13.4 Tölfræðilegar dreifingar
13.4 Tölfræðilegar dreifingar
Að loknum þessum kafla átt þú að geta:
Tíðnidreifingar
Tíðnidreifing skipuleggur og dregur saman gögn svo auðveldara sé að sjá dreifingu þeirra, miðsækni og lögun. Í stórum gagnasöfnum geta mynstur verið ógreinileg í hráum talnarunum. Með tíðnitöflu og myndriti má setja gögnin fram á þéttan hátt og auðvelda túlkun þeirra.
Einföld tíðnitafla hefur þrjá dálka. Í þeim fyrsta eru flokkabil, í öðrum tíðni hvers bils, það er fjöldi gilda sem fellur innan þess, og í þeim þriðja hlutfallsleg tíðni. Hlutfallsleg tíðni fæst með því að deila tíðni viðkomandi bils með heildarfjölda mælinga.
Normaldreifing
Þéttifall normaldreifingar, sem er samfelld dreifing, er mikilvægast allra dreifinga. Normaldreifing á við þegar tíðni gagnagilda lækkar með hverjum flokki fyrir ofan og neðan meðaltalið. Normaldreifingu má beita á mörg dæmi úr fjármálageiranum, þar á meðal meðalávöxtun verðbréfasjóða yfir tiltekið tímabil, gildi eignasafna og fleira. Normaldreifingin hefur tvær breytistærðir, eða tölulega lýsandi mælikvarða: meðaltalið, 𝜇 μ, og staðalfrávikið, 𝜎 σ. Breytan x táknar stærðina sem er mæld og gagnagildi fyrir hana fylgja normaldreifingu.
Ferillinn á mynd 13.3 er samhverfur um lóðrétta línu sem dregin er í gegnum meðaltalið, 𝜇 μ. Meðaltalið er það sama og miðgildið, sem er það sama og tíðasta gildið, vegna þess að grafið er samhverft um 𝜇 μ. Eins og táknunin sýnir ræðst normaldreifingin aðeins af meðaltalinu og staðalfrávikinu. Þar sem flatarmálið undir ferlinum verður að vera 1 veldur breyting á staðalfrávikinu, 𝜎 σ, breytingu á lögun normalferilsins; ferillinn verður breiðari og lægri eða mjórri og hærri eftir 𝜎 σ. Breyting á 𝜇 μ veldur því að grafið hliðrast til vinstri eða hægri. Þetta þýðir að til er óendanlegur fjöldi normaldreifinga.
Líkur í normaldreifingu samsvara flatarmáli undir normalferlinum. Nánar er fjallað um útreikninginn í kaflanum um beitingu normaldreifingar í fjármálum. Ef meðallaun eru 60.000 Bandaríkjadalir og staðalfrávikið 7.500 dalir liggur meðaltalið við topp ferilsins. Líkurnar á launum yfir 75.000 dölum samsvara flatarmálinu hægra megin við 75.000 á ferlinum.
Excel finnur uppsafnað flatarmál vinstra megin við tiltekið gildi í normaldreifingu með eftirfarandi skipun:
=NORM.DIST(XVALUE, MEAN, STANDARD_DEV, TRUE)
Til að finna líkurnar á að handahófsvalinn starfsmaður hafi minna en 55.000 Bandaríkjadali í laun þegar meðaltalið er 60.000 og staðalfrávikið 7.500 er eftirfarandi Excel-skipun notuð:
=NORM.DIST(55000, 60000, 7500, TRUE)
Niðurstaða: 0.25249
Niðurstaðan sýnir um 25% líkur á að handahófsvalinn starfsmaður hafi minna en 55.000 Bandaríkjadali í laun.
Veldisdreifing
Veldisdreifing er oft notuð til að lýsa tíma fram að tilteknum atburði. Fjármálasérfræðingur gæti til dæmis notað hana til að gera líkan af tíma fram að greiðslufalli á skuld fyrirtækis.
Í veldisdreifingu eru lítil gildi algeng en stór gildi sjaldgæf. Markaðsrannsóknir sýna til dæmis oft að útgjöld viðskiptavina í verslun fylgja slíku mynstri: margir verja lágum fjárhæðum en fáir mjög háum.
Veldisdreifingar eru oft notaðar í útreikningum á áreiðanleika vara, eða hversu lengi vara endist. Slembibreytan fyrir veldisdreifinguna er samfelld og mælir oft tíma sem líður, þótt einnig megi nota hana í öðrum tilvikum. Dæmigerðar spurningar gætu verið: Hverjar eru líkurnar á því að einhver atburður gerist á milli x1 og x2 klukkustunda? Eða hverjar eru líkurnar á því að atburðurinn taki meira en x1 klukkustundir? Í þessum dæmum er slembibreytan x annaðhvort tíminn milli atburða eða sá tími sem líður þar til aðgerð er lokið (t.d. bið eftir afgreiðslu viðskiptavinar). Þéttifallið er gefið með
þar sem 𝜇 μ er sögulegt meðaltal gilda slembibreytunnar (t.d. sögulegur meðalbiðtími). Þetta þéttifall hefur meðaltal og staðalfrávik sem eru 1/μ.
Líkur í veldisdreifingu eru fundnar sem flatarmál undir ferlinum. Eftirfarandi formúla gefur uppsafnaðar líkur vinstra megin við tiltekið gildi: