Kafli 12

$-64$

$-3$

$-\frac{1}{50}$

$-\frac{1}{8}$

$2\sqrt{3}$

$\mathrm{-1}$

Nei. Fallið er ekki samfellt við $x=2$ því markgildið frá vinstri er $\frac{1}{2}$ en markgildið frá hægri $6.5$ .

Nei, fallið er ekki samfellt við $x=3.$ Afmáanleg ósamfelldni er við $x=3.$

$x=6$

$f^{\prime }(a)=6a+7$

$f^{\prime }(a)=\frac{-15}{{\left(5a+4\right)}^2}$

$\frac{3}{2}$

$-2,$ 0, 0, $-3$

Graf 𝑓 f er samfellt á ( − ∞ , 1 $f$) ∪ ( 1 , 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) . ( − $\left(-\infty ,1\right)\cup \left(1,3\right)\cup \left(3,\infty \right).$∞ , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) ∪ $f$( 3 , ∞ ) . Graf 𝑓 f er ósamfellt við 𝑥 = 1 x = 1 $x=1$og 𝑥 = $x=3.$3 . x = 3. Graf 𝑓 f er deildanlegt á ( $f$− ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) . ( $\left(-\infty ,1\right)\cup \left(1,3\right)\cup \left(3,\infty \right).$− ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) $f$∪ ( 3 , ∞ ) . Það er ekki deildanlegt við 𝑥 = 1 x = 1 og 𝑥 = 3 . $x=1$x = 3. $x=3.$

$y=19x-16$

Gildi fallsins við 𝑥 = 𝑎 , $x=a$ það er úttakið, er $f\left(a\right).$ Þegar $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$ er tekið nálgast gildi $x$ töluna $a$ án þess $a.$ ð verða henni jöfn. Þegar $x$ nálgast $a$ frá vinstri og hægri er markgildið það gildi sem fallið nálgast.

$e^6\approx 403.428794,$ $e^7\approx 1096.633158,$ $e^n$

$\underset{x\to -2}{\lim }f(x)=1$

$\underset{x\to 3}{\lim }\left(\frac{x^2-x-6}{x^2-9}\right)=\frac{5}{6}\approx 0.83$

$\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}\right)=-2.00$

$\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{10-10x^2}{x^2-3x+2}\right)=20.00$

$\underset{x\to \frac{-1}{2}}{\lim }\left(\frac{x}{4x^2+4x+1}\right)$ er ekki til. Gildi fallsins minnka án neðri marka þegar $x$ nálgast –0.5 frá báðum hliðum.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{7\tan x}{3x}=\frac{7}{3}$

$\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{e^{-\frac{1}{x^2}}}=1.0$

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{\left|x+1\right|}{x+1}=\frac{-(x+1)}{(x+1)}=-1$ og $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\left|x+1\right|}{x+1}=\frac{(x+1)}{(x+1)}=1;$ þar sem markgildin frá hægri og vinstri eru ekki jöfn er $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{\left|x+1\right|}{x+1}$ ekki til.

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$ er ekki til. Fallið vex án efri marka þegar $x$ nálgast $-1$ frá báðum hliðum.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5}{1-e^{\frac{2}{x}}}$ er ekki til. Fallgildin nálgast 5 frá vinstri og 0 frá hægri.

Með athugun á forsendunum og skilningi á afstæðisfræði fæst að þegar 𝑣 → 𝑐 , v → c , þá stefnir 𝑚 $v\to c,$ $m\to \infty .$→ ∞ . m → ∞ . Næsta skref lausnarinnar er

Ef $f$ er margliðufall er markgildi þess þegar $x$ nálgast $a$ alltaf $f\left(a\right).$

Það getur annaðhvort merkt að (1) gildi fallsins vaxi eða minnki án marka þegar $x$ nálgast $c,$ eða að (2) markgildin frá vinstri og hægri séu ekki jöfn.

$\frac{-10}{3}$

$\frac{1}{2}$

$-12$

$-\frac{\sqrt{5}}{10}$

$-108$

$6+\sqrt{5}$

$\frac{3}{5}$

$-3$

$4x+2h$

$2x+h+4$

$\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}$

$\frac{-1}{x(x+h)}$

$\frac{-1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

$f\left(x\right)=\frac{x^2+5x+6}{x+3}$

Óformlega sagt: Ef fall er samfellt við $x=c,$ er ekkert rof í grafi þess við 𝑓 ⁡ ( 𝑐 ) $f\left(c\right),$ og $f\left(c\right)$ er skilgreint.

ósamfellt við $a=-3$ ; $f(-3)$ er ekki til

afmáanleg ósamfelldni við $a=-4$ ; $f(-4)$ er ekki skilgreint

Ósamfellt við $a=3$; $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=3,$ en $f(3)=6,$ sem er ekki jafnt markgildinu.

$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ er ekki til.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=4;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=1$ . Því er $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ ekki til.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=5\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=-1$ . Því er $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ ekki til.

$\underset{x\to -3^{-}}{\lim }f(x)=-6$, $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }f(x)=-\frac{1}{3}$

Því er $\underset{x\to -3}{\lim }f(x)$ ekki til.

$f\left(2\right)$ er ekki skilgreint.

$f\left(-3\right)$ er ekki skilgreint.

$f\left(0\right)$ er ekki skilgreint.

Samfellt á $(-\infty ,\infty )$

Samfellt á $(-\infty ,\infty )$

Ósamfellt við $x=0$ og $x=2$

Ósamfellt við $x=0$

Samfellt á $(0,\infty )$

Samfellt á $[4,\infty )$

Samfellt á $(-\infty ,\infty )$ .

$f\left(0\right)$ er óskilgreint.

$(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$

Við 𝑥 $x=-1,$= − 1 x = − 1 , er markgildið ekki til. Við 𝑥 = 1 x = 1 , er $x=1,$ $f\left(1\right)$𝑓 ⁡ ( 1 ) f ⁡ ( 1 ) ekki til.

Við 𝑥 = 2 $x=2,$ virðist vera lóðrétt aðfella og markgildið er ekki til.

$\frac{x^3+6x^2-7x}{\left(x+7\right)\left(x-1\right)}$

Fallið er ósamfellt við $x=1$ því markgildið þegar $x$ nálgast 1 er 5 en $f\left(1\right)=2.$

Hallatala línulegs falls er föst. Afleiða almenns falls breytist með $x.$ Bæði hallatala línu og afleiða í punkti mæla breytingarhraða fallsins.

Meðalbreytingarhraði vatnsmagnsins í tankinum er 45 gallon á mínútu. Ef $f\left(x\right)$ gefur vatnsmagnið við tímann $t,$ er meðalbreytingarhraði $f\left(x\right)$ milli $t=a$ og $t=b$ jafnt og $f(a)+45(b-a).$

$f^{\prime }(x)=-2$

$f^{\prime }(x)=4x+1$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{{(x-2)}^2}$

$\frac{-16}{{\left(3+2x\right)}^2}$

$f^{\prime }(x)=9x^2-2x+2$

$f^{\prime }(x)=0$

$-\frac{1}{3}$

$f^{\prime }(x)=-6x-7$

$f^{\prime }(x)=9x^2+4x+1$

$y=12x-15$

$k=-10$ eða $k=2$

Ósamfellt við $x=-2$ og $x=0.$ Ekki deildanlegt við –2, 0, 2.

Ósamfellt við $x=5.$ Ekki deildanlegt við -4, –2, 0, 1, 3, 4, 5.

$f\left(0\right)=-2$

$f\left(2\right)=-6$

$f^{\prime }\left(-1\right)=9$

$f^{\prime }\left(1\right)=-3$

$f^{\prime }\left(3\right)=9$

Svör eru breytileg. Hallatala snertilsins nærri $x=1$ er 2.

Hæð skotkroppsins við $t=3$ sekúndur er 96 fet.

Hæð skotkroppsins er núll við $t=0$ og aftur við $t=5.$ Hann hefst því á jörðu og fellur aftur til jarðar eftir 5 sekúndur.

$36\pi$

$f\text{'}(x)=10a-1$

$\frac{4}{{\left(3-x\right)}^2}$

Ósamfellt við $x=-1(\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ er ekki til $),x=3($ jump discontinuity $)$ , og $x=7(\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ er ekki til $).$

$\begin{array}{ll}\underset{x\to -2}{\lim }\hfill & f(x)=0\hfill \end{array}$

$-\frac{3}{5}$

$1$

$6$

$500$

$-\frac{6}{7}$

Við 𝑥 = 4 $x=4,$ hefur fallið lóðrétta aðfellu.

Við 𝑥 = 3 $x=3,$ hefur fallið lóðrétta aðfellu.

Afmáanleg ósamfelldni við $a=9$

Afmáanleg ósamfelldni við $x=5$

Afmáanleg ósamfelldni við $x=5$, ósamfelldni við $x=1$

Afmáanleg ósamfelldni við $x=-2$, ósamfelldni við $x=5$

$3$

$\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x+h+1\right)}$

$\frac{e^{2x+2h}-e^{2x}}{h}$

$10x-3$

$\mathrm{-1}$

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=-\frac{5}{2}a$ og $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=9$ . Því er markgildi fallsins þegar $x$ nálgast 2 ekki til.

$-\frac{1}{50}$

$1$

Afmáanleg ósamfelldni við $x=3$

$f\text{'}\left(x\right)=-\frac{3}{2a\frac{3}{2}}$

Ekki deildanlegt við $x=0$ (ekkert markgildi)

Hæð skotkroppsins við $t=2$ sekúndur

Meðalhraðinn frá 𝑡 = 1 t = 1 til 𝑡 = 2 t = 2 $t=1$ $t=2$

$\frac{1}{3}$

$0$

$x=1$

$y=-14x-18$

Grafið er ekki deildanlegt við $x=1$ (broddur).

$f^{\text{'}}(x)=8x$

$f^{\text{'}}(x)=-\frac{1}{{\left(2+x\right)}^2}$

$f^{\text{'}}(x)=-3x^2$

$f\text{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$