1212 Inngangur að stærðfræðigreiningu

Æfingapróf

Notaðu graf $f$ á mynd 1 í eftirfarandi verkefnum.

Graf kaflaskipts falls með tveimur greinum. Fyrri greinin liggur frá mínus óendanlegu að (-1, 0), opnum punkti, og seinni greinin liggur frá (-1, 3), opnum punkti, að plús óendanlegu.

𝑓⁡(1) $f (1)$

lim𝑥→−1+⁡𝑓⁡(𝑥) $\lim_{x \to {−1}^{+}} f (x)$

lim𝑥→−1−⁡𝑓⁡(𝑥) $\lim_{x \to {−1}^{-}} f (x)$

lim𝑥→−1⁡𝑓⁡(𝑥) $\lim_{x \to −1} f (x)$

lim𝑥→−2⁡𝑓⁡(𝑥) $\lim_{x \to −2} f (x)$

Fyrir hvaða gildi $x$ er $f$ ósamfellt? Hvaða eiginleiki samfelldni er ekki uppfylltur?

Notaðu grafreikni og tölulegar eða myndrænar upplýsingar í eftirfarandi verkefnum til að ákvarða markgildi fallsins frá vinstri og hægri þegar $x$ stefnir á $a .$ Ef fallið hefur markgildi þegar $x$ stefnir á 𝑎 $a,$ skaltu tilgreina það. Ef ekki skaltu útskýra hvers vegna markgildið er ekki til.

𝑓⁡(𝑥)={1𝑥−3, i𝑓𝑥≤2𝑥3+1,𝑖⁢𝑓𝑥>2 𝑎=2 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} - 3, i f & x \leq 2 \\ x^{3} + 1, i f & x > 2 \end{array} a = 2$

𝑓⁡(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥3+1,𝑖⁢𝑓𝑥<13⁢𝑥2−1,𝑖⁢𝑓𝑥=1−√𝑥+3+4,𝑖⁢𝑓𝑥>1⁢𝑎=1 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{3} + 1, & i f & x < 1 \\ 3 x^{2} - 1, & i f & x = 1 \\ - \sqrt{x + 3} + 4, & i f & x > 1 \end{array} a = 1$

Reiknaðu hvert markgildi í eftirfarandi verkefnum með algebruaðferðum.

lim𝑥→−5⁡(15+1𝑥10+2⁢𝑥) $\lim_{x \to −5} (\frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{x}}{10 + 2 x})$

10.

limℎ→0⁡(√ℎ2+25−5ℎ2) $\lim_{h \to 0} (\frac{\sqrt{h^{2} + 25} - 5}{h^{2}})$

11.

limℎ→0⁡(1ℎ−1ℎ2+ℎ) $\lim_{h \to 0} (\frac{1}{h} - \frac{1}{h^{2} + h})$

Ákvarðaðu í eftirfarandi verkefnum hvort gefna fallið $f$ sé samfellt. Ef það er samfellt skaltu sýna hvers vegna. Ef það er ekki samfellt skaltu tilgreina hvaða skilyrði eru ekki uppfyllt.

12.

𝑓⁡(𝑥)=√𝑥2−4 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$

13.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3−4⁢𝑥2−9⁢𝑥+36𝑥3−3⁢𝑥2+2⁢𝑥−6 $f (x) = \frac{x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36}{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Notaðu skilgreiningu afleiðu í eftirfarandi verkefnum til að finna afleiðu gefna fallsins í $x = a .$

14.

𝑓⁡(𝑥)=35+2⁢𝑥 $f (x) = \frac{3}{5 + 2 x}$

15.

𝑓⁡(𝑥)=3√𝑥 $f (x) = \frac{3}{\sqrt{x}}$

16.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2+9⁢𝑥 $f (x) = 2 x^{2} + 9 x$

17.

Ákvarðaðu fyrir grafið á mynd 2 hvar fallið er deildanlegt á continuous/discontinuous og differentiable/not .

Graf kaflaskipts falls með þremur greinum. Fyrri greinin liggur frá mínus óendanlegu að (-2, -1), opnum punkti; önnur greinin liggur frá (-2, -4), opnum punkti, að (0, 0), fylltum punkti; síðasta greinin liggur frá (0, 1), opnum punkti, að plús óendanlegu. — Mynd 2

Notaðu grafreikni í eftirfarandi verkefnum til að útskýra hvers vegna fallið er ekki deildanlegt alls staðar á skilgreiningarmengi sínu. Tilgreindu punktana þar sem fallið er ekki deildanlegt.

18.

𝑓⁡(𝑥)=|𝑥−2|−|𝑥+2| $f (x) = | x - 2 | - | x + 2 |$

19.

𝑓⁡(𝑥)=21+𝑒2𝑥 $f (x) = \frac{2}{1 + e^{\frac{2}{x}}}$

Útskýrðu ritháttinn með orðum í eftirfarandi verkefnum þegar hæð skotkúlu í fetum, $s,$ er fall af tímanum $t$ í sekúndum eftir að henni er skotið á loft og er gefin með fallinu $s (t) .$

20.

𝑠⁡(0) $s (0)$

21.

𝑠⁡(2) $s (2)$

22.

𝑠′(2) $s' (2)$

23.

𝑠⁡(2)−𝑠⁡(1)₂−1 $\frac{s (2) - s (1)}{2 - 1}$

24.

𝑠⁡(𝑡)=0 $s (t) = 0$

Notaðu tæknibúnað í eftirfarandi verkefnum til að reikna markgildið.

25.

lim𝑥→0⁡sin⁡(𝑥)₃⁢𝑥 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x}$

26.

lim𝑥→0⁡tan2⁡(𝑥)₂⁢𝑥 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{2 x}$

27.

lim𝑥→0⁡sin⁡(𝑥)⁢(1−cos⁡(𝑥))₂⁢𝑥2 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{2 x^{2}}$

28.

Reiknaðu markgildið án tæknibúnaðar.

lim𝑥→1⁢𝑓⁡(𝑥), where 𝑓⁡(𝑥)={4⁢𝑥−7𝑥≠1𝑥2−4𝑥=1 $\begin{matrix} \lim \\ ^{x \to 1} \end{matrix} f (x), where f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 7 & x \neq 1 \\ x^{2} - 4 & x = 1 \end{matrix}$

Fyrir hvaða gildi $x$ er fallið hér fyrir neðan ósamfellt?

𝑓⁡(𝑥)={4⁢𝑥−7𝑥≠1𝑥2−4𝑥=1 $f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 7 x \neq 1 \\ x^{2} - 4 x = 1 \end{matrix}$

Skoðaðu fallið sem grafið á mynd 3 sýnir í eftirfarandi verkefnum.

29.

Finndu meðalbreytingarhraða fallsins frá 𝑥 = 1 til 𝑥 = 3 . $x = 1 to x = 3.$

30.

Finndu öll gildi $x$ þar sem $f' (x) = 0.$

31.

Finndu öll gildi $x$ þar sem $f' (x)$ er ekki til.

32.

Finndu jöfnu snertils við graf $f$ í tilgreinda punktinum: 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 3 ⁢ 𝑥 2 − 2 ⁢ 𝑥 − 6 , 𝑥 = − 2 . $f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 6, x = - 2$

Notaðu fallið $f (x) = x {(1 - x)}^{\frac{2}{5}}$ í eftirfarandi verkefnum.

33.

Teiknaðu graf fallsins $f (x) = x {(1 - x)}^{\frac{2}{5}}$ með því að slá fyrst inn $f (x) = x {({(1 - x)}^{2})}^{\frac{1}{5}}$ og síðan $f (x) = x {({(1 - x)}^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

34.

Kannaðu hegðun grafs $f (x)$ í grennd við $x = 1$ með því að teikna fallið á eftirfarandi skilgreiningarmengjum: [0.9, 1.1], [0.99, 1.01], [0.999, 1.001] og [0.9999, 1.0001]. Notaðu upplýsingarnar til að ákvarða hvort fallið virðist vera deildanlegt í $x = 1.$

Finndu afleiðu hvers falls í eftirfarandi verkefnum með skilgreiningunni l i m ℎ → 0 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) ℎ . $\lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

35.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥−8 $f (x) = 2 x - 8$

36.

𝑓⁡(𝑥)=4⁢𝑥2−7 $f (x) = 4 x^{2} - 7$

37.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥−12⁢𝑥2 $f (x) = x - \frac{1}{2} x^{2}$

38.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥+2 $f (x) = \frac{1}{x + 2}$

39.

𝑓⁡(𝑥)=3𝑥−1 $f (x) = \frac{3}{x - 1}$

40.

𝑓⁡(𝑥)=−𝑥3+1 $f (x) = - x^{3} + 1$

41.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+𝑥3 $f (x) = x^{2} + x^{3}$

42.

𝑓⁡(𝑥)=√𝑥−1 $f (x) = \sqrt{x - 1}$

1212 Inngangur að stærðfræðigreiningu

Æfingapróf

Notaðu graf $f$ á mynd 1 í eftirfarandi verkefnum.

𝑓⁡(1) $f (1)$

lim𝑥→−1+⁡𝑓⁡(𝑥) $\lim_{x \to {−1}^{+}} f (x)$

lim𝑥→−1−⁡𝑓⁡(𝑥) $\lim_{x \to {−1}^{-}} f (x)$

lim𝑥→−1⁡𝑓⁡(𝑥) $\lim_{x \to −1} f (x)$

lim𝑥→−2⁡𝑓⁡(𝑥) $\lim_{x \to −2} f (x)$

Fyrir hvaða gildi $x$ er $f$ ósamfellt? Hvaða eiginleiki samfelldni er ekki uppfylltur?

𝑓⁡(𝑥)={1𝑥−3, i𝑓𝑥≤2𝑥3+1,𝑖⁢𝑓𝑥>2 𝑎=2 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} - 3, i f & x \leq 2 \\ x^{3} + 1, i f & x > 2 \end{array} a = 2$

Reiknaðu hvert markgildi í eftirfarandi verkefnum með algebruaðferðum.

lim𝑥→−5⁡(15+1𝑥10+2⁢𝑥) $\lim_{x \to −5} (\frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{x}}{10 + 2 x})$

10.

limℎ→0⁡(√ℎ2+25−5ℎ2) $\lim_{h \to 0} (\frac{\sqrt{h^{2} + 25} - 5}{h^{2}})$

11.

limℎ→0⁡(1ℎ−1ℎ2+ℎ) $\lim_{h \to 0} (\frac{1}{h} - \frac{1}{h^{2} + h})$

12.

𝑓⁡(𝑥)=√𝑥2−4 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$

13.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3−4⁢𝑥2−9⁢𝑥+36𝑥3−3⁢𝑥2+2⁢𝑥−6 $f (x) = \frac{x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36}{x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6}$

Notaðu skilgreiningu afleiðu í eftirfarandi verkefnum til að finna afleiðu gefna fallsins í $x = a .$

14.

𝑓⁡(𝑥)=35+2⁢𝑥 $f (x) = \frac{3}{5 + 2 x}$

15.

𝑓⁡(𝑥)=3√𝑥 $f (x) = \frac{3}{\sqrt{x}}$

16.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2+9⁢𝑥 $f (x) = 2 x^{2} + 9 x$

17.

Ákvarðaðu fyrir grafið á mynd 2 hvar fallið er deildanlegt á continuous/discontinuous og differentiable/not .

18.

𝑓⁡(𝑥)=|𝑥−2|−|𝑥+2| $f (x) = | x - 2 | - | x + 2 |$

19.

𝑓⁡(𝑥)=21+𝑒2𝑥 $f (x) = \frac{2}{1 + e^{\frac{2}{x}}}$

20.

𝑠⁡(0) $s (0)$

21.

𝑠⁡(2) $s (2)$

22.

𝑠′(2) $s' (2)$

23.

𝑠⁡(2)−𝑠⁡(1)₂−1 $\frac{s (2) - s (1)}{2 - 1}$

24.

𝑠⁡(𝑡)=0 $s (t) = 0$

Notaðu tæknibúnað í eftirfarandi verkefnum til að reikna markgildið.

25.

lim𝑥→0⁡sin⁡(𝑥)₃⁢𝑥 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x}$

26.

lim𝑥→0⁡tan2⁡(𝑥)₂⁢𝑥 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{2 x}$

27.

lim𝑥→0⁡sin⁡(𝑥)⁢(1−cos⁡(𝑥))₂⁢𝑥2 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{2 x^{2}}$

28.

Reiknaðu markgildið án tæknibúnaðar.

Fyrir hvaða gildi $x$ er fallið hér fyrir neðan ósamfellt?

𝑓⁡(𝑥)={4⁢𝑥−7𝑥≠1𝑥2−4𝑥=1 $f (x) = {\begin{matrix} 4 x - 7 x \neq 1 \\ x^{2} - 4 x = 1 \end{matrix}$

Skoðaðu fallið sem grafið á mynd 3 sýnir í eftirfarandi verkefnum.

29.

Finndu meðalbreytingarhraða fallsins frá 𝑥 = 1 til 𝑥 = 3 . $x = 1 to x = 3.$

30.

Finndu öll gildi $x$ þar sem $f' (x) = 0.$

31.

Finndu öll gildi $x$ þar sem $f' (x)$ er ekki til.

32.

Finndu jöfnu snertils við graf $f$ í tilgreinda punktinum: 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 3 ⁢ 𝑥 2 − 2 ⁢ 𝑥 − 6 , 𝑥 = − 2 . $f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 6, x = - 2$

Notaðu fallið $f (x) = x {(1 - x)}^{\frac{2}{5}}$ í eftirfarandi verkefnum.

33.

Teiknaðu graf fallsins $f (x) = x {(1 - x)}^{\frac{2}{5}}$ með því að slá fyrst inn $f (x) = x {({(1 - x)}^{2})}^{\frac{1}{5}}$ og síðan $f (x) = x {({(1 - x)}^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

34.

Finndu afleiðu hvers falls í eftirfarandi verkefnum með skilgreiningunni l i m ℎ → 0 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 + ℎ ) − 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) ℎ . $\lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

35.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥−8 $f (x) = 2 x - 8$

36.

𝑓⁡(𝑥)=4⁢𝑥2−7 $f (x) = 4 x^{2} - 7$

37.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥−12⁢𝑥2 $f (x) = x - \frac{1}{2} x^{2}$

38.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥+2 $f (x) = \frac{1}{x + 2}$

39.

𝑓⁡(𝑥)=3𝑥−1 $f (x) = \frac{3}{x - 1}$

40.

𝑓⁡(𝑥)=−𝑥3+1 $f (x) = - x^{3} + 1$

41.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+𝑥3 $f (x) = x^{2} + x^{3}$

42.

𝑓⁡(𝑥)=√𝑥−1 $f (x) = \sqrt{x - 1}$