12.1 Markgildi fundin með tölulegum og myndrænum aðferðum – Undirbúningur fyrir stærðfræðigreiningu, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
1212 Inngangur að stærðfræðigreiningu
12.1 Markgildi fundin með tölulegum og myndrænum aðferðum
12.1 Markgildi fundin með tölulegum og myndrænum aðferðum
Námsmarkmið
Í þessum hluta lærir þú að:
skilja táknmál markgilda.
finna markgildi með grafi.
finna markgildi með töflu.
Við höfum innsæi fyrir því hvað takmörk eru. Bíll kemst aðeins upp í tiltekinn hámarkshraða. Ruslatunna tekur ef til vill 33 gallon en ekki meira. Það er eðlilegt að mælanlegar stærðir hafi takmörk. Hver eru til dæmis takmörk á hæð konu? Hávaxnasta kona sem heimildir greina frá var Jinlian Zeng frá Kína, sem var 8 fet og 1 tomma á hæð. 1 Eru þetta takmörk þess hversu háar konur geta orðið? Ef til vill ekki, en líklega eru einhver takmörk sem mætti lýsa í tommum ef unnt væri að ákvarða þau.
Með stærðfræðilegu orðalagi hefur fallið, sem tekur konu sem inntak og skilar mældri hæð hennar í tommum, markgildi. Í þessum hluta skoðum við tölulegar og myndrænar aðferðir til að finna markgildi.
Skilningur á táknmáli markgilda
Við höfum séð að runa getur haft markgildi, það er gildi sem liðir rununnar nálgast þegar liðum fjölgar. Til dæmis nálgast liðir rununnar
gildið 0 æ meir. Runa er ein tegund falls, en föll sem eru ekki runur geta einnig haft markgildi. Við getum lýst hegðun falls þegar inntaksgildin nálgast tiltekið gildi. Ef markgildi fallsins 𝑓 ( 𝑥 ) er 𝐿 , f ( x ) = L , þá nálgast úttakið, eða y-hnitið, 𝐿 L . þegar inntakið 𝑥 x nálgast 𝑎 . a , Við segjum að úttakið „stefni á“ 𝐿 . L .
Mynd 1 sýnir myndrænt stærðfræðilega hugtakið markgildi. Þegar inntaksgildið stefnir á stefnir úttaksgildið á
Mynd 1. Úttakið (y-hnitið) stefnir á þegar inntakið (x-hnitið) stefnir á
Við ritum jöfnu markgildis sem
Þetta táknmál gefur til kynna að þegar 𝑥 x stefnir á 𝑎 a bæði frá vinstri og hægri, stefnir úttaksgildið á 𝐿 . L . Hér er annars vegar komið að 𝑥 = 𝑎 x = a frá vinstri og hins vegar að 𝑥 = 𝑎 x = a , frá hægri.
Skoðum fallið
Við getum þáttað fallið eins og sýnt er.
Athugum að má ekki vera 7, því þá væri deilt með 0. Því er 7 ekki í skilgreiningarmengi upphaflega fallsins. Til að breyta fallinu ekki við einföldun setjum við sama skilyrði, fyrir einfaldaða fallið. Við getum sýnt fallið myndrænt eins og á mynd 2 .
Mynd 2. Þar sem 7 er ekki leyfilegt inntak er enginn punktur þar sem
Það sem gerist þegar er allt annað en það sem gerist í punktum sitt hvorum megin við og nálægt því gildi. Táknmálið
gefur til kynna að þegar inntakið stefnir á 7 annaðhvort frá vinstri eða hægri, stefnir úttakið á 8. Úttakið getur komist eins nálægt 8 og við viljum ef inntakið er nægilega nálægt 7.
Hvað gerist þegar Þegar er ekkert samsvarandi úttak. Við ritum það sem
Þetta táknmál gefur til kynna að 7 sé ekki í skilgreiningarmengi fallsins. Við höfðum þegar gefið það til kynna þegar við rituðum fallið sem
Athugum að markgildi falls getur verið til þótt sé ekki skilgreint þegar Stór hluti þess sem á eftir kemur felst í að finna markgildi falla þegar nálgast þótt úttakið við sé ekki til.
Dæmi 1
Skilningur á markgildi falls
Fyrir eftirfarandi markgildi skaltu tilgreina 𝑎 , 𝑓 ( 𝑥 )
og
Lausn
Fyrst berum við kennsl á táknmál markgildis. Ef markgildið er til ritum við, þegar 𝑥 x stefnir á 𝑎 ,
Gefið er
Þetta merkir að 𝑎 = 2 , 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 + 5 og 𝐿 = 1 1 .
Greining
Munum að er bein lína án rofa. Þegar inntaksgildin nálgast 2 nálgast úttaksgildin 11. Þetta má setja fram með jöfnunni sem merkir að þegar nálgast 2 (en er ekki nákvæmlega 2) kemst úttak fallsins eins nálægt eða 11, og við viljum. Þetta er markgildið þegar við veljum gildi nægilega nálægt 2 en þó ekki
Skilningur á markgildum frá vinstri og hægri
Við getum nálgast inntak falls frá hvorri hlið tiltekins gildis, frá vinstri eða hægri. Mynd 3 sýnir gildi
Gildi sem sögð eru koma „frá vinstri“ eru minni en inntaksgildið 7 og birtast því vinstra megin við gildið á talnalínu. Inntaksgildin á mynd 3 sem stefna á 7 frá vinstri eru og Samsvarandi úttök eru og Þessi gildi nálgast 8. Markgildi þegar stefnir á tiltekið gildi frá vinstri nefnist markgildi frá vinstri. Fyrir þetta fall er 8 markgildi fallsins frá vinstri þegar stefnir á 7.
Gildi sem sögð eru koma „frá hægri“ eru stærri en inntaksgildið 7 og birtast því hægra megin við gildið á talnalínu. Inntaksgildin á mynd 3 sem stefna á 7 frá hægri eru og Samsvarandi úttök eru og Þessi gildi nálgast 8. Markgildi þegar stefnir á tiltekið gildi frá hægri nefnist markgildi frá hægri. Fyrir þetta fall er 8 einnig markgildi fallsins frá hægri þegar stefnir á 7.
Mynd 3 sýnir að við getum fengið úttak fallsins innan fjarlægðarinnar 0.1 frá 8 með því að nota inntak innan fjarlægðarinnar 0.1 frá 7. Með öðrum orðum þarf inntakið að vera á bilinu til að úttaksgildi verði á bilinu
Við sjáum einnig að úttaksgildi komast sífellt nær 8 þegar við veljum inntaksgildi nær 7. Reyndar getum við fengið úttaksgildi innan hvers tiltekins bils ef við veljum viðeigandi inntaksgildi.
Mynd 4 sýnir myndrænt markgildi fallsins frá vinstri og hægri. Af grafi 𝑓 ( 𝑥 ) sjáum við að úttakið kemst óendanlega nálægt bæði þegar stefnir á 7 frá vinstri og þegar stefnir á 7 frá hægri.
Til að tákna markgildið frá vinstri ritum við
Til að tákna markgildið frá hægri ritum við
Mynd 4. Markgildin frá vinstri og hægri eru þau sömu fyrir þetta fall.
Skilningur á tvíhliða markgildi
Í dæminu á undan eru markgildin frá vinstri og hægri jöfn þegar stefnir á 𝑎 . Ef markgildin frá vinstri og hægri eru jöfn segjum við að fallið hafi tvíhliða markgildi þegar stefnir á Yfirleitt köllum við tvíhliða markgildi einfaldlega markgildi. Ef markgildið frá vinstri er ekki jafnt markgildinu frá hægri, eða annað þeirra er ekki til, segjum við að markgildið sé ekki til.
Markgildi fundið með grafi
Til að ákvarða myndrænt hvort markgildi sé til þegar stefnir á 𝑎 skoðum við graf fallsins þegar er mjög nálægt Á mynd 5 skoðum við hegðun grafsins beggja vegna
Til að ákvarða hvort markgildi frá vinstri sé til skoðum við grein grafsins vinstra megin við en nálægt Þar gildir Við sjáum að úttökin nálgast rauntölu og því er markgildi frá vinstri til.
Til að ákvarða hvort markgildi frá hægri sé til skoðum við grein grafsins hægra megin við en nálægt Þar gildir Við sjáum að úttökin nálgast rauntölu 𝐿 og því er markgildi frá hægri til.
Ef markgildin frá vinstri og hægri eru þau sömu, eins og á mynd 5, vitum við að fallið hefur tvíhliða markgildi. Þegar við tölum um „markgildi“ eigum við venjulega við tvíhliða markgildi, nema það sé sérstaklega kallað einhliða markgildi.
Að lokum getum við athugað hvort fallið hafi úttaksgildi þegar inntaksgildið er jafnt Hnit punktsins væru Ef slíkur punktur er til hefur gildi. Ef punkturinn er ekki til, eins og á mynd 5, segjum við að sé ekki til.
Dæmi 2
Markgildi fundið með grafi
Finndu eftirfarandi markgildi og fallgildi fallsins sem sýnt er á mynd 6 .
Mynd 6
Finndu eftirfarandi markgildi og fallgildi fallsins sem sýnt er á mynd 7 .
þegar en er óendanlega nálægt 2 stefna úttaksgildin á
þegar en er óendanlega nálægt 2 stefna úttaksgildin á
vegna þess að markgildin frá vinstri og hægri eru jöfn.
vegna þess að graf fallsins liggur í gegnum punktinn eða
Markgildi fundið með töflu
Með því að útbúa töflu má finna markgildi út frá tölulegum upplýsingum. Við búum til gildistöflu þar sem inntaksgildi nálgast frá báðum hliðum. Síðan athugum við hvort úttaksgildin nálgast sífellt eitthvert raungildi, markgildið
Skoðum dæmi með eftirfarandi falli:
Til að útbúa töfluna reiknum við gildi fallsins fyrir gildi nálægt Við notum nokkur inntaksgildi minni en 5 og nokkur stærri en 5, eins og á mynd 9 . Gildin í töflunni sýna að þegar en nálgast 5 kemst samsvarandi úttak nálægt 75. Þegar en nálgast 5 kemst samsvarandi úttak einnig nálægt 75.
Þar sem
þá
Munum að er ekki til.
Dæmi 3
Markgildi fundið með töflu
Áætlaðu markgildi eftirfarandi segðar tölulega með því að útbúa gildistöflu beggja vegna markgildisins.
Lausn
Við getum áætlað markgildi, sé það til, með því að reikna fallgildi fyrir gildi nálægt Við getum ekki fundið fallgildi beint þegar , því þá yrði nefnarinn jafn 0 og segðin því óskilgreind.
Við búum til töfluna á mynd 10 með því að velja nokkur inntaksgildi nálægt helming þeirra minni en og helming þeirra stærri en Gæta þarf þess að reiknivélin sé stillt á radíana. Við reiknum fallgildi fyrir hvert inntaksgildi og fyllum þannig út töfluna.
Töflugildin gefa til kynna að þegar en stefnir á 0 nálgast samsvarandi úttak
Þegar en stefnir á 0 nálgast samsvarandi úttak einnig
Mynd 10
Þar sem
þá
Dæmi 4
Grafteikniforrit notað til að finna markgildi
Notaðu grafteikniforrit, ef unnt er, til að finna markgildi eftirfarandi falls frá vinstri og hægri þegar stefnir á 0. Ef fallið hefur markgildi þegar stefnir á 0 skaltu tilgreina það. Annars skaltu útskýra hvers vegna markgildið er ekki til.
Lausn
Við getum notað grafteikniforrit til að kanna hegðun grafsins nálægt Við miðum gluggann við 𝑥 = 0 og veljum tvo skoðunarglugga þannig að sá síðari sé stækkuð mynd nær en sá fyrri. Niðurstaðan líkist mynd 12 fyrir á móti
Mynd 13. Enn nær núlli verður enn erfiðara að greina nokkurt markgildi.
Því nær sem við komum 0, þeim mun meiri verða sveiflur úttaksgildanna. Þannig hegðar fall með markgildi frá vinstri eða hægri sér ekki. Og sé hvorki markgildi frá vinstri né hægri til er markgildi fallsins þegar stefnir á 0 vissulega ekki til.
Við ritum
12.1 Verkefni hluta
Hugtakaspurningar
1.
Útskýrðu muninn á gildi við og markgildinu þegar stefnir á
2.
Útskýrðu hvers vegna við segjum að fall hafi ekki markgildi þegar 𝑥 x stefnir á 𝑎 a ef markgildið frá vinstri er ekki jafnt markgildinu frá hægri þegar 𝑥 x stefnir á 𝑎 . a ,
Myndræn verkefni
Í eftirfarandi dæmum skaltu áætla fallgildi og markgildi út frá grafi fallsins á mynd 14 .
3.
lim𝑥→−2−𝑓(𝑥)
4.
lim𝑥→−2+𝑓(𝑥)
5.
lim𝑥→−2𝑓(𝑥)
6.
𝑓(−2)
7.
lim𝑥→1−𝑓(𝑥)
8.
lim𝑥→1+𝑓(𝑥)
9.
lim𝑥→1𝑓(𝑥)
10.
𝑓(1)
11.
lim𝑥→4−𝑓(𝑥)
12.
lim𝑥→4+𝑓(𝑥)
13.
lim𝑥→4𝑓(𝑥)
14.
𝑓(4)
Í eftirfarandi dæmum skaltu teikna graf falls út frá gefnum fallgildum og markgildum.
15.
lim𝑥→0−𝑓(𝑥)=2, lim𝑥→0+ 𝑓(𝑥) =–3, lim𝑥→2 𝑓(𝑥) =2, 𝑓(0) =4, 𝑓(2) =–1, 𝑓(–3) er ekki til .
lim𝑥→𝜋𝑓(𝑥)=𝜋2, lim𝑥→–𝜋 𝑓(𝑥) =𝜋2, lim𝑥→1– 𝑓(𝑥) =0, 𝑓(𝜋) =√2, 𝑓(0) er ekki til .
Í eftirfarandi dæmum skaltu nota grafreiknivél til að finna markgildið með 5 aukastafa nákvæmni þegar stefnir á 0.
22.
𝑓(𝑥)=(1+𝑥)1𝑥
23.
𝑔(𝑥)=(1+𝑥)2𝑥
24.
ℎ(𝑥)=(1+𝑥)3𝑥
25.
𝑖(𝑥)=(1+𝑥)4𝑥
26.
𝑗(𝑥)=(1+𝑥)5𝑥
27.
Settu fram tilgátu um markgildi 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 1 + 𝑥 ) 6 𝑥 , f ( x ) = ( 1 + x ) 6/x , 𝑔 ( 𝑥 ) = ( 1 + 𝑥 ) 7 𝑥 g ( x ) = ( 1 + x ) 7/x , og ℎ ( 𝑥 ) = ( 1 + 𝑥 ) 𝑛 𝑥 and h ( x ) = ( 1 + x ) n/x . út frá mynstrinu sem þú sást í dæmunum hér á undan.
Í eftirfarandi dæmum skaltu nota grafteikniforrit til að finna myndræn rök fyrir markgildum gefins falls frá vinstri og hægri þegar stefnir á Ef fallið hefur markgildi þegar stefnir á 𝑎 skaltu tilgreina það. Annars skaltu útskýra hvers vegna markgildið er ekki til.
28.
(𝑥)={|𝑥|−1,if 𝑥≠1𝑥3,if 𝑥=1𝑎=1
29.
(𝑥)={1𝑥+1,if 𝑥=−2(𝑥+1)2,if 𝑥≠−2𝑎=−2
Töluleg verkefni
Í eftirfarandi dæmum skaltu nota töluleg rök til að ákvarða hvort markgildið sé til þegar Ef ekki skaltu lýsa hegðun grafs fallsins nálægt Námundaðu svör að tveimur aukastöfum.
30.
𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥16−𝑥2;𝑎=4
31.
𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥−6𝑥2−9;𝑎=3
32.
𝑓(𝑥)=𝑥2−6𝑥−7𝑥2–7𝑥;𝑎=7
33.
𝑓(𝑥)=𝑥2–1𝑥2–3𝑥+2;𝑎=1
34.
𝑓(𝑥)=1−𝑥2𝑥2−3𝑥+2;𝑎=1
35.
𝑓(𝑥)=10−10𝑥2𝑥2−3𝑥+2;𝑎=1
36.
𝑓(𝑥)=𝑥6𝑥2−5𝑥−6;𝑎=32
37.
𝑓(𝑥)=𝑥4𝑥2+4𝑥+1;𝑎=−12
38.
𝑓(𝑥)=2𝑥−4;𝑎=4
Í eftirfarandi dæmum skaltu nota reiknivél til að áætla markgildið með því að útbúa gildistöflu. Ef markgildið er ekki til skaltu lýsa hegðun fallsins þegar stefnir á gefna gildið.
39.
lim𝑥→07tan𝑥3𝑥
40.
lim𝑥→4𝑥2𝑥−4
41.
lim𝑥→02sin𝑥4tan𝑥
Í eftirfarandi dæmum skaltu nota grafteikniforrit til að finna töluleg eða myndræn rök fyrir markgildum gefins falls frá vinstri og hægri þegar stefnir á Ef fallið hefur markgildi þegar stefnir á 𝑎 skaltu tilgreina það. Annars skaltu útskýra hvers vegna markgildið er ekki til.
42.
lim𝑥→0𝑒𝑒1𝑥
43.
lim𝑥→0𝑒𝑒−1𝑥2
44.
lim𝑥→0|𝑥|𝑥
45.
lim𝑥→−1|𝑥+1|𝑥+1
46.
lim𝑥→5|𝑥−5|5−𝑥
47.
lim𝑥→−11(𝑥+1)2
48.
lim𝑥→11(𝑥−1)3
49.
lim𝑥→051−𝑒2𝑥
50.
Notaðu töluleg og myndræn rök til að bera saman markgildi tveggja falla með svipaðar formúlur: og þegar stefnir á 0. Notaðu grafteikniforrit, ef unnt er, til að finna markgildi fallanna og frá vinstri og hægri þegar stefnir á 0. Ef föllin hafa markgildi þegar stefnir á 0 skaltu tilgreina það. Annars skaltu útskýra hvers vegna markgildið er ekki til.
Viðbótarverkefni
51.
Samkvæmt afstæðiskenningunni er massi ögnar háður hraða hennar 𝑣 . Það er
þar sem er massinn þegar ögnin er kyrr og er ljóshraðinn. Finndu markgildi massans 𝑚 þegar stefnir á
52.
Látum ljóshraðann 𝑐 c , vera 1.0. Hvað verður um 𝑚 m þegar 𝑣 → 𝑐 v → c ? ef massinn 𝑚 m , er 1? Notaðu gildin í töflu 1 til að setja fram tilgátu um massann þegar 𝑣 stefnir á 1.00.
![Graf af sínusfalli stækkað inn á bilið [−2, 2] á móti [−3, 3].](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/precalculus-2e/is/image-v3/4faec67825a0d16d5a4d6bf7c6653d7891ca1a30/rendered.jpg?v=03728f678c9c)
![Graf af sama sínusfalli og á fyrri mynd, stækkað inn á bilið [−0.1, 0.1] á móti [−3. 3].](https://m4u5rs6quwqmofe9.public.blob.vercel-storage.com/openstax/precalculus-2e/is/image-v3/0166f9fa7ad31ee1d8c1d896502ace8a0a5031b4/rendered.jpg?v=6e5ce0cd5dd5)
