14Aðhvarfsgreining í fjármálum

Línulegt líkan sem fellur best að gögnunum

14.3 Línulegt líkan sem fellur best að gögnunum

Hæfniviðmið

Að loknum þessum kafla átt þú að geta:

Reikna halla og y-skurðpunkt línulegs aðhvarfslíkans með tækni.
Túlka og nota halla og y-skurðpunkt.

Reikna halla og y-skurðpunkt línulegs aðhvarfslíkans með tækni

Þegar fylgni telst marktæk má finna línulegt aðhvarfslíkan sem fellur best að gögnunum. Markmiðið er að reikna stuðlana a og b í jöfnunni:

\hat{y} = a + b x

14.10

Hallinn b og y-skurðpunkturinn a fást með eftirfarandi formúlum:

\begin{array}{rcl} b & = & \frac{n \sum x y - (\sum x) (\sum y)}{n \sum x^{2} - {(\sum x)}^{2}} \\ a & = & \frac{\sum y}{n} - b \frac{\sum x}{n} \end{array}

14.11

Handreikningur verður fljótt umfangsmikill þegar gagnapör eru mörg. Því eru stuðlarnir yfirleitt reiknaðir í Excel, fjármálareiknivél, R eða öðru tölfræðiforriti.

Í Excel eru x- og y-gildin fyrst skráð í sitt hvorn dálkinn. Föllin =SLOPE og =INTERCEPT reikna síðan hallann og y-skurðpunktinn.

Dæmið notar mánaðarleg auglýsingaútgjöld og tekjur fyrirtækis af Fortune 500-listanum yfir tólf mánuði (sjá töflu 14.4).

Mánuður	Auglýsingaútgjöld (þús. Bandaríkjadala)	Tekjur (þús. Bandaríkjadala)
Janúar	49	12.210
Febrúar	145	17.590
Mars	57	13.215
Apríl	153	19.200
Maí	92	14.600
Júní	83	14.100
Júlí	117	17.100
Ágúst	142	18.400
September	69	14.100
Október	106	15.500
Nóvember	109	16.300
Desember	121	17.020

Hallinn er reiknaður með eftirfarandi Excel-skipun:

=SLOPE(

-gagnasvið,

-gagnasvið)

Í =SLOPE er gagnasvið y-breytunnar skráð á undan gagnasviði x-breytunnar. Tekjur eru y-breytan og eru í C2:C13; auglýsingaútgjöld eru x-breytan og eru í B2:B13. Skipunin verður því:

=SLOPE(C2:C13, B2:B13)

y-skurðpunkturinn er reiknaður með samsvarandi skipun:

=INTERCEPT(

-gagnasvið,

-gagnasvið)

Fyrir gagnasafnið í töflu 14.4 er skipunin:

=INTERCEPT(C2:C13, B2:B13)

Niðurstöðurnar á mynd 14.6 eru:

\begin{array}{rcl} halli b & = & 61.8 \\ skurðpunktur a & = & 9,376.7 \end{array}

14.12

Excel-töflureiknir með mánaðarlegum auglýsingaútgjöldum og tekjum og útreiknuðum hallanum 61,8 og y-skurðpunktinum 9.376,7. — **Mynd 14.6.**

Aðhvarfsjafnan verður þá:

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & a + b x \\ \hat{y} & = & 9,376.7 + 61.8 x \end{array}

14.13

Hér táknar x auglýsingaútgjöld og y tekjur, hvort tveggja í þúsundum Bandaríkjadala.

Notkun fjármálareiknivélar

Fjármálareiknivél finnur einnig halla og y-skurðpunkt þegar mælingapörin hafa verið skráð í gagnaminni hennar.

Tafla 14.5 sýnir innslátt og útreikning fyrir auglýsinga- og tekjugögnin.

Skref	Lýsing	Slá inn	Skjár
1	Farðu í [DATA]-innsláttarham	2ND [DATA]	X01	0.00
2	Hreinsaðu fyrri gögn	2ND [CLR WORK]	X01	0.00
3	Sláðu inn fyrsta x-gildi, 49	49 ENTER	X01 =	49.00
4	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	Y01 =	1.00
5	Sláðu inn fyrsta y-gildi, 12210	12210 ENTER	Y01 =	12,210.00
6	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	X02	0.00
7	Sláðu inn annað x-gildi, 145	145 ENTER	X02 =	145.00
8	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	Y02 =	1.00
9	Sláðu inn annað y-gildi, 17590	17590 ENTER	Y02 =	17,590.00
10	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	X03	0.00
11	Haltu áfram að slá inn þau gagnagildi sem eftir eru
12	Farðu í [STAT]-ham	2ND [STAT]
13	Ýttu á [SET] þar til LIN birtist	2ND [SET]	$L I N$
14	Farðu í fyrstu tölfræðiniðurstöðu	↓	𝑛 = n =	12.00
15	Farðu í næstu tölfræðiniðurstöðu	↓	̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 𝑥 = x ¯ =	103.58
16	Haltu áfram að fletta niður þar til gildi a birtist	↓	𝑎 = a =	9,376.70
17	Haltu áfram að fletta niður þar til gildi b birtist	↓	𝑏 = b =	61.80

Reiknivélin gefur hallann b = 61,8 og y-skurðpunktinn a = 9.376,7.

Aðhvarfsjafnan verður því:

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & a + b x \\ \hat{y} & = & 9,376.7 + 61.8 x \end{array}

14.14

Túlka og beita halla og y-skurðpunkti

Halli línunnar b lýsir því hvernig y breytist þegar x breytist. Túlkunin verður alltaf að taka mið af einingum og samhengi gagnanna.

Túlkun hallans

Halli aðhvarfslínunnar segir hve mikið háða breytan y breytist að meðaltali þegar óháða breytan x hækkar um eina einingu.

Í dæminu um mánaðarleg auglýsingaútgjöld og tekjur er líkanið:

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & a + b x \\ \hat{y} & = & 9, 376 . 7 + 61 . 8 x \end{array}

14.15

Hallinn 61,8 merkir að fyrir hverja viðbótar 1.000 Bandaríkjadali í auglýsingaútgjöldum hækka mánaðarlegar tekjur að meðaltali um 61.800 dali.

y-skurðpunkturinn er spáð y-gildi þegar x = 0.

Túlkun skurðpunktsins

Skurðpunkturinn sýnir vænt meðalgildi y þegar x er núll.

Skurðpunktur hefur aðeins efnislega merkingu ef x = 0 er raunhæft og innan eða nærri því gagnasviði sem líkanið byggist á. Ef núll er utan mælda bilsins á ekki að túlka skurðpunktinn sem áreiðanlega spá.

Auglýsingaútgjöldin í dæminu eru á bilinu 49-153 þúsund Bandaríkjadalir á mánuði. Þar sem x = 0 er langt utan þessa bils er y-skurðpunkturinn ekki túlkaður í samhengi verkefnisins.

14Aðhvarfsgreining í fjármálum

Línulegt líkan sem fellur best að gögnunum

14.3 Línulegt líkan sem fellur best að gögnunum

Hæfniviðmið

Að loknum þessum kafla átt þú að geta:

Reikna halla og y-skurðpunkt línulegs aðhvarfslíkans með tækni.
Túlka og nota halla og y-skurðpunkt.

Reikna halla og y-skurðpunkt línulegs aðhvarfslíkans með tækni

Þegar fylgni telst marktæk má finna línulegt aðhvarfslíkan sem fellur best að gögnunum. Markmiðið er að reikna stuðlana a og b í jöfnunni:

\hat{y} = a + b x

14.10

Hallinn b og y-skurðpunkturinn a fást með eftirfarandi formúlum:

\begin{array}{rcl} b & = & \frac{n \sum x y - (\sum x) (\sum y)}{n \sum x^{2} - {(\sum x)}^{2}} \\ a & = & \frac{\sum y}{n} - b \frac{\sum x}{n} \end{array}

14.11

Handreikningur verður fljótt umfangsmikill þegar gagnapör eru mörg. Því eru stuðlarnir yfirleitt reiknaðir í Excel, fjármálareiknivél, R eða öðru tölfræðiforriti.

Í Excel eru x- og y-gildin fyrst skráð í sitt hvorn dálkinn. Föllin =SLOPE og =INTERCEPT reikna síðan hallann og y-skurðpunktinn.

Dæmið notar mánaðarleg auglýsingaútgjöld og tekjur fyrirtækis af Fortune 500-listanum yfir tólf mánuði (sjá töflu 14.4).

Mánuður	Auglýsingaútgjöld (þús. Bandaríkjadala)	Tekjur (þús. Bandaríkjadala)
Janúar	49	12.210
Febrúar	145	17.590
Mars	57	13.215
Apríl	153	19.200
Maí	92	14.600
Júní	83	14.100
Júlí	117	17.100
Ágúst	142	18.400
September	69	14.100
Október	106	15.500
Nóvember	109	16.300
Desember	121	17.020

Hallinn er reiknaður með eftirfarandi Excel-skipun:

=SLOPE(

-gagnasvið,

-gagnasvið)

Í =SLOPE er gagnasvið y-breytunnar skráð á undan gagnasviði x-breytunnar. Tekjur eru y-breytan og eru í C2:C13; auglýsingaútgjöld eru x-breytan og eru í B2:B13. Skipunin verður því:

=SLOPE(C2:C13, B2:B13)

y-skurðpunkturinn er reiknaður með samsvarandi skipun:

=INTERCEPT(

-gagnasvið,

-gagnasvið)

Fyrir gagnasafnið í töflu 14.4 er skipunin:

=INTERCEPT(C2:C13, B2:B13)

Niðurstöðurnar á mynd 14.6 eru:

\begin{array}{rcl} halli b & = & 61.8 \\ skurðpunktur a & = & 9,376.7 \end{array}

14.12

Aðhvarfsjafnan verður þá:

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & a + b x \\ \hat{y} & = & 9,376.7 + 61.8 x \end{array}

14.13

Hér táknar x auglýsingaútgjöld og y tekjur, hvort tveggja í þúsundum Bandaríkjadala.

Notkun fjármálareiknivélar

Fjármálareiknivél finnur einnig halla og y-skurðpunkt þegar mælingapörin hafa verið skráð í gagnaminni hennar.

Tafla 14.5 sýnir innslátt og útreikning fyrir auglýsinga- og tekjugögnin.

Skref	Lýsing	Slá inn	Skjár
1	Farðu í [DATA]-innsláttarham	2ND [DATA]	X01	0.00
2	Hreinsaðu fyrri gögn	2ND [CLR WORK]	X01	0.00
3	Sláðu inn fyrsta x-gildi, 49	49 ENTER	X01 =	49.00
4	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	Y01 =	1.00
5	Sláðu inn fyrsta y-gildi, 12210	12210 ENTER	Y01 =	12,210.00
6	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	X02	0.00
7	Sláðu inn annað x-gildi, 145	145 ENTER	X02 =	145.00
8	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	Y02 =	1.00
9	Sláðu inn annað y-gildi, 17590	17590 ENTER	Y02 =	17,590.00
10	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	X03	0.00
11	Haltu áfram að slá inn þau gagnagildi sem eftir eru
12	Farðu í [STAT]-ham	2ND [STAT]
13	Ýttu á [SET] þar til LIN birtist	2ND [SET]	$L I N$
14	Farðu í fyrstu tölfræðiniðurstöðu	↓	𝑛 = n =	12.00
15	Farðu í næstu tölfræðiniðurstöðu	↓	̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 𝑥 = x ¯ =	103.58
16	Haltu áfram að fletta niður þar til gildi a birtist	↓	𝑎 = a =	9,376.70
17	Haltu áfram að fletta niður þar til gildi b birtist	↓	𝑏 = b =	61.80

Reiknivélin gefur hallann b = 61,8 og y-skurðpunktinn a = 9.376,7.

Aðhvarfsjafnan verður því:

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & a + b x \\ \hat{y} & = & 9,376.7 + 61.8 x \end{array}

14.14

Túlka og beita halla og y-skurðpunkti

Halli línunnar b lýsir því hvernig y breytist þegar x breytist. Túlkunin verður alltaf að taka mið af einingum og samhengi gagnanna.

Túlkun hallans

Halli aðhvarfslínunnar segir hve mikið háða breytan y breytist að meðaltali þegar óháða breytan x hækkar um eina einingu.

Í dæminu um mánaðarleg auglýsingaútgjöld og tekjur er líkanið:

\begin{array}{rcl} \hat{y} & = & a + b x \\ \hat{y} & = & 9, 376 . 7 + 61 . 8 x \end{array}

14.15

Hallinn 61,8 merkir að fyrir hverja viðbótar 1.000 Bandaríkjadali í auglýsingaútgjöldum hækka mánaðarlegar tekjur að meðaltali um 61.800 dali.

y-skurðpunkturinn er spáð y-gildi þegar x = 0.

Túlkun skurðpunktsins

Skurðpunkturinn sýnir vænt meðalgildi y þegar x er núll.

Auglýsingaútgjöldin í dæminu eru á bilinu 49-153 þúsund Bandaríkjadalir á mánuði. Þar sem x = 0 er langt utan þessa bils er y-skurðpunkturinn ekki túlkaður í samhengi verkefnisins.