4.18.2 Að greina formengi falls

Sierpinski-þríhyrning má búa til með því að byrja á jafnhliða þríhyrningi, skipta honum í fjóra eins jafnhliða þríhyrninga og fjarlægja síðan þríhyrninginn í miðjunni. Byrjað er á einum svörtum jafnhliða þríhyrningi:

1. Látum $S$ tákna fjölda svörtu þríhyrninganna í skrefi $n$. Skilgreindu $S(n)$ með rakningarreglu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$S(1)=3$, $S(n)=3·S(n-1)$ fyrir $n\ge 2$.

2. Andre og Lin eiga að skrifa jöfnu fyrir $S$. Jafnan á ekki að vera rakningarregla. Andre skrifar $S(n)=3^n$ fyrir $n\ge 0$, en Lin skrifar $S(n)=3^n-1$ fyrir $n\ge 1$. Hvora jöfnuna telur þú rétta? Undirbúðu rök fyrir svarinu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Bæði hafa rétt fyrir sér. Til dæmis hefur Lin rétt fyrir sér ef myndin sýnir skref 1 til 4; þá gefur jafnan hennar réttan fjölda þríhyrninga í hverju skrefi. Andre hefur rétt fyrir sér ef svarti upphafsþríhyrningurinn er talinn sem skref 0; þá er skref 1 með 3 þríhyrninga og skref 2 með 9 þríhyrninga, sem passar við jöfnuna hans.

Viltu reyna meira?

Að hugsa lengra

Hér er kvótaruna. Finndu liðina sem vantar.

3, ____, 6, ____, 12, ____, 24

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$3\sqrt{2}$, $6\sqrt{2}$, $12\sqrt{2}$ eða jafngilt.

Myndband: Sierpinski-þríhyrningurinn

Horfðu á myndbandið til að læra meira um hvernig mynstur er skrifað með lið númer $n$.