2.4 Hraða-tíma-gröf

2.4 Hraða-tíma-gröf

Markmið kaflans

Í lok þessa kafla munt þú geta gert eftirfarandi:

• Útskýrt merkingu hallatölu og flatarmáls á hraða-tíma-grafi
• Leyst verkefni með hraða-tíma-gröfum

Lykilhugtök

Hraði sem fall af tíma

Áður skoðuðum við gröf af staðsetningu sem falli af tíma. Nú byggjum við á þeim hugmyndum með því að skoða gröf af hraða sem falli af tíma. Hraði er breytingarhraði færslu. Hröðun er breytingarhraði hraða; við fjöllum nánar um hröðun í öðrum kafla. Þessi hugtök tengjast því öll náið.

Sýndareðlisfræði

Völundarhúsleikur

Í þessari hermun notar þú vigurmynd til að stýra bolta á ákveðinn stað án þess að láta hann rekast í vegg. Þú getur stjórnað boltanum beint með staðsetningu eða með því að breyta hraða hans. Kannaðu hvernig þessir þættir breyta hreyfingunni. Ef þú vilt geturðu líka stillt á a-stillingu. Hún táknar hröðun, sem mælir breytingarhraða hraðans. Við skoðum hröðun nánar síðar, en hér getur verið gagnlegt að prófa hana.

Hvað getum við lært um hreyfingu með því að skoða hraða-tíma-gröf? Snúum aftur að bílferðinni í skólann og skoðum stöðu-tíma-grafið á mynd 2.15.

Í upphaflega útreikningnum gerðum við ráð fyrir að bíllinn færi með jöfnum hraða til og frá skóla. Nú vitum við að bíll getur ekki farið úr kyrrstöðu í jafnan hraða án þess að hraðinn aukist fyrst. Raunverulega grafið væri því sveigt við hvorn enda. Hér notum við samt sömu nálgun og áður til að halda hugmyndinni skýrri.

Gott að hafa í huga

Í eðlisfræði, sérstaklega þegar hugtök eru fyrst lærð, er algengt að líta fram hjá sumum þáttum. Það gerir hugtakið skýrara eða útreikninginn einfaldari. Starfandi eðlisfræðingar nota einnig slíkar nálganir. Þetta virkar yfirleitt vegna þess að þátturinn sem er vanræktur er svo lítill að hann hefur ekki veruleg áhrif á niðurstöðuna. Í dæminu hér skiptir tíminn sem bíllinn tekur í að auka hraðann upp í aksturshraða litlu miðað við allan ferðatímann.

Á grafinu má sjá tvö aðskilin tímabil í hreyfingu bílsins: leiðina í skólann og leiðina til baka. Meðalhraðinn á leiðinni í skólann er 0,5 km/mín. Meðalhraðinn á heimleiðinni er −0,5 km/mín. Ef við teiknum hraða sem fall af tíma fáum við grafið á mynd 2.16.

Af þessu má læra nokkur atriði. Í fyrsta lagi má leiða hraða-tíma-graf af stöðu-tíma-grafi. Í öðru lagi gefur bein lína á stöðu-tíma-grafi með jákvæða eða neikvæða hallatölu lárétta línu á hraða-tíma-grafi.

Við getum líka notað hraða-tíma-graf til að ákvarða færslu. Við vitum að v = d / t. Með einfaldri algebru má umrita jöfnuna þannig að d = v x t.

Á mynd 2.16 er hraðinn á y-ásnum og tíminn á x-ásnum. Ef við skoðum fyrri helming hreyfingarinnar fæst 0,5 km/mín x 10 mín. Mínúturnar styttast út og eftir standa 5 km, sem er færslan á leiðinni í skólann. Sama reikningur fyrir heimferðina gefur −5 km. Þegar þessar færslur eru lagðar saman fæst heildarfærslan 0 km, eins og vænta má þar sem upphafs- og endapunktur eru sami staður.

Gott að hafa í huga

Einingar má meðhöndla líkt og tölur. Til dæmis er km/km = 1, eða sagt með öðrum orðum: einingin styttist út. Þetta hjálpar okkur að sjá hvort útreikningurinn skilar réttri einingu. Ef niðurstaðan fyrir hraða væri m × s í stað m/s, vissum við að eitthvað væri rangt og þyrftum að athuga reikninginn. Þessi aðferð kallast víddargreining og er ein besta leiðin til að kanna hvort stærðfræðin í eðlisfræðinni sé skynsamleg.

Flatarmálið undir hraðaferli táknar færslu. Hraðaferillinn segir okkur líka hvort hluturinn sé að auka hraðann. Í fyrra dæminu var hraðinn jafn, svo bíllinn hraðaði sér ekki. Myndrænt sést þetta af því að hallatala línanna tveggja er 0. Hallatalan sýnir því að hröðunin er núll.

Í bili er nóg að muna að flatarmálið undir grafinu og hallatalan eru tveir mikilvægustu eiginleikar hraða-tíma-grafs. Eins og við gátum sett fram línulega jöfnu fyrir hreyfingu á stöðu-tíma-grafi, getum við einnig sett fram jöfnu fyrir hraða-tíma-graf. Hallatalan er hröðunin, a, og skurðpunkturinn við y-ásinn er v₀. Því gildir

Hvað gerist ef hraðinn er ekki jafn? Skoðum aftur dæmið með þotubílinn. Í upphafi hreyfingarinnar, þegar bíllinn er að auka hraðann, er stöðuferillinn sveigður eins og sýnt er á mynd 2.17.

Þú þarft ekki að gera þetta hér, en fræðilega væri hægt að finna augnablikshraðann í hverjum punkti á þessu grafi. Ef það væri gert fengist mynd 2.18, bein lína með jákvæða hallatölu.

Ef við finnum hallatölu hraða-tíma-grafsins fáum við hröðunina, það er breytingarhraða hraðans. Ef við finnum flatarmálið undir hraðaferlinum fáum við færsluna.

Að leysa verkefni með hraða-tíma-gröfum

Flest hraða-tíma-gröf sem við skoðum verða beinlínugröf. Þá eru útreikningarnir tiltölulega einfaldir.

Unnið dæmi

Notkun hraðagrafs til að reikna stærðir: þotubíll

Notaðu mynd 2.18 til að (a) finna færslu þotubílsins á sýnda tímabilinu, (b) reikna breytingarhraða hraðans, það er hröðunina, (c) lesa augnablikshraðann við t = 5 s og (d) reikna meðalhraðann á sýnda tímabilinu.

Aðferð

1. Færslan fæst með því að finna flatarmálið undir línunni á hraða-tíma-grafinu.
2. Hröðunin fæst með því að finna hallatölu hraðagrafsins.
3. Augnablikshraðann má lesa beint af grafinu.
4. Til að finna meðalhraðann rifjum við upp jöfnuna fyrir meðalhraða.

Lausn

Færslan er flatarmálið undir hraðaferlinum. Flatarmálið skiptist í rétthyrning frá 0 til 20 m/s sem nær yfir 30 s og þríhyrning ofan við hann. Rétthyrningurinn gefur

(20 m/s)(30 s) = 600 m

Þríhyrningurinn hefur grunnlínu 30 s og hæð 140 m/s. Flatarmál hans er

0,5(30 s)(140 m/s) = 2.100 m

Saman gefa þessi svæði heildarfærsluna

Δd = 600 m + 2.100 m = 2.700 m

Til að finna hröðunina veljum við tvo punkta á hraðalínunni, til dæmis t = 5 s og t = 25 s. Við t = 5 s er v = 40 m/s og við t = 25 s er v = 140 m/s. Hallatalan er þá

Augnablikshraðinn við t = 5 s er einfaldlega 40 m/s, eins og lesið er af grafinu. Meðalhraðinn fæst með því að deila heildarfærslunni, 2.700 m, með heildartímanum, 30 s:

v_avg = 2.700 m / 30 s = 90 m/s

Umræða

Meðalhraðinn sem við reiknuðum er skynsamlegur þegar grafið er skoðað. Gildið 100 m/s liggur um það bil mitt á grafinu, og þar sem línan er bein má búast við að um helmingur hraðagildanna liggi fyrir ofan það og um helmingur fyrir neðan.

Gott að hafa í huga

Staðsetning, hraði og hröðun geta verið neikvæð á grafi sem lýsir hreyfingu hlutar. Tími á ási á hins vegar ekki að vera neikvæður í slíkum gröfum.

Flest hraða-tíma-gröf sem við skoðum eru einföld í túlkun. Stundum skoðum við þó sveigð hraða-tíma-gröf. Slík gröf koma oft fyrir þegar hlutur er að auka hraðann, gjarnan úr kyrrstöðu. Skoðum nú nákvæmara hraða-tíma-graf fyrir þotubílinn þar sem tekið er tillit til þess tímabils þegar hraðinn eykst.

Unnið dæmi

Notkun sveigðs hraðagrafs: þotubíll, önnur nálgun

Notaðu mynd 2.19 til að (a) finna áætlaða færslu þotubílsins á sýnda tímabilinu, (b) reikna augnablikshröðun við t = 30 s, (c) finna augnablikshraða við 30 s og (d) reikna áætlaðan meðalhraða á sýnda tímabilinu.

Aðferð

1. Þar sem grafið er óskilgreindur sveigður ferill þurfum við að áætla einfaldari form á minni tímabilum til að finna flatarmálin.
2. Líkt og þegar unnið var með sveigt stöðugraf þurfum við að teikna snertil við það augnablik sem við skoðum og nota hann til að reikna augnablikshröðunina.
3. Augnablikshraðann má enn lesa beint af grafinu.
4. Meðalhraðann finnum við á sama hátt og í fyrra dæminu.

Lausn

Þetta verkefni er flóknara en hið fyrra. Til að fá góða nálgun skiptum við ferlinum í fjögur tímabil: 0 → 10 s, 10 → 20 s, 20 → 40 s og 40 → 70 s. Fyrst reiknum við neðsta rétthyrninginn, sem er sameiginlegur öllum hlutunum:

165 m/s × 70 s = 11.550 m

Síðan áætlum við efri svæðin með þríhyrningum eða einföldum samsettum svæðum: hluti 1 = 225 m; hluti 2 = 100 m + 450 m = 550 m; hluti 3 = 150 m + 1.300 m = 1.450 m; hluti 4 = 2.550 m. Þegar allt er lagt saman fæst áætluð heildarfærsla

Δd ≈ 16.325 m

Með snertlinum sem gefinn er á grafinu finnum við að hallatalan er um

a ≈ 1 m/s²

Augnablikshraðinn við t = 30 s er 240 m/s. Meðalhraðinn fæst með því að deila heildarfærslunni með heildartímanum:

Umræða

Þetta er mun flóknara ferli en í fyrra dæminu. Ef við notuðum þessar áætlanir til að finna meðalhraða fyrstu 30 sekúndurnar fengist um 191 m/s. Ef ferillinn væri nálgaður með beinni línu fengist meðalhraðinn 202,5 m/s. Það fer eftir tilgangi okkar og þeirri nákvæmni sem þarf hvort gagnlegt er að nálga sveigðan feril með beinni línu.

Æfingadæmi

Skyndiverkefni

Að grafa hreyfingu, önnur tilraun

Í þessu verkefni teiknar þú hraða bolta sem fall af tíma.

• grafið þitt úr fyrra skyndiverkefninu um hreyfingu
• 1 blað af grafpappír
• 1 blýantur

Aðferð

1. Taktu grafið úr fyrra skyndiverkefninu um hreyfingu og notaðu það til að búa til hraða-tíma-graf.
2. Notaðu grafið til að reikna færsluna.