1313 Tölfræðileg greining í fjármálum

13.2 Mælikvarðar á dreifingu

Að loknum þessum kafla átt þú að geta:

Skilgreina og reikna staðalfrávik gagnasafns.
Skilgreina og reikna dreifni gagnasafns.
Útskýra samband staðalfráviks og dreifni.

Staðalfrávik

Breytileiki er mikilvægur eiginleiki gagnasafns. Stundum liggja gildin þétt að meðaltalinu en stundum dreifast þau víða. Berum til dæmis saman ársávöxtun hlutabréfs A, 1%, 2%, -1%, 0% og 3%, við ársávöxtun hlutabréfs B, -9%, 2%, 15%, -5% og 0%.

Ávöxtun hlutabréfs B sveiflast greinilega meira en ávöxtun hlutabréfs A. Fjárfestir getur mælt þennan breytileika til að bera áhættu fjárfestinganna saman og velja í samræmi við markmið sín.

Algengasti mælikvarðinn á breytileika, eða dreifingu, er staðalfrávik. Það lýsir því hve langt gagnagildin liggja að jafnaði frá meðaltalinu. Staðalfrávik:

gefur tölulegan mælikvarða á heildarbreytileika gagnasafns;
sýnir hvort tiltekið gagnagildi liggur nálægt meðaltalinu eða langt frá því.

Staðalfrávik mælir heildarbreytileika gagnasafns og er aldrei neikvætt. Lítið staðalfrávik merkir að gildin liggja þétt að meðaltalinu. Eftir því sem gildin dreifast meira frá meðaltalinu hækkar staðalfrávikið.

Gerum ráð fyrir að meðalverð hlutabréfa A og B sé 5 Bandaríkjadalir. Staðalfrávik verðs hlutabréfs A er 2 en hlutabréfs B er 4. Hærra staðalfrávik B sýnir að verð þess sveiflast meira en verð A.

Tvær mismunandi formúlur eru til fyrir útreikning staðalfráviks. Hvaða formúla er notuð fer eftir því hvort gögnin tákna úrtak eða þýði. Táknunin s er notuð fyrir staðalfrávik úrtaks og táknunin σ er notuð fyrir staðalfrávik þýðis. Í formúlunum hér að neðan er x̄ úrtaksmeðaltal, μ er þýðismeðaltal, n er úrtaksstærð og N er stærð þýðis.

Formúla fyrir staðalfrávik úrtaks:

s = \sqrt{\frac{\sum {(x - \bar{x})}^{2}}{n - 1}}

13.8

Formúla fyrir staðalfrávik þýðis:

σ = \sqrt{\frac{\sum {(x - μ)}^{2}}{N}}

13.9

Dreifni

Dreifni er annar mælikvarði á dreifingu gagnagilda. Hún byggist á fráviki hvers gildis frá meðaltalinu: því meiri sem frávikin eru, þeim mun meiri er dreifnin. Dreifni og staðalfrávik veita því sambærilegar upplýsingar um breytileika.

Í fjármálum er dreifni meðal annars notuð til að meta sveiflur og þar með áhættu fjárfestingar. Varfærinn fjárfestir kann til dæmis að velja eignir með lítinn breytileika.

Líkt og með staðalfrávik fer formúlan sem notuð er til að reikna dreifni einnig eftir því hvort gögnunum er safnað úr úrtaki eða þýði. Táknunin s² er notuð fyrir dreifni úrtaks og táknunin σ² er notuð fyrir dreifni þýðis.

Formúla fyrir dreifni úrtaks:

s^{2} = \frac{\sum {(x - \bar{x})}^{2}}{n - 1}

13.10

Formúla fyrir dreifni þýðis:

σ^{2} = \frac{\sum {(x - μ)}^{2}}{N}

13.11

Staðalfrávik og dreifni úrtaks má reikna í eftirfarandi skrefum:

Reiknaðu úrtaksmeðaltalið x̄ með því að leggja gildin saman og deila með fjölda þeirra.
Settu upp þriggja dálka töflu og skráðu gagnagildin í fyrsta dálkinn.
Dragðu meðaltalið frá hverju gildi og skráðu frávikið x - x̄ í annan dálkinn. Frávikin geta verið jákvæð eða neikvæð en summa þeirra er núll.
Hefðu hvert frávik í annað veldi og skráðu (x - x̄)² í þriðja dálkinn. Kvaðrötin eru aldrei neikvæð.
Leggðu saman kvaðröt frávikanna, ∑(x - x̄)².
Deildu summunni með n - 1, þar sem n er úrtaksstærðin.
Niðurstaðan er dreifni úrtaksins, s² = ∑(x - x̄)²/(n - 1).
Taktu kvaðratrót dreifninnar til að fá staðalfrávik úrtaksins, s = √(∑(x - x̄)²/(n - 1)).
Námundunarregla: Dreifni og staðalfrávik úrtaks eru venjulega gefin með einum aukastaf umfram nákvæmni upphaflegu gagnanna.

Hugleiddu

Útreikningur staðalfráviks og dreifni

13.12.

Verðbréfamiðlun auglýsir starf fjármálagreinanda og fær 210 umsóknir. Eftirfarandi aldursgildi eru úr úrtaki tíu umsækjenda:

40, 36, 44, 51, 54, 55, 39, 47, 44, 50

13.12

Reikna á dreifni og staðalfrávik þessa tíu manna úrtaks.

Lausn

Lausn:

Dreifni og staðalfrávik úrtaksins eru reiknuð með þriggja dálka töflu (sjá töflu 13.3).

Gagnasafnið er 40, 36, 44, 51, 54, 55, 39, 47, 44 og 50.
Úrtakið inniheldur tíu gildi, svo n = 10.
Úrtaksmeðaltalið er x̄ = 46.
Dálkur 1 inniheldur gagnagildin.
Dálkur 2 inniheldur frávikin x - x̄.

Dálkur 3 inniheldur kvaðröt frávikanna, (x - x̄)².

Dálkur 1 x	Dálkur 2 (x - x̄)	Dálkur 3 (x - x̄)²
40	40 - 46 = -6	(-6)² = 36
36	36 - 46 = -10	(-10)² = 100
44	44 - 46 = -2	(-2)² = 4
51	51 - 46 = 5	(5)² = 25
54	54 - 46 = 8	(8)² = 64
55	55 - 46 = 9	(9)² = 81
39	39 - 46 = -7	(-7)² = 49
47	47 - 46 = 1	(1)² = 1
44	44 - 46 = -2	(-2)² = 4
50	50 - 46 = 4	(4)² = 16
	Summa = 0	Summa = 380

Dreifni úrtaksins er s² = ∑(x - x̄)²/(n - 1) = 380/(10 - 1) = 380/9 ≈ 42,2.
$s^{2} = \frac{\sum {(x - \bar{x})}^{2}}{n - 1} = \frac{380}{10 - 1} = \frac{380}{9} \approx 42 . 2$
13.13
Staðalfrávik úrtaksins er s = √(∑(x - x̄)²/(n - 1)) = √(380/9) ≈ 6,5.
$s = \sqrt{\frac{\sum {(x - \bar{x})}^{2}}{n - 1}} = \sqrt{\frac{380}{9}} \approx 6 . 5$
13.14

Handreikningur dreifni og staðalfráviks er tímafrekur, eins og dæmið sýnir. Fjármálareiknivél getur reiknað þessa mælikvarða, auk meðal annars meðaltals, hratt og örugglega.

Tölfræðilegir útreikningar á reiknivélinni skiptast í tvö meginskref:

Sláðu gögnin inn í reiknivélina með [DATA]-fallinu, sem er fyrir ofan 7-lykilinn.
Opnaðu tölfræðiniðurstöðurnar sem reiknivélin gefur með [STAT]-fallinu, sem er fyrir ofan 8-lykilinn.

Skref	Lýsing	Sláðu inn	Skjár
1	Farðu í [DATA]-innsláttarham	2ND [DATA]	X01	0.00
2	Hreinsaðu fyrri gögn	2ND [CLR WORK]	X01	0.00
3	Sláðu inn fyrsta gagnagildið, 40	40 ENTER	X01 =	40.00
4	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	Y01 =	1.00
5	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	X02	0.0
6	Sláðu inn annað gagnagildið, 36	36 ENTER	X02 =	36.00
7	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	Y02 =	1.00
8	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	X03	0.00
9	Sláðu inn þriðja gagnagildið, 44	44 ENTER	X03 =	44.00
10	Farðu í næstu gagnafærslu	↓	Y03 =	1.00
11	Haltu áfram að slá inn gagnagildin sem eftir eru
12	Farðu í [STAT]-ham	2ND [STAT]	$L I N$
13	Farðu í fyrstu tölfræðiniðurstöðuna	↓	$n =$	10.00
14	Farðu í næstu tölfræðiniðurstöðu	↓	$\bar{x} =$	46.00
15	Farðu í næstu tölfræðiniðurstöðu	↓	Sx =	6.50

Reiknivélin sýnir meðaltalið 46 og staðalfrávik úrtaksins 6,50.

Í Excel má fá sömu niðurstöður með föllunum =AVERAGE fyrir meðaltal og =STDEV.S fyrir staðalfrávik úrtaks. Skráðu gögnin í dálk, til dæmis í reiti A2-A11. Settu =AVERAGE(A2:A11) í annan reit til að reikna meðaltalið og =STDEV.S(A2:A11) í annan til að reikna staðalfrávik úrtaksins. Mynd 13.2 sýnir niðurstöðurnar fyrir aldursgildin tíu.

Skjámynd af Excel-töflu sem sýnir skipanir til að reikna meðaltal og staðalfrávik úrtaksgagna. Tíu aldursgildi eru skráð: 40, 36, 44, 51, 54, 55, 39, 47, 44 og 50. Excel-skipunin til að reikna úrtaksmeðaltal er =AVERAGE(A2:A11). Niðurstaðan er 46. Excel-skipunin til að reikna staðalfrávik úrtaks er =STDEV.S(A2:A11). Niðurstaðan er 6.5. — **Mynd 13.2.** Meðaltal og staðalfrávik reiknað í Excel.

Samband staðalfráviks og dreifni

Í formúlunum hér að ofan fyrir dreifni og staðalfrávik má sjá að dreifni er staðalfrávik í öðru veldi og staðalfrávik er kvaðratrót dreifni.

Þegar þú hefur reiknað annað þessara gilda getur þú reiknað hitt gildið beint. Ef þú veist til dæmis að staðalfrávik gagnasafns er 12.5 getur þú reiknað dreifnina með því að hefja þetta staðalfrávik í annað veldi. Dreifnin er þá 12.5², sem er 156.25.

Á sama hátt getur þú ákvarðað staðalfrávikið með því að reikna kvaðratrót dreifninnar ef þú þekkir gildi dreifninnar. Ef vitað er til dæmis að dreifni gagnasafns er 31.36, má reikna staðalfrávikið sem kvaðratrótina af 31.36, sem er 5.6.

Einn ókostur við að nota dreifni er að hún er mæld í ferningseiningum, sem eru aðrar en einingarnar í gagnasafninu. Ef gagnasafnið samanstendur til dæmis af aldri mældum í árum, væri dreifnin mæld í árum í öðru veldi, sem getur verið ruglingslegt. Staðalfrávik er mælt í sömu einingum og upprunalega gagnasafnið og því er staðalfrávik oftar notað en dreifni til að mæla dreifingu gagnasafns.