Spár og spábil
14.5 Spár og spábil
Hæfniviðmið
Að loknum þessum kafla átt þú að geta:
Spá fyrir um háðu breytuna með aðhvarfslíkani
Ef línulegt samband er marktækt má nota aðhvarfslíkanið til spár. Þá er tiltekið gildi óháðu breytunnar x sett inn í jöfnuna og spáð gildi háðu breytunnar y reiknað.
Í fyrra dæmi tengdi eftirfarandi aðhvarfsjafna mánaðarlegar tekjur Fortune 500-fyrirtækis við auglýsingaútgjöld þess:
Hér táknar x auglýsingaútgjöld og y tekjur, hvort tveggja í þúsundum Bandaríkjadala.
Gerum ráð fyrir að Fortune 500-fyrirtækið vilji spá fyrir um mánaðarlegar tekjur í mánuði þar sem það hyggst verja 80.000 dollurum til auglýsinga. Til að ákvarða áætlaðar mánaðarlegar tekjur er sett inn í aðhvarfsjöfnuna og samsvarandi gildi fyrir ŷ reiknað:
Spáðar mánaðartekjur eru því 14.320,7 þúsund Bandaríkjadalir, eða 14.320.700 dalir, þegar auglýsingaútgjöld eru 80.000 dalir.
Spár ættu að jafnaði að byggjast á x-gildum innan þess gagnasviðs sem líkanið var metið út frá. Spá innan sviðsins nefnist brúun en spá utan þess framreikningur.
Tökum dæmi: við höfum þróað línulegt líkan til að spá fyrir um hæð drengja út frá aldri þeirra. Við höfum safnað gögnum fyrir aldursbilið frá ára til ára og staðfest að punktaritið sýnir línulega leitni og að fylgnin er marktæk.
Það væri rangt að nota þetta líkan til að spá fyrir um hæð 25 ára karls, þar sem er utan bils x-gagnanna, sem náði frá 3 til 10 ára. Ástæðan fyrir því að ekki er mælt með þessu er sú að ekki má gera ráð fyrir að línulegt mynstur haldi áfram út fyrir x-gildið 10 ár nema gögnum hafi verið safnað fyrir aldur yfir 10 árum til að staðfesta að línulega mynstrið haldist fyrir x-gildi yfir 10 árum.
Gerð spábila
Aðhvarfslíkan er gagnlegt vegna þess að það metur hvernig breyting á x tengist breytingu á y. Slíkt mat getur stutt áætlanagerð og ákvarðanir, en óvissa fylgir alltaf spánni og þarf að koma fram með bili, ekki aðeins einu gildi.
Punktmat eitt og sér hefur hvorki breidd né tiltekið öryggisstig. Tvenns konar bil svara ólíkum spurningum. Öryggisbil metur vænt meðalgildi y við tiltekið x.
Spábil metur hins vegar eitt framtíðargildi y við tiltekið x. Það þarf að ná bæði yfir óvissu í meðalsambandinu og breytileika einstakra mælinga og er því víðara.
Öryggisbil og spábil eru því bæði rétt, en þau svara ekki sömu spurningu. Öryggisbilið á við meðalsvörunina en spábilið eina framtíðarmælingu.
Spábil fyrir einstakt y þegar má reikna sem
þar sem se er staðalfrávik skekkjuliðarins, sx er staðalfrávik x-breytunnar og er markgildi t-dreifingarinnar við öryggisstigið .
Töflugildi t-dreifingarinnar eru aðgengileg í heimildum á netinu, til dæmis Engineering Statistics Handbook. Stærðfræðilegir útreikningar á spábilum eru flóknir og venjulega eru þeir framkvæmdir með hugbúnaði. Formúluna hér að ofan má útfæra í Excel til að búa til 95% spábil fyrir spá um mánaðarlegar tekjur þegar er varið til mánaðarlegra auglýsinga. Mynd 14.10 sýnir ítarlega útreikninga í Excel sem leiða til 95% spábilsins (13.270,95; 15.370,09) fyrir mánaðarlegar tekjur. (Skipanirnar vísa til Excel-gagnatöflunnar sem sýnd er á mynd 14.9.)
Túlkunin er: með 95% öryggi mun ein mánaðartekjumæling, þegar 80.000 Bandaríkjadölum er varið til auglýsinga, falla á bilinu 13.270,95-15.370,09 þúsund dalir.
Flest aðhvarfsforrit, þar á meðal R, geta reiknað bæði spáð gildi og tilheyrandi bil. Nauðsynlegt er að velja rétt bil, því spábil fyrir eina mælingu er víðara en öryggisbil fyrir vænt meðalgildi.
Mynd 14.11 sýnir muninn. Öryggisbilið um vænt meðalgildi y er þrengra en spábilið fyrir eina mælingu við sama öryggisstig. Ástæðan er sú að spábilið tekur einnig mið af dreifingu einstakra y-gilda um aðhvarfslínuna.
Breidd bilsins ræðst einnig af staðsetningu x innan gagnasviðsins. Allar aðhvarfslínur fara í gegnum punkt meðaltalanna. Eftir því sem valið x-gildi fjarlægist meðaltal x verða bilin breiðari. Utan mælda gagnasviðsins eykst óvissan enn meira og spáin getur orðið lítils virði (sjá mynd 14.12).
Mynd 14.12 sýnir áhyggjuefnið varðandi gæði metna bilsins, hvort sem það er spábil eða öryggisbil. Þegar gildið sem valið er til að spá fyrir um y, Xp á myndinni, er fjær miðju gagnanna, X̄, sjáum við að bilið víkkar jafnvel þótt öryggisstiginu sé haldið föstu. Þetta sýnir að nákvæmni hvers mats minnkar þegar reynt er að spá út fyrir meginþunga gagnanna og mun nær örugglega rýrna hratt þegar spáð er út fyrir gagnabilið. Því miður er það einmitt þar sem flestra spáa er óskað. Hægt er að gera þær, en breidd öryggisbilsins getur orðið svo mikil að spáin verði gagnslaus.X pX ¯