1212 Inngangur að stærðfræðigreiningu

12.2 Markgildi fundin með eiginleikum markgilda

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærir þú að:

finna markgildi summu, mismunar og margfeldis.
finna markgildi margliðu.
finna markgildi veldis eða rótar.
finna markgildi kvóta.

Skoðum ræða fallið

f (x) = \frac{x^{2} - 6 x - 7}{x - 7}

Fallið má þátta sem hér segir:

f (x) = \frac{(x - 7) (x + 1)}{x - 7}, which gives us f (x) = x + 1, x \neq 7.

Merkir þetta að fallið $f$ sé sama fall og $g (x) = x + 1 ?$

Svarið er nei. Fallið $f$ hefur ekki $x = 7$ í skilgreiningarmengi sínu en fallið $g$ hefur það. Myndrænt sjáum við gat á grafi $f (x)$ þegar $x = 7,$ eins og sýnt er á mynd 1, en ekkert slíkt gat á grafi 𝑔 ⁡ ( 𝑥 ) $g (x),$ á mynd 2 .

Graf vaxandi falls þar sem f(x) = (x^2−6x−7)/(x−7), með afmáanlegri ósamfelldni í (7, 8). — **Mynd 1.** Graf fallsins $f$ hefur rof þegar $x = 7$ og er því ekki samfellt þegar $x = 7.$

Graf vaxandi falls þar sem g(x) = x+1. — **Mynd 2.** Graf fallsins $g$ er samfellt.

Hafa þessi tvö ólíku föll þá einnig ólík markgildi þegar $x$ stefnir á 7?

Ekki endilega. Munum að þegar markgildi falls er fundið og $x$ stefnir á 𝑎 $a,$ skiptir máli hvort úttakið stefnir á rauntölu þegar við nálgumst $x = a .$ Tilvist markgildis er ekki háð því sem gerist þegar $x$ er jafnt $a .$

Skoðum mynd 1 og mynd 2 aftur. Athugum að á báðum gröfum stefna úttaksgildin á 8 þegar $x$ stefnir á 7. Þetta merkir að

\lim_{x \to 7} f (x) = \lim_{x \to 7} g (x) .

Munum að þegar markgildi er fundið skiptir máli hvað gerist nálægt 𝑥 = 𝑎 $x = a,$ en ekki þegar $x = a .$ Í þessum hluta notum við ýmsar aðferðir, svo sem að umrita föll með þáttun, til að reikna markgildi. Aðferðirnar veita formlega staðfestingu á því sem við höfum áður metið með innsæi.

Markgildi summu, mismunar og margfeldis fundið

Það getur verið seinlegt og fyrirhafnarmikið að teikna graf falls eða kanna gildistöflu til að finna markgildi. Þegar unnt er er skilvirkara að nota eiginleika markgilda, en þeir felast í safni setninga til að finna markgildi.

Þekking á eiginleikum markgilda gerir okkur kleift að reikna markgildi beint. Við getum lagt saman, dregið frá, margfaldað og deilt markgildum falla eins og við værum að framkvæma aðgerðirnar á föllunum sjálfum og þannig fundið markgildi niðurstöðunnar. Á sama hátt finnum við markgildi falls í veldi með því að setja markgildið í það veldi. Við getum einnig fundið markgildi rótar falls með því að taka rót af markgildinu. Með þessum reikniaðgerðum á markgildum getum við fundið markgildi flóknari falla með því að finna markgildi einfaldari þátta þeirra.

Eiginleikar markgilda

Látum 𝑎 , 𝑘 , 𝐴 $a, k, A,$ og $B$ tákna rauntölur og $f$ og $g$ vera föll þannig að $\lim_{x \to a} f (x) = A$ og $\lim_{x \to a} g (x) = B .$ Fyrir markgildi sem eru til og endanleg eru eiginleikar markgilda teknir saman í töflu 1.

Fasti, k	$l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑘 = 𝑘 lim x \to a ⁡ k = k$
Fasti margfaldaður með falli	$l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ [𝑘 ⋅ 𝑓 ⁡ (𝑥)] = 𝑘 ⁢ l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑓 ⁡ (𝑥) = 𝑘 ⁢ 𝐴 lim x \to a ⁡ [k ⋅ f ⁡ (x)] = k ⁢ lim x \to a ⁡ f ⁡ (x) = k ⁢ A$
Summa falla	$l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ [𝑓 ⁡ (𝑥) + 𝑔 ⁡ (𝑥)] = l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑓 ⁡ (𝑥) + l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑔 ⁡ (𝑥) = 𝐴 + 𝐵 lim x \to a ⁡ [f ⁡ (x) + g ⁡ (x)] = lim x \to a ⁡ f ⁡ (x) + lim x \to a ⁡ g ⁡ (x) = A + B$
Mismunur falla	$l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ [𝑓 ⁡ (𝑥) − 𝑔 ⁡ (𝑥)] = l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑓 ⁡ (𝑥) − l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑔 ⁡ (𝑥) = 𝐴 − 𝐵 lim x \to a ⁡ [f ⁡ (x) − g ⁡ (x)] = lim x \to a ⁡ f ⁡ (x) − lim x \to a ⁡ g ⁡ (x) = A − B$
Margfeldi falla	$l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ [𝑓 ⁡ (𝑥) ⋅ 𝑔 ⁡ (𝑥)] = l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑓 ⁡ (𝑥) ⋅ l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑔 ⁡ (𝑥) = 𝐴 ⋅ 𝐵 lim x \to a ⁡ [f ⁡ (x) ⋅ g ⁡ (x)] = lim x \to a ⁡ f ⁡ (x) ⋅ lim x \to a ⁡ g ⁡ (x) = A ⋅ B$
Kvóti falla	$l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑓 ⁡ (𝑥) 𝑔 ⁡ (𝑥) = l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑓 ⁡ (𝑥) l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑔 ⁡ (𝑥) = 𝐴 𝐵, 𝐵 ≠ 0 lim x \to a ⁡ f ⁡ (x)/g ⁡ (x) = lim x \to a ⁡ f ⁡ (x)/lim x \to a ⁡ g ⁡ (x) = A/B, B ≠ 0$
Fall sett í veldi	$lim x \to a ⁡ [f ⁡ (x)] n = [lim x \to a ⁡ f ⁡ (x)] n = A n, þar sem n er jákvæð heiltala$
n-ta rót falls, þar sem n er jákvæð heiltala	$l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑛 √ 𝑓 ⁡ (𝑥) = 𝑛 √ l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ [𝑓 ⁡ (𝑥)] = 𝑛 √ 𝐴 lim x \to a ⁡ f ⁡ (x) n = lim x \to a ⁡ [f ⁡ (x)] n = A n$
Margliðufall	$l i m 𝑥 \to 𝑎 ⁡ 𝑝 ⁡ (𝑥) = 𝑝 ⁡ (𝑎) lim x \to a ⁡ p ⁡ (x) = p ⁡ (a)$

Dæmi 1

Markgildi falls reiknað með algebru

Reiknaðu $\lim_{x \to 3} (2 x + 5) .$

Lausn

\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} (2 x + 5) = \lim_{x \to 3} (2 x) + \lim_{x \to 3} (5) & Sum of functions property \\ = \underset{x \to 3}{2 \lim} (x) + \lim_{x \to 3} (5) & Constant times a function property \\ = 2 (3) + 5 & Reiknaðu \\ = 11 \end{array}

Markgildi margliðu fundið

Ekki eru öll föll eða markgildi þeirra aðeins samsett úr einfaldri samlagningu, frádrætti eða margföldun. Sum þeirra geta innihaldið margliður. Munum að margliða er stæða sem er summa tveggja eða fleiri liða og hver liður er margfeldi fasta og breytu í veldi sem er ekki neikvæð heiltala. Til að finna markgildi margliðufalls getum við fundið markgildi einstakra liða fallsins og lagt þau síðan saman. Markgildi margliðufalls þegar $x$ stefnir á $a$ j $a$ fngildir einnig því að reikna einfaldlega gildi fallsins fyrir 𝑎 . a

Dæmi 2

Markgildi falls reiknað með algebru

Reiknaðu $\lim_{x \to 3} (5 x^{2}) .$

Lausn

\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} (5 x^{2}) = 5 \lim_{x \to 3} (x^{2}) & Constant times a function property \\ = 5 (3^{2}) & Function raised to an exponent property \\ = 45 \end{array}

Dæmi 3

Markgildi margliðu reiknað með algebru

Reiknaðu $\lim_{x \to 5} (2 x^{3} - 3 x + 1) .$

Lausn

\begin{array}{l} \lim_{x \to 5} (2 x^{3} - 3 x + 1) = \lim_{x \to 5} (2 x^{3}) - \lim_{x \to 5} (3 x) + \lim_{x \to 5} (1) & Sum of functions \\ = \underset{x \to 5}{2 \lim} (x^{3}) - \underset{x \to 5}{3 \lim} (x) + \lim_{x \to 5} (1) & Constant times a function \\ = 2 (5^{3}) - 3 (5) + 1 & Function raised to an exponent \\ = 236 & Reiknaðu \end{array}

Markgildi veldis eða rótar fundið

Þegar markgildi inniheldur veldi eða rót þurfum við annan eiginleika til að reikna það. Annað veldi markgildis falls er jafnt markgildi annars veldis fallsins og hið sama gildir um hærri veldi. Á sama hátt er kvaðratrót markgildis falls jöfn markgildi kvaðratrótar fallsins og hið sama gildir um rætur af hærri stigi.

Dæmi 4

Markgildi veldis reiknað

Reiknaðu $\lim_{x \to 2} {(3 x + 1)}^{5} .$

Lausn

Við finnum markgildi fallsins þegar $x$ stefnir á 2 og setjum niðurstöðuna í 5. ^veldi.th

\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} {(3 x + 1)}^{5} = {(\lim_{x \to 2} (3 x + 1))}^{5} \\ = {(3 (2) + 1)}^{5} \\ = 7^{5} \\ = 16,807 \end{array}

Markgildi kvóta fundið

Flóknara getur verið að finna markgildi falls sem er ritað sem kvóti. Oft þarf að umrita fallið með algebru áður en eiginleikum markgilda er beitt. Ef nefnarinn verður 0 þegar við beitum eiginleikum markgilda beint verðum við að umrita kvótann. Ein aðferð er að rita kvótann á þáttaðri mynd og einfalda.

Dæmi 5

Markgildi kvóta reiknað með þáttun

Reiknaðu $\lim_{x \to 2} (\frac{x^{2} - 6 x + 8}{x - 2}) .$

Lausn

Þáttaðu þar sem það er unnt og einfaldaðu.

\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} (\frac{x^{2} - 6 x + 8}{x - 2}) = \lim_{x \to 2} (\frac{(x - 2) (x - 4)}{x - 2}) & Factor the numerator . \\ = \lim_{x \to 2} (\frac{(x - 2) (x - 4)}{x - 2}) & Cancel the common factors . \\ = \lim_{x \to 2} (x - 4) & Reiknaðu . \\ = 2 - 4 = - 2 \end{array}

Greining

Þegar ekki er unnt að reikna markgildi ræðs falls beint má stundum einfalda þáttað form teljara og nefnara þannig að niðurstaðan verði reiknanleg.

Athugum að fallið

f (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 8}{x - 2}

er jafngilt fallinu

f (x) = x - 4, x \neq 2.

Athugum að markgildið er til þótt fallið sé ekki skilgreint þegar $x = 2 .$

Dæmi 6

Markgildi kvóta reiknað með því að finna minnsta samnefnara

Reiknaðu $\lim_{x \to 5} (\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{5}}{x - 5}) .$

Lausn

Finndu minnsta samnefnara brotanna tveggja í teljaranum og framlengdu bæði brotin þannig að þau hafi minnsta samnefnarann.

Greining

Þegar markgildi ræðs falls er fundið og liðir eru lagðir saman eða dregnir frá annaðhvort í teljara eða nefnara er fyrsta skrefið að finna samnefnara liðanna. Síðan eru báðir liðir framlengdir þannig að þeir hafi þann nefnara, eða ræða fallið er einfaldað með því að margfalda teljara og nefnara með minnsta samnefnara. Að lokum er athugað hvort teljari og nefnari sem fást hafi sameiginlega þætti.

Dæmi 7

Markgildi með rót reiknað með samoka

Reiknaðu $\lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{25 - x} - 5}{x}) .$

Lausn

lim𝑥→0⁡(√25−𝑥−5𝑥)=lim𝑥→0⁡((√25−𝑥−5)𝑥⋅(√25−𝑥+5)(√25−𝑥+5))Margfaldaðu teljara og nefnara með samokanum . =lim𝑥→0⁡((25−𝑥)−25𝑥⁢(√25−𝑥+5))Margfaldaðu: (√25−𝑥−5)⋅(√25−𝑥+5)=(25−𝑥)−25. =lim𝑥→0⁡(−𝑥𝑥⁢(√25−𝑥+5))Sameinaðu samkynja liði. =lim𝑥→0⁡(−𝑥𝑥⁢(√25−𝑥+5))Einfaldaðu −𝑥𝑥=−1. =−1√25−0+5Reiknaðu. =−15+5=−110 $\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{25 - x} - 5}{x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{(\sqrt{25 - x} - 5)}{x} \cdot \frac{(\sqrt{25 - x} + 5)}{(\sqrt{25 - x} + 5)}) & Margfaldaðu teljara og nefnara með samokanum . \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{(25 - x) - 25}{x (\sqrt{25 - x} + 5)}) & Margfaldaðu: (\sqrt{25 - x} - 5) \cdot (\sqrt{25 - x} + 5) = (25 - x) - 25. \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{- x}{x (\sqrt{25 - x} + 5)}) & Sameinaðu samkynja liði . \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{- x}{x (\sqrt{25 - x} + 5)}) & Einfaldaðu \frac{- x}{x} = - 1. \\ = \frac{- 1}{\sqrt{25 - 0} + 5} & Reiknaðu . \\ = \frac{- 1}{5 + 5} = - \frac{1}{10} \end{array}$

Greining

Þegar markgildi falls með rót sem annan tveggja liða er fundið og ekki er unnt að reikna það beint er gagnlegt að margfalda teljara og nefnara með samoka liðanna.

Dæmi 8

Markgildi kvóta falls reiknað með þáttun

Reiknaðu $\lim_{x \to 4} (\frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}) .$

Lausn

lim𝑥→4⁡(4−𝑥√𝑥−2)=lim𝑥→4⁡((2+√𝑥)⁢(2−√𝑥)√𝑥−2)Þáttaðu. =lim𝑥→4⁡((2+√𝑥)⁢(2−√𝑥)−(2−√𝑥))Factor −1 out of the denominator. Einfaldaðu. =lim𝑥→4−(2+√𝑥)Reiknaðu. =−(2+√4) =−4 $\begin{array}{l} \lim_{x \to 4} (\frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}) = \lim_{x \to 4} (\frac{(2 + \sqrt{x}) (2 - \sqrt{x})}{\sqrt{x} - 2}) & Þáttaðu. \\ = \lim_{x \to 4} (\frac{(2 + \sqrt{x}) (2 - \sqrt{x})}{- (2 - \sqrt{x})}) & Taktu −1 út fyrir sviga í nefnaranum . Einfaldaðu . \\ = \lim_{x \to 4} - (2 + \sqrt{x}) & Reiknaðu . \\ = - (2 + \sqrt{4}) \\ = - 4 \end{array}$

Greining

Margföldun með samoka myndi liða teljarann. Leitum þess í stað að þáttum í teljaranum. Talan fjórir er ferningstala og því er teljarinn á forminu

a^{2} - b^{2}

og má þátta sem

(a + b) (a - b) .

Dæmi 9

Markgildi kvóta með tölugildi reiknað

Reiknaðu $\lim_{x \to 7} \frac{| x - 7 |}{x - 7} .$

Lausn

Fallið er óskilgreint þegar $x = 7,$ svo við prófum gildi nálægt 7 frá vinstri og hægri.

Markgildi frá vinstri: $\frac{| 6.9 - 7 |}{6.9 - 7} = \frac{| 6.99 - 7 |}{6.99 - 7} = \frac{| 6.999 - 7 |}{6.999 - 7} = - 1$

Markgildi frá hægri: $\frac{| 7.1 - 7 |}{7.1 - 7} = \frac{| 7.01 - 7 |}{7.01 - 7} = \frac{| 7.001 - 7 |}{7.001 - 7} = 1$

Þar sem markgildin frá vinstri og hægri eru ekki jöfn er markgildið ekki til.

12.2 Verkefni hluta

Hugtakaspurningar

Nefndu dæmi um tegund falls $f$ þar sem markgildið þegar $x$ stefnir á 𝑎 $a,$ er $f (a) .$

Þegar bein innsetning er notuð til að reikna markgildi ræðs falls þegar $x$ stefnir á $a$ og niðurstaðan er $f (a) = \frac{0}{0},$ merkir það þá að markgildi $f$ sé ekki til?

Hvað merkir það að segja að markgildi 𝑓 ⁡ ( 𝑥 ) $f (x),$ þegar $x$ stefnir á 𝑐 $c,$ sé óskilgreint?

Algebruverkefni

Í eftirfarandi dæmum skaltu reikna markgildin með algebru.

lim𝑥→0⁡(3) $\lim_{x \to 0} (3)$

lim𝑥→2⁡(−5⁢𝑥𝑥2−1) $\lim_{x \to 2} (\frac{- 5 x}{x^{2} - 1})$

lim𝑥→2⁡(𝑥2−5⁢𝑥+6𝑥+2) $\lim_{x \to 2} (\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x + 2})$

lim𝑥→3⁡(𝑥2−9𝑥−3) $\lim_{x \to 3} (\frac{x^{2} - 9}{x - 3})$

lim𝑥→−1⁡(𝑥2−2⁢𝑥−3𝑥+1) $\lim_{x \to - 1} (\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x + 1})$

lim𝑥→32⁡(6⁢𝑥2−17⁢𝑥+122⁢𝑥−3) $\lim_{x \to \frac{3}{2}} (\frac{6 x^{2} - 17 x + 12}{2 x - 3})$

10.

lim𝑥→−72⁡(8⁢𝑥2+18⁢𝑥−352⁢𝑥+7) $\lim_{x \to - \frac{7}{2}} (\frac{8 x^{2} + 18 x - 35}{2 x + 7})$

11.

lim𝑥→3⁡(𝑥2−9𝑥2−5⁢𝑥+6) $\lim_{x \to 3} (\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 5 x + 6})$

12.

lim𝑥→−3⁡(−7⁢𝑥4−21⁢𝑥3−12⁢𝑥4+108⁢𝑥2) $\lim_{x \to - 3} (\frac{- 7 x^{4} - 21 x^{3}}{- 12 x^{4} + 108 x^{2}})$

13.

lim𝑥→3⁡(𝑥2+2⁢𝑥−3𝑥−3) $\lim_{x \to 3} (\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x - 3})$

14.

limℎ→0⁡((3+ℎ)₃−27ℎ) $\lim_{h \to 0} (\frac{{(3 + h)}^{3} - 27}{h})$

15.

limℎ→0⁡((2−ℎ)₃−8ℎ) $\lim_{h \to 0} (\frac{{(2 - h)}^{3} - 8}{h})$

16.

limℎ→0⁡((ℎ+3)₂−9ℎ) $\lim_{h \to 0} (\frac{{(h + 3)}^{2} - 9}{h})$

17.

limℎ→0⁡(√5−ℎ−√5ℎ) $\lim_{h \to 0} (\frac{\sqrt{5 - h} - \sqrt{5}}{h})$

18.

lim𝑥→0⁡(√3−𝑥−√3𝑥) $\lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{3 - x} - \sqrt{3}}{x})$

19.

lim𝑥→9⁡(𝑥2−813−√𝑥) $\lim_{x \to 9} (\frac{x^{2} - 81}{3 - \sqrt{x}})$

20.

lim𝑥→1⁡(√𝑥−𝑥21−√𝑥) $\lim_{x \to 1} (\frac{\sqrt{x} - x^{2}}{1 - \sqrt{x}})$

21.

lim𝑥→0⁡(𝑥√1+2⁢𝑥−1) $\lim_{x \to 0} (\frac{x}{\sqrt{1 + 2 x} - 1})$

22.

lim𝑥→12⁡(𝑥2−142⁢𝑥−1) $\lim_{x \to \frac{1}{2}} (\frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{2 x - 1})$

23.

lim𝑥→4⁡(𝑥3−64𝑥2−16) $\lim_{x \to 4} (\frac{x^{3} - 64}{x^{2} - 16})$

24.

lim𝑥→2−⁡(|𝑥−2|𝑥−2) $\lim_{x \to 2^{-}} (\frac{| x - 2 |}{x - 2})$

25.

lim𝑥→2+⁡(|𝑥−2|𝑥−2) $\lim_{x \to 2^{+}} (\frac{| x - 2 |}{x - 2})$

26.

lim𝑥→2⁡(|𝑥−2|𝑥−2) $\lim_{x \to 2} (\frac{| x - 2 |}{x - 2})$

27.

lim𝑥→4−⁡(|𝑥−4|4−𝑥) $\lim_{x \to 4^{-}} (\frac{| x - 4 |}{4 - x})$

28.

lim𝑥→4+⁡(|𝑥−4|4−𝑥) $\lim_{x \to 4^{+}} (\frac{| x - 4 |}{4 - x})$

29.

lim𝑥→4⁡(|𝑥−4|4−𝑥) $\lim_{x \to 4} (\frac{| x - 4 |}{4 - x})$

30.

lim𝑥→2⁡(−8+6⁢𝑥−𝑥2𝑥−2) $\lim_{x \to 2} (\frac{- 8 + 6 x - x^{2}}{x - 2})$

Í eftirfarandi dæmi skaltu nota gefnar upplýsingar til að reikna markgildin: $\lim_{x \to c} f (x) = 3,$ $\lim_{x \to c} g (x) = 5$ .

31.

lim𝑥→𝑐[2⁢𝑓⁡(𝑥)+√𝑔⁡(𝑥)] $\lim_{x \to c} [2 f (x) + \sqrt{g (x)}]$

32.

lim𝑥→𝑐[3⁢𝑓⁡(𝑥)+√𝑔⁡(𝑥)] $\lim_{x \to c} [3 f (x) + \sqrt{g (x)}]$

33.

lim𝑥→𝑐⁡𝑓⁡(𝑥)𝑔⁡(𝑥) $\lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)}$

Í eftirfarandi dæmum skaltu reikna markgildin.

34.

lim𝑥→2⁡cos⁡(𝜋⁢𝑥) $\lim_{x \to 2} \cos (π x)$

35.

lim𝑥→2⁡sin⁡(𝜋⁢𝑥) $\lim_{x \to 2} \sin (π x)$

36.

lim𝑥→2⁡sin⁡(𝜋𝑥) $\lim_{x \to 2} \sin (\frac{π}{x})$

37.

𝑓⁡(𝑥)={2⁢𝑥2+2⁢𝑥+1,𝑥≤0𝑥−3,𝑥>0; lim𝑥→0+⁡𝑓⁡(𝑥) $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 2 x + 1, & x \leq 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{array}; \lim_{x \to 0^{+}} f (x)$

38.

𝑓⁡(𝑥)={2⁢𝑥2+2⁢𝑥+1,𝑥≤0𝑥−3,𝑥>0; lim𝑥→0−⁡𝑓⁡(𝑥) $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 2 x + 1, & x \leq 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{array}; \lim_{x \to 0^{-}} f (x)$

39.

𝑓⁡(𝑥)={2⁢𝑥2+2⁢𝑥+1,𝑥≤0𝑥−3,𝑥>0; lim𝑥→0⁡𝑓⁡(𝑥) $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 2 x + 1, & x \leq 0 \\ x - 3, & x > 0 \end{array}; \lim_{x \to 0} f (x)$

40.

lim𝑥→4⁡√𝑥+5−3𝑥−4 $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}$

41.

lim𝑥→2+⁡(2⁢𝑥−[𝑥]) $\lim_{x \to 2^{+}} (2 x - [x])$

42.

lim𝑥→2⁡√𝑥+7−3𝑥2−𝑥−2 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 7} - 3}{x^{2} - x - 2}$

43.

lim𝑥→3+⁡𝑥2𝑥2−9 $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{x^{2}}{x^{2} - 9}$

Í eftirfarandi dæmum skaltu finna meðalbreytingarhraðann $\frac{f (x + h) - f (x)}{h} .$

44.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥+1 $f (x) = x + 1$

45.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥2−1 $f (x) = 2 x^{2} - 1$

46.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+3⁢𝑥+4 $f (x) = x^{2} + 3 x + 4$

47.

𝑓⁡(𝑥)=𝑥2+4⁢𝑥−100 $f (x) = x^{2} + 4 x - 100$

48.

𝑓⁡(𝑥)=3⁢𝑥2+1 $f (x) = 3 x^{2} + 1$

49.

𝑓⁡(𝑥)=cos⁡(𝑥) $f (x) = \cos (x)$

50.

𝑓⁡(𝑥)=2⁢𝑥3−4⁢𝑥 $f (x) = 2 x^{3} - 4 x$

51.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥 $f (x) = \frac{1}{x}$

52.

𝑓⁡(𝑥)=1𝑥2 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

53.

𝑓⁡(𝑥)=√𝑥 $f (x) = \sqrt{x}$

Myndræn verkefni

54.

Finndu jöfnu sem gæti átt við grafið á mynd 3 .

Graf vaxandi falls með afmáanlegri ósamfelldni í (2, 3). — Mynd 3

55.

Finndu jöfnu sem gæti átt við grafið á mynd 4 .

Graf vaxandi falls með afmáanlegri ósamfelldni í (−3, −1). — Mynd 4

Í eftirfarandi dæmum skaltu nota mynd 5 .

Graf vaxandi falls frá núlli að plús óendanlegu.

56.

Hvert er markgildi fallsins frá hægri þegar $x$ stefnir á 0?

57.

Hvert er markgildi fallsins frá vinstri þegar $x$ stefnir á 0?

Raunhæf viðfangsefni

58.

Staðsetningarfallið $s (t) = - 16 t^{2} + 144 t$ gefur staðsetningu kasthlutar sem fall af tíma. Finndu meðalhraðann (meðalbreytingarhraðann) á bilinu $[1, 2]$ . [ 1 , 2 ]

59.

Hæð kasthlutar er gefin með 𝑠 ⁡ ( 𝑡 ) = − 6 4 ⁢ 𝑡 2 + 1 9 2 ⁢ 𝑡 . $s (t) = - 64 t^{2} + 192 t$ Finndu meðalbreytingarhraða hæðarinnar frá $t = 1$ sekúndu til $t = 1.5$ sekúndna.

60.

Fjárhæðin á reikningi eftir $t$ ár, með samfelldri vaxtavöxtun og 4.25% interest vöxtum, er gefin með formúlunni $A = A_{0} e^{0.0425 t},$ þar sem $A_{0}$ er upphaflega fjárfestingin. Finndu meðalbreytingarhraða innstæðunnar frá $t = 1$ ári til $t = 2$ ára ef upphaflega fjárfestingin er $1,000.00.