44.18 n-ti liður runu

4.18.4 Skilgreina kvótarunu með n-ta liðnum

4.18.4 • Skilgreina kvótarunu með n-ta liðnum

Verkefni

Árið 2015 var fjöldi villikatta í þjóðgarði 284. Áætlað var að villikattastofninn ykist um 4% á ári.

1. Í stað þess að skrifa rakningarreglu skrifar rannsakandi hjá þjóðgarðinum $W_{n} = 284 (1,04)^{n}$ , þar sem $W$ er áætlaður villikattastofn $n$ árum eftir 2015. Útskýrðu hvaðan ólíkir þættir stæðunnar koma.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi.

284 er upphaflegur fjöldi villikatta árið 2015.
1,04 táknar að stofninn stækkar um 4%, eða 0,04, á hverju ári.
1,04 fæst úr 100% af stofninum + 4% vexti = 104%, eða 1,04.
n táknar fjölda ára frá 2015. Þannig er n = 1 árið 2016 og n = 2 árið 2017.

Vinnið með félaga að því að ræða og búa til gildistöflu til að áætla villikattastofninn næstu sjö árin.

2. Ljúktu við töfluna fyrir $n = 2$ á blaði og athugaðu svörin þín.

Ár	$n$	Villikattastofn
2015	0	$W_{n} = 284 (1,04)^{0} = 284$
2016	1	$W_{n} = 284 (1,04)^{1} = 295$
2017	2	$W_{n} = 284 (1,04)^{2} =$
2018	3
2019	4
2020	5
2021	6
2022	7

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Ár	$n$	Villikattastofn
2015	0	284
2016	1	295
2017	2	307
2018	3	319
2019	4	332
2020	5	346
2021	6	359
2022	7	374

3. Notaðu grafteikniverkfæri eða annað tæki utan námskeiðsins. Teiknaðu graf fyrir gögnin sem sýna stofnspána í þessu dæmi.

Lausn

Berðu svörin þín saman við þetta:

Punktarit með bláum punktum sýnir vaxandi gögn. x-ásinn nær frá −2 til 8 og y-ásinn frá −100 til 550. Punktarnir hækka frá vinstri til hægri og byggjast á töflunni.

4. Reiknaðu og skráðu árið þegar villikattastofninn fer yfir 500 dýr.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Búist er við að villikattastofninn fari yfir 500 dýr árið 2030; þá er áætlað að hann verði 511 villikettir.

5. Er gagnasafnið í þessu dæmi jafnmunaruna eða kvótaruna? Rökstyddu svarið.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi:

Þetta gagnasafn táknar kvótarunu því jafnan hefur kvótann 1,04.
Þetta gagnasafn táknar kvótarunu því kvótinn milli samliggjandi liða í töflunni er 1,04.
Þetta gagnasafn táknar kvótarunu því grafið er ekki lína; það er lítillega bogið og hefur ekki fasta hallatölu.

Mundu að rakningarregla skilgreinir liði með einum eða fleiri fyrri liðum. Ef þú þarft að reikna 100. liðinn eða 500. liðinn í runu verður rakningarreglan erfið í notkun ef þú þekkir ekki gildi liða nálægt $n = 100$ eða $n = 500$ .

Mismunandi skilgreiningar geta oft myndað sömu runu en verið almennari. Þær kallast almennar reglur eða beinar formúlur. Þessar formúlur má nota til að finna hvaða lið rununnar sem er og þær kallast líka formúlur fyrir n-ta liðinn.

Formúlur fyrir kvótarunur

Rakningarregla

a_n = a_{n−1} · r,

þar sem a_1 er fyrsti liðurinn, $n$ er liðurinn sem þú vilt finna og kvótinn er $r$ .

Bein almenn formúla

$a_{n} = a_{1} (r)^{n - 1}$

þar sem a_1 er fyrsti liðurinn, $n$ er liðurinn sem þú vilt finna og kvótinn er $r$ .

Ítarefni

n-ti liður kvótarunu

Almennur liður (n-ti liður) kvótarunu

Almennur liður kvótarunu með fyrsta liðinn a_1 og kvótann $r$ : a_n = a_1r^(n−1).

Dæmi 1

Skrifaðu beina formúlu fyrir rununa sem hefur liðina 3, 2, $\frac{4}{3}$ , $\frac{8}{9}$ , ...

Lausn

Skref 1 - Skrifaðu almennu formúluna.

$a_{n} = a_{1} (r^{n - 1})$

Skref 2 - Settu inn gildi fyrir fyrsta liðinn, kvótann og númer liðarins.

$a_{1} = 3$ , $r = \frac{2}{3}$

$a_{n} = 3 (\frac{2}{3})^{n - 1}$

Því er beina formúlan fyrir rununa 3, 2, $\frac{4}{3}$ , $\frac{8}{9}$ , ... a_n = 3(2/3)^(n−1).

Eins og með jafnmunarunur auðveldar beina formúlan að finna hvaða lið sem er, sérstaklega þegar númer liðarins er mjög hátt.

Dæmi 2

Finndu 14. lið runu þar sem fyrsti liðurinn er 64 og kvótinn er $r = \frac{1}{2}$ .

Lausn

Skref 1 - Skrifaðu almennu formúluna.

$a_{n} = a_{1} (r^{n - 1})$

Skref 2 - Settu inn gildi fyrir fyrsta liðinn, kvótann og númer liðarins.

$a_{1} = 64$ , $r = \frac{1}{2}$ , $n = 14$

$a_{14} = 64 (\frac{1}{2})^{14 - 1}$

Skref 3 - Einfaldaðu stæðuna.

$a_{14} = 64 (\frac{1}{2})^{13}$

$a_{14} = 64 (\frac{1}{8192})$

$a_{14} = \frac{1}{128}$

Ef þörf væri á beinni formúlu fyrir þessa spurningu myndum við ekki setja $n = 14$ inn. Þá væri formúlan fyrir n-ta liðinn a_n = 64(1/2)^(n−1).

44.18 n-ti liður runu

4.18.4 Skilgreina kvótarunu með n-ta liðnum

4.18.4 • Skilgreina kvótarunu með n-ta liðnum

Verkefni

Árið 2015 var fjöldi villikatta í þjóðgarði 284. Áætlað var að villikattastofninn ykist um 4% á ári.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi.

284 er upphaflegur fjöldi villikatta árið 2015.
1,04 táknar að stofninn stækkar um 4%, eða 0,04, á hverju ári.
1,04 fæst úr 100% af stofninum + 4% vexti = 104%, eða 1,04.
n táknar fjölda ára frá 2015. Þannig er n = 1 árið 2016 og n = 2 árið 2017.

Vinnið með félaga að því að ræða og búa til gildistöflu til að áætla villikattastofninn næstu sjö árin.

2. Ljúktu við töfluna fyrir $n = 2$ á blaði og athugaðu svörin þín.

Ár	$n$	Villikattastofn
2015	0	$W_{n} = 284 (1,04)^{0} = 284$
2016	1	$W_{n} = 284 (1,04)^{1} = 295$
2017	2	$W_{n} = 284 (1,04)^{2} =$
2018	3
2019	4
2020	5
2021	6
2022	7

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Ár	$n$	Villikattastofn
2015	0	284
2016	1	295
2017	2	307
2018	3	319
2019	4	332
2020	5	346
2021	6	359
2022	7	374

3. Notaðu grafteikniverkfæri eða annað tæki utan námskeiðsins. Teiknaðu graf fyrir gögnin sem sýna stofnspána í þessu dæmi.

Lausn

Berðu svörin þín saman við þetta:

4. Reiknaðu og skráðu árið þegar villikattastofninn fer yfir 500 dýr.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Búist er við að villikattastofninn fari yfir 500 dýr árið 2030; þá er áætlað að hann verði 511 villikettir.

5. Er gagnasafnið í þessu dæmi jafnmunaruna eða kvótaruna? Rökstyddu svarið.

Lausn

Berðu svarið þitt saman við þetta:

Svör geta verið mismunandi, en hér eru nokkur dæmi:

Þetta gagnasafn táknar kvótarunu því jafnan hefur kvótann 1,04.
Þetta gagnasafn táknar kvótarunu því kvótinn milli samliggjandi liða í töflunni er 1,04.
Þetta gagnasafn táknar kvótarunu því grafið er ekki lína; það er lítillega bogið og hefur ekki fasta hallatölu.

Formúlur fyrir kvótarunur

Rakningarregla

a_n = a_{n−1} · r,

þar sem a_1 er fyrsti liðurinn, $n$ er liðurinn sem þú vilt finna og kvótinn er $r$ .

Bein almenn formúla

$a_{n} = a_{1} (r)^{n - 1}$

þar sem a_1 er fyrsti liðurinn, $n$ er liðurinn sem þú vilt finna og kvótinn er $r$ .

Ítarefni

n-ti liður kvótarunu

Almennur liður (n-ti liður) kvótarunu

Almennur liður kvótarunu með fyrsta liðinn a_1 og kvótann $r$ : a_n = a_1r^(n−1).

Dæmi 1

Skrifaðu beina formúlu fyrir rununa sem hefur liðina 3, 2, $\frac{4}{3}$ , $\frac{8}{9}$ , ...

Lausn

Skref 1 - Skrifaðu almennu formúluna.

$a_{n} = a_{1} (r^{n - 1})$

Skref 2 - Settu inn gildi fyrir fyrsta liðinn, kvótann og númer liðarins.

$a_{1} = 3$ , $r = \frac{2}{3}$

$a_{n} = 3 (\frac{2}{3})^{n - 1}$

Því er beina formúlan fyrir rununa 3, 2, $\frac{4}{3}$ , $\frac{8}{9}$ , ... a_n = 3(2/3)^(n−1).

Eins og með jafnmunarunur auðveldar beina formúlan að finna hvaða lið sem er, sérstaklega þegar númer liðarins er mjög hátt.

Dæmi 2

Finndu 14. lið runu þar sem fyrsti liðurinn er 64 og kvótinn er $r = \frac{1}{2}$ .

Lausn

Skref 1 - Skrifaðu almennu formúluna.

$a_{n} = a_{1} (r^{n - 1})$

Skref 2 - Settu inn gildi fyrir fyrsta liðinn, kvótann og númer liðarins.

$a_{1} = 64$ , $r = \frac{1}{2}$ , $n = 14$

$a_{14} = 64 (\frac{1}{2})^{14 - 1}$

Skref 3 - Einfaldaðu stæðuna.

$a_{14} = 64 (\frac{1}{2})^{13}$

$a_{14} = 64 (\frac{1}{8192})$

$a_{14} = \frac{1}{128}$

Ef þörf væri á beinni formúlu fyrir þessa spurningu myndum við ekki setja $n = 14$ inn. Þá væri formúlan fyrir n-ta liðinn a_n = 64(1/2)^(n−1).