1212 Inngangur að stærðfræðigreiningu

12.3 Samfelldni

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærir þú að:

ákvarða hvort fall sé samfellt við tiltekna tölu.
finna tölurnar þar sem fall er ósamfellt.
ákvarða hvort fall sé samfellt.

Arizona er þekkt fyrir þurran hita. Á tilteknum degi gæti hitinn farið allt upp í $118^{\circ} F$ og aðeins lækkað niður í svalar $95^{\circ} F .$ Mynd 1 sýnir fallið 𝑇 $T,$ , þar sem úttak $T (x)$ er hitastigið í Fahrenheit-gráðum og inntakið $x$ er tími dags á tilteknum sumardegi, gefinn miðað við 24 klukkustunda tímasnið.

Graf falls sem varpar tíma frá miðnætti á hitastig. X-ásinn, merktur x, sýnir klukkustundir frá miðnætti, frá 0 til 24. Y-ásinn, merktur T(x), sýnir hitastig frá 0 til 120. Fallið er samfellt og nær hámarki í (16, 118). — **Mynd 1.** Hitastig sem fall af tíma myndar samfellt fall.

Þegar við greinum grafið tökum við eftir tilteknum eiginleika. Engin rof eru á grafinu. Við gætum dregið upp grafið án þess að lyfta blýantinum. Þessi eina athugun segir okkur margt um fallið. Í þessum hluta könnum við föll með og án rofa.

Ákvarðað hvort fall sé samfellt við tiltekna tölu

Skoðum tiltekið dæmi um hitastig á ákveðnum stað og degi, svo sem 27. júní 2013 í Phoenix í Arizona. Grafið á mynd 1 sýnir að klukkan 2 að morgni var hitinn 9 6 ∘ F . 96 ∘ F Klukkan 2 síðdegis hafði hitinn stigið í 1 1 6 ∘ F 116 ∘ F, $96^{\circ} F$ og klukkan 4 síðdegis var hann 1 1 8 ∘ F $116^{\circ} F,$ . 118 ∘ F . $118^{\circ} F .$ Einhvern tíma milli klukkan 2 að morgni og 4 síðdegis hlýtur útihitinn að hafa verið nákvæmlega 1 1 0 . 5 ∘ F ${110.5}^{\circ} F .$ . 110.5 ∘ F . Reyndar kom hvert hitastig milli $96^{\circ} F$ $118^{\circ} F$ 9 6 ∘ F 96 ∘ F og 1 1 8 ∘ F 118 ∘ F fyrir einhvern tíma þennan dag. Þetta merkir að $96^{\circ} F$ fallið $118^{\circ} F$ tekur á einhverjum tímapunkti öll raungildi úttaksins milli 9 6 ∘ F 96 ∘ F og 1 1 8 ∘ F 118 ∘ F, samkvæmt milligildissetningunni.

Skoðum mynd 1 aftur. Á þessu 24 klukkustunda tímabili eru engin rof á grafi fallsins. Hitastigið hætti aldrei að vera til og hvergi stökk það samstundis um nokkrar gráður. Fall sem hefur hvorki göt né rof á grafi sínu nefnist samfellt fall. Hitastig sem fall af tíma er dæmi um samfellt fall.

Ef hitastig er dæmi um samfellt fall, hvers konar fall væri þá ekki samfellt? Skoðum kostnað í Bandaríkjadölum sem fall af fjölda klukkustunda í bílastæði. Skilgreinum fallið 𝐷 $D,$ , þar sem úttakið $D (x)$ er kostnaðurinn í Bandaríkjadölum fyrir að leggja í $x$ klukkustundir. Sjá mynd 2.

Gerum ráð fyrir að bílastæðahús rukki $4.00 fyrir hverja klukkustund eða hluta úr klukkustund, að hámarki $25 á dag. Sé lagt í tvær klukkustundir og fimm mínútur kostar það $12. Sé lagt í eina klukkustund til viðbótar kostar það $16. Kostnaðurinn getur aldrei orðið $13, $14 eða $15. Milli 12 og 16 eru rauntölur sem fallið tekur aldrei. Á þessu 24 klukkustunda tímabili eru rof á grafi fallsins þar sem bílastæðagjaldið hækkar samstundis um nokkra Bandaríkjadali.

Graf falls sem varpar tíma frá miðnætti á hitastig. X-ásinn sýnir fjölda klukkustunda í bílastæði, frá 0 til 24. Y-ásinn sýnir fjárhæð í Bandaríkjadölum, frá 0 til 28. Fallið er þrepafall. — **Mynd 2.** Bílastæðagjöld mynda ósamfellt fall.

Fall sem helst fast á bili en stekkur síðan samstundis í hærra gildi nefnist þrepafall. Þetta fall er dæmi um slíkt fall.

Fall sem hefur gat eða rof á grafi sínu nefnist ósamfellt fall. Þrepafall, svo sem bílastæðagjald sem fall af fjölda klukkustunda í bílastæði, er dæmi um ósamfellt fall.

Hvernig getum við þá ákvarðað hvort fall sé samfellt við tiltekna tölu? Við getum athugað þrjú skilyrði. Notum fallið $y = f (x)$ á mynd 3 sem dæmi.

Graf vaxandi falls sem er ósamfellt í (a, f(a)).

Skilyrði 1 Samkvæmt skilyrði 1 verður fallgildið $f (a)$ að vera skilgreint við $x = a$ . Með öðrum orðum er y-hnit til við $x = a$ , eins og á mynd 4.

Graf vaxandi falls sem er ósamfellt í (a, 2). Punkturinn (a, f(a)) er beint neðan við gatið.

Skilyrði 2 Samkvæmt skilyrði 2 verður markgildið við 𝑥 = 𝑎 x $x = a$ = a, ritað l i m $\lim_{x \to a} f (x),$ 𝑥 → 𝑎 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) $x = a$ lim x → a ⁡ f ⁡ ( x ) ,, að vera til. Þetta merkir að markgildið frá vinstri verður að vera jafnt $f$ markgildinu frá hægri við 𝑥 = $x = a$ 𝑎 . x = a Athugum á mynd 3 að graf 𝑓 f stefnir á sama y-hnit þegar 𝑥 x = a nálgast 𝑎 frá vinstri og hægri. Því er skilyrði 2 uppfyllt. Samt gæti enn verið gat á grafinu við 𝑥 = 𝑎 . x = a $x = a$

Skil $y$ rði 3 Samkvæmt skilyrði 3 fyllir samsvarandi 𝑦-hnit y við $x = a$ upp í gatið á grafi $f .$ Þetta er ritað $\lim_{x \to a} f (x) = f (a) .$

Þegar öll þrjú skilyrðin eru uppfyllt er fallið samfellt. Öll þrjú skilyrðin eru uppfyllt fyrir fallið á mynd 5, svo fallið er samfellt við $x = a .$

Graf vaxandi falls þar sem fyllt hefur verið í ósamfelldnina í (a, f(a)). — **Mynd 5.** Öll þrjú skilyrðin eru uppfyllt. Fallið er samfellt við 𝑥 = 𝑎 . x = a $x = a$

Myndir 6 til 9 sýna nokkur dæmi um gröf falla sem eru ekki samfelld við $x = a$ og hvaða skilyrði bregðast.

Graf kaflaskipts falls með vaxandi grein frá mínus óendanlegu að (a, f(a)), lokuðum punkti, og annarri vaxandi grein frá (a, f(a)−1), opnum punkti, að plús óendanlegu. — **Mynd 8.** Skilyrði 1 er uppfyllt. Skilyrði 2 og 3 bregðast.

Graf kaflaskipts falls með vaxandi grein frá mínus óendanlegu að (a, f(a)) og annarri vaxandi grein frá (a, f(a) − 1) að plús óendanlegu. Punkturinn (a, f(a)) er ekki á grafinu. — **Mynd 9.** Skilyrði 1, 2 og 3 bregðast öll.

Stökkósamfelldni borin kennsl á

Ósamfelldni getur komið fram með ýmsum hætti. Í hlutanum á undan sáum við að fall getur haft markgildi frá vinstri og hægri þótt þau séu ekki jöfn. Ef bæði markgildin eru til en ólík „stekkur“ grafið við 𝑥 = 𝑎 . $x = a$ Þá er sagt að fallið hafi stökkósamfelldni.

Skoðum sem dæmi graf fallsins $y = f (x)$ á mynd 10. Athugum að þegar $x$ stefnir á $a$ stefnir úttakið á ólík gildi frá vinstri og hægri.

Afmáanleg ósamfelldni borin kennsl á

Sum föll eru ósamfelld en unnt er að endurskilgreina fallið í ósamfelldnipunktinum þannig að það verði samfellt. Þá er sagt að fallið hafi afmáanlega ósamfelldni. Skoðum fallið 𝑦 = 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) y = f ⁡ ( x ) á mynd $y = f (x)$ 11. Fallið hefur markgildi en gat er á grafinu við 𝑥 = 𝑎 . x = a Fylla $x = a$ má upp í gatið með því að víkka skilgreiningarmengið svo það innihaldi inntakið 𝑥 = $x = a$ 𝑎 x = a og skilgreina samsvarandi úttak fallsins sem markgildi fallsins við 𝑥 = 𝑎 . x = a $x = a$

Graf vaxandi falls með afmáanlegri ósamfelldni í (a, f(a)). — **Mynd 11.** Graf fallsins 𝑓 f með $f$ afmáanlegri ósamfelldni við 𝑥 = 𝑎 . x = a $x = a$

Dæmi 1

Ósamfelldnipunktar fundnir

Flokkaðu alla ósamfelldnipunkta eftirfarandi falla sem annaðhvort stökkósamfelldni eða afmáanlega ósamfelldni.

ⓐ 𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−2⁢𝑥−15𝑥−5 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 5}$
ⓑ 𝑔⁡(𝑥)={𝑥+1,𝑥<2−𝑥,𝑥≥2 $g (x) = {\begin{array}{l} x + 1, & x < 2 \\ - x, & x \geq 2 \end{array}$

Lausn

ⓐ
Athugum að fallið er skilgreint alls staðar nema þegar $x = 5.$

Því er $f (5)$ ekki til og skilyrði 2 er ekki uppfyllt. Þar sem skilyrði 1 er uppfyllt er markgildið þegar $x$ stefnir á 5 jafnt 8, en skilyrði 2 er ekki uppfyllt. Því er afmáanleg ósamfelldni við $x = 5.$
ⓑ Skilyrði 2 er uppfyllt því 𝑔 ⁡ ( 2 ) = − 2 . $g (2) = - 2.$

g ⁡ ( 2 ) = − 2. Athugum að fallið er kaflaskipt og hver grein þess er skilgreind alls staðar á sínu skilgreiningarmengi. Skoðum skilyrði 1 með því að finna markgildin frá vinstri og hægri þegar 𝑥 x stefnir á 2. Markgildi frá vinstri: l i m 𝑥 → 2 − ⁡ ( 𝑥 + 1 ) = 2 + 1 = 3 . lim x → 2 − ⁡ ( x + 1 ) = 2 + 1 = 3. Markgildið frá vinstri er til. Markgildi frá hægri: l $x$ i m 𝑥 → 2 +
⁡ ( − 𝑥 ) = − $\lim_{x \to 2^{-}} (x + 1) = 2 + 1 = 3.$ 2 . lim x → 2 + ⁡ ( − x ) =
− 2. Markgildið frá hægri er til. En $\lim_{x \to 2^{+}} (- x) = - 2.$ l i m 𝑥 → 2 − ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) ≠ l

$\lim_{x \to 2^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 2^{+}} f (x) .$

i $\lim_{x \to 2} f (x)$ m 𝑥 → 2 + ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) . lim x → 2 − ⁡ f ⁡ ( x ) ≠ lim x → 2 + ⁡ f ⁡ ( x ) . Því er l i m 𝑥 → 2 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) lim x → 2 ⁡ f ⁡ ( x ) ekki til og skilyrði 2 bregst: ósamfelldnin er ekki afmáanleg. Þar sem markgildin frá vinstri og hægri eru hins vegar bæði til en ekki jöfn eru skilyrði stökkósamfelldni við 𝑥 = 2 x = 2. uppfyllt. $x = 2.$

Samfelld og ósamfelld föll með raungildi

Mörg fallanna sem við höfum séð í fyrri köflum eru samfelld alls staðar. Þau hafa aldrei gat og stökkva aldrei úr einu gildi í annað. Fyrir öll þessi föll er markgildi $f (x)$ þegar $x$ stefnir á $a$ hið sama og gildi $f (x)$ þegar $x = a .$ Því er $\lim_{x \to a} f (x) = f (a) .$ Sum föll eru samfelld alls staðar en önnur aðeins alls staðar þar sem þau eru skilgreind, vegna þess að þau eru ekki skilgreind fyrir allar rauntölur.

Dæmi um samfelld föll

Eftirfarandi föll eru samfelld alls staðar:

Margliðuföll	Dæmi: f ⁡ ( x ) = x⁴ − 9 ⁢ x²
Vísisföll	Dæmi: 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 4 𝑥 + 2 − 5 f ⁡ ( x ) = 4 x + 2 − 5
Sínusföll	Dæmi: 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = s i n ⁡ ( 2 ⁢ 𝑥 ) − 4 f ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( 2 ⁢ x ) − 4
Kósínusföll	Dæmi: f ⁡ ( x ) = − cos ⁡ ( x + π/3 )

Eftirfarandi föll eru samfelld alls staðar þar sem þau eru skilgreind:

Lograföll	Dæmi: 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 2 ⁢ l n ⁡ ( 𝑥 ) f ⁡ ( x ) = 2 ⁢ ln ⁡ ( x ) , 𝑥 > 0 x > 0
Tangensföll	Dæmi: 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = t a n f ⁡ ( x ) = tan ⁡ ( x ) + 2 , x ≠ π/2 + k ⁢ π , k⁡ ( 𝑥 ) + 2 , f ⁡ ( x ) = tan ⁡ ( x ) + 2 , 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘 ⁢ 𝜋 , x ≠ π/2 + k ⁢ π , þar sem 𝑘 k er heiltala
Ræð föll	Dæmi: f ⁡ ( x ) = x² − 25/x − 7 , x ≠ 7

Dæmi 2

Ákvarðað hvort kaflaskipt fall sé samfellt við gefna tölu

Ákvarðaðu hvort fallið 𝑓⁡(𝑥)={4⁢𝑥,𝑥≤38+𝑥,𝑥>3 $f (x) = {\begin{array}{l} 4 x, & x \leq 3 \\ 8 + x, & x > 3 \end{array}$ sé samfellt við

ⓐ 𝑥=3 $x = 3$
ⓑ 𝑥=83 $x = \frac{8}{3}$

Lausn

Til að ákvarða hvort fallið 𝑓 f sé $f$ samfellt við 𝑥 = $x = a,$ 𝑎 x = a , athugum við hvort samfelldniskilyrðin þrjú séu uppfyllt við 𝑥 = 𝑎 . x = a $x = a$

ⓐ
Skilyrði 1: Er 𝑓 ⁡ ( 𝑎 ) f ⁡ ( a ) til? 𝑓 ⁡ ( 3 ) = 4 ⁢ $f (a)$ ( 3 ) = 1 2 ⇒ S

$\begin{array}{l} f (3) = 4 (3) = 12 \\ \Rightarrow Skilyrði 1 er uppfyllt . \end{array}$

k i l y r ð i 1 e r u p p f y l l t . f ⁡ ( $\lim_{x \to 3} f (x)$ 3 ) = 4 ⁢ ( 3 )

= 12 ⇒ Skilyrði 1 er uppfyllt . Skilyrði 2: Er l i m 𝑥 → 3 ⁡ $x = 3,$ $f (x) = 4 x;$ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) lim x → 3 ⁡ f ⁡ ( x ) til? Vinstra megin við 𝑥 $x = 3,$ $f (x) = 8 + x .$ = 3 x = 3 , er 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 4 ⁢ 𝑥 ; f ⁡ ( x ) = 4 ⁢ x ; hægra megin við 𝑥 = 3 x = 3 , er 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 8 + 𝑥 . f ⁡ ( x ) = 8 + x . Við þurfum að reikna markgildin frá vinstri og hægri þegar 𝑥 x $x$ stefnir á 1. Markgildi frá vinstri: l i m 𝑥 → 3 − ⁡ 𝑓 ⁡ (
- 𝑥 ) = l i m 𝑥 → 3 − ⁡ 4 ⁢ ( 3 ) = 1 2 . lim $\lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} 4 (3) = 12$
- x → 3 − ⁡ f ⁡ ( x ) = lim x → 3 − ⁡ 4 ⁢ ( 3 ) $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} (8 + x) = 8 + 3 = 11$
= 12 Markgildi frá hægri: l i m 𝑥 $\lim_{x \to 3^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 3^{+}} f (x),$ $\lim_{x \to 3} f (x)$ → 3 + ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = l i m 𝑥 → 3 + ⁡ ( 8

$\Rightarrow Skilyrði 2 er ekki uppfyllt .$

+ 𝑥 ) = 8 + 3 = 1 1 . lim x → 3 + ⁡ f ⁡ ( x ) = lim x → 3 + ⁡ ( 8 + x ) = 8 + 3 = 11 Þar sem l i m 𝑥 → 3 − ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) ≠ l i m 𝑥 → 3 + ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) lim x → 3 − $x = 3.$ ⁡ f ⁡ ( x ) ≠ lim x → 3 + ⁡ f ⁡ ( x ) , er l i m 𝑥 → 3 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) lim x → 3 ⁡ f ⁡ ( x ) ekki til. ⇒ S k i l y r ð i 2 b r e g s t . ⇒ Skilyrði 2 er ekki uppfyllt . Ekki þarf að halda lengra. Skilyrði 2 bregst við 𝑥 $x = 3,$ = 3 . x = 3. Ef eitthvert samfelldniskilyrðanna er ekki uppfyllt við 𝑥 = 3 $f (x)$ x = 3 , er fallið 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) f ⁡ ( x ) ekki samfellt við 𝑥 = 3 . x = 3. $x = 3.$
ⓑ 𝑥
$x = \frac{8}{3}$

= 8 3 . x = 8/3 Skilyrði 1: Er 𝑓 ⁡ ( 8 3 ) f ⁡ ( 8/3 ) til? 𝑓 ⁡ ( 8 3 ) = 4 ⁢ $f (\frac{8}{3})$ ( 8 3 ) = 3 2 3 ⇒ S k

$\begin{array}{l} f (\frac{8}{3}) = 4 (\frac{8}{3}) = \frac{32}{3} \\ \Rightarrow Skilyrði 1 er uppfyllt . \end{array}$

i l y r ð i 1 e r u p p f y l l t . f ⁡ ( 8/3 ) = 4 ⁢ ( 8/3 ) = 32/3 $\lim_{x \to \frac{8}{3}} f (x)$ ⇒ Skilyrði 1 er uppfyllt . Skilyrði 2: Er l i

m 𝑥 → 8 3 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) lim x → 8/3 ⁡ f ⁡ ( x ) til? Vinstra megin við $x = \frac{8}{3},$ $f (x) = 4 x;$ 𝑥 = 8 3 x = 8/3 , er 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 4 ⁢ 𝑥 ; f ⁡ ( x ) = 4 ⁢ x $x = \frac{8}{3},$ $f (x) = 8 + x .$ ; hægra megin við 𝑥 = 8 3 x = 8/3 , er 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 8 + 𝑥 . f ⁡ ( x ) = 8 + x . Við þurfum að reikna markgildin frá vinstri og hægri þegar 𝑥 x stefnir á 8 3 . 8/3 . Markgildi frá vinstri: l i m 𝑥 → 8 3 − ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = l i m 𝑥 → 8 3 − ⁡ 4 ⁢ ( 8 3 ) = 3 2 3 . lim x → 8/3 − ⁡ f ⁡ ( $x$ ) = lim x → 8/3 − ⁡ 4 ⁢ ( 8/3 ) = 32/3 Markgildi frá $\frac{8}{3} .$
- hægri: l i m 𝑥 → 8 3 + ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = l i m 𝑥 → 8 3 + ⁡ ( 8 + 𝑥 $\lim_{x \to {\frac{8}{3}}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {\frac{8}{3}}^{-}} 4 (\frac{8}{3}) = \frac{32}{3}$
- ) = 8 + 8 3 = 3 2 3 . lim x → 8/3 + ⁡ f ⁡ ( x ) = lim x → 8/3 + ⁡ ( 8 $\lim_{x \to {\frac{8}{3}}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {\frac{8}{3}}^{+}} (8 + x) = 8 + \frac{8}{3} = \frac{32}{3}$
+ x ) = 8 + 8/3 = 32/3 Þar sem l i $\lim_{x \to \frac{8}{3}} f (x)$ m 𝑥 → 8 3 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) lim x

$\Rightarrow Skilyrði 2 er uppfyllt .$

→ 8/3 ⁡ f ⁡ ( x ) er til er ⇒ S k i l y r ð i 2 u p p f y l $f (\frac{8}{3}) = \lim_{x \to \frac{8}{3}} f (x) ?$

$\begin{array}{l} f (\frac{32}{3}) = \frac{32}{3} = \lim_{x \to \frac{8}{3}} f (x) \\ \Rightarrow Skilyrði 3 er uppfyllt . \end{array}$

l t . ⇒ Skilyrði 2 er uppfyllt . Skilyrði 3: Er 𝑓 ⁡ ( 8 3 ) = l i m 𝑥 → 8 3 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) ? f ⁡ ( 8/3 ) = lim x → 8/3 ⁡ f ⁡ ( x ) ? 𝑓 ⁡ ( 3 2 3 ) = 3 2 3 = l i m 𝑥 → 8 3 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) ⇒ S k i l y r ð i 3 e r u p p f y l l t . f ⁡ ( 32/3 ) = 32/3 = lim x → 8/3 $x = \frac{8}{3},$ ⁡ f ⁡ ( x ) ⇒ Skilyrði 3 er uppfyllt . Þar sem öll samfelldniskilyrðin þrjú eru uppfyllt við 𝑥 = $f (x)$ 8 3 x = 8/3 , er fallið 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) f ⁡ ( x ) samfellt við 𝑥 = 8 3 . x = 8/3 . $x = \frac{8}{3} .$

Dæmi 3

Ákvarðað hvort rætt fall sé samfellt við gefna tölu

Ákvarðaðu hvort fallið $f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$ sé samfellt við $x = 5.$

Lausn

Til að ákvarða hvort fallið $f$ sé samfellt við 𝑥 = 5 $x = 5,$ athugum við hvort samfelldniskilyrðin þrjú séu uppfyllt við $x = 5.$

Skilyrði 1:

\begin{array}{l} f (5) er ekki til . \\ \Rightarrow Skilyrði 1 er ekki uppfyllt . \end{array}

Ekki þarf að halda lengra. Skilyrði 2 bregst við $x = 5.$ Ef eitthvert samfelldniskilyrðanna er ekki uppfyllt við 𝑥 = 5 $x = 5,$ er fallið $f$ ekki samfellt við $x = 5.$

Greining

Sjá mynd 12. Athugum að fyrir skilyrði 2 höfum við

\begin{array}{l} \lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 5) (x + 5)}{x - 5} \\ = \lim_{x \to 5} (x + 5) \\ = 5 + 5 = 10 \\ \Rightarrow Skilyrði 2 er uppfyllt . \end{array}

Við 𝑥 = 5 $x = 5,$ er afmáanleg ósamfelldni. Sjá mynd 12.

Graf vaxandi falls með afmáanlegri ósamfelldni í (5, 10). — Mynd 12

Inntaksgildi þar sem fall er ósamfellt fundin

Nú þegar við getum borið kennsl á samfelld föll, stökkósamfelldni og afmáanlega ósamfelldni skoðum við flóknari föll og finnum ósamfelldnipunkta þeirra. Hér greinum við kaflaskipt fall til að ákvarða hvort til séu rauntölur þar sem fallið er ekki samfellt. Kaflaskipt fall getur verið ósamfellt bæði við skilpunkta þess og innan fallanna sem mynda það.

Til að finna rauntölurnar þar sem kaflaskipt fall úr margliðuföllum er ekki samfellt munum við að margliðuföll eru sjálf samfelld á mengi rauntalna. Öll ósamfelldni væri því við skilpunktana. Við þurfum þess vegna að kanna samfelldniskilyrðin þrjú við skilpunkta kaflaskipta fallsins.

Dæmi 4

Inntaksgildi þar sem kaflaskipt fall er ósamfellt fundin

Ákvarðaðu hvort fallið $f$ sé ósamfellt fyrir einhverjar rauntölur.

f (x) = {\begin{array}{l} x + 1, & x < 2 \\ 3, & 2 \leq x < 4 \\ x^{2} - 11, & x \geq 4 \end{array}

Lausn

Kaflaskipta fallið er skilgreint með þremur föllum sem öll eru margliðuföll: $f (x) = x + 1$ þegar $x < 2,$ $f (x) = 3$ þegar 2 ≤ 𝑥 < 4 $2 \leq x < 4,$ og $f (x) = x^{2} - 5$ þegar $x \geq 4.$ Margliðuföll eru samfelld alls staðar. Öll ósamfelldni væri við skilpunktana $x = 2$ og $x = 4.$

Við 𝑥 = 2 $x = 2,$ skulum við athuga samfelldniskilyrðin þrjú.

Skilyrði 1:

\begin{array}{l} f (2) = 3 \\ \Rightarrow Skilyrði 1 er uppfyllt . \end{array}

Skilyrði 2: Þar sem ólík föll skilgreina úttakið vinstra og hægra megin við 𝑥 = 2 $x = 2,$ gildir þá $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) ?$

Markgildi frá vinstri: l i m 𝑥 → 2 − ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = l i m 𝑥 → 2 − ⁡ ( 𝑥 + 1 ) = 2 + 1 = 3 . $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (x + 1) = 2 + 1 = 3$
Markgildi frá hægri: l i m 𝑥 → 2 + ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = l i m 𝑥 → 2 + ⁡ 3 = 3 . $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} 3 = 3$

Because 3=3 $3 = 3$ , lim𝑥→2−⁡𝑓⁡(𝑥)=lim𝑥→2+⁡𝑓⁡(𝑥) $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x)$

\Rightarrow Skilyrði 2 er uppfyllt .

Skilyrði 3:

\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} f (x) = 3 = f (2) \\ \Rightarrow Skilyrði 3 er uppfyllt . \end{array}

Þar sem öll þrjú skilyrðin eru uppfyllt við 𝑥 = 2 $x = 2,$ er fallið $f (x)$ samfellt við $x = 2.$

Við 𝑥 = 4 $x = 4,$ skulum við athuga samfelldniskilyrðin þrjú.

Skilyrði 2: Þar sem ólík föll skilgreina úttakið vinstra og hægra megin við 𝑥 = 4 $x = 4,$ gildir þá $\lim_{x \to 4^{-}} f (x) = \lim_{x \to 4^{+}} f (x) ?$

Markgildi frá vinstri: l i m 𝑥 → 4 − ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = l i m 𝑥 → 4 − ⁡ 3 = 3 . $\lim_{x \to 4^{-}} f (x) = \lim_{x \to 4^{-}} 3 = 3$
Markgildi frá hægri: l i m 𝑥 → 4 + ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = l i m 𝑥 → 4 + ⁡ ( 𝑥 2 − 1 1 ) = 4 2 − 1 1 = 5 . $\lim_{x \to 4^{+}} f (x) = \lim_{x \to 4^{+}} (x^{2} - 11) = 4^{2} - 11 = 5$

Þar sem $3 \neq 5$ gildir l i m 𝑥 → 4 − ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) ≠ l i m 𝑥 → 4 + ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) $\lim_{x \to 4^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 4^{+}} f (x),$ og því er $\lim_{x \to 4} f (x)$ ekki til.

\Rightarrow Skilyrði 2 er ekki uppfyllt .

Þar sem eitt skilyrðanna þriggja er ekki uppfyllt við 𝑥 = 4 $x = 4,$ er fallið $f (x)$ ósamfellt við $x = 4.$

Greining

Sjá mynd 13. Við 𝑥 = 4 $x = 4,$ er stökkósamfelldni. Athugum að fallið er samfellt við $x = 2.$

Graf kaflaskipts falls sem er ósamfellt í (4, 3). — **Mynd 13.** Grafið er samfellt við x = 2 en hefur stökkósamfelldni við x = 4.

Ákvarðað hvort fall sé samfellt

Til að ákvarða hvort kaflaskipt fall sé samfellt eða ósamfellt verðum við, auk þess að athuga skilpunktana, einnig að athuga hvort hvert fallanna sem mynda kaflaskipta fallið sé samfellt.

Dæmi 5

Ákvarðað hvort kaflaskipt fall sé samfellt

Ákvarðaðu hvort fallið hér á eftir sé samfellt. Ef ekki skaltu tilgreina staðsetningu og gerð hverrar ósamfelldni.

f (x) = {\begin{array}{l} \sin (x), & x < 0 \\ x^{3}, & x > 0 \end{array}

Lausn

Föllin tvö sem mynda þetta kaflaskipta fall eru $f (x) = \sin (x)$ þegar $x < 0$ og $f (x) = x^{3}$ þegar $x > 0.$ Sínusfallið og öll margliðuföll eru samfelld alls staðar. Öll ósamfelldni væri við skilpunktinn

Við 𝑥 = 0 $x = 0,$ skulum við athuga samfelldniskilyrðin þrjú.

Skilyrði 1:

\begin{array}{l} f (0) er ekki til . \\ \Rightarrow Skilyrði 1 er ekki uppfyllt . \end{array}

Þar sem skilyrðin þrjú eru ekki öll uppfyllt við 𝑥 = 0 $x = 0,$ er fallið $f (x)$ ósamfellt við $x = 0.$

Greining

Sjá mynd 14. Afmáanleg ósamfelldni er við 𝑥 = 0 ; x = 0 ; l i m 𝑥 → 0 ⁡ 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) = 0 lim x $x = 0;$ $\lim_{x \to 0} f (x) = 0,$ → 0 ⁡ f ⁡ ( x ) = 0 ,, svo markgildið er til og endanlegt en 𝑓 ⁡ ( 𝑎 ) $f (a)$ er ekki til.

Graf kaflaskipts falls þar sem f(x) = sin(x) frá mínus óendanlegu að 0 og f(x) = x^3 frá 0 að plús óendanlegu. — **Mynd 14.** Fallið hefur afmáanlega ósamfelldni við 0.

12.3 Verkefni hluta

Hugtakaspurningar

Lýstu með eigin orðum hvað felst í því að fall $f$ sé samfellt við $x = c .$

Lýstu með eigin orðum hvað felst í því að fall sé samfellt á bilinu $(a, b) .$

Algebruverkefni

Í eftirfarandi dæmum skaltu ákvarða hvers vegna fallið $f$ er ósamfellt í gefnum punkti $a$ á grafinu. Tilgreindu hvaða skilyrði bregst.

𝑓⁡(𝑥)=ln|𝑥+3|,𝑎=−3 $f (x) = \ln | x + 3 |, a = - 3$

𝑓⁡(𝑥)=ln|5⁢𝑥−2|,𝑎=25 $f (x) = \ln | 5 x - 2 |, a = \frac{2}{5}$

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−16𝑥+4,𝑎=−4 $f (x) = \frac{x^{2} - 16}{x + 4}, a = - 4$

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−16⁢𝑥𝑥,𝑎=0 $f (x) = \frac{x^{2} - 16 x}{x}, a = 0$

𝑓⁡(𝑥)={𝑥,𝑥≠32⁢𝑥,𝑥=3⁢𝑎=3 $f (x) = {\begin{cases} x, x \neq 3 \\ 2 x, x = 3 \end{cases} a = 3$

𝑓⁡(𝑥)={5,𝑥≠03,𝑥=0𝑎=0 $f (x) = {\begin{cases} 5, x \neq 0 \\ 3, x = 0 \end{cases} a = 0$

𝑓⁡(𝑥)={12−𝑥,𝑥≠23,𝑥=2𝑎=2 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2 - x}, & x \neq 2 \\ 3, & x = 2 \end{array} a = 2$

10.

𝑓⁡(𝑥)={1𝑥+6,𝑥=−6𝑥2,𝑥≠−6𝑎=−6 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x + 6}, & x = - 6 \\ x^{2}, & x \neq - 6 \end{array} a = - 6$

11.

𝑓⁡(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩3+𝑥,𝑥<1𝑥,𝑥=1𝑥2,𝑥>1 𝑎=1 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 + x, & x < 1 \\ x, & x = 1 \\ x^{2}, & x > 1 \end{array} a = 1$

12.

𝑓⁡(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩3−𝑥,𝑥<1𝑥,𝑥=12⁢𝑥2,𝑥>1 𝑎=1 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 - x, & x < 1 \\ x, & x = 1 \\ 2 x^{2}, & x > 1 \end{array} a = 1$

13.

𝑓⁡(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩3+2⁢𝑥,𝑥<1𝑥,𝑥=1−𝑥2,𝑥>1 𝑎=1 $f (x) = {\begin{array}{l} 3 + 2 x, & x < 1 \\ x, & x = 1 \\ - x^{2}, & x > 1 \end{array} a = 1$

14.

𝑓⁡(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2,𝑥<−22⁢𝑥+1,𝑥=−2𝑥3,𝑥>−2 𝑎=−2 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2}, & x < - 2 \\ 2 x + 1, & x = - 2 \\ x^{3}, & x > - 2 \end{array} a = - 2$

15.

𝑓⁡(𝑥)=⎧{ { {⎨{ { {⎩𝑥2−9𝑥+3,𝑥<−3𝑥−9,𝑥=−31𝑥,𝑥>−3 𝑎=−3 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x^{2} - 9}{x + 3}, & x < - 3 \\ x - 9, & x = - 3 \\ \frac{1}{x}, & x > - 3 \end{array} a = - 3$

16.

𝑓⁡(𝑥)=⎧{ {⎨{ {⎩𝑥2−9𝑥+3,𝑥<−3𝑥−9,𝑥=−3−6,𝑥>−3 𝑎=3 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x^{2} - 9}{x + 3}, & x < - 3 \\ x - 9, & x = - 3 \\ - 6, & x > - 3 \end{array} a = 3$

17.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−4𝑥−2,𝑎=2 $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}, a = 2$

18.

𝑓⁡(𝑥)=25−𝑥2𝑥2−10⁢𝑥+25,𝑎=5 $f (x) = \frac{25 - x^{2}}{x^{2} - 10 x + 25}, a = 5$

19.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3−9⁢𝑥𝑥2+11⁢𝑥+24,𝑎=−3 $f (x) = \frac{x^{3} - 9 x}{x^{2} + 11 x + 24}, a = - 3$

20.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3−27𝑥2−3⁢𝑥,𝑎=3 $f (x) = \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - 3 x}, a = 3$

21.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥|𝑥|,𝑎=0 $f (x) = \frac{x}{| x |}, a = 0$

22.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢|𝑥+2|𝑥+2,𝑎=−2 $f (x) = \frac{2 | x + 2 |}{x + 2}, a = - 2$

Í eftirfarandi dæmum skaltu ákvarða hvort gefna fallið $f$ sé samfellt alls staðar. Ef það er samfellt alls staðar þar sem það er skilgreint skaltu tilgreina á hvaða mengi það er samfellt. Ef það er ósamfellt skaltu tilgreina hvar.

23.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥3−2⁢𝑥−15 $f (x) = x^{3} - 2 x - 15$

24.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2−2⁢𝑥−15𝑥−5 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x - 5}$

25.

𝑓⁡(𝑥)=2⋅3𝑥+4 $f (x) = 2 \cdot 3^{x + 4}$

26.

𝑓⁡(𝑥)=−sin⁡(3⁢𝑥) $f (x) = −sin (3 x)$

27.

𝑓⁡(𝑥)=|𝑥−2|𝑥2−2⁢𝑥 $f (x) = \frac{| x - 2 |}{x^{2} - 2 x}$

28.

𝑓⁡(𝑥)=tan⁡(𝑥)+2 $f (x) = \tan (x) + 2$

29.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥+5𝑥 $f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$

30.

𝑓⁡(𝑥)=log2⁡(𝑥) $f (x) = \log_{2} (x)$

31.

𝑓⁡(𝑥)=ln𝑥2 $f (x) = \ln x^{2}$

32.

𝑓⁡(𝑥)=𝑒2⁢𝑥 $f (x) = e^{2 x}$

33.

𝑓⁡(𝑥)=√𝑥−4 $f (x) = \sqrt{x - 4}$

34.

𝑓⁡(𝑥)=sec⁡(𝑥)−3 $f (x) = \sec (x) - 3$ .

35.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+sin⁡(𝑥) $f (x) = x^{2} + \sin (x)$

36.

Finndu gildi $b$ og $c$ þannig að eftirfarandi fall sé samfellt á allri rauntalnalínunni.

𝑓⁡(𝑥)={𝑥+1,1<𝑥<3𝑥2+𝑏⁢𝑥+𝑐,|𝑥−2|≥1 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1, & 1 < x < 3 \\ x^{2} + b x + c, & | x - 2 | \geq 1 \end{array}$

Myndræn verkefni

Í eftirfarandi dæmum skaltu nota mynd 15. Hver reitur táknar eina ferningseiningu. Fyrir hvert gildi 𝑎 $a,$ skaltu ákvarða hvaða samfelldniskilyrðanna þriggja eru uppfyllt við $x = a$ og hvaða skilyrði eru það ekki.

Graf kaflaskipts falls þar sem línan er rofin við x = −3, afmáanleg ósamfelldni er við x = 2 og við x = 4 er afmáanleg ósamfelldni en f(4) er til.

37.

𝑥=−3 $x = - 3$

38.

𝑥=2 $x = 2$

39.

𝑥=4 $x = 4$

Í eftirfarandi dæmum skaltu nota grafteikniforrit til að teikna graf fallsins $f (x) = \sin (\frac{12 π}{x})$ eins og á mynd 16. Stilltu x-ásinn á stutt bil sitt hvorum megin við 0 til að sýna ósamfelldnipunktinn.

Graf sínusfalls með skoðunargluggann [−10, 10] á móti [−1, 1].

40.

Hvaða samfelldniskilyrði bregðast í ósamfelldnipunktinum?

41.

Reiknaðu $f (0) .$

42.

Leystu fyrir $x$ ef $f (x) = 0.$

43.

Hvert er skilgreiningarmengi $f (x) ?$

Í eftirfarandi dæmum skaltu skoða fallið á mynd 17.

Graf kaflaskipts falls þar sem línan er rofin við x = −1 og afmáanleg ósamfelldni er við x = 1.

44.

Við hvaða x-hnit er fallið ósamfellt?

45.

Hvaða samfelldniskilyrði er ekki uppfyllt í þessum punktum?

46.

Skoðaðu fallið á mynd 18. Við hvaða x-hnit er fallið ósamfellt? Hvaða samfelldniskilyrði voru brotin?

Graf kaflaskipts falls þar sem línan er rofin við x = −1 og afmáanleg ósamfelldni er við x = 1 og x = 2. — Mynd 18

47.

Búðu til fall sem liggur í gegnum upphafspunktinn með fasta hallatölu 1 og hefur afmáanlega ósamfelldni við $x = - 7$ og $x = 1.$

48.

Fallið $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x - 1}$ er teiknað á mynd 19. Það virðist samfellt á bilinu [ − 3 , 3 ] $[- 3, 3],$ , en á bilinu er x-gildi þar sem fallið er ósamfellt. Finndu gildið $x$ þar sem fallið er ósamfellt og útskýrðu hvaða hætta fylgir því að reiða sig á tækni þegar samfelldni falls er metin af grafi þess.

Graf fallsins f(x) = (x^3 − 1)/(x−1). — Mynd 19

49.

Finndu markgildið $\lim_{x \to 1} f (x)$ og ákvarðaðu hvort eftirfarandi fall sé samfellt við $x = 1 :$

f x = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 & x \neq 1 \\ 2 & x = 1 \end{array}

50.

Graf fallsins $f (x) = \frac{\sin (2 x)}{x}$ er sýnt á mynd 20. Er fallið $f (x)$ samfellt við $x = 0 ?$ Hvers vegna eða hvers vegna ekki?