Kafli 8

$a\approx 14.9,$ $\beta \approx \mathrm{23.8°},$ $\gamma \approx \mathrm{126.2°}.$

$\alpha \approx \mathrm{27.7°},$ $\beta \approx \mathrm{40.5°},$ $\gamma \approx \mathrm{111.8°}$

$\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$r=\sqrt{3}$

$x^2+y^2=2y$ eða, á stöðluðu formi hrings, $x^2+{\left(y-1\right)}^2=1$ no-selfclose

Jafnan stenst ekki samhverfupróf um línuna $\theta =\frac{\pi }{2}$ né um skautið. Hún stenst samhverfupróf um pólhnitaásinn.

Prófanir sýna samhverfu um pólhnitaásinn. Núllstöð er $\left(0,\frac{\pi }{2}\right),$ og hágildið er $(3,0).$

Grafið er rós þar sem $n$ er slétt tala

Rós þar sem $n$ er oddatala

$\left|z\right|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

$z=3\left(\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)\right)$

$z=2\left(\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)+i\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)\right)$

$z=2\sqrt{3}-2i$

$z_1{z}_2=-4\sqrt{3};\frac{z_1}{z_2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$

$z_0=2(\cos (\mathrm{30°})+i\sin (\mathrm{30°}))$

$z_1=2(\cos (\mathrm{120°})+i\sin (\mathrm{120°}))$

$z_2=2(\cos (\mathrm{210°})+i\sin (\mathrm{210°}))$

$z_3=2(\cos (\mathrm{300°})+i\sin (\mathrm{300°}))$

$\begin{array}{l}x(t)=t^3-2t\\ y(t)=t\end{array}$

$y=5-\sqrt{\frac{1}{2}x-3}$

$y=\ln \sqrt{x}$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$

$y=x^2$

$3u=\langle 15,12\rangle$

$u=8i-11j$

$v=\sqrt{34}\cos (\mathrm{59°})i+\sqrt{34}\sin (\mathrm{59°})j$

stærð = $\sqrt{34}$

$\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)=\mathrm{59.04°}$

$\beta =\mathrm{72°},a\approx 12.0,b\approx 19.9$

$\gamma =\mathrm{20°},b\approx 4.5,c\approx 1.6$

$b\approx 3.78$

$c\approx 13.70$

einn þríhyrningur, $\alpha \approx \mathrm{50.3°},\beta \approx \mathrm{16.7°},a\approx 26.7$

tveir þríhyrningar, $\gamma \approx \mathrm{54.3°},\beta \approx \mathrm{90.7°},b\approx 20.9$ eða ${\gamma }^{\prime }\approx \mathrm{125.7°},{\beta }^{\prime }\approx \mathrm{19.3°},b^{\prime }\approx 6.9$

tveir þríhyrningar, $\beta \approx \mathrm{75.7°},\gamma \approx \mathrm{61.3°},b\approx 9.9$ eða ${\beta }^{\prime }\approx \mathrm{18.3°},{\gamma }^{\prime }\approx \mathrm{118.7°},b^{\prime }\approx 3.2$

tveir þríhyrningar, $\alpha \approx \mathrm{143.2°},\beta \approx \mathrm{26.8°},a\approx 17.3$ eða ${\alpha }^{\prime }\approx \mathrm{16.8°},{\beta }^{\prime }\approx \mathrm{153.2°},a^{\prime }\approx 8.3$

$A\approx \mathrm{47.8°}$ eða $A^{\prime }\approx \mathrm{132.2°}$

$8.6$

$370.9$

$12.3$

$12.2$

$16.0$

$\mathrm{29.7°}$

$x=\mathrm{76.9°}\text{or}x=\mathrm{103.1°}$

$\mathrm{110.6°}$

$A\approx 39.4,C\approx 47.6,BC\approx 20.7$

$57.1$

$42.0$

$430.2$

$10.1$

$AD\approx 13.8$

$AB\approx 2.8$

$L\approx 49.7,N\approx 56.3,LN\approx 5.8$

Fjarlægðin frá gervitunglinu að stöð $A$ er um það bil 1716 mílur. Gervitunglið er um það bil 1706 mílur yfir jörðu.

19,056 fet 2

8.65 fet 2

$s$ er hálfummálið, það er helmingur ummáls þríhyrningsins.

$c=257.3,96.7$

$B\approx \mathrm{45.9°},C\approx \mathrm{99.1°},a\approx 6.4$

$A\approx \mathrm{20.6°},B\approx \mathrm{38.4°},c\approx 51.1$

$A\approx \mathrm{37.8°},B\approx 43.8,C\approx \mathrm{98.4°}$

177.56 tommur 2

0.04 m²

0.91 jardar 2

65.4 cm²

468 fet 2

Í pólhnitum ræðst punktur í planinu af horninu frá jákvæða x-ásnum og fjarlægðinni frá upphafspunktinum, en í kartesískum hnitum táknar punkturinn lárétta og lóðrétta fjarlægð frá upphafspunktinum. Sérhver punktur í kartesísku hnitakerfi hefur eina framsetningu en sérhver punktur í pólhnitakerfi hefur óendanlega margar framsetningar.

Ákvarðaðu $\theta$ fyrir punktinn og færðu þig síðan $r$ einingar frá skautinu til að merkja punktinn. Ef $r$ er neikvætt skaltu færa þig $r$ einingar frá skautinu í gagnstæða átt en eftir sömu hornlínu. Punkturinn er í fjarlægðinni $r$ frá upphafspunktinum og í horninu $\theta$ frá pólhnitaásnum.

Punkturinn $\left(-3,\frac{\pi }{2}\right)$ hefur jákvætt horn en neikvæðan geisla. Hann er merktur með því að fara í hornið $\frac{\pi }{2}$ og síðan 3 einingar í neikvæða átt. Punkturinn verður þannig 3 einingar niður eftir neikvæða y-ásnum. Punkturinn $\left(3,-\frac{\pi }{2}\right)$ hefur neikvætt horn og jákvæðan geisla. Hann er merktur með því að fara fyrst í hornið $-\frac{\pi }{2}$ og síðan 3 einingar niður, sem er jákvæða stefnan fyrir neikvætt horn. Sá punktur er einnig 3 einingar niður eftir neikvæða y-ásnum.

$\left(-5,0\right)$

$\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)$

$\left(2\sqrt{5},0.464\right)$

$\left(\sqrt{34},5.253\right)$

$\left(8\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$

$r=4\csc \theta$

$r=\sqrt[3]{\frac{sin\theta }{2co{s}^4\theta }}$

$r=3\cos \theta$

$r=\frac{3\sin \theta }{\cos \left(2\theta \right)}$

$r=\frac{9\sin \theta }{{\cos }^2\theta }$

$r=\sqrt{\frac{1}{9\cos \theta \sin \theta }}$

$x^2+y^2=4x$ eða $\frac{{\left(x-2\right)}^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1;$ hringur

$3y+x=6;$ lína

$y=3;$ lína

$xy=4;$ breiðbogi

$x^2+y^2=4;$ hringur

$x-5y=3;$ lína

$\left(3,\frac{3\pi }{4}\right)$

$\left(5,\pi \right)$

$r=\frac{6}{5\cos \theta -\sin \theta }$

$r=2\sin \theta$

$r=\frac{2}{\cos \theta }$

$r=3\cos \theta$

$x^2+y^2=16$

$y=x$

$x^2+{\left(y+5\right)}^2=25$

$\left(1.618,-1.176\right)$

$\left(10.630,\mathrm{131.186°}\right)$

$\left(2,3.14\right)or\left(2,\pi \right)$

Lóðrétt lína sem er $a$ einingum vinstra megin við y-ásinn. 

Lárétt lína sem er $a$ einingum neðan við x-ásinn.

Samhverfa um pólhnitaásinn samsvarar samhverfu um $x$ -ásinn, samhverfa um skautið samsvarar samhverfu um upphafspunktinn og samhverfa um línuna $\theta =\frac{\pi }{2}$ samsvarar samhverfu um $y$ -ásinn.

Prófaðu samhverfu, finndu núllstöðvar, skurðpunkta og hágildi og gerðu gildatöflu. Ákvarðaðu almenna gerð grafsins, svo sem hjartaferil, snigilferil eða lemniskötu, merktu síðan punkta við $\theta =0,\frac{\pi }{2},$ $\pi$ og  $\frac{3\pi }{2},$ og skissaðu grafið.

samhverft um pólhnitaásinn, samhverft um línuna $\theta =\frac{\pi }{2},$ samhverft um skautið

samhverft um línuna $\theta =\frac{\pi }{2}$

Samhverft um línuna $\theta =\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ (y-ásinn)

Bæði gröfin eru ferlar með 2 lykkjum. Jafnan þar sem stuðull $\theta$ kemur fyrir hefur tvær lykkjur vinstra megin, en jafnan með stuðulinn 2 hefur tvær lykkjur hlið við hlið. Teiknaðu gröfin frá 0 til $4\pi$ til að fá skýrari mynd.

$\left(4,\frac{\pi }{3}\right),\left(4,\frac{5\pi }{3}\right)$

$\left(\frac{3}{2},\frac{\pi }{3}\right),\left(\frac{3}{2},\frac{5\pi }{3}\right)$

$\left(0,\frac{\pi }{2}\right),\left(0,\pi \right),\left(0,\frac{3\pi }{2}\right),\left(0,2\pi \right)$

$=\frac{\pi }{4}$ og $\sqrt{\text{sin}\frac{\pi }{4}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt[4]{8}}{2}$

a er raunhlutinn, b er þverhlutinn og $i=\sqrt{-1}$

Pólform fæst með því að breyta raun- og þverhluta tvinntölu með $x=r\cos \theta$ og $y=r\sin \theta .$

$z^n=r^n\left(\cos \left(n\theta \right)+i\sin \left(n\theta \right)\right)$ Formúlan er notuð til að einfalda pólform þegar tala er hafin í veldi.

$5\sqrt{2}$

$\sqrt{38}$

$\sqrt{14.45}$

$4\sqrt{5}\mathrm{cis}\left(\mathrm{333.4°}\right)$

$2\mathrm{cis}\left(\frac{\pi }{6}\right)$

$\frac{7\sqrt{3}}{2}+i\frac{7}{2}$

$-2\sqrt{3}-2i$

$-1.5-i\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$4\sqrt{3}\mathrm{cis}\left(\mathrm{198°}\right)$

$\frac{3}{4}\mathrm{cis}\left(\mathrm{180°}\right)$

$5\sqrt{3}\mathrm{cis}\left(\frac{17\pi }{24}\right)$

$7\mathrm{cis}\left(\mathrm{70°}\right)$

$5\mathrm{cis}\left(\mathrm{80°}\right)$

$5\mathrm{cis}\left(\frac{\pi }{3}\right)$

$125\mathrm{cis}\left(\mathrm{135°}\right)$

$9\mathrm{cis}\left(\mathrm{240°}\right)$

$\mathrm{cis}\left(\frac{3\pi }{4}\right)$

$3\mathrm{cis}\left(\mathrm{80°}\right),3\mathrm{cis}\left(\mathrm{200°}\right),3\mathrm{cis}\left(\mathrm{320°}\right)$

$2\sqrt[3]{4}\mathrm{cis}\left(\frac{2\pi }{9}\right),2\sqrt[3]{4}\mathrm{cis}\left(\frac{8\pi }{9}\right),2\sqrt[3]{4}\mathrm{cis}\left(\frac{14\pi }{9}\right)$

$2\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(\frac{7\pi }{8}\right),2\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(\frac{15\pi }{8}\right)$

$3.61e^{-0.59i}$

$-2+3.46i$

$-4.33-2.50i$

Par falla sem eru háð ytri stærð. Bæði föllin eru rituð með sama stika, til dæmis $x=f\left(t\right)$ og $y=f\left(t\right).$

Veldu aðra jöfnuna og leystu hana fyrir 𝑡 . $t,$ Settu niðurstöðuna inn í hina jöfnuna og einfaldaðu.

$y=-2+2x$

$y=3\sqrt{\frac{x-1}{2}}$

$x=2e^{\frac{1-y}{5}}$ eða $y=1-5ln\left(\frac{x}{2}\right)$

$x=4\log \left(\frac{y-3}{2}\right)$

$x={\left(\frac{y}{2}\right)}^3-\frac{y}{2}$

$y=x^3$

${\left(\frac{x}{4}\right)}^2+{\left(\frac{y}{5}\right)}^2=1$

$y^2=1-\frac{1}{2}x$

$y=x^2+2x+1$

$y={\left(\frac{x+1}{2}\right)}^3-2$

$y=-3x+14$

$y=x+3$

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t\hfill \\ y\left(t\right)=2\sin t+1\hfill \end{array}$

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=\sqrt{t}+2t\hfill \\ y\left(t\right)=t\hfill \end{array}$

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=4\cos t\hfill \\ y\left(t\right)=6\sin t\hfill \end{array};$ Ellipse

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=\sqrt{10}\cos t\hfill \\ y\left(t\right)=\sqrt{10}\sin t\hfill \end{array};$ Circle

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=-1+4t\hfill \\ y\left(t\right)=-2t\hfill \end{array}$

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=4+2t\hfill \\ y\left(t\right)=1-3t\hfill \end{array}$

já, þegar $t=2$

svör eru mismunandi: $\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t-1\hfill \\ y\left(t\right)=t^2\hfill \end{array}\text{ og }\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t+1\hfill \\ y\left(t\right)={\left(t+2\right)}^2\hfill \end{array}$

svör eru mismunandi: , $\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t\hfill \\ y\left(t\right)=t^2-4t+4\hfill \end{array}\text{ og }\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=t+2\hfill \\ y\left(t\right)=t^2\hfill \end{array}$

Örvarnar sýna stefnu ferilsins, það er hreyfistefnuna þegar gildi 𝑡 t . vaxa. $t.$

Taktu neikvætt gildi jöfnunnar 𝑥 ⁡ ( 𝑡 ) . x $x\left(t\right)$⁡ ( t )

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=5\cos t\\ y\left(t\right)=5\sin t\end{array}$

$a=4,$ $b=3,$ $c=6,$ $d=1$

$a=4,$ $b=2,$ $c=3,$ $d=3$

Skurðpunkturinn við $y$ -ásinn breytist.

$y\left(x\right)=-16{\left(\frac{x}{15}\right)}^2+20\left(\frac{x}{15}\right)$

$\{\begin{array}{l}x(t)=64t\cos \left(52°\right)\\ y(t)=-16t^2+64t\sin \left(52°\right)\end{array}$

lágstafur með feitletri, venjulega 𝐮 , 𝐯 eða 𝑤 $u,v,w$

Fyrri talan táknar alltaf stuðul 𝐢 $i,$ og sú síðari stuðul $j.$

$〈7,-5〉$

$-7i-3j$

$-6i-2j$

$u+v=〈-5,5〉,u-v=〈-1,3〉,2u-3v=〈0,5〉$

$-10i–4j$

$-\frac{2\sqrt{29}}{29}i+\frac{5\sqrt{29}}{29}j$

$-\frac{2\sqrt{229}}{229}i+\frac{15\sqrt{229}}{229}j$

$-\frac{7\sqrt{2}}{10}i+\frac{\sqrt{2}}{10}j$

$\left|v\right|=7.810,\theta =39.806°$

$\left|v\right|=7.211,\theta =\mathrm{236.310°}$

$-6$

$-12$

$〈4,1〉$

$v=-7i+3j$

$3\sqrt{2}i+3\sqrt{2}j$

$i-\sqrt{3}j$

$x=7.13$ pund, $y=3.63$ pund

$x=2.87$ pund, $y=4.10$ pund

$\left(0.081,8.602\right)$

$C=\mathrm{120°},a=23.1,c=34.1$

fjarlægð flugvélarinnar frá punkti $A:$ 2.2 km, hæð flugvélarinnar: 1.6 km

$b=\mathrm{71.0°},C=\mathrm{55.0°},a=12.8$

$\left(0,2\right)$

$\left(9.8489,\mathrm{203.96°}\right)$

$r=8$

$x^2+y^2=7x$

$y=-x$

samhverft um línuna $\theta =\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{cis}\left(-\frac{\pi }{3}\right)$

$2.3+1.9i$

$60\mathrm{cis}\left(\frac{\pi }{2}\right)$

$3\mathrm{cis}\left(\frac{4\pi }{3}\right)$

$25\mathrm{cis}\left(\frac{3\pi }{2}\right)$

$5\mathrm{cis}\left(\frac{3\pi }{4}\right),5\mathrm{cis}\left(\frac{7\pi }{4}\right)$

$x^2+\frac{1}{2}y=1$

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=-2+6t\hfill \\ y\left(t\right)=3+4t\hfill \end{array}$

$y=-2x^5$

4i

$-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ i $-\frac{\sqrt{10}}{10}$ j

stærð: $3\sqrt{2},$ stefna: $\text{225°}$

$\text{16}$

$\alpha =\mathrm{67.1°},\gamma =\mathrm{44.9°},a=20.9$

$\text{1712 miles}$

$\left(1,\sqrt{3}\right)$

$y=-3$

$\sqrt{106}$

$\frac{-5}{2}+i\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$4\mathrm{cis}\left(\mathrm{21°}\right)$

$2\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(\mathrm{18°}\right),2\sqrt{2}\mathrm{cis}\left(\mathrm{198°}\right)$

$y=2{\left(x-1\right)}^2$

−4i − 15j

$\frac{2\sqrt{13}}{13}i+\frac{3\sqrt{13}}{13}j$