_{n} = F_{n - 1} + d$ , þar sem a₁ er fyrsti liðurinn og d er mismunurinn.	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ , þar sem a₁ er fyrsti liðurinn, n er liðurinn sem þú vilt finna og d er mismunurinn.
Kvótaruna	$H_{1} = a_{1}$ , $H_{n} = H_{n - 1} \cdot r$ , þar sem a₁ er fyrsti liðurinn og r er kvótinn.	$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ , þar sem a₁ er fyrsti liðurinn, n er liðurinn sem þú vilt finna og r er kvótinn.

Dæmi 1

Finndu beinu almennu formúluna fyrir jafnmunarununa sem gefin er með rakningarreglu.

$a_{1} = 5$ , $a_{n} = a_{n - 1} + 6$ , $n \geq 2$

Skref 1 - Skrifaðu rakningarregluna. (gefið)

$a_{1} = 5$ , $a_{n} = a_{n - 1} + 6$ , $n \geq 2$

Skref 2 - Finndu fyrsta liðinn.

$a_{1} = 5$

Skref 3 - Finndu mismuninn.

$d = 6$

Skref 4 - Skrifaðu beinu formúluna fyrir n-ta liðinn.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Skref 5 - Settu fyrsta liðinn og mismuninn inn í formúluna.

$a_{n} = 5 + (n - 1) 6$

Athugaðu með því að finna fyrstu þrjá liðina með hvorri formúlu:

$a_{1} = 5$ , $a_{n} = a_{n - 1} + 6$ , $n \geq 2$	$a_{1} = 5$	$a_{2} = 5 + 6 = 11$	$a_{3} = 11 + 6 = 17$
$a_{n} = 5 + (n - 1) 6$	$a_{1} = 5$	$a_{2} = 5 + (2 - 1) 6 = 11$	$a_{3} = 5 + (3 - 1) 6 = 17$

Báðar formúlur gefa sömu fyrstu þrjá liðina: 5, 11, 17.

Dæmi 2

Finndu beinu almennu formúluna fyrir kvótarununa sem gefin er með rakningarreglu.

$b_{1} = 4$ , $b_{n} = b_{n - 1} \cdot 5$ , $n \geq 2$

Skref 1 - Skrifaðu rakningarregluna (gefið).

$b_{1} = 4$ , $b_{n} = b_{n - 1} \cdot 5$ , $n \geq 2$

Skref 2 - Finndu fyrsta liðinn.

$a_{1} = 4$

Skref 3 - Finndu kvótann.

$r = 5$

Skref 4 - Skrifaðu beinu formúluna fyrir n-ta liðinn.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Skref 5 - Settu fyrsta liðinn og kvótann inn í formúluna.

$a_{n} = 4 (5)^{n - 1}$

Athugaðu með því að finna fyrstu þrjá liðina með hvorri formúlu:

$b_{1} = 4$ , $b_{n} = b_{n - 1} \cdot 5$ , $n \geq 2$	$b_{1} = 4$	$b_{2} = b_{1} \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$	$b_{3} = b_{2} \cdot 5 = 20 \cdot 5 = 100$
$a_{n} = 4 (^{5) n - 1}$	$a_{1} = 4 (^{5) 1 - 1} = 4$	$a_{2} = 4 (^{5) 2 - 1} = 20$	$a_{3} = 4 (^{5) 3 - 1} = 100$

Báðar formúlur gefa sömu fyrstu þrjá liðina: 4, 20, 100.

Dæmi 3

Finndu rakningarregluna fyrir jafnmunarununa sem gefin er á beinu almennu formi.

$a_{n} = 21 + (n - 1) (- 2)$

Skref 1 - Skrifaðu beinu formúluna (gefið).

$a_{n} = 21 + (n - 1) (- 2)$

Skref 2 - Finndu fyrsta liðinn.

$a_{1} = 21$

Skref 3 - Finndu mismuninn.

$d = - 2$

Skref 4 - Skrifaðu rakningarregluna.

$F_{1} = a_{1}$ , $F_{n} = F_{n - 1} + d$ , $n \geq 2$

Skref 5 - Settu fyrsta liðinn og mismuninn inn í formúluna.

$F_{1} = 21$ , $F_{n} = F_{n - 1} - 2$ , $n \geq 2$

Athugaðu röksemdafærsluna með því að finna fyrstu þrjá liðina með hvorri formúlu. Báðar formúlur gefa sömu fyrstu þrjá liðina: 21, 19, 17.

Dæmi 4

Finndu rakningarregluna fyrir kvótarununa sem gefin er á beinu almennu formi.

$a_{n} = 3 \cdot (\frac{1}{4})^{n - 1}$

Skref 1 - Skrifaðu beinu formúluna.

$a_{n} = 3 \cdot (\frac{1}{4})^{n - 1}$

Skref 2 - Finndu fyrsta liðinn.

$a_{1} = 3$

Skref 3 - Finndu kvótann.

$r = \frac{1}{4}$

Skref 4 - Skrifaðu rakningarregluna.

$H_{1} = a_{1}$ , $H_{n} = H_{n - 1} \cdot r$ , $n \geq 2$

Skref 5 - Settu fyrsta liðinn og kvótann inn í formúluna.

$H_{1} = 3$ , $H_{n} = H_{n - 1} \cdot \frac{1}{4}$ , $n \geq 2$

Athugaðu röksemdafærsluna með því að finna fyrstu þrjá liðina með hvorri formúlu. Báðar formúlur gefa sömu fyrstu þrjá liðina: 3, $\frac{3}{4}$ , $\frac{3}{16}$ .