Svör við verkefnum

Kafli 5

5.2 Einingarhringurinn: sínus- og kósínusföll

$\cos (t) = - \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin (t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (π) = - 1,$ $\sin (π) = 0$

$\sin (t) = - \frac{7}{25}$

um það bil 0.866025403

$\frac{π}{3}$

ⓐ cos⁡(315°)=√22,sin⁡(315°)=–√22 $cos (315 °) = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin (315 °) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$
ⓑ cos⁡(−𝜋6)=√32,sin⁡(−𝜋6)=−12 $\cos (- \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

5.3 Hin hornaföllin

$\sin t = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan t = - 1$ , $\sec t = \sqrt{2}$ , $\csc t = - \sqrt{2}$ , $\cot t = - 1$

$\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , $\tan \frac{π}{3} = \sqrt{3}$ , $\sec \frac{π}{3} = 2$ , $\csc \frac{π}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , $\cot \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin (\frac{- 7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (\frac{- 7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \tan (\frac{- 7 π}{4}) = 1,$
$\sec (\frac{- 7 π}{4}) = \sqrt{2}, \csc (\frac{- 7 π}{4}) = \sqrt{2}, \cot (\frac{- 7 π}{4}) = 1$

$- \sqrt{3}$

$- 2$

$\sin t$

$\cos t = - \frac{8}{17}, \sin t = \frac{15}{17}, \tan t = - \frac{15}{8}$
$\csc t = \frac{17}{15}, \cot t = - \frac{8}{15}$

$\begin{array}{l} \sin t = - 1, \cos t = 0, \tan t = Óskilgreint \\ \sec t = Óskilgreint, \csc t = - 1, \cot t = 0 \end{array}$

$\sec t = \sqrt{2}, \csc t = \sqrt{2}, \tan t = 1, \cot t = 1$

10.

$\approx - 2.414$

5.4 Hornafræði rétthyrndra þríhyrninga

$\frac{7}{25}$

$\begin{array}{l} s i n t = \frac{33}{65}, \cos t = \frac{56}{65}, t a n t = \frac{33}{56}, \\ \sec t = \frac{65}{56}, \csc t = \frac{65}{33}, \cot t = \frac{56}{33} \end{array}$

$\sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \tan (\frac{π}{4}) = 1,$
$\sec (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}, c s c (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}, \cot (\frac{π}{4}) = 1$

$aðlæg = 10;$ $mótlæg = 10 \sqrt{3}$ a ð l æ g t = 1 0 ; aðlæg = 10 ; m ó t l æ g e = 1 0 ⁢ √ 3 mótlæg = 10 ⁢ 3 ; hornið sem vantar er 𝜋 6 π/6 $\frac{π}{6}$

Um 52 fet

5.1 Kaflaverkefni

Graf hrings með innrituðu horni þar sem upphafsarmur, lokaarmur og oddpunktur eru sýnd.

Formerki hornsins ræður stefnunni. Jákvætt horn er teiknað rangsælis en neikvætt horn réttsælis.

Línulegur hraði fæst með því að bera lengd boga saman við tíma. Hornhraði fæst með því að bera horn boga saman við tíma.

11.

13.

15.

17.

240°

19.

$\frac{4 π}{3}$

Graf hrings sem sýnir jafngildi tveggja horna.

21.

$\frac{2 π}{3}$

23.

$\frac{7 π}{2} \approx 11.00 {tommu}^{2}$

25.

$\frac{81 π}{20} \approx 12.72 {cm}^{2}$

27.

20°

29.

60°

31.

−75°

33.

$\frac{π}{2}$ radíanar

35.

$- 3 π$ radíanar

37.

$π$ radíanar

39.

$\frac{5 π}{6}$ radíanar

41.

$\frac{5.02 π}{3} \approx 5.26$ mílur

43.

$\frac{25 π}{9} \approx 8.73$ sentímetrar

45.

$\frac{21 π}{10} \approx 6.60$ metrar

47.

104.7198 cm²

49.

0.7697 tommur 2

51.

250°

53.

320°

55.

$\frac{4 π}{3}$

57.

$\frac{8 π}{9}$

59.

1320 rad 210.085 sn./mín.

61.

7 tommur/sek., 4.77 sn./mín., 28.65 deg/s

63.

$1, 809, 557.37 mm/min = 30.16 m/s$

65.

$5.76$ mílur

67.

$120 °$

69.

794 mílur á klukkustund

71.

2,234 mílur á klukkustund

73.

11.5 tommur

5.2 Kaflaverkefni

Einingarhringurinn er hringur með geisla 1 og miðju í upphafspunktinum.

Horn með sama lokaarm eru horn þar sem lokaarmarnir falla saman. Viðmiðunarhorn er stærð minnsta hvassa hornsins 𝑡 $t,$ sem lokaarmur hornsins $t$ myndar við lárétta ásinn.

Sínusgildin eru jöfn.

11.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

13.

$\frac{1}{2}$

15.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

17.

19.

−1

21.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

23.

$60°$

25.

$80°$

27.

$45°$

29.

$\frac{π}{3}$

31.

$\frac{π}{3}$

33.

$\frac{π}{8}$

35.

$60°,$ Quadrant IV, $sin (300°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos (300°) = \frac{1}{2}$

37.

$45°,$ annar fjórðungur, $sin (135°) = \frac{\sqrt{2}}{2},$ $\cos (135°) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

39.

$60°,$ annar fjórðungur, $sin (120°) = \frac{\sqrt{3}}{2},$ $\cos (120°) = - \frac{1}{2}$

41.

$30°,$ Quadrant II, $sin (150°) = \frac{1}{2},$ $\cos (150°) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

43.

$\frac{π}{6},$ þriðji fjórðungur, $sin (\frac{7 π}{6}) = - \frac{1}{2},$ $cos (\frac{7 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

45.

$\frac{π}{4},$ annar fjórðungur, $sin (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2},$ $\cos (\frac{3 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

47.

$\frac{π}{3},$ annar fjórðungur, $sin (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2},$ $\cos (\frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}$

49.

$\frac{π}{4},$ fjórði fjórðungur, $sin (\frac{7 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2},$ $cos (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

51.

$\frac{\sqrt{77}}{9}$

53.

$- \frac{\sqrt{15}}{4}$

55.

$(- 10, 10 \sqrt{3})$

57.

$(- 2.778, 15.757)$

59.

$[- 1, 1]$

61.

$\sin t = \frac{1}{2}, \cos t = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

63.

$\sin t = - \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos t = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

65.

$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos t = - \frac{1}{2}$

67.

$\sin t = - \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$

69.

$\sin t = 0, \cos t = - 1$

71.

$\sin t = - 0.596, \cos t = 0.803$

73.

$\sin t = \frac{1}{2}, \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$

75.

$\sin t = - \frac{1}{2}, \cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$

77.

$\sin t = 0.761, \cos t = - 0.649$

79.

$\sin t = 1, \cos t = 0$

81.

−0.1736

83.

0.9511

85.

−0.7071

87.

−0.1392

89.

−0.7660

91.

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

93.

$- \frac{\sqrt{6}}{4}$

95.

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

97.

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

99.

101.

$(0, - 1)$

103.

37.5 sekúndur, 97.5 sekúndur, 157.5 sekúndur, 217.5 sekúndur, 277.5 sekúndur, 337.5 sekúndur

5.3 Kaflaverkefni

Já, þegar viðmiðunarhornið er $\frac{π}{4}$ og lokaarmur hornsins er í fyrsta eða þriðja fjórðungi. Við 𝑥 = 𝜋 4 , 5 ⁢ 𝜋 4 $x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4},$ eru sínus- og kósínusgildin því jöfn.

Setjið sínus hornsins í stað $y$ í reglu Pýþagórasar $x^{2} + y^{2} = 1.$ Einangrið $x$ og veljið neikvæðu lausnina.

Gildi tangens og kótangens endurtaka sig á $π$ eininga fresti.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{3}$

11.

$\sqrt{2}$

13.

15.

17.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

19.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

21.

$\sqrt{3}$

23.

$- \sqrt{2}$

25.

−1

27.

−2

29.

$- \frac{\sqrt{3}}{3}$

31.

33.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

35.

−2

37.

−1

39.

Ef $\sin t = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ , $\sec t = - 3$ , $\csc t = - \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ , $\tan t = 2 \sqrt{2}$ , $\cot t = \frac{\sqrt{2}}{4}$

41.

$\sec t = 2$ , $\csc t = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ , $\tan t = \sqrt{3}$ , $\cot t = \frac{\sqrt{3}}{3}$

43.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

45.

3.1

47.

1.4

49.

$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}, \tan t = 1, \cot t = 1, \sec t = \sqrt{2}, \csc t = \sqrt{2}$

51.

$\sin t = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos t = - \frac{1}{2}$ , $\tan t = \sqrt{3}, \cot t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , $\sec t = - 2$ , $\csc t = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

53.

–0.228

55.

–2.414

57.

1.414

59.

1.540

61.

1.556

63.

$\sin (t) \approx 0.79$

65.

$\csc t \approx 1.16$

67.

jafnstætt

69.

jafnstætt

71.

$\frac{\sin t}{\cos t} = \tan t$

73.

13.77 klukkustundir, lotulengd: $1000 π$

75.

7.73 tommur

5.4 Kaflaverkefni

Rétthyrndur þríhyrningur þar sem mótlæg hlið, aðlæg hlið og langhlið eru merktar.

Tangens horns er hlutfall mótlægu hliðarinnar og aðlægu hliðarinnar.

Sínus horns er til dæmis jafn kósínusi fyllihorns þess og kósínus horns er jafn sínusi fyllihorns þess.

$\frac{π}{6}$

$\frac{π}{4}$

11.

$b = \frac{20 \sqrt{3}}{3}, c = \frac{40 \sqrt{3}}{3}$

13.

$a = 10, 000, c = 10, 000.5$

15.

$b = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, c = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

17.

$\frac{5 \sqrt{29}}{29}$

19.

$\frac{5}{2}$

21.

$\frac{\sqrt{29}}{2}$

23.

$\frac{5 \sqrt{41}}{41}$

25.

$\frac{5}{4}$

27.

$\frac{\sqrt{41}}{4}$

29.

$c = 14, b = 7 \sqrt{3}$

31.

$a = 15, b = 15$

33.

$b = 9.9970, c = 12.2041$

35.

$a = 2.0838, b = 11.8177$

37.

$a = 55.9808, c = 57.9555$

39.

$a = 46.6790, b = 17.9184$

41.

$a = 16.4662, c = 16.8341$

43.

188.3159

45.

200.6737

47.

498.3471 fet

49.

1060.09 fet

51.

27.372 fet

53.

22.6506 fet

55.

368.7633 fet

Upprifjunarverkefni

$45°$

$- \frac{7 π}{6}$

10.385 metrar

$60°$

$\frac{2 π}{11}$

11.

Graf hrings með innrituðu neikvæðu horni.

13.

15.

1036.73 mílur á klukkustund

17.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

19.

–1

21.

$\frac{π}{4}$

23.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

25.

$[- 1, 1]$

27.

29.

$\sqrt{2}$

31.

$\sqrt{2}$

33.

0.6

35.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ eða $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

37.

sínus, kósekans, tangens, kótangens

39.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

41.

43.

$b = 8, c = 10$

45.

$\frac{11 \sqrt{157}}{157}$

47.

$a = 4, b = 4$

49.

14.0954 fet

Æfingapróf

$150°$

6.283 sentímetrar

$15°$

3.351 fet á sekúndu, $\frac{2 π}{75}$ radíanar á sekúndu

11.

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

13.

$[- 1, 1]$

15.

$\sqrt{3}$

17.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

19.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

21.

$\frac{π}{3}$

23.

$a = \frac{9}{2}, b = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$