44.18 n-ti liður runu

4.18.3 Skilgreina jafnmunarunu með n-ta liðnum

4.18.3 • Skilgreina jafnmunarunu með n-ta liðnum

Verkefni

1. Clare tekur pappírsörk sem er 8 tommur á lengd og 10 tommur á breidd og sker hana í tvennt. Síðan sker hún hana aftur í tvennt, og aftur ...

a. Í stað þess að skrifa rakningarreglu skrifar Clare $C (n) = 80 \cdot (\frac{1}{2})^{n}$ , þar sem $C$ er flatarmál pappírsins, í fertommum, eftir $n$ skurði. Útskýrðu hvaðan mismunandi liðir stæðunnar hennar koma.

Lausn

Berðu saman svörin þín:

Hver skurður helmingar flatarmálið og skurðirnir eru $n$ . Upphaflega flatarmálið er 80, þannig að $80 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1}{2}$ með $n$ margföldunum á $\frac{1}{2}$ er það sama og $80 \cdot (\frac{1}{2})^{n}$ .

b. Hvert er áætlað flatarmál pappírsins eftir 10 skurði?

Lausn

Berðu saman svörin þín:

Um það bil 0,078 fertommur (nákvæmlega $\frac{80}{1024}$ fertommur).

2. Kiran tekur pappírsörk sem er 8 tommur á lengd og 10 tommur á breidd og sker 1 tommu af breiddinni. Síðan gerir hann það aftur, og aftur ...

a. Fylltu út töfluna fyrir flatarmál pappírsins hjá Kiran, $K (n)$ , í fertommum, eftir $n$ skurði.

n	K(n)
0	80
1	72
2	80 − 8 − 8 = 80 − 8(2) = 64
3	56
4	48
5	40

Lausn

Berðu saman svörin þín:

Þegar $n$ er 1 er $K (n)$ jafnt 72. Þegar $n$ er 3 er $K (n)$ jafnt 56. Þegar $n$ er 4 er $K (n)$ jafnt 48. Þegar $n$ er 5 er $K (n)$ jafnt 40.

b. Kiran segir að flatarmálið eftir 6 skurði, í fertommum, sé $80 - 8 \cdot 6$ . Útskýrðu hvaðan mismunandi liðir stæðunnar hans koma.

Lausn

Berðu saman svörin þín:

Hver skurður fjarlægir 8 fertommur, svo 6 skurðir fjarlægja 48 fertommur. Upphaflega flatarmálið var 80 fertommur, þannig að flatarmálið sem eftir er, í fertommum, er $80 - 8 \cdot 6$ .

c. Skrifaðu skilgreiningu fyrir $K (n)$ sem er ekki rakningarregla.

Lausn

Berðu saman svörin þín:

$K (n) = 80 - 8 n$ fyrir heilar tölur þar sem $0 \leq n \leq 9$ , eða jafngilt svar.

3. Hvort er stærra, $K (6)$ eða $C (6)$ ?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$K (6)$ er stærra.

4. Er $K (n)$ jafnmunaruna eða kvótaruna?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$K (n)$ er jafnmunaruna.

5. Er $C (n)$ jafnmunaruna eða kvótaruna?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$C (n)$ er kvótaruna.

Runa með rakningarreglu er runa þar sem liðir eru skilgreindir með einum eða fleiri fyrri liðum. Ef þú þekkir lið númer n í jafnmunarunu eða kvótarunu og fasta mismuninn eða kvótann geturðu fundið lið númer (n+1) með rakningarreglu.

Mismunandi skilgreiningar geta oft myndað sömu runu. Fyrir jafnmunarunur og kvótarunur eru til almennar reglur, kallaðar beinar formúlur, sem má nota til að finna hvaða lið rununnar sem er.

Þær eru kallaðar formúlur fyrir n-ta liðinn eða almenna liðinn í rununni.

Formúlur fyrir jafnmunarunur

Rakningarregla

$a_{n} = a_{n - 1} + d$ , $a_{1}$ = fyrsti liður

þar sem a 1 er fyrsti liðurinn, n er liðurinn sem þú vilt finna og d er fasti mismunurinn.

Bein almenn formúla

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Þar sem a 1 er fyrsti liðurinn, n er liðurinn sem þú vilt finna og d er fasti mismunurinn.

Viðbótarefni

ALMENNUR LIÐUR (liður númer n) Í JAFNMUNARUNU

Almenni liðurinn í jafnmunarunu með fyrsta lið a 1 og fastan mismun d er: a n = a 1 + ( n − 1 ) d.

Dæmi 1

Skrifaðu beina formúlu fyrir rununa sem hefur liðina 18, 21, 24, 27, ...

Lausn

Skref 1 - Skrifaðu almennu formúluna.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Skref 2 - Settu inn gildi fyrir fyrsta lið, fastan mismun og liðnúmer.

$a_{1} = 18$ , $d = 3$

$a_{n} = 18 + (n - 1) 3$

Beina formúlan fyrir rununa 18, 21, 24, 27, ... er a n = 18 + ( n − 1 ) 3.

Nú er auðveldara að ákvarða hvaða lið sem er, jafnvel 1000. liðinn.

Dæmi 2

Finndu 15. lið runu þar sem fyrsti liðurinn er 3 og fasti mismunurinn er 6.

Skref 1 - Skrifaðu almennu formúluna.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Skref 2 - Settu inn gildi fyrir fyrsta lið, fastan mismun og liðnúmer.

$a_{1} = 3, d = 6$ , $n = 15$

$a_{15} = 3 + (15 - 1) 6$

Skref 3 - Einfaldaðu stæðuna.

$a_{15} = 3 + (14) 6$

$a_{15} = 3 + 84$

$a_{15} = 87$

Ef beinu formúlunnar hefði verið óskað í þessu verkefni hefðum við ekki sett inn n=15. Formúlan fyrir n-ta liðinn hefði verið a n = 3 + ( n − 1 ) 6. Þessi formúla jafngildir einnig

$a_{n} = 3 + 6 (n - 1)$

44.18 n-ti liður runu

4.18.3 Skilgreina jafnmunarunu með n-ta liðnum

4.18.3 • Skilgreina jafnmunarunu með n-ta liðnum

Verkefni

1. Clare tekur pappírsörk sem er 8 tommur á lengd og 10 tommur á breidd og sker hana í tvennt. Síðan sker hún hana aftur í tvennt, og aftur ...

Lausn

Berðu saman svörin þín:

b. Hvert er áætlað flatarmál pappírsins eftir 10 skurði?

Lausn

Berðu saman svörin þín:

Um það bil 0,078 fertommur (nákvæmlega $\frac{80}{1024}$ fertommur).

2. Kiran tekur pappírsörk sem er 8 tommur á lengd og 10 tommur á breidd og sker 1 tommu af breiddinni. Síðan gerir hann það aftur, og aftur ...

a. Fylltu út töfluna fyrir flatarmál pappírsins hjá Kiran, $K (n)$ , í fertommum, eftir $n$ skurði.

n	K(n)
0	80
1	72
2	80 − 8 − 8 = 80 − 8(2) = 64
3	56
4	48
5	40

Lausn

Berðu saman svörin þín:

Þegar $n$ er 1 er $K (n)$ jafnt 72. Þegar $n$ er 3 er $K (n)$ jafnt 56. Þegar $n$ er 4 er $K (n)$ jafnt 48. Þegar $n$ er 5 er $K (n)$ jafnt 40.

b. Kiran segir að flatarmálið eftir 6 skurði, í fertommum, sé $80 - 8 \cdot 6$ . Útskýrðu hvaðan mismunandi liðir stæðunnar hans koma.

Lausn

Berðu saman svörin þín:

Hver skurður fjarlægir 8 fertommur, svo 6 skurðir fjarlægja 48 fertommur. Upphaflega flatarmálið var 80 fertommur, þannig að flatarmálið sem eftir er, í fertommum, er $80 - 8 \cdot 6$ .

c. Skrifaðu skilgreiningu fyrir $K (n)$ sem er ekki rakningarregla.

Lausn

Berðu saman svörin þín:

$K (n) = 80 - 8 n$ fyrir heilar tölur þar sem $0 \leq n \leq 9$ , eða jafngilt svar.

3. Hvort er stærra, $K (6)$ eða $C (6)$ ?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$K (6)$ er stærra.

4. Er $K (n)$ jafnmunaruna eða kvótaruna?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$K (n)$ er jafnmunaruna.

5. Er $C (n)$ jafnmunaruna eða kvótaruna?

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$C (n)$ er kvótaruna.

Mismunandi skilgreiningar geta oft myndað sömu runu. Fyrir jafnmunarunur og kvótarunur eru til almennar reglur, kallaðar beinar formúlur, sem má nota til að finna hvaða lið rununnar sem er.

Þær eru kallaðar formúlur fyrir n-ta liðinn eða almenna liðinn í rununni.

Formúlur fyrir jafnmunarunur

Rakningarregla

$a_{n} = a_{n - 1} + d$ , $a_{1}$ = fyrsti liður

þar sem a 1 er fyrsti liðurinn, n er liðurinn sem þú vilt finna og d er fasti mismunurinn.

Bein almenn formúla

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Þar sem a 1 er fyrsti liðurinn, n er liðurinn sem þú vilt finna og d er fasti mismunurinn.

Viðbótarefni

ALMENNUR LIÐUR (liður númer n) Í JAFNMUNARUNU

Almenni liðurinn í jafnmunarunu með fyrsta lið a 1 og fastan mismun d er: a n = a 1 + ( n − 1 ) d.

Dæmi 1

Skrifaðu beina formúlu fyrir rununa sem hefur liðina 18, 21, 24, 27, ...

Lausn

Skref 1 - Skrifaðu almennu formúluna.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Skref 2 - Settu inn gildi fyrir fyrsta lið, fastan mismun og liðnúmer.

$a_{1} = 18$ , $d = 3$

$a_{n} = 18 + (n - 1) 3$

Beina formúlan fyrir rununa 18, 21, 24, 27, ... er a n = 18 + ( n − 1 ) 3.

Nú er auðveldara að ákvarða hvaða lið sem er, jafnvel 1000. liðinn.

Dæmi 2

Finndu 15. lið runu þar sem fyrsti liðurinn er 3 og fasti mismunurinn er 6.

Skref 1 - Skrifaðu almennu formúluna.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Skref 2 - Settu inn gildi fyrir fyrsta lið, fastan mismun og liðnúmer.

$a_{1} = 3, d = 6$ , $n = 15$

$a_{15} = 3 + (15 - 1) 6$

Skref 3 - Einfaldaðu stæðuna.

$a_{15} = 3 + (14) 6$

$a_{15} = 3 + 84$

$a_{15} = 87$

Ef beinu formúlunnar hefði verið óskað í þessu verkefni hefðum við ekki sett inn n=15. Formúlan fyrir n-ta liðinn hefði verið a n = 3 + ( n − 1 ) 6. Þessi formúla jafngildir einnig

$a_{n} = 3 + 6 (n - 1)$