14Aðhvarfsgreining í fjármálum

Línuleg aðhvarfsgreining

14.2 Línuleg aðhvarfsgreining

Hæfniviðmið

Að loknum þessum kafla átt þú að geta:

Greina línulegt aðhvarf með aðferð minnstu kvaðrata og leifum.
Meta forsendur línulegrar aðhvarfsgreiningar.

Aðferð minnstu kvaðrata og leifar

Þegar marktæk fylgni hefur verið staðfest má setja fram aðhvarfslíkan. Hér er fjallað um línulegt aðhvarf, þar sem bein lína lýsir sambandi breytanna. Líkanið má síðan nota til að spá fyrir um háðu breytuna út frá tilteknu gildi óháðu breytunnar.

Jafna beinnar línu er:

y = m x + b

14.2

þar sem m er hallinn og b skurðpunktur línunnar við y-ásinn.

Hallinn lýsir bratta og stefnu línunnar. y-skurðpunkturinn er gildið þar sem línan sker y-ásinn.

Í línulegu aðhvarfi er jafnan yfirleitt skrifuð þannig:

\hat{y} = a + b x

14.3

Í þessari framsetningu er b halli línunnar og a er y-skurðpunkturinn. Táknið ŷ er kallað y-hattur og er notað til að tákna spáð gildi háðu breytunnar y fyrir tiltekið gildi óháðu breytunnar x.

Jákvæður halli merkir að línan hækkar frá vinstri til hægri, neikvæður halli að hún lækkar og hallinn núll að hún sé lárétt (sjá mynd 14.3).

Þrjú möguleg línurit fyrir jöfnuna ŷ = a + bx, merkt (a), (b) og (c). Línurit (a) sýnir línu sem hallar upp á við til hægri ef b > 0. Línurit (b) sýnir lárétta línu ef b = 0. Línurit (c) sýnir línu sem hallar niður á við til hægri ef b < 0. — **Mynd 14.3.** (a) $b > 0$ : línan hækkar. (b) $b = 0$ : línan er lárétt. (c) $b < 0$ : línan lækkar.

Þegar jafna línu er mynduð í algebru með $y = m x + b$ þurfti tvo (x, y)-punkta til að búa til jöfnuna. Í aðhvarfsgreiningu eru hins vegar allir (x, y)-punktar gagnasafnsins nýttir til að setja fram línulega aðhvarfslíkanið.

Aðhvarfsgreining hefst á punktariti. Síðan er fylgnistuðullinn reiknaður og marktækni hans metin. Ef punktarnir sýna línulega leitni og x getur skýrt eða spáð fyrir um y er aðhvarfslína fundin. Hana má nota til að spá fyrir um y við tiltekið x innan þess gagnasviðs sem mælt var.

Tökum sem dæmi fyrirtæki af Fortune 500-listanum þar sem mánaðarleg auglýsingaútgjöld tengjast mánaðarlegum tekjum. Eftir að mælingapörum hefur verið safnað fæst eftirfarandi aðhvarfsjafna:

\hat{y} = 9,376.7 + 61.8 x

14.4

þar sem x táknar mánaðarleg auglýsingaútgjöld (í þúsundum dollara) og ŷ táknar mánaðarlegar tekjur fyrirtækisins (í þúsundum dollara).

Punktarit mælinganna er sýnt á mynd 14.4.

Punktarit sem sýnir að mánaðarlegar tekjur hækka eftir því sem auglýsingaútgjöld aukast. — **Mynd 14.4.**

Fortune 500-fyrirtækið vill spá fyrir um mánaðarlegar tekjur ef stjórnendur þess ákveða að verja 150.000 dollurum í auglýsingar í næsta mánuði. Til að ákvarða mat á mánaðarlegum tekjum er sett x = 150x = 150í aðhvarfsjöfnuna og samsvarandi gildi fyrir ŷ reiknaðy ^:

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & 9,376.7 + 61.8 x \\ \hat{y} & = & 9,376.7 + 61.8 (150) \\ \hat{y} & = & 18,646.7 \end{array}

14.5

Spáin er því 18.646,7 þúsund Bandaríkjadalir, eða 18.646.700 dalir, þegar auglýsingaútgjöld eru 150.000 dalir.

Ef fyrirtækið hefur áður varið 150.000 dölum til auglýsinga liggur einnig fyrir mæld tekjufjárhæð fyrir slíkan mánuð. Munurinn á þeirri fjárhæð og spá líkansins nefnist leif.

Leif er munurinn á mældu y-gildi og spáðu y-gildi sem fæst úr línulegu aðhvarfsjöfnunni. Sem dæmi skulum við gera ráð fyrir að í fyrri mánuði hafi raunverulegar mánaðarlegar tekjur fyrir 150.000 dollara auglýsingaútgjöld verið 19.200.000 dollarar og því y = 19.200. Leifina fyrir þennan gagnapunkt má reikna þannig:

\begin{array}{rcl} Leif & = & (mældu y -gildi) - (spáðu y - gildi) \\ Leif & = & y - \hat{y} \\ Leif & = & 19,200 - 18,646.7 = 553.3 \end{array}

14.6

Leif getur verið jákvæð, neikvæð eða núll. Hún er núll þegar mælt og spáð y-gildi eru jöfn, jákvæð þegar mælda gildið er hærra og neikvæð þegar það er lægra.

Aðferð minnstu kvaðrata velur þá línu sem lágmarkar summu leifanna í öðru veldi. Línan fellur því best að punktunum í þeim skilningi að heildarfrávik mældra y-gilda frá spáðum gildum er sem minnst samkvæmt þessum mælikvarða.

Markmið aðhvarfsgreiningarinnar er að finna stuðlana a og b í jöfnunni:

\hat{y} = a + b x

14.8

Þegar mælingapörin (x, y) liggja fyrir eru hallinn b og y-skurðpunkturinn a reiknaðir með eftirfarandi formúlum:

\begin{array}{rcl} b & = & \frac{n \sum x y - (\sum x) (\sum y)}{n \sum x^{2} - {(\sum x)}^{2}} \\ a & = & \frac{\sum y}{n} - b \frac{\sum x}{n} \end{array}

14.9

þar sem n vísar til fjölda gagnapara og $\sum x$ táknar summu x-gildanna.

Formúlan fyrir y-skurðpunktinn notar hallann b. Því er hallinn reiknaður fyrst og skurðpunkturinn síðan.

Áður en spáð er fyrir um y þarf alltaf að skoða punktarit. Ef gögnin sýna línulega leitni má nota aðhvarfslínuna til spár innan þess bils x-gilda sem úrtakið nær yfir. Spár utan þess bils eru framreikningur og geta verið óáreiðanlegar.

Töflureiknar, tölfræðiforrit og margar reiknivélar finna aðhvarfslínu og teikna myndrit á skömmum tíma. Handreikningur getur hins vegar verið umfangsmikill.

Forsendur línulegrar aðhvarfsgreiningar

Ályktanir úr línulegu aðhvarfi byggjast á forsendum um gögnin. Úrtakið á að koma úr stærra þýði og vera nægilega vandað til að sambandið sem sést í úrtakinu gefi upplýsingar um samband x og y í þýðinu.

Aðhvarfslínan úr úrtakinu er sú lína sem fellur best að þeim mælingum. Hún er notuð sem mat á óþekktri aðhvarfslínu þýðisins (sjá mynd 14.5). Punktaritið og marktæknipróf fylgnistuðulsins hjálpa til við að meta hvort það sé réttlætanlegt.

Eftirfarandi forsendur liggja til grundvallar marktækniprófinu:

Í þýðinu er línulegt samband milli x og meðalgildis y. Aðhvarfslína úrtaksins er mat á þessari óþekktu línu.
Fyrir hvert x-gildi eru y-gildin normaldreifð um aðhvarfslínuna og meðaltal þeirra liggur á henni.
Dreifing y-gilda um línuna hefur sama staðalfrávik fyrir öll x-gildi.
Leifarnar eru óháðar hver annarri og mynda ekki kerfisbundið mynstur.
Gögnin koma úr vel hönnuðu slembiúrtaki eða slembitilraun.

Tvær skýringarmyndir sem sýna aðhvarfslínu gegnum miðju jafndreifðra y-gilda við þrjú x-gildi. — **Mynd 14.5.** Fyrir hvert x-gildi eru y-gildin normaldreifð um aðhvarfslínuna með sama staðalfráviki, og meðaltal þeirra liggur á línunni.