1313 Tölfræðileg greining í fjármálum

13.5 Líkindadreifingar

Að loknum þessum kafla átt þú að geta:

Reikna vægi eigna í eignasafni.
Reikna og túlka vænt gildi.
Beita normaldreifingu til að lýsa meðaltali og staðalfráviki í fjármálum.

Vægi eigna í eignasafni

Skipting eignasafns milli eignaflokka er mikilvægur mælikvarði í fjármálagreiningu. Hún sýnir hvort safnið samræmist þeirri eignaskiptingu sem fjárfestir stefnir að. Sá sem nálgast eftirlaunaaldur gæti til dæmis viljað færa hluta eigna sinna í varfærnari fjárfestingar sem sveiflast minna í verði. Vægi má reikna fyrir einstök hlutabréf, atvinnugreinar eða eignaflokka og miða annaðhvort við fjölda hluta eða markaðsvirði þeirra.

Vægi fjárfestingar miðað við verðmæti fæst með því að deila virði hennar með heildarvirði eignasafnsins. Tökum sem dæmi eftirlaunasparnað þar sem stefnt er að því að hafa 40% í hlutabréfum, 50% í skuldabréfum og 10% í ígildi handbærs fjár. Tafla 13.7 sýnir núverandi eignir safnsins, flokkaðar með þessum hætti.

Eign	Virði (Bandaríkjadalir)
Hlutabréf A	134.000
Hlutabréf B	172.000
Skuldabréf C	38.000
Skuldabréf D	102.000
Skuldabréf E	96.000
Innlánsskírteini	35.700
Sparireikningur	22.500
Heildarvirði	600.200

Til að finna vægi hlutabréfa, skuldabréfa og handbærs fjár er heildarvirði hvers eignaflokks deilt með heildarvirði safnsins. Niðurstöðurnar eru sýndar í töflu 13.8. Núverandi skipting er 51% hlutabréf, 39% skuldabréf og 10% handbært fé og er því frábrugðin markmiðinu 40%, 50% og 10%.

Eignaflokkur	Virði (Bandaríkjadalir)	Vægi í eignasafni
Hlutabréf	306.000	306.000 / 600.200 = 0,51
Skuldabréf	236.000	236.000 / 600.200 = 0,39
Handbært fé	58.200	58.200 / 600.200 = 0,10
Heildarvirði	600.200

Við endurjöfnun eignasafns kaupir fjárfestir eignir eða selur þær til að færa vægi eignaflokkanna aftur að markmiðinu. Í þessu dæmi mætti selja hluta hlutabréfanna og verja andvirðinu til skuldabréfakaupa. Þannig lækkar vægi hlutabréfa um 11 prósentustig og vægi skuldabréfa hækkar um sama hlutfall.

Útreikningur og túlkun vænts gildis

Líkindadreifing er stærðfræðilegt fall sem tengir líkur við mögulegar útkomur. Til dæmis má meta líkurnar á því að verð tiltekins hlutabréfs hækki eða lækki. Líkindadreifingar eru meðal annars notaðar til að reikna vænt gildi.

Í fjármálum er oft nauðsynlegt að meta vænta ávöxtun einstakrar fjárfestingar eða eignasafns. Þá er líkindadreifing mögulegrar ávöxtunar sett fram og vænt gildi reiknað með eftirfarandi formúlu:

Vænt gildi = P_{1} \cdot R_{1} + P_{2} \cdot R_{2} + P_{3} \cdot R_{3} + \dots + P_{n} \cdot R_{n}

13.39

þar sem P₁, P₂, P₃, ... P_n tákna líkurnar á hverri mögulegri ávöxtun og R₁, R₂, R₃, ... R_n samsvarandi ávöxtunarhlutfall.

Vænt gildi er því vegið meðaltal þar sem líkurnar eru vægin. Gildin fyrir P_n og R_n byggjast yfirleitt á sögulegum gögnum. Skoðum sem dæmi mögulega ávöxtun almennra hlutabréfa United Airlines. Samkvæmt gögnum fyrir tiltekið tímabil eru 15% líkur á 12% ávöxtun, 35% líkur á 5% ávöxtun, 25% líkur á 2% ávöxtun, 14% líkur á 5% tapi og 11% líkur á 10% tapi. Líkindadreifingin er sett fram í töflu 13.9.

Vænt langtímaávöxtun hlutabréfa United Airlines er þá reiknuð þannig:

Vænt gildi = P_{1} \cdot R_{1} + P_{2} \cdot R_{2} + P_{3} \cdot R_{3} + \dots + P_{n} \cdot R_{n}

13.40

Vænt gildi = 0.15 (0.12) + 0.35 (0.05) + 0.25 (0.02) + 0.14 (- 0.05) + 0.11 (- 0.10) = 0.0225

13.41

Samkvæmt þessari líkindadreifingu er vænt langtímaávöxtun almennra hlutabréfa United Airlines 2,25%.

Söguleg ávöxtun (%)	Líkur (%)
12	15
5	35
2	25
-5	14
-10	11

Sömu aðferð má nota til að meta vænta ávöxtun eignasafns sem skiptist milli hlutabréfa, skuldabréfa og ígildis handbærs fjár. Þá er vægi hvers eignaflokks notað sem líkur og söguleg ávöxtun hans sem möguleg útkoma. Vænt ávöxtun alls safnsins fæst með formúlunni fyrir vænt gildi.

Gerum ráð fyrir að eignasafn fjárfestis skiptist eins og sýnt er í töflu 13.10.

Eignaflokkur	Virði (Bandaríkjadalir)	Vægi í eignasafni	Söguleg ávöxtun (%)
Hlutabréf	306.000	0,51	13,0
Skuldabréf	236.000	0,39	4,0
Handbært fé	58.200	0,10	2,5
Heildarvirði	600.200

Vænt gildi = P_{1} \cdot R_{1} + P_{2} \cdot R_{2} + P_{3} \cdot R_{3} + \dots + P_{n} \cdot R_{n}

13.42

Vænt gildi = 0.51 (0.130) + 0.39 (0.040) + 0.10 (0.025) = 0.0844

13.43

Samkvæmt útreikningnum er vænt langtímaávöxtun eignasafnsins 8,44%.

Beiting normaldreifingar í fjármálum

Normaldreifing, sem einnig er kölluð bjölludreifing, kemur víða fyrir, meðal annars í fjármálum. Henni er lýst með tveimur stikum: meðaltali, sem ákvarðar miðju dreifingarinnar, og staðalfráviki, sem mælir dreifingu gildanna um meðaltalið. Eftirfarandi eru dæmi um stærðir sem geta fylgt normaldreifingu:

Greindarvísitölur fylgja normaldreifingu með meðaltalið 100 og staðalfrávikið 15.
Laun hjá tilteknu fyrirtæki fylgja normaldreifingu með meðallaunin 52.000 Bandaríkjadali og staðalfrávikið 4.800 dali.
Meðaleinkunnir við tiltekinn háskóla fylgja normaldreifingu með meðaltalið 3,27 og staðalfrávikið 0,24.
Árleg breyting Dow Jones-vísitölunnar yfir 40 ára tímabil fylgir normaldreifingu með meðalhækkunina 485 stig og staðalfrávikið 1.065 stig.
Meðalársávöxtun S&P 500-vísitölunnar yfir 50 ára tímabil fylgir normaldreifingu með meðaltalið 10,5% og staðalfrávikið 14,3%.
Meðalársávöxtun hlutabréfasjóða meðalstórra félaga á fimm ára tímabilinu 2010-2015 fylgir normaldreifingu með meðaltalið 8,9% og staðalfrávikið 3,7%.

Þegar gögn fylgja normaldreifingu má finna líkur sem flatarmál undir normalferlinum. Líkurnar á því að mæling falli innan tiltekins bils jafngilda flatarmálinu undir þeim hluta ferilsins sem samsvarar bilinu.

Flatarmál undir normalferlinum má finna í töflum eða reikna í Excel. Reynslureglan gefur einfalda nálgun á því hversu stór hluti dreifingarinnar liggur innan eins, tveggja eða þriggja staðalfrávika frá meðaltalinu (sjá mynd 13.4).

Graf normaldreifingar sem sýnir meðaltal og þrep staðalfráviks. Það er samhverft um lóðrétta línu í gegnum meðaltalið. Staðalfrávik allt að þremur frávikum eru sýnd báðum megin við meðaltalið. — **Mynd 13.4.** Mynd 13.4 Normaldreifing með meðaltali og staðalfrávikum

Ef slembibreytan x fylgir normaldreifingu með meðaltalið µ og staðalfrávikið σ gildir eftirfarandi samkvæmt reynslureglunni:

Um 68% x-gilda liggja innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu µ, það er á bilinu µ - σ til µ + σ.
Um 95% x-gilda liggja innan tveggja staðalfrávika frá meðaltalinu µ, það er á bilinu µ - 2σ til µ + 2σ.
Um 99,7% x-gilda liggja innan þriggja staðalfrávika frá meðaltalinu µ, það er á bilinu µ - 3σ til µ + 3σ. Nánast öll gildin falla því innan þess bils.
z-gildin einu staðalfráviki fyrir ofan og neðan meðaltalið eru annars vegar +1 og hins vegar -1.
z-gildin tveimur staðalfrávikum fyrir ofan og neðan meðaltalið eru annars vegar +2 og hins vegar -2.
z-gildin þremur staðalfrávikum fyrir ofan og neðan meðaltalið eru annars vegar +3 og hins vegar -3.

Gerum ráð fyrir að meðalársávöxtun sjóða sem fjárfesta í hlutabréfum meðalstórra félaga hafi fylgt normaldreifingu á fimm ára tímabilinu 2010–2015. Meðalávöxtunin var 8,9% og staðalfrávikið 3,7%. Ávöxtun innan eins staðalfráviks frá meðaltalinu er þá á bilinu 5,2-12,6%. Samkvæmt reynslureglunni nær það bil yfir 68% flatarmálsins undir normalferlinum. Líkurnar á að handahófsvalinn sjóður hafi skilað ávöxtun á þessu bili eru því 0,68, eða 68%.

Ef bilið er víkkað í tvö staðalfrávik frá meðaltalinu nær það frá 1,5% til 16,3%. Samkvæmt reynslureglunni liggja 95% flatarmálsins undir normalferlinum innan þessara marka. Líkurnar á að handahófsvalinn sjóður hafi skilað ávöxtun á þessu bili eru því 0,95, eða 95%.