14Aðhvarfsgreining í fjármálum

Fylgnigreining

14.1 Fylgnigreining

Hæfniviðmið

Að loknum þessum kafla átt þú að geta:

Reikna fylgnistuðul.
Túlka fylgnistuðul.
Prófa hvort fylgnistuðull sé marktækur.

Reikna fylgnistuðul

Fylgnigreining fjallar um samband tvíbreytugagna, það er paraðra mælinga á tveimur breytum.

Fylgni lýsir sambandi tveggja talnabreyta. Dæmi eru samband skuldabréfaverðs og vaxta eða aldurs og verðmætis bifreiðar. Fyrsta skrefið er yfirleitt að teikna punktarit af mælingapörunum (x, y). Óháða breytan, einnig nefnd skýrandi breyta, er sett á x-ásinn en háða breytan, eða svörunarbreytan, á y-ásinn.

Skoðum samband hlutabréfaverðs Nike og Standard and Poor’s 500-vísitölunnar. Mánaðarlegum gildum beggja stærða er safnað yfir eitt ár og hvert par sett fram sem punktur. Lögun punktaskýsins sýnir hvort mynstur eða leitni sé í gögnunum. Tafla 14.1 sýnir mælingapörin sem notuð eru í dæminu.

Línuleg fylgni er metin með því að athuga hvort bein lína falli nokkurn veginn að punktaskýinu. Við jákvæða fylgni hafa breyturnar tilhneigingu til að hækka eða lækka saman. Við neikvæða fylgni hækkar önnur að jafnaði þegar hin lækkar. Ef breytingar á annarri breytunni tengjast ekki breytingum á hinni er ekki um fylgni að ræða. Fylgni lýsir sambandi en segir ekki að önnur breytan valdi breytingu á hinni.

Dagsetning	Standard and Poor’s 500	Hlutabréfaverð Nike (Bandaríkjadalir)
1.4.2020	2.912,43	87,18
1.5.2020	3.044,31	98,58
1.6.2020	3.100,29	98,05
1.7.2020	3.271,12	97,61
1.8.2020	3.500,31	111,89
1.9.2020	3.363,00	125,54
1.10.2020	3.269,96	120,08
1.11.2020	3.621,63	134,70
1.12.2020	3.756,07	141,47
1.1.2021	3.714,24	133,59
1.2.2021	3.811,15	134,78
1.3.2021	3.943,34	140,45
12.3.2021	3.943,34	140,45

Punktaritið fyrir Nike og Standard and Poor’s 500 sýnir jákvæða leitni: þegar vísitalan hækkar hefur hlutabréfaverð Nike einnig tilhneigingu til að hækka (sjá mynd 14.2).

Punktarit sem sýnir sterka jákvæða fylgni milli hlutabréfaverðs Nike og Standard and Poor’s 500-vísitölunnar yfir tólf mánuði. — **Mynd 14.2.** (gagnaheimild: Yahoo! Finance)

Sjónrænt mat á punktariti getur verið ónákvæmt. Fylgnistuðullinn r dregur styrk og stefnu línulegs sambands saman í einni tölu.

Fylgnistuðull Pearson, kenndur við tölfræðinginn Karl Pearson, mælir styrk og stefnu línulegs sambands milli óháðu breytunnar x og háðu breytunnar y.

Formúlan fyrir r er hér á eftir. Vegna umfangs útreikningsins er fylgnistuðullinn þó yfirleitt fundinn í Excel, R eða öðru tölfræðiforriti.

r = \frac{n \sum xy - (\sum x) (\sum y)}{\sqrt{n \sum x^{2} - {(\sum x)}^{2}} \sqrt{n \sum y^{2} - {(\sum y)}^{2}}}

14.1

þar sem n táknar fjölda gagnapara og táknið $\sum x$ merkir að leggja saman x-gildin.

Tafla 14.2 sýnir útreikning fylgnistuðulsins r í áföngum.

Skref	Framsetning með táknum
1. Leggðu saman x-gildin.	∑ 𝑥 ∑ x
2. Leggðu saman y-gildin.	∑ 𝑦 ∑ y
3. Margfaldaðu hvert x-gildi með samsvarandi y-gildi og leggðu margfeldin saman.	∑ 𝑥 ⁢ 𝑦 ∑ x ⁢ y
4. Settu hvert x-gildi í annað veldi og leggðu kvaðrötin saman.	∑ 𝑥 2 ∑ x 2
5. Settu hvert y-gildi í annað veldi og leggðu kvaðrötin saman.	∑ 𝑦 2 ∑ y 2
6. Finndu n, fjölda gagnapara.	n
7. Settu niðurstöðurnar inn í formúluna fyrir fylgnistuðulinn.	𝑟 = 𝑛 ⁢ ∑ x y − ( ∑ 𝑥 ) ⁢ ( ∑ 𝑦 ) √ 𝑛 ⁢ ∑ 𝑥 2 − ( ∑ 𝑥 ) 2 ⁢ √ 𝑛 ⁢ ∑ 𝑦 2 − ( ∑ 𝑦 ) 2 r = n ⁢ ∑ xy - ( ∑ x ) ⁢ ( ∑ y )/n ⁢ ∑ x 2 - ( ∑ x ) 2 ⁢ n ⁢ ∑ y 2 - ( ∑ y ) 2

Þar sem r er reiknað úr úrtaki er hann úrtaksstærð og mat á fylgni breytanna í öllu þýðinu. Úrtaksgögn ná aðeins til hluta þess þýðis sem rannsóknin beinist að.

Fylgnistuðullinn er yfirleitt reiknaður með Excel eða öðrum tölfræðihugbúnaði.

Í Excel er eftirfarandi skipanasnið notað:

=CORREL(A1:A10, B1:B10)

Hér eru x-gildin í reitunum A1:A10 og y-gildin í B1:B10.

Túlka fylgnistuðul

Fylgnistuðullinn r veitir tvenns konar upplýsingar:

styrk fylgninnar, sem ræðst af tölugildi r
stefnu fylgninnar, sem ræðst af formerki r

Tölugildi r er túlkað þannig:

Gildi r er alltaf á bilinu frá $−1$ til $+1$ : $−1 ≤ r ≤ 1$ .
Stærð fylgnistuðulsins r sýnir styrk línulega sambandsins. Gildi nálægt $−1$ eða $+1$ tákna sterkara samband.
Ef $r = 0$ er ekkert línulegt samband milli breytanna.
Ef $r = 1$ er fullkomin jákvæð fylgni.
Ef $r = −1$ er fullkomin neikvæð fylgni. Þegar fylgnin er fullkomin liggja allir punktarnir á beinni línu.

Formerki r sýnir stefnu sambandsins:

Jákvætt r merkir að x og y hafa tilhneigingu til að hækka og lækka saman.
Neikvætt r merkir að y hefur tilhneigingu til að lækka þegar x hækkar og hækka þegar x lækkar.

Fyrir Nike-gögnin í töflu 14.1 er fylgnistuðullinn reiknaður með eftirfarandi Excel-skipun:

=CORREL(B2:B14,C2:C14)

Í þessu dæmi reiknar Excel gildi $r$ sem $r = 0.928$ .

Gildið er jákvætt og nálægt 1. Það bendir til sterkrar jákvæðrar fylgni milli hlutabréfaverðs Nike og Standard and Poor’s 500-vísitölunnar á tímabilinu.

Fylgnistuðulinn r má einnig finna með tölfræðiaðgerð fjármálareiknivélar:

Sláðu gagnapörin inn með [DATA]-aðgerðinni fyrir ofan 7-lykilinn.
Opnaðu [STAT]-niðurstöðurnar fyrir ofan 8-lykilinn og flettu að fylgnistuðlinum.

Tafla 14.3 sýnir hvernig Nike- og vísitölugögnin eru slegin inn og fylgnistuðullinn sóttur.

Skref	Lýsing	Sláðu inn	Skjár
1	Opnaðu [DATA]-innsláttarham	2ND [DATA]	X01	0.00
2	Hreinsaðu eldri gögn	2ND [CLR WORK]	X01	0.00
3	Sláðu inn fyrsta x-gildi 2912,43	2912.43 ENTER	X01 =	2,912.43
4	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	Y01 =	1.00
5	Sláðu inn fyrsta y-gildi 87,18	87.18 ENTER	Y01 =	87.18
6	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	X02	0.00
7	Sláðu inn annað x-gildi 3044,31	3044.31 ENTER	X02 =	3,044.31
8	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	Y02 =	1.00
9	Sláðu inn annað y-gildi 98,58	98.58 ENTER	Y02 =	98.58
10	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	X03	0.00
11	Haltu áfram að slá inn þau gagnagildi sem eftir eru
12	Opnaðu [STAT]-ham	2ND [STAT]
13	Ýttu á [SET] þar til LIN birtist	2ND [SET]	$L I N$
14	Farðu í fyrstu tölfræðiniðurstöðu	↓	𝑛 = n =	13.00
15	Farðu í næstu tölfræðiniðurstöðu	↓	̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 𝑥 = x ¯ =	3,480.86
16	Haltu áfram að fletta niður þar til gildi r birtist	↓	𝑟 = r =	0.93

Reiknivélin gefur r = 0,93. Niðurstaðan staðfestir sterka jákvæða fylgni milli hlutabréfaverðs Nike og Standard and Poor’s 500-vísitölunnar á tímabilinu.

Sterk fylgni sýnir ekki að x valdi y eða að y valdi x. Fylgni felur ekki í sér orsakasamband.

Prófa marktækni fylgnistuðuls

Fylgnistuðull úrtaksins, r, lýsir styrk og stefnu línulegs sambands x og y. Ef gögn um allt þýðið væru tiltæk mætti reikna fylgnistuðul þýðisins, ρ (ró). Yfirleitt liggur aðeins úrtak fyrir og þá er r notað sem mat á hinu óþekkta ρ.

ρ = óþekktur fylgnistuðull þýðisins
r = þekktur fylgnistuðull úrtaksins, reiknaður úr úrtaksgögnum

Næst þarf að meta hvort fylgnin sé tölfræðilega marktæk, það er hvort hún sé nægilega sterk til að nýtast við spár um y út frá x. Tilgátupróf metur hvort fylgnistuðull þýðisins ρ sé frábrugðinn núlli. Niðurstaðan byggist á fylgnistuðli úrtaksins r og úrtaksstærðinni n.

Ef prófið sýnir að fylgnistuðullinn er marktækt frábrugðinn núlli telst fylgnin marktæk.

Niðurstaða: Gögnin styðja að marktækt línulegt samband sé milli x og y, því fylgnistuðullinn er marktækt frábrugðinn núlli.
Túlkun: Marktækt línulegt samband er milli x og y í þýðinu. Ef stuðullinn er ekki marktækt frábrugðinn núlli telst fylgnin ekki marktæk.

Tilgátupróf notar úrtaksgögn til að meta fullyrðingu um þýðisstika. Hér er prófað hvort fylgnistuðull þýðisins ρ sé núll.

Tilgáturnar eru:

Núlltilgáta: 𝐻0: 𝜌 =0 $H_{0} : ρ = 0$
Gagntilgáta: 𝐻𝑎: 𝜌 ≠0 $H_{a} : ρ \neq 0$

Þær eru túlkaðar þannig:

Núlltilgáta $H0$ : Fylgnistuðull þýðisins er ekki marktækt frábrugðinn núlli. Ekki er marktækt línulegt samband milli x og y í þýðinu.
Gagntilgáta $Hₐ$ : Fylgnistuðull þýðisins er marktækt frábrugðinn núlli. Marktækt línulegt samband er milli x og y í þýðinu.

Fljótleg styttiaðferð til að prófa fylgni byggist á sambandinu milli úrtaksstærðar og fylgni. Ef |r| ≥ 2/√n felur það í sér að fylgnin milli breytanna tveggja sýni að línulegt samband sé til staðar og sé tölfræðilega marktækt við um það bil 0,05 marktæknistig. Eins og formúlan sýnir er öfugt samband milli úrtaksstærðar og þeirrar fylgni sem þarf til að línulegt samband sé marktækt. Með aðeins 10 athugunum er fylgnin sem þarf til marktækni 0,6325; með 30 athugunum lækkar hún í 0,3651; og við 100 athuganir er nauðsynlegt gildi aðeins 0,2000.

Hafðu eftirfarandi í huga:

Ef r er marktækt og punktaritið sýnir línulega leitni má nota aðhvarfslínu til að spá fyrir um y innan þess bils x-gilda sem mælt var.
Ef r er ekki marktækt eða punktaritið sýnir ekki línulega leitni á ekki að nota línuna til spár.
Jafnvel marktækt línulegt samband getur gefið óáreiðanlegar spár utan þess bils x-gilda sem mælt var.

Fylgni getur dregið fram mynstur í gögnum en skýrir ekki af hverju sambandið er til staðar. Fylgnistuðullinn er oft ranglega túlkaður sem sönnun um orsakasamband, til dæmis þegar heilsufar er tengt búsetu eða öðrum eiginleikum. Slíka ályktun þarf að styðja með rannsóknaraðferð sem getur greint orsök frá fylgni og útilokað aðrar skýringar. Ábyrgð greinanda felst í að greina skýrt á milli þess sem gögnin sýna og þess sem þau geta ekki staðfest.